【整体】整体把握数学课程图形与几何
核心素养下“图形与几何”单元整体教学探究
核心素养下“图形与几何”单元整体教学探究作者：胡静来源：《少男少女·教育管理》2023年第09期摘要：文章从剖析小学数学“图形与几何”的教学现状入手，提出以单元整体教学为切入口，拟通过课例“体积和体积单位”，研究如何利用单元整体教学促进学生的数学核心素养的发展，从而优化教学并提高课堂质量，为课程实践提供参考。
关键词：核心素养；单元整体教学；图形与几何2022年新修订的义务教育课程方案和课程标准的颁布，标志着基础教育课程改革全面步入核心素养时代。
通过深入学习课标，发现提倡“探索大单元教学”“重视单元整体教学设计”来优化教学。
一、对小学数学“图形与几何”教学现状的分析小学“图形与几何”一直是小学数学课程中的一个重要内容。
然而，传统的小学数学“图形与几何”教学存在着一些问题。
部分教师仍只注重孤立的课时设计，忽视了从单元角度进行整体化教学的探索，这无法满足学生的核心素养发展的需求：1. 教学的碎片化与狭窄化，将单一知识点作为学习任务设计，忽视教学主题，限制了学生在数学领域的学习深度和后续发展。
2. 教学忽视知识内容的本质联系，缺乏清晰的主线引领单元教学，难以构建网络化的知识体系。
3. 教学过于注重知识的讲述，而轻视过程的探究。
缺乏对学生高阶思维的培养，从而导致学科育人价值大打折扣。
数学核心素养具有“整体性、一致性、阶段性”的特征，教师要在教学过程中精心选择、整合和设计适合学生数学学习的内容，以构建数学内容与核心素养之间的桥梁。
二、明确单元整体教学定义与实施要素（一）单元整体教学定义单元整体教学是教师在全盘考虑新课标对小学数学的内容要求和学业要求的前提下，在对教材及学情充分分析的基础上，根据教材的自然单元或由几个相同学科本质的单元组合成的大单元，抓住同个学习主题，组织学生进行数学探究活动，让学生不断感悟数学思想，深入理解数学知识的内涵，更好地发展学生核心素养。
（二）单元整体教学实施基本要素单元整体教学要从学习主题、学习目标、教学活动及学习评价四个基本要素展开。
整体把握小学数学课程的目标和内容
小学数学课程与教学基础
21世纪小学教师教育系列教材
《义务教育数学课程标准（2022年版）》将其纳入“数量关系”主 题。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“数量关系”单独作为一 个主题，将更加集中地对学生核心素养起到积极的作用。关于 “数量 关系”，2022版新课标指出：“‘数量 关系’主要是用符号（包括 数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体 情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意 义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和 初步的应用意识。
的一致性，形成运算能力和推理意识。”
小学数学课程与教学基础
21世纪小学教师教育系列教材
“数与运算”主题的学习与学生的核心素养的培育密切 相关，涉及的核心素养主要包括数感、符号意识、运算能 力和推理意识。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对三个学段的内 容进行了适当的调整。
• 第一学段增加的内容有“感悟运算之间的关系”“通过数的大小 比较，感悟相等和不等关系”；
在这三个学段，通过相关内容的学习，逐步发展学生的 数感、符号意识、运算能力、推理意识。
• 第一学段主要通过万以内数的认识、四则运算的意义、简单整数 四则运算的内容；
• 第二学段主要通过万以上数、分数和小数的认识，以及四则运算 和运算律的内容；
• 第三学段主要通过分数和小数的意义及四则运算的内容。
小学数学课程与教学基础
小学数学课程与教学基础
21世纪小学教师教育系列教材
一、“数与代数”领域课程内容的发展和
变化
１．“数与运算”主题的演变
从大纲的演变情况可以看出：一直到1978年，大纲均 对计算提出了“正确、迅速”的要求，1978年之后开始关 注计算能力的培养，逐步精简笔算的数据，从1986年大纲 起， 增加了估算，对口算和估算能力的要求逐步增强。
小学数学《图形与几何》教学研究
