三重积分教学内容
课件：9.3三重积分
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分及其计算教学材料
x y
球面坐标下的体积元素
元素区域由六个
z
坐标面围成:
半平面 及+d ;
半径为r及r+dr的球面;
圆锥面及+d. rsind
圆锥面
球面r+dr
r
圆锥面 +d
0
d
y
x
球面坐标下的体积元素
元素区域由六个
z
坐标面围成:
半平面 及+d ;
半径为r及r+dr的球面;
圆锥面及+d. rsind
dv = r2sindrdd r
例2: 计算 xdxdyd,其z中 是三个坐标面与
平面x+y+z=1所围成的区域.
解: 画出 在xoy面上的投影区域
z x+y+z=1
Dxy: 0 y 1–x, 0 x 1, 平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1–x–y, 有 0 z 1–x–y.
xdxdydz
o Dxy x+y=1 y
2, , n), 并作和 n
f(i,i,i)vi
i1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域
上的三重积分, 并记为f(x,y,z)d,v即
n
f(x,y,z)d vl i0m i 1f(i,i,i)vi
其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.
同样有: 闭区域上的连续函数一定可积.
①先单后重:
z
z=z2(x, y)
设闭区域 在xoy面的投
影为闭区域Dxy .
在闭区域Dxy内任取一点
第九章第3节三重积分 56页PPT文档
y
2
d
4
R
sin d r 4 d r
1R5(2
2)
31
例1. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中为
锥面 z x2 y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
:
0 4
02
z rR
4 z x2 y2
(x2y2z2)dxdydz
o
x
z
zz2(x,y)
面上的投影为闭区D域,
z2 S2
S1: zz1(x,y), S2 : zz2(x,y),
z1 S1
zz1(x,y)
过(点 x,y)D作直 , 线 ao 从z1穿入z， 2穿从 出 xb ．
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
5
化三重积分为三次积分
f(x, y,z)dxdydz ( z2(x,y) f(x,y,z)dz)dxdy
所围成的立体如图，
24
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2y24, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r2
z
. 2
2
25
I I1I2
(x2 y2)dxdydz(x2 y2)dxdy,dz
0
0
2
2d
0
4r2rd
三重积分
§5 三重积分(一) 教学目的：掌握三重积分的定义和性质． (二) 教学内容：三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．________________________________________一． 三重积分的概念 空间立体的质量问题设密度函数为),,(z y x f ,类似于二重积分情况,对V 作分割=∆≈ni i i i i V f M 1),,(ζηξ∑=→∆=ni i i i i T V f M 1||||),,(limζηξ定义 设),,(z y x f 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数,J 是一个确定的常数,若对任意0,0>∃>δε使得对于V 的任何分割T,只要δ<||||T ,属于分割T 的所有积分和都有εζηξ<-∆∑=|),,(|1J V f ni i i i i则称),,(z y x f 在V 上可积,常数J 称为函数),,(z y x f 在V 上的三重积分.记作 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdxdydz z y x f dVz y x f ),,(),,(或三重积分和二重积分类似的可积条件和性质.二． 化三重积分为累次积分定理21.15 若函数),,(z y x f 在长方体],[],[],[h e d c b a V ⨯⨯=上三重积分存在，且对任何],[b a x ∈，二重积分⎰⎰=Ddydz z y x f x I ),,()(存在，其中],[],[h e d c D ⨯=则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰⎰⎰⎰=DbaVdydz z y x f dx dxdydz z y x f ),,(),,(对于一般区域 上的三重积分 方法1。
《scut三重积分》课件
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
三重积分ppt课件
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
2
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
O
y
f (x, y, z)d v
xD
dxd y
D
z2 (x,y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
记作
dxd y z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
aπ
0 zdz 0 2 d
2cos 2 d
0
Oy 2 x 2cos
4a2 3
π 2 cos3 d
0
8a2 9
dv d ddz
10
例4. 计算三重积分
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
6
方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
ab Dz f (x, y, z) d x d y dz
记作 b
a dzDz f (x, y, z)dxdy
z
b
z Dz
a
O
三重积分计算--课件
化三重积分为三次积分
计算三次积分
z1 ( x, y) z z2 ( x, y) 用平行于z 轴的直线穿Ω
(2) 将三重积分化为三次积分:
dxdy
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
(3) 计算三次积分.
