2.1.2三角形的三线

B.直角三角形 D.锐角三角形
拓展练习 2.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把 △ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点 B′的位置,则线段AC具有性质( ) D A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一
拓展练习 3.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是( C ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 A C.AD=DC,BD=EC D D.∠C的对边是DE
8.如图AD是△ABC的BC边上的中线，DE 是△ADC的AC边上的中线，若△ABC面积 等于4，则△ADE的面积等于_________ 。
练一练
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG 交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说 法那些是正确的,哪些是错误的? ①AD是⊿ABE的角平分线 (× )
F B D
E C
A F 1 2 B 3 D 图2 E 4 C
（2）如图（2）， AD，BE，CF是 ΔABC的三条角平分线，则 1 ∠2 ， ∠3= 2 ∠ABC ， ∠1= ∠ACB=2 ∠4 =2 ∠ACF 。
3.如图，在ΔABC中，AE是中线， AD是角平分线，AF是高。填空：
1 （1）BE= CE = 2
三角形 的中线
A
∵ AD是△ABC的BC
C
B
D
上的中线. ∴ BD=CD= ½BC.
A
2 1
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
三角形的 角平分线
B
D
C
能力拓展
1.△ABC中，AB=AC,AD是中线，△ABC的 周长为34cm,△ABD周长为30cm,，求AD的 长。
( 1 )∠ADB=∠ ADC =
90 ；
( 2 ) BE = AE = 1 AB ； 2 ( 3 ) ∠DBF =∠ EBF = 1∠ DBE . 2
练习& 反馈 ☞
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是 △ABC 的高( )
2、填空：
（1）如图（1），AD，BE，CF是 AF ΔABC的三条中线， 则 AB=2____ 1 =2 BF ，BD= DC ，AE= AC 。 2 A
三角形的 重要线段
概念 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连接一 个顶点和它对边 中的 线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段
图形
表示法
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
三角形 的高线
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
42 5 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的角平分线
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相 交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形 ●A 的角平分线 1 2 ∵AD是 △ ABC的角平分线 ︶ ● ∴∠BAD = ∠CAD = １∠BAC ２ C B D
三角形的三条角平分线相交于一点, 交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个 角的角平分线,你发现了什么?
补充例题
如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、 ∠C的平 1 分线，求证： ∠BPC= 90˚ + ∠A。 2 A 证明： ∵BP、CP分别是∠B、 ∠C 的平分线(已知) P 1∠ABC ∴∠1= 2 2 B 1 C 1∠ACB ( 角平分线定义 ) ∴∠2= 2 ( 三角形内角和定理 ) ∵ ∠BPC +∠1 + ∠2 =180˚ +∠ABC +∠ACB=180˚ ( 三角形内角和定理 ) ∠A 1∠ACB ∴∠BPC=180˚−(∠1 +∠2=180˚−( 1∠ABC ) + 2 2 1 ) =180˚−2 (∠ABC +∠ACB 1 1 ) =180˚− (180˚ −∠A=90˚+ ∠A. 40
• 5.如图，在三角形ABC中,BD是角平分 线，BE是中线，如果AC=10cm,则 AE=____cm,如果∠ABC=60°，则 ∠ABD=______
6.如图在三角形ABC中，AD平分 ∠BAC,DE∥AC交AB于E点，若 ∠BAC=40°，则 ∠EDA=______
A E B C D
7.能把三角形的面积平分的是三角 形的______
B
A
1 2 E D C
3.如图所示:△ABC中 ,AD⊥BC于D, BE⊥AC于 E, CF⊥AB于F,则△OBC的 高是 AD 。OF是哪些三角 形的高？
△ AOB, △ AOF, △ BOF
A
F O
E D
C
B
拓展& 提高 ☞
3、在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
A D
B
C
拓展& 提高 ☞
1、三角形的一条中线是否将这个三角 形分成面积相等的两个三角形?为什么?
A
F
B D E C
2、如上图,已知:AD是BC边上的中 线,BF为AD边上的中线,若△ABC的面 积为4,则△ABD的面积为________, △ABF的面积为________.
钝角三角形的三条高不相交于一点
D
B E
C
钝角三角形的三条高所在直 线交于一点
O
三角形的三条高的特性： •锐角 •形内的数量 •是否相交 3 相交 相交 •直角 1 相交 •钝角
所在直线是否相交 相交
1 不相交 相交
三角形 外部
三条高所在直线 三角形 直角 内部 顶点 的交点的位置
三角形的三条高所在直线交于一点
A 12 F G E
②BE是⊿ABD边AD上的中线( × ) ③BE是⊿ABC边AC上的中线( × ) ④CH是⊿ACD边AD上的高 (
√ )
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的 一个顶点,那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
答：五个三角形.
（2）如图，在△DBC 中，写出 ∠D 的对边， BD 边的对角.
答：∠D的对边是BC， BD边的对角是∠BCD.
2. 三根长分别为2cm，5cm， 6cm的小木棒能首尾相接构成 一个三角形吗？
答：能.
相关知识回顾
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个
角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 2.线段中点的定义：
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高， B 简称三角形的高。 如图，线段AD是BC边上的高.
符号语言：
A
5
2 2 2 3
4
3
2
1
0
D
C
∵AD是△ ABC的高
∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
1
2
3 3 3
4 4 4
5
0 0 0 1 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8
在纸上画出一个直角三角形。 (1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流.
A
D
●
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
B
C
直角边BC边上的高是 直角边AB边上的高是 斜边AC边上的高是
;
; ;
议一议
钝角三角形的三条高
A F
(1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ 它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流.
我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为△ABC的重心.
F
E
G
D
例2 如图，AD是△ABC的中线， AE是△ABC的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列 举出来.
解 （1）图中有6个三角形， 它们分别是： △ABD，△ADE， △AEC，源自△ABE，△ADC，△ABC.
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解 因为AD是△ABC的中线， 所以 BD=DC. 因为AE是△ABC的高，也是△ABD 和△ADC的高， 又 SΔABD = 1 BD AE ， 2 SΔADC = 1 DC AE ， 2 所以S△ABD = S△ADC .
2. 如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线， BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：
符号语言
F
A
O
E
∵BE是△ABC的角平分线 1 B 2 ∠ABC ∴ ∠ABE = ∠CBE = _____ _____ ∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2______=2______ ∠ACF ∠BCF
D
C
三角形的角平分线与角的平分 线有什么区别？
三角形的角平分线是一条 线段 , 角的平分线是一 条射线
如图，D是△ABC的边AC上 一点，AD=BD,试判断AC与 BC的大小.
解 在△BDC 中， 有 BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边）. 又 AD = BD， 则 BD+DC = AD+DC = AC，