小学数学《图形与几何》教学研究《小学数学《图形与几何》教学研究》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！研修内容1.影响小学数学空间与图形领域中几何概念课堂教学有效性的因素分析。
影响小学数学空间与图形领域中几何概念课堂教学有效性的原因有好多种，通过对本课题的研究，找到影响小学数学空间与图形领域中几何概念课堂教学有效性的因素，然后进行针对性地矫正。
2.探究优化小学数学空间与图形领域中几何概念课堂教学的策略。
(1)有效的情境创设策略(2)有效的合作与交流策略(3)有效的课堂练习策略本。
3.如何界定和评估一节小学数学空间与图形领域中几何概念教学是否是有效教学，学生的学习是否是有效学习?本课题按照新课标要求，以小学数学《空间与图形》中位置、观察物体、图形与变换三个方面概念教学的有效性研究为重点，围绕“有效的几何概念课堂来自于教师的有效教学行为”、“有效的几何概念课堂关键看学生的学习状态和效果”等理论假设，通过文献研究法、调查法、个案研究法、比较分析法、经验总结法等多种研究方法，着力探索小学几何概念教育中优化教学策略、增强课堂效率、提高教学质量的有效途径。
一、课题立项研究背景。
我国过去的数学教学大纲、教材经历过数次改革，但从过往“几何”的课程内容和目标看，小学阶段主要侧重于长度、面积和体积的计算，较少涉及三维空间的内容。
同时，由于教学内容呈现方式比较单一，使学生的空间观念、空间想象力难以真正有效的发展。
又由于几何内容的过分抽象化和形式化，缺少与现实生活紧密联系，使直观优势没有得到充分发展，“空间与图形”(几何)的教育价值就不能得到全面、充分的体现。
因此，我国最新颁布的《数学课程标准》已把“几何”扩展为“空间与图形”，明确了“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。
正因为位置与方向、观察物体，图形变换等知识多是新教材中的新增内容，不少教师对编排这些内容的重要意义认识不足，对这些教学内容缺乏研究，或者对新编内容的不适应而难以制定出合理的教学策略，使教学不能得心应手。
0001小学数学《图形与几何》课堂中的导学策略之管见20140326上交正稿00001
小学数学《图形与几何》课堂中的导学策略之管见岱山县高亭小学陈佳斌导学案是经教师集体研究、个人备课、再集体研讨制定的，以新课程标准为指导、以素质教育要求为目标编写的，用于引导学生自主学习、主动参与、合作探究、优化发展的学习方案。
它以学生为本，以“三维目标”的达成为出发点和落脚点，是学生学会学习、学会创新、学会合作，自主发展的路线图。
导学案的实施是以教学目标、学生学情为依据设计的引导学生进行自主学习的教学方式。
这种教学方式体现了“先学后教，以学定教”的教育理念。
我们在图形与几何课堂导学案实施中，在如何引导学生有效学习，化解《图形与几何》教学的难点，总结了以下五条教学策略。
一、创设情境引入问题的策略创设良好的教学情境，能让学生从课堂教学中感受到快乐，从而对数学产生浓厚的兴趣，而情境中的问题，既可以指引学生思维的方向，又是促进学生学习的动力。
因此，在导学课堂中，要创设生动、有趣、贴近生活的问题情境，并通过这样的问题情境来调动学生学习的主动性，使学生积极快乐地投入到学习活动中来，让他们主动的获取知识、发展思维。
例如，《圆的面积》教学中，师：课件出示情境图。
从中你发现了什么数学信息？生：我发现工人叔叔在一个圆形的花坛里铺草坪。
师：根据这些信息，你能提出什么数学问题？生：叔叔需要铺多少面积的草坪？师：要求出这个花坛里面草坪的面积，就是求什么？生：求圆的面积。
师：老师这里有两个圆形的纸片，你看是哪一张大？生：白色的大。
师：到底大多少呢？你会计算这两个圆的面积吗？生：不会师：那么，我们一起来研究如何计算圆的面积。
创设计算花坛的面积和比较两个圆形纸片面积大小情境。
激起了学生迫切想解决问题的愿望，自然产生了探究数学知识的浓厚兴趣。
教师根据《图形与几何》教学内容的特点，从学生已有的知识和生活经验出发，以音像、图形、故事、游戏操作等形式，创设有效的教学情境，能够使学生触景生情、触景生问，由此引入要解决的数学问题，为课堂教学的内容服务，体现数学知识本身的特点。
图形教学应整体把握图形的本质特征
s h o u l d use w a ter t o w a ter t h e f lo wers .W e s h o u l d turn o ff t h e t a p a fter we w a s h h a nds .W e s h o u l d reuse a nd re cycl e t h i n g s …最后追问学生：A s students ，w h a t s h o u l d we d o ?在课堂上以多种形式进行成果展示。