例1 计算三重积分
平面x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
三重积分的计算(一)
回顾:
在求密度分布不均匀几何体质量的过程中， 推导出了三重积分的定义：
d (T ) 0
lim
f ( , ,
k 1 k k
n
k
)Vk f ( x, y, z )dV
三重积分的计算
计算三重积分 I f ( x, y, z )dV 其中:Ω为关于z轴的
1
xy
d
z
z2 ( x, y)
d [
Dxy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]
平面薄片的面 密度
z1 ( x, y)
( x, y )
压缩后平面 薄片的质量
O
y
d
先一后二投影法
x
Dxy
投影法计算三重积分的计算步骤 (1) 用不等式表示积分区域 a xb 将Ω投影到xOy 面得Dxy Dxy : y1 ( x) y y2 ( x) :
1 x 2 y
0
xdz x d x
0
1
0
1 x 2 y
dz
1 (1 x ) 2
1 1 1 2 3 (1 x 2 y )d y ( x 2 x x )d x 4 0 48
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三重积分§5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！）1.球面:()02222>=++a a z y x 表示以原点为球心，半径为a 的球面。
2.柱面：平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。
定曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。
一般地，方程0),(=y x f 表示以曲线⎩⎨⎧==00),(:z y x f C 为准线，母线平行于z 轴的柱面。
类似可以写出方程0),(0),(==x z f z y f 和表示的曲面。
注：当准线是直线时，柱面退化为平面。
几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）（1）12222=+by a x 表示母线平行于z 轴的椭圆柱面。
特别地，当b a =时，它表示母线平行于z 轴的圆柱面。
这里的定直线L 就是z 轴。
（2）()022>=p px y 表示母线平行于z 轴的抛物柱面。
（3）1-2222=+bz a x 表示母线平行y 轴的双曲柱面。
3.旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。
其中平面曲线C 叫做旋转曲面的母线，定直线L 叫做旋转曲面的轴。
例如平面曲线,00),(:⎩⎨⎧==x z y f C 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为0),(22=+±z y x f 。
记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。
如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。
（旋转曲面的名称与母线名称对应） （1） 旋转椭球面椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,12222zbyax绕y轴旋转而成的曲面方程为122222=++byazx，绕x轴的旋转曲面方程请大家自行给出。
（2）旋转双叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-12222zbyax绕x轴旋转而成的曲面方程为122222=+-bzyax（旋转双叶双曲面）（3）旋转单叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-12222zbyax绕y轴旋转而成的曲面方程为122222=-+byazx（旋转单叶双曲面）（4）旋转抛物面抛物线⎩⎨⎧=>=)0(22xppzy绕z轴旋转而成的曲面方程为pzyx222=+。
（经常出现）（5）圆锥面（也是旋转曲面）直线()⎩⎨⎧=>=zkkxy绕x轴旋转一周而成的曲面方程为222222,xkzykxzy=+=+±即（经常出现，注意圆锥面的半顶角）（6） 椭球面方程()0,0,01222222>>>=++c b a cz b y a x 表示的曲面为椭球面。
注：当c b a ==时，方程表示的曲面为球面；当c b a ,,中有两数相等时，它表示旋转椭球面。
