交换积分次序的一种代数方法

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2
y +2
1
-x
4
x
dy 2 f ( x , y) dx = dx
f ( x , y) dy + dx
f ( x , y) dy
-1
y
0
x
1
x- 2
∫ ∫ e
1 nx
例 2 改变 dx f ( x , y) dy 的积分次序 1
1
0
解 第一步 ,确定新积分次序中 y 的积分限 :
- 1 ≤x ≤0
- 1 ≤y ≤1
当 - 1 ≤y ≤0 时 ,max( - 1 - y , y - 1 , - 1) = - (1 + y) ;当 0 ≤y ≤1 时 ,max ( - 1 - y , y - 1 , - 1) = y - 11
再解 Ⅱ,由 x - 1 ≤y 得 x ≤1 + y ,由 y ≤1 - x 得 x ≤1 - y ,又 0 ≤x ≤1 ,
总之 ,用初等代数的知识来解决交换积分次序的问题 , 只需掌握不等式组的一些解法即可 , 这种方法
不需要画出复杂的几何图形 ,会给读者带来一些方便.
0 ≤y ≤1
0 ≤y ≤1
1 ≤y ≤3
1 ≤y ≤3
第二步 ,确定新积分次序中 y 的积分限 (把 x 看作是[0 ,2 ]上的常数) 解不等式组
Ⅰ1
0 0
≤x ≤y
≤2 ≤1
y (3) (4)
与
Ⅱ1
0 ≤x ≤3 - y (5) 0 ≤y ≤3 (6)
先解 Ⅰ,由 (3) 得 :
0 ≤x ≤1
第二步 ,确定新积分次序中 x 的上下限 (视 y 为[ - 1 ,1 ]上的常数) . 由原积分次序的积分限可确定以
下两个不等式组
Ⅰ
-
( x + 1) ≤y 1 ≤x ≤0
≤1
+
x与
Ⅱ
x- 1 0 ≤x
≤y ≤1 ≤11
-
x
x ≥- (1 + y)
由 Ⅰ得 x ≥y - 1 ,即 max ( - 1 - y , y - 1 , - 1) ≤x ≤01
0
x- 1
解 第一步 ,确定新积分次序中 y 的上 、下限 ,由
inf [ - { x + 1} ] = - 1 , sup ( x + 1) = 1 ,
- 1 ≤x ≤0
- 1 ≤x ≤0
得 - 1 ≤y ≤1.
inf ( x - 1) = - 1 , sup (1 - x) = 1 ,
0 ≤x ≤1
由
1 0
≤x ≤y
≤e ≤ln
可知
x
inf 0
1 ≤x ≤e
=
0
, sup 1 ≤x ≤e
ln
x
=
11
于是有
:0
≤y
≤1
第二步 ,确定新积分次序中 x 的上下限 :
由
1 0
≤x ≤y
≤e ≤ln
x
可得
x 1
≥ey ≤x ≤e
由于 max { 1 , ey} ≤x ≤e ,即 ey ≤x ≤e1 0 ≤y ≤1
因为 : 0 ≤1 - y ,所以有 :0 ≤x ≤min { 1 ,1 - y ,1 - y - z} = 1 - y - z1
x ≤1 - y - z
0 ≤z ≤1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
1- x
1- x- y
1
1- x
1- y- z
从而 dx
dy
dz = dz
dy
dx1
0
0
0
0
0
0
当然 ,三次积分的次序不仅仅是这一种 ,也可以换成其它次序 ,请读者自己来求.