在项目学习中，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，并且再发现、再分析和再解决中螺旋上升，让学生在解决问题的过程中不断提升思维能力，获得自信和成功体验。
3.建立学习共同体，助力绘本学习项目学习应重视学习共同体的存在，鼓励合作学习。
以小组形式开展，小组成员通过相互学习，取长补短，共同承担任务、分享技能，并在这一过程中，认识到每个人的价值。
在绘本课堂教学中，教师常常会给学生设计一个微型项目学习。
在此学习中，同样体现小组合作的特点。
以Pets heroes 一课的教学为例，教师设计这样一个环节：A c t t h e st o r y 。
小组中每个成员必须选择其中一个故事，合理分配角色，把文本改编成对话，并且成员之间互相配合，共同完成故事的表演。
看似简单，其实需要小组成员发挥集体和个人的力量，才能出色完成表演。
当学生看到精彩表演赢得老师、同伴的认可时，也增强了学生的成就感和自信心。
这种真实的实践训练，也在无形中提高了学习积极性，增强了学生彼此之间的合作意识。
在绘本教学中，我们站在学生成长的视角，通过情境问题，设计项目学习的主题，在合作学习中，将学习与学生的生活世界关联起来，从而在教学中开拓学生的学习思路，诱发学生的内驱力，发掘学生的学习潜能，培养学生分析、解决问题的能力，提高他们的创新思维的能力。
参考文献[1]马克姆.P B L 项目学习[M].上海：光明出版社，2017.[2]刘景福，钟志贤.基于项目的学习（P B L ）模式研究[J].外国教育研究，2002（11）．[3]沈书生.学科教学中项目融合与设计[J].数字教育，2016（02）．[4]费如春.小学英语培养思维能力的策略研究[J].中小学英语教学与研究，2017（09）.[5]徐连美.项目学习在小学英语教学中的实践研究[J].新课程（中），2017（03）.[责任编辑：王颖]图形与几何是小学数学教学的核心内容。
整体视域下小学数学“尺规作图”教学问题与策略研究
整体视域下小学数学“尺规作图”教学问题与策略研究【摘要】“尺规作图”作为2022版新课标“图形与几何”领域中新增加的内容，有着非常重要的学习和研究价值。
在小学落实“尺规作图”教学不仅能锻炼孩子的动手操作能力，培养孩子的逻辑推理能力，更能帮助孩子积累作图语言，把握知识本质。
作为教师，我们应该基于整体视域，围绕素养发展目标，对学习内容进行统整和适当补充，采取积极有效的策略，落实学习内容，引领学生更好地与初中学习接轨。
我我【关键词】尺规作图整体视域数学素养教学策略史宁中教授指出运用“尺规作图”的方法不仅能帮助孩子积累操作经验，促进学生数学逻辑思维的形成与发展，帮助学生从整体上把握知识的本质，更能培养严谨求实的钻研态度。
一、“尺规作图”教学在小学数学教学中的现状分析1.教材没有课例一直以来“尺规作图”都是初中图形与几何领域的必修内容，也是该阶段孩子必须要掌握的基本技能。
而当下小学阶段的各版本教材中只在第三学段（六年级）教材中安排了关于用圆规画圆的方法（那是学生刚刚接触圆规的开始），其它如画线段、画角、画平面图形，等相关的画图内容都只是利用带刻度的直尺、三角尺、或量角器来完成，所以严格来说，小学阶段的“尺规作图”在教材中是找不到课例和参考依据的。
2.教师没有意识正是因为没有教材可依，所以鲜少有教师开设过“尺规作图”的课程教学。
老师们认为小学阶段学生即使是利用直尺、三角尺和量角器等工具也能达成“画图”的目的，并且长期以来也都是这样教学的，所以老师们不太愿意涉及未开垦的新领域，也有老师认为“尺规作图”到初中才会接触，没必要越俎代庖，提前教学，以免造成知识混乱。
3.课标没有规定。
2011版课标中对小学“画图”教学的要求是：掌握初步的测量、识图和画图技能；了解几何体和平面图形的基本特征，能在方格纸上画出简单图形和运动后的图形，掌握测量、识图和画图的基本方法。
这种要求与“尺规作图”还是有所区别的，因为“画图”的概念是非常笼统的，没有明确的学习目标，也没有作出具体的教学指导，所以这也是“尺规作图”教学不受重视一个重要原因。
小学数学大单元整体教学内涵及实施策略