（见前面（1）） 4.抛物面：椭圆抛物面和双曲抛物面由于椭圆抛物面在数学分析中较少出现，我这里就不展开了。
关于双曲抛物面这里大家只要掌握如下的双曲抛物面xy z =(出现时，大家注意下它的投影曲线一定要结合图像，因为单从方程出发经常会遗漏一部分曲线)的图像就够了，当然这是我做题的一点感受而已，大家完全可以多掌握几种常用的双曲抛物面的图像。
说明：由于双曲抛物面的图像的形状像马鞍子，故也称为马鞍面。
（见例8，这里先简单做下说明，没时间的话请大家自行考虑一下） 5.双曲面：单叶双曲面和双叶双曲面。
说明：我个人觉得这两种双曲面的图像不用掌握太多，只要掌握旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面的图像就足够了，而这两种曲面的图像前面已给出。
6.锥面这里大家只要掌握圆锥面的图像就足够了，而这种曲面的图像前面已给出。
7.平面这个曲面大家比较熟悉，我这里就不展开了。
注：空间中任何一个平面与关于z y x ,,的三元一次方程具有一一对应关系。
下面再介绍一点关于投影的知识。
空间曲线在坐标面上的投影：以空间曲线C 为准线，母线垂直于xoy 面的柱面叫做C 在xoy 面上的投影柱面。
该投影柱面与xoy 面的交线叫做C 在xoy 面上的投影曲线（简称投影）。
注：数学分析中的曲线经常由一般方程给出。
设空间曲线C 的一般方程为()⎩⎨⎧==0,,0),,(z y x G z y x F （1），利用方程的初等变换（即换法变换，倍法变换，消法变换三类初等变换）从方程组中消去z 得到方程()0,=y x H （2），则交线⎩⎨⎧==00),(z y x H 必定包含了空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线。
注：因为是包含关系，所以需要结合图像来断定交线⎩⎨⎧==00),(z y x H 是否刚好是空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线。
下面证明这个包含关系：证明：任取点()C z y x M ∈,,,于是其坐标z y x ,,满足方程组（1），而方程（2）是由方程组（1）经过方程的初等变换得到的，故点M 的前两个坐标x,y 必然满足方程（2），因此点M 在方程（2）()0,=y x H 表示的柱面上，再由点M 的任意性知道该柱面包含了空间曲线C.从而交线⎩⎨⎧==00),(z y x H 必定包含了空间曲线C在xoy 面上的投影曲线。
类似地可以从方程组中消去x 或y ，其结论请大家自行给出。
例子1-1：求空间曲线()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1111:222222z y x z y x C 在yoz 面上的投影曲线的方程。
解：从方程组中消去x （两方程相减）得到01=-+z y ,于是交线⎩⎨⎧==-+001x z y 表示yoz 面上的一条直线，但是容易判断出所给空间曲线在yoz 面上的投影曲线只是该直线的一部分，即()⎩⎨⎧=≤≤=-+01001x y z y 。
为什么？下面先给出空间区域在坐标面上的投影区域的定义。
所谓空间中一个立体在坐标面上的投影区域，是指该立体内的所有点在某一坐标面上的投影点所组成的点集。
有了关于投影区域的清楚认识后，下面再给出一道例题来说明怎么确定立体在坐标面上的投影区域。
（这里就要利用空间曲线在坐标面上的投影曲线来界定投影区域的边界）例子1-2：求由上半球面222y x z --=和抛物面22y x z +=所围立体在xoy 面上的投影区域。
解:从交线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222yxzyxz中消去z，得到方程122=+yx，结合图形容易知道，交线在xoy面上的投影曲线就是方程组⎩⎨⎧==+122zyx表示的曲线，它是xoy面上的一个圆周，该圆周在xoy面上所围的部分⎩⎨⎧=≤+122zyx就是立体在xoy面上的投影区域。
温馨提示：确定投影曲线和投影区域是数学分析中计算多重积分的基础，请大家务必掌握好！还有一点要说明的是一定要结合图形确定，到底该方程组表示的投影曲线是否刚好是所给空间曲线在xoy面上的投影曲线，这点很重要！一：三重积分的概念说明：三重积分是二重积分的一个自然推广。
类似于二重积分，在讨论三重积分时，以长方体的体积为出发点，可以定义可求体积的空间有界图形，并给出空间区域可求体积的充要条件。
在此基础上，通过分割，求和，取极限，对定义在可求体积的空间有界闭区域上的三元函数定义其三重积分。
