第三讲积分的求法
《第三章积分学》PPT课件
（一）、原函数
定义 设函数 f ( x )在区间I上有定义， 若存在函数F ( x )，
使对x I , 有 F ( x ) f ( x )
或
dF ( x ) f ( x )dx
成立，
2
则称F ( x )是 f ( x )在区间I上的一个原函数。
例1
（1）f(x) = 3 x 求下列函数的原函数：
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C ; sin x (10) sec x tan xdx sec x C ;
(11) csc x cot xdx csc x C ;
x a x (13) a dx C; ln a
(12) e dx e C ;
第三章、积分学
• • • • • • 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的计算—换元积分法 分部积分法 第三节 定积分 第四节 广义积分 第五节定积分应用
第一节 不定积分的概念与性质
• • • • 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式
2 dx
1 cos x 1 解：原式 dx ( x sin x ) C 2 2
例10 求 tan 2 xdx
解：原式 (sec x 1)dx sec2 xdx dx
2
tan x x C
1 例11 求 2 dx 2 sin x cos x
易见, sin x C 也是g( x )的原函数。
问题： 1.什么样的函数原函数存在？
2.原函数存在的条件下，原函数是否唯一？ 若不唯一，它们之间有什么联系？
原函数存在定理
积分的性质与计算方法
积分的性质与计算方法积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程和经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍积分的性质以及常见的计算方法，帮助读者更好地理解和应用积分。
一、积分的性质1. 定义性质积分是求解曲线下面的面积的方法。
给定一个函数f(x)，在区间[a, b]上的积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
它表示了函数f(x)在区间[a, b]上面积的大小。
2. 可加性性质积分具有可加性。
如果在区间[a, b]上有两个函数f(x)和g(x)，则积分的性质可以表示为∫[a, b] (f(x)+ g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx。
这意味着对于一个区间上的函数和可以将其分解为多个部分进行积分计算。
3. 线性性质积分具有线性性质。
对于任意常数c，积分的性质可以表示为∫[a, b] c * f(x) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx。
这意味着可以将常数提取到积分符号的外面。
4. 区间可任意分割性质积分的计算可以通过将区间[a, b]进行任意分割，然后对每个小区间计算积分，最后将结果相加。
这是积分计算的基本思想，也是一种常用的计算方法。
二、积分的计算方法1. 不定积分不定积分用于求取函数f(x)的原函数F(x)，通常记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是常数。
不定积分的计算方法包括反函数的求导、函数的性质和定义式的运用等多种方法。
2. 定积分定积分用于求解曲线下面的面积，可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分的计算可以通过区间的分割和取极限的方法进行。
常用的积分计算方法包括：(1) 替换法：通过变量替换，将不易处理的积分转化为简单的形式进行计算。
(2) 分部积分法：利用导数的乘积法则，将积分分解为两个函数的乘积的积分。
(3) 三角函数代换法：通过三角函数的相关性质，将积分转化为三角函数的积分。
(4) 分式分解法：通过将积分中的分式进行分解，将其转化为简单的形式进行计算。
第3讲 换元积分法：第一换元积分法
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
定理8.4(i)（第一换元积分法）
x (t ) 在区间 J 上 设函数f (x ) 在区间 I 上有定义，
可导, 且 ( J ) I .
如果不定积分 f (x )dx F (x )
C 在 I 上存在， 则不定积分 f ( ( t )) ( t )dt 在J 上
也存在，且
f ( ( t )) ( t )dt F ( ( t )) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
证 用复合函数求导法则验证：
3 2
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例4 求 sin 3 xdx . 解
3 2 sin x d x sin x sin x dx
(1 cos 2 x )dcos x
1 cos x cos 3 x C . 3
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
换元积分法
分部积分法
2 求 x 1 x dx . 例3
1 解 x 1 x dx 1 x 2 d(x 2 ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
1 x arctan C . a a
第三讲不定积分的计算方法演示文稿
方法:拆出个正\余弦的1次幂,再凑微分
第7页，共38页。
3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:
• 目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低! 具体方法(公式):
cos2 x 1 cos x .
2
2
sin 2 x 1 cos x .
2
2
等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!
sin2 t cos2 t 1
变形: 1 sin2 t cos2 t
tan2 t 1 sec2 t
或变形: sec2 t 1 tan2 t
第33页，共38页。
例求20
a2 x2 dx (a 0) .