小学数学大单元整体教学内涵及实施策略《义务教育数学课程标准( 2022年版）》在课程理念中明确确立以形成和发展学生数学核心素养为导向的新课程目标，并指出核心素养具有整体性和一致性特点，数学课程内容作为实现课程目标的主要载体，在其课程内容的设计上提出以相对稳定的学科体系中结构化的课程内容落实课程目标，为了进一步落实新课程理念，在课程实施特别是教学建议中重点强调了在课程内容的把握上要从整体注重其结构化以及与核心素养的关联，在教学方式上重视从单元整体教学设计等方面落实课程目标。
笔者在新课标以及整体观念的观照下结合教 学实践谈一谈对小学数学大单元整体教学的认识、理解和实施策略，与各位同仁商榷。
一、小学数学大单元整体教学的内涵数学课程内容是按照领域、主题、单元、课时内容把知识按照一定的结构框架进行编排的，层级结构分明。
崔允潮指出，单元是一种学习单位，一个单元就是一个学习事件、一个完整的学习故事，一个单元就是一个微课程 。
笔者理解的单元非当下教材编排的自然 单元，而是基于某个数学领域的一个主题下的多个课时内容组合，内 容可能是跨自然单元的，称为大单元。
从课程目标的角度而言，小学数学核心素养的整体性体现在数学眼光、数学思维和数学语言三大方面，包含数感、量感、符号意识等 11个主要表现。
从课程内容的角度而言整体，整个义务教育阶段的数学课程内容分为数与代数、图形与几何等四个学习领域、七个主题，每个主题分为若干个大单元。
从教学实施的角度而言整体，教学是一个完整的有目的、有计划、有组织的教师的教和学生的学的双边活动过程，教师的教和学生的学构成了传统意义上相对完整的教学整体。
因此，笔者理解的整体是包含了课程内容整体、素养整体和教学整体的三位一体的整体 。
小学数学大单元整体教学是在数学新课程标准的理念指导下，通过对数学课程内容的整体把握、优化处理，根据教学或教研的需要对一个主题范围内的多个课时内容在尊重自然单元的基础上整合形成新的大单元，经过整体设计和系列教学程序，帮助学生对数学教学内容整体理解和把握，形成相对完整的认知结构，逐步培养学生的数学核心素养的教学活动。
整体思想在初中数学解题中的应用——以“图形与几何”问题为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。
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【关键字】整体整体把握数学课程——图形与几何如何整体地认识“图形与几何”？构架初中“图形与几何”的基本脉络是什么？我建议老师们可以从以下几个脉络或角度梳理初中“图形与几何”的内容。
1．图形与图形分类2．图形间的基本关系3．初中阶段研究图形基本思想方法希望老师们注意以下几点，这些脉络之间并不是“两两不交的”，而是相互影响，相互补充；研究图形是数学的任务，应该站在整个数学上理解研究图形的方法，几何不等于欧氏几何。
在下面我们给出简单的分析，供老师们参考。
1．图形与图形分类学生对几何图形的认识，是学习几何学的开始，这已经从小学就开始了。
在小学，学生认识了点、线（包括线段、射线和直线）；在初中，学生认识了由线构成的几何图形，有三角形、四边形以及其它多边形，还包括由曲线构成的圆形等；认识了一些简单的几何体，如正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等；在高中，学生对几何体的认识更进一步，从定性和定量两个方面研究了空间几何体的性质。
到底要研究哪些图形，我们建议老师们从这样几个角度对图形进行分类：●维数：三维图形：体。
包括柱、锥、台、球等。
二维图形：面或面的一部分。
三维图形的展开图即为二维图形，例如柱和锥的展开图。
在初中阶段我们所研究的二维图形大都是平面图形，但并不是所有二维图形都是平面图形，例如：球面。
一维图形：线。
包括直线、射线、线段、曲线和一些几何图形的边界，如圆的边界、椭圆的边界等。
0维图形：点。
●直曲：直线型：线性的，例如：直线、平面等。
曲线型：非线性的，例如：球、球面等。
事实上，直和曲的问题一直是数学中最为重要的问题。
例如，在“微分”中，我们常用“以直代曲”的方法，将曲面梯形的面积用过剩长方形或不足长方形的面积作为近似替代。
这一思想从小学阶段开始就要不断地渗透给学生。
不论是按照维数去分类，还是按照直曲去分类，大家一定要有一个看图形的办法。
从基本图形展开到所有图形，一定要清楚哪些图形是基本图形。
这些基本图形是进一步认识图形、进一步学习数学的基础。