二：三重积分的性质（三重积分的性质，可积条件以及可积函数类，都可以由二重积分的相应内容稍作修改得到）参考P228二重积分的性质，由于时间的关系，这里我只列出性质。
1. 三重积分的线性性。
（加法和数乘）类比p228的性质1和2.2. 三重积分的区域可加性。
类比性质33. 三重积分的保序性。
类比性质4.4. 三重积分的绝对可积性。
类比性质5.5. 三重积分也有类似于性质6的性质。
（请大家自己给出）6. 三重积分的积分中值定理。
类比性质7.7. 三重积分的乘积可积性。
类比我上次提到的补充性质8.三：三重积分的计算方法。
（本节的重点）注：将三重积分化为累次积分时，即化为三次积分，积分次序与积分区域V 的表示方式密切有关。
1.利用直角坐标计算三重积分定理21.15的第二种形式：设函数[][][]h e d c b a V z y x f ,,,),,(⨯⨯=在上的三重积分存在（即函数()z y x f ,,在V 上可积），且对任意给定的()[][]h e d c D z y ,,,⨯=∈，dx z y x f z y g b a⎰=),,(),(定积分存在，则二重积分⎰⎰D dydz z y g ),(也存在，且⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V D b adx z y x f dydz dxdydz z y x f ),,(),,(。
注：请大家自行写出该定理的第三种形式（提示：将三重积分化为先对y 做定积分后对x,z 做二重积分的累次积分公式）定理21.16：见书（同理请大家自行写出该定理的其他两种形式）根据定理21.15的第二种形式和定理21.16得到以下推论：推论：设函数[][][]h e d c b a V z y x f ,,,),,(⨯⨯=在长方体上连续，则⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,([][]h e d c D dz z y x f dy dx dydz z y x f dx dx z y x f dydz he d c D b a D b a b a ,,,),,(),,(),,(⨯====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中。
把三重积分化为三次积分来计算，首先要降低积分的重数，就是将三重积分化为二重积分与单积分的叠积分，下面我就不同类型的积分区域来分别进行讨论。
（1） 坐标面投影法（即先计算定积分后计算二重积分法，简称“先一后二”法）设积分区域V 在xoy 面上的投影区域为xy D ，且V 能够表示为{}）（其中y x z z y x z z D y x y x z z y x z z y x V xy ,),,(,),(),,(),(),,(2121==∈≤≤=（a ）在xy D 上连续。
则称V 是xy 型空间区域。
其特点：平行于z 轴且通过xy D 的内点的直线与V 的边界曲面∑相交不多于两点。
（见书上图21-30）xy 型空间区域V 在xoy 面上的投影柱面把V 的边界曲面∑分成下边界曲面1∑和上边界曲面2∑两部分，设它们的方程分别是),(),(),,(:),(z 212211y x z y x z y x z z y x z ≤=∑=∑且与：过xy D 内任一点（x,y ）作平行于z 轴的直线，这直线先通过1∑后通过2∑，穿入点与穿出点的竖坐标分别是),(),(21y x z y x z 与。
于是我们先对固定的点()[]),(,,,,21y x z y x z D y x xy 在区间）（∈上作定积分dz z y x f y x z y x z ⎰),(),(21),,(,当点（x,y ）在xy D 上变动时则该定积分是xy D 上的二元函数，我将其设为),(y x G ，然后将),(y x G 在xy D 上作二重积分.),,(,G ),(),(21dxdy dz z y x f dxdy y x xy xyD D y x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=）（ 由上面的讨论得到以下三重积分的计算方法：设xy 型空间区域V 由（a ）式给出，且函数上连续在V z y x f ),,(，则.),,(,G ),,(),(),(21dxdy dz z y x f dxdy y x dxdydz z y x f xy xyD D y x z y x z V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==）（ 注：注意条件。