解: 令
x a sin t ,
t
(
2
,
2
)
,
则
1 sin2 t cos2 t
a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost
第8页，共38页。
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n 时,
为假分式; m n 时,
为真分式
有理函数
相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
第9页，共38页。
之前的引
入例: 例1
令 x a sect，0 t ，则 d x a sect tan t d t，故
2
d x a sect tan t d t
x2 a2
a tan t
x x2 a2
t a
sect d t
ln | sect tan t | C1 ln | x x2 a2 | C. ( C＝C1 ln a )
第三讲：分部积分法及反常积分
b
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结束
例1. 计算反常积分 解:
= [ arctan x] −∞ π π = − (− ) = π 2 2
+∞
yOy=来自1 1+x2x
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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0 dx 下述解法是否正确: 1dx
的收敛性 .
1 1 = − + − =∞ = + 解: 2 2 −1 x x −1 x 0+ 1 dx 1 1 0x Q∫ 2 = − = −1−1 = −2 , ∴积分收敛 −1 x 所以反常积分 x −1 发散 .
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结束
若 f (x) ∈C(−∞, + ∞), 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ − ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx
高中数学中的积分定义及其求解法则
高中数学中的积分定义及其求解法则在高中数学中，积分是一个非常重要且必学的概念。
积分可以说是微积分的核心之一，它的应用之广泛，涉及到物理、工程、金融等众多领域，因此对于学习过中学数学的学生来说，掌握积分的定义及其求解法则，是极其重要的。
一、什么是积分积分，简单来说就是对连续函数的“求和”，它是微积分的一种基本概念，与导数相对应。
在数学上，积分是对一个函数在某个区间内所占面积（或某种体积或长度等物理量）的概念。
积分的本质就是将一个区间分割成无数个小的部分，将这些小的部分相加后求出所需要的结果。
在物理中，积分可以用来计算物体的质量、能量、力、热量等等。
二、积分的定义在学习积分之前，我们需要先了解一下导数，因为积分与导数是相互关联的。
导数可以说是一个函数在某一点处切线的斜率，而积分则是对于该函数在一定区间内的“求和”。
举个例子来说，如果我们要求一个函数f(x)在区间[a,b]内的面积，我们需要将这个区间分割成许多小区间，对于每个小区间上的面积进行求和，最后得到的就是所需要求的在[a,b]区间上的面积。
这个过程可以用以下公式来表示：∫a^b f(x)dx其中∫（积分符号）表示求积分，a和b表示区间的上下限，f(x)表示函数。
三、积分的求解法则在求解积分时，有一些基本的法则可以帮助我们简化计算，以下是其中的几个重要的法则：1、一次幂的积分法则：对于一个函数f(x) = xn，当n≠-1时，其积分为：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C其中C为常数.2、常数函数的积分法则：对于一个函数f(x) = c，其中c为常数时，其积分为：∫c dx = c x + C3、e ^x 函数的积分法则：对于函数f(x) = e^x，其积分为：∫e^x dx = e^x + C4、三角函数的积分法则：对于三角函数sinx、cosx，其积分为：∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C以上几个法则是求解积分时常用的法则，我们需要通过多做题，多练习，才能更加熟练地掌握积分的求解方法。
积分的加减乘除运算法则
积分的加减乘除运算法则积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度以及相关物理问题等。
积分运算的加减乘除法则是基于导数的运算法则进行推导而来的。
下面我将详细介绍积分运算的加减乘除法则的相关内容。
1. 加法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的积分和的导数相等，即有：∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx简单来说，对于积分运算来说，两个函数的和的积分等于两个函数分别积分再相加。