●正方形：正方形是学生最早接触和认识的图形，所有涉及到面积的一类图形都可以由正方形派生出来。
面积的基础就是正方形，有了正方形的面积可以把矩形、三角形、平行四边形、梯形等直线型图形的面积都说清楚，还能够帮助我们讨论曲边图形的面积。
●长方形：长方形是学生最早接触和认识的图形，小学一年级用于书写汉字方格纸可以勾勒出各式各样的长方形。
到初中，学生开始学习平面直角坐标系，如果将所有的整点标出来，也给人长方形的形象。
●长方体：长方体是日常生活中最为常见的几何图形，很多数学内容的学习都是在直角坐标系中进行的，特别是空间直角坐标系。
而长方体是学习空间直角坐标系看得见、摸得着的具体载体，所以它为学生的后续学习奠定了非常好的基础，它将贯穿学生后续几何学习的始终。
在教学中，很多教师都是这样做的：在概念学习时，用长方体帮助学生认识空间点、线、面的概念，学习线线平行、线线相交、异面直线、面面平行、面面相交、线线笔直、线面笔直等概念；学习公理时，通过长方体帮助学生直观感知、操作确认；学习性质定理和判定定理时，先通过长方体帮助学生对理解定理有一个比较直观、自然的思路，然后再用数学语言完成对性质定理的证明。
最后，在解决立体几何问题时，注重让学生先找出长方体模型，将问题中的图形嵌套在长方体中。
●圆、球：圆和球也是非常重要的几何图形，它们不但具有十分好的对称性，而且还是极坐标系和球坐标系建立的基础。
在所有的几何图形中，长方体是最重要的几何模型，它在帮助学生认识位置关系、度量关系和几何直观上发挥着十分重要的作用。
2．图形间基本的关系在前面我们已经指出一些关系是值得我们关注的，例如位置关系、度量关系。
位置关系包含平行与笔直（相交），除此之外还要关注图形之间的对称、重合、全等、相似、投影等位置关系。
以位置关系为例，平行和笔直是几何中最基本的位置关系。
在立体几何中，重点研究了线线、线面、面面的平行和笔直关系，在解析几何中，利用解析法重点研究线线的平行和笔直。
平行和笔直的重要性，主要是因为直角坐标系（包括平面直角坐标系和空间直角坐标系）都是基于这两种位置关系而建立的。
在物理中，矢量的合成与分解，最常见的也是正交（笔直）分解。
●平行：平行是几何学中一个重要的内容，平行就是两个最基本的图形（线线、线面、面面等）没有公共点。
在欧氏几何里，用综合几何的方法解决两条直线平行的判定和性质；在立体几何里，同样是用综合几何的方法，不但处理线线平行，还处理线面平行和面面平行；在解析几何里，处理平行的手段更多的是用计算的方法，看两条直线斜率之间的关系。
●笔直（相交）：笔直是几何学中另一个十分重要的概念，也是几何学研究的重点内容。
在平面几何中；主要研究两直线笔直，即两条相交直线所成的四个角都是直角，一般总是将它们置于基本图形中（如等腰三角形的三线合一，长方形、菱形的性质等）；在立体几何中，主要是研究线面笔直和面面笔直，而对于这些笔直的研究都是将其转化为线线笔直的；解析几何中对笔直的研究更加单纯，主要是为了利用解析法看两条直线斜率之间的关系。
下面我们以平行为例，从几个角度去理解平行。
平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等去理解平行。
①从公理的角度：平行存在一系列等价命题。
两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（内错角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（同旁内角互补，两直线平行）；三角形内角和180°等。
②从位移的角度：在中学阶段，所涉及到的变换主要有全等变换、相似变换和反演变换。
其中初中阶段最为常见的还是全等变换中的平移变换、旋转变换和翻折变换。
平移变换是指由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等距离的图形变换。
平移变换最核心的概念就是平行，理解了平行就能够更好地理解变换和位移的概念。
③从掌握反映平行的基本图形的角度：由此可以看出，平行在初中数学学习阶段所学位置关系中所占的重要性，教师要帮助学生多掌握些反映平行的基本图形，比如说正方形、长方形、平行四边形和梯形等。
反过来从基本图形的角度去看，所有基本图形中边的关系中都存在着平行关系。
④掌握与平行有关的重要结论：初中阶段有很多需要学生掌握的定理及推论都与平行相关。