∫ ∫ ∫ ∫ e
lnx
1
e
故 dx
1
0
f ( x , y) dy =
dy
0
y f ( x , y) dx1
e
∫ ∫ ∫ ∫ 1
2y
3
3- y
例 3 改变 dy f ( x , y) dx + dy
f ( x , y) dx 的积分次序 1
0
0
1
0
解 第一步 ,确定新积分次序中 x 的积分限
由 inf 0 = 0 , sup 2 y = 2 ,或 inf 0 = 0 , sup (3 - y) = 2 ,得 0 ≤x ≤21
所以此时有 - x ≤y ≤ x1
x , x - 2} = -
x , min { 2 , x} = x 0 ≤x ≤1
②当 0 ≤x ≤4 时 , max { - 1 , - x , x - 2} = x - 2 , min { 2 , x} = x1
1 ≤x ≤4
1 ≤x ≤4
故此时有 : x - 2 ≤y ≤ x ,于是 :
y
≥x 2
, max { 0 ,
0 ≤x ≤2
x 2
}
=
x 2
,
于是有
x 2
≤y ≤11
再解 Ⅱ,由 (5) 得 :
y ≤3 - x , min { 3 - x ,3} = 3 - x ,于是 :1 ≤y ≤3 - x , 0 ≤x ≤2
从而有
:
x 2
≤y ≤3 -
x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
2y
3
ω1 ( y) ≤x ≤ω2 ( y) ,则原不等式等价于不等式组 :
a ≤x ≤b
ω1 ( y) ≤x ≤ω2 ( y)
由不等式的解法有
max {
a ≤x ≤b
a ,ω1 ( y) }
≤x
≤min { c ≤y ≤b
b ,ω2 ( y) }
,于是可取
max {
a ≤y ≤d

a ,ω1 (
y) }和
≤b ≤y
≤y2
(
x)
所确
定的几何图形.
要交换这个二次积分的次序 ,我们可以分为两步进行 :
第一步 :确定新二次积分中积分变量
y 的积分限 1 显然 ,此时有下限
c
=
a
inf y
≤x ≤b
1
(
x)
, 上限
d = a ≤sux p≤by2
( x) .
第二步 ,确定新二次积分中积分变量 x 的积分限 , 此时我们可以从不等式组的第二个不等式中解出
min {
c ≤y ≤d
b ,ω2
( y) } ,分别作为新二次积分中积分变量 x 的上限和下限 1
∫ ∫ 2
y +2
例 1 改变 dy 2 f ( x , y) dx 的积分次序 1
-1
y
解 第一步 ,确定新积分次序中积分变量 x 的积分限 :
由 inf y2 = 0 , sup ( y + 2) = 4 ,得 0 ≤x ≤41
3- y
2
3- x
故 : dy f ( x , y) dx + dy
0
0
1
0
f ( x , y) dx =
dx
0
x 2
f ( x , y) dy
∫ ∫ ∫ ∫ 0
( x +1)
1
1- x
例 4 改变 dx
f ( x , y) dy + dx
f ( x , y) dy 的积分次序.
-1
- ( x +1)
1 ≤x ≤2
1 ≤x ≤2
第二步 ,确定新积分次序中 y 的积分限
y2 ≤x ≤y + 2 (1) - 1 ≤y ≤2 (2)
由 (1) 式一方面 y2 ≤x 得 - x ≤y ≤ x ;又由 x ≤y + 2 得 y ≥x - 21
故不等式 (1) 与不等式组
种问题的解决会带来很大的帮助.
∫∫ 下面我们以二次积分
b
dx
y2 ( x) f ( x , y) dy 为例说明这种交换积分次序的总的思想.
a
y1 ( x)
∫∫ 由二次积分
b
dx
a
y2 ( x) f ( x , y) dy 的积分限可知 , 积分区域 D 为由不等式组
y1 ( x)
a ≤x
y1 ( x)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0
( x +1)
-1
1- x
0
1+y
1
1- y
dx
f ( x , y) dx + dx
dy = dy
f ( x , y) dy + dy
f ( x , y) dx
-1
- ( x +1)
0
x- 1
-1
- (1+ y)
0
y- 1
这种交换积分次序的方法不仅适用于二次积分 ,还适用于三次积分 1
故 :0 ≤x ≤ min { 1 + y ,1 - y ,1} 1 - 1 ≤y ≤1
当 - 1 ≤y ≤0 ,min{ 1 + y ,1 - y ,1} = 1 + Y ;当 0 ≤y ≤1 时 ,min{ 1 + y ,1 - y ,1} = 1 + Y1
综合以上情况可知 ,当 - 1 ≤y ≤0 时 , - (1 + y) ≤x ≤1 + y ;当 0 ≤y ≤1 时 , y - 1 ≤x ≤1 - y ,从而有 :
a
y1 ( x)
z1 ( x , y)
在交换它们的积分次序时 ,往往采用的是几何法 ,即根据积分限画出积分区域的图形 , 根据图形按题意确