2. 减法法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的差的积分等于两个函数分别积分再相减，即有：∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx - ∫[a,b] g(x) dx3. 乘法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，则两个函数的乘积的积分等于一个函数积分再乘以另一个函数，再减去另一个函数积分再乘以一个函数，即有：∫[a,b] u(x) v'(x) dx = u(x) v(x)|[a,b] - ∫[a,b] u'(x) v(x) dx其中，u'(x) 和 v'(x) 分别表示 u(x) 和 v(x) 的导数。
4. 除法法则：设函数 u(x) 和 v(x) 在区间 [a, b] 上都可导，且v(x) ≠ 0，则一个函数除以另一个函数的积分等于一个函数积分再除以另一个函数的平方，再减去一个函数的导数积以另一个函数积分再除以另一个函数的平方，即有：∫[a,b] (u(x)/v(x)) dx =( ∫[a,b] u(x) v'(x) dx ) / (v(x))^2 - ∫[a,b] [u'(x) v(x)] / (v(x))^2 dx需要注意的是，这个除法法则在 v(x) = 0 的情况下不成立。
积分的加减乘除运算法则[001]
![积分的加减乘除运算法则[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/6c2e6f2e0a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79ccd.png)
积分的加减乘除运算法则积分运算是高等数学中重要的部分，掌握积分运算法则是学好高等数学的基础。
在积分运算中，加减乘除是最基础、最常用的四种运算。
一、加减法规则对于一个积分表达式的求和，可以将求积分的函数按照加减法拆分成多个积分的和或差的形式，然后分开计算每个积分的值。
即：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫(f(x)-g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx若∫f(x)dx和∫g(x)dx都有值，则可以直接套用公式计算，最后将结果进行加或减即可。
这种方法适用于所有函数的和、差求积分。
二、乘法法则如果积分表达式中含有两个函数相乘，则可以使用积分的乘法法则求解。
其公式为：∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx在应用乘法法则时，需要将表达式中的两个函数分别标记为f(x)和g(x)，并求出它们的导数，设为f'(x)和g'(x)。
然后带入公式中计算即可。
要注意的是，使用积分乘法法则时，一定要选择f(x)和g'(x)的乘积作为积分式f(x)g'(x)，并保证∫g(x)f'(x)dx可以较容易地求出。
三、除法法则若积分表达式中含有两个函数相除，则可以使用积分的除法法则进行求解。
它的公式为：∫f(x)/g(x)dx = ∫[g(x)f'(x) - f(x)g'(x)]/g²(x)dx在应用除法法则时，需要注意选择到合适的被除函数g(x)。
即必须在原积分式中寻找到一个可导的函数g(x)，并且它是积分式中作为分子的函数f(x)的因数。
对于求导困难或积分式太过复杂的被除函数，可以通过除以同个(x-a)或(x+b)等较简单的式子，然后分子分母同乘/同除来简化积分式。
此外，除法法则还需要计算函数f(x)和g(x)的导数、用它们求导数的差值，并将差值带入到公式中计算。
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积分的求法 8
例6
1
I x x9 dx
解法 1 I
dx x(1 x8 )
x 7 dx x8 (1 x8 )
1 8
du u(1
u)
(令 x8 u)
解法 2 I
(1 x8 ) x8 x(1 x8 ) dx
1 x7 ( x 1 x8 )dx
解法 3
dx
1 dx8
例 5
e2x dx
解法 1 原式 1 arctanexde2x
2
1 e2xarctanex 1
2
2
ex 1 e2x dx
1 e2xarctanex 1
2
2
de x e2 x (1 e2 x )
1 [e2xarctanex e x arctan e x ] C 2
I
x9 (1
1 x8
)
8
1 x8
1 ln 1 x8 C
8
积分的求法 9
例7
I
sin
dx x cos4
x
解法 1
I
sin xdx sin2 x cos4
x
d cos x (1 cos2 x) cos4 x
du
(1 u2 )u4
(令 cos x u)
(1 u4 ) u4 (1 u2 )u4
1
dsinx
sin2 x
sin x
2
d
1
sinx sin2 x
sin x t
dt
dt
2 1 t4 2 1 t2 1 t2
1 (1 t2
1 1 t2
)dt
积分的求法 2
例 3 I
x5 1 x2 dx
解法 1 令 x tan t, 则 dx sec2 tdt
I
tan5 t sec t 2dt
0 x
0 sin xdx 2
解法 2
f ( x)dx f ( x)d( x )
0
0
(x
)
f
(x)
0
( x )sin x
dx
0 x
0 sin xdx 2
积分的求法 18
解法 3
f ( x)dx
dx
x sin t dt
0
0 0 t
dt
sin t dx
sin xdx 2
0
2
2 1 ( y 1)2 dy= .
0
2
解法 2
yd
0
2
dx ydy
2
0
d
2sin 2sin d
0
D
2
4 8
3
2
sin4 d
4
8 3
2 sin4 d
0
4 831 4 .
342 2
2
积分的求法 25
解法 3 由于积分域 D 关于直线 y 1 上下对称，则
( y 1)d 0
第三讲 积分的求法
题型一、不定积分的求法
例1
I
dx
x4 x
解法 1 I
dx
4x x2
dx
4 x 22
arcsin
x2 2
C
解法
2
I
2d x
4 x
2 arcsin
x C
2
积分的求法 1
例2
I
cos
dx x sin
x
解
I
cos
dx x sin
x
cos cos2 x
xdx sin
x
解法 2
sin2 x cos2 x
sin x
dx
I sin x cos4 x dx cos4 x dx sin x cos2 x
1
sin2 x cos2 x
3cos3 x sin x cos2 x dx
1
sin xdx dx
3cos3 x cos2 x sin x
x)
dx
20
sin x cos x
1 ( ln(sin x cos x) 2
x)
2 0
4
解法 2 令 x t, 则
2
I 2
sin x
dx 2
cos t
dt
0 sin x cos x
0 sin t cos t
1 [
2
sin x
dx 2
cos x
dx]
2 0 sin x cos x
t
2 0
-d 1
cos t cos2
t
arctan
cos
t
2 0
4
积分的求法 17
例 4 设 f ( x)
sin t dt, 计算
f ( x)dx
0 t
0
解法 1
0
f ( x)dx
xf ( x)
0
x sin x dx
0 x
sin t dt
x sin x dx
0 t
1
y
2y
1
2
42
y 4 8
2
ydsin
1
2
2 3
积分的求法 27
题型四 三重积分的求法
例 1 计算 zdV ,其中 由 x2 y2 z2 z
和 x2 y2 z2 2z 所确定.
解法 1
原式
2 d
2 d
2cos rcosr 2sindr
0
0
cos
5
4
解法 2 设 1: x2 y2 z2 z ，2: x2 y2 z2 2z，则
2
y
1 ( y 1)2 dy 还有一种巧妙的方法
0
积分的求法 24
2
y
1 ( y 1)2 dy
2
( y 1)
1 ( y 1)2 dy
2
1 ( y 1)2 dy,
0
0
0
2
( y 1)
1 ( y 1)2 dy 0.
0
而 2 1 ( y 1)2 dy 应等于半圆的面积 ，故
dt
t
sin
ln
t
t
cos
ln
t
t
sin
ln
t
1 t
dt
则 f (t) t [sin ln t cos ln t] C 2
积分的求法 13
解法 2 由 f '(e x ) sin x 知
f (ex ) sin xdex ex sin x ex cos xdx ex sin x ex cos x sin xdex
解法 1 在直角坐标下化为累次积分计算
积分的求法 23
2
2 y y2
ydxdy
0
dy 2
ydx
D
2
2 ydy
2
y
2 y y2 dy
0
0
4
2
y
1 ( y 1)2 dy
(令 y 1 sin t)
0
4
2
2
(1
sin
t ) cos2
tdt
4
2
.
于是
D
yd
4
2
.
事实上，计算
解法 1 原式 2 ln xd 1 x
2 1 x ln x 2
1 x dx
x
1 x
1 x t
dx 2
x
t2 t 2 1 dt
2
dt 2
dt t2 1
2t ln t 1 C t 1
原式 2 1 x ln x 4 1 x 2 ln 1 x 1 C 1 x 1
zdV zdV zdV .
2
1
积分的求法 28
由于 zdV 与 zdV 的计算方法完全一样，以下仅以
2
1
zdV 说明其三种较简单的计算方法.
2
方法 1 直角坐标下先二后一:
zdV
=
2
tan4 t (tan t sec t)dt
sec t
tan4 td(sec t) (sec2 t 1)d(sec t)
(u2 1)2 du (u sec t)
1 u5 2 u2 u c 53
1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C 15
积分的求法 3
解法 2
则
I
f
1 (x
)
dx
x
1 x2 dx
1 (1 x2 )3/2 C 3
积分的求法 12
例 10 设 f '(e x ) sin x, 求f ( x). 解法 1 令 e x t, 则 f '(t ) sin ln t
f (t) sin ln tdt
t
sin
ln
t
t
cos
ln
t
1 t
则 f (e x ) e x [sin x cos x] C 2
f ( x) x [sin ln x cos ln x] C 2
积分的求法 14
题型二 定积分的求法
例 1
1 2x2 sin x
I
dx
1 1 1 x2
解
1
x2
I 4
dx
0 1 1 x2
1
4 [1-
1 x2 ]dx
积分的求法 10
例8
1 x
x 1dx x1
解法 1
令 x 1 t,
x1
原式
t2 (t 2 1)(t 2 1) dt 2
(t 2 1) (t 2 1) (t 2 1)(t 2 1) dt
ln 1 t 2arctan t C 1 t