例如：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线等分线段成比例等重要的结论；三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（三角形中位线定理）；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（梯形中位线定理）。
⑤从平行和度量关系的角度：下面我们以平行为例从几个角度去理解平行，平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等多个角度去理解平行。
下面我们再以对称关系中的轴对称为例，从几个角度去理解轴对称。
对称关系是反映图形性质的基本关系，是初中阶段重要的知识内容。
①从一个图形的角度看：一个图形是对称图形是指图形按照给定的直线翻转180°后与原来的图形是重合的，如：等腰三角形、圆形；②从多个图形的角度看：两个图形关于一条直线是相互对称的；③从运动的角度看：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫做反射变换。
即一个图形相对一条直线翻转后得到一个新的图形。
④与其它知识的联系：在对称变换下图形之间是彼此全等的。
当然，除了平行和垂直，在几何中还研究其它的位置关系，如两直线的相交和异面，不互相垂直两个相交平面等，要刻画这些位置关系，就需要进行度量，要么用距离，要么用角度，这就涉及到度量关系。
度量关系是中学阶段最基本的研究对象，也是高中阶段最关注的基本问题。
在中学阶段涉及到的这些度量都是直线型的，它为我们精确地研究几何图形的位置关系提供了方法。
在中学阶段，所涉及的基本度量有长度（距离）、角度、面积和体积等。
譬如在研究两异面直线时，仅用角度或仅用距离都不能精确地刻画它们，需要这两个量同时参与才可以。
随着学习的深入，所有这些度量到了大学都可以用积分进行解决，特别是对于曲线型的几何图形的周长、面积、体积等。
在这里我们就不展开了。
3．初中阶段研究图形的基本思想方法在中学阶段，研究几何常用的方法主要包括综合几何的方法、向量几何的方法、解析几何的方法，另外还有变换几何的方法（用旋转、对称、翻折等方法研究几何性质）和分析几何的方法（用函数及与函数有关的性质讨论图形）等。
在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形，是研究几何的通性通法。
●综合几何：通过大家都承认的定义、公理和公设等事实出发，根据推理法则得到新的结果，这样的过程我们称它为综合几何的方法。
这是教师们非常熟悉的一种方法，是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。
下面我先举一个例子说明综合几何的方法。
证明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
要想证明这一定理，首先大家要承认以下定义：①三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
②三角形内角的定义如图，线段AB，BC，CA是三角形的边，点A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。
③三角形外角的定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD。
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
④平角的定义一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
平角的角度是180°。
⑤三角形内角和定理任意一个三角形的三个内角和等于180°（三角形内角和定理）。
然后根据一定的推理法则进行证明即可。
这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。
例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理），利用三视图研究空间几何体等。
在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。
●变换几何：通过图像的运动发现图像的性质是解决几何问题的一种重要办法，通常称为几何变换的办法。
变换几何的方法为我们研究几何图形的性质提供了一个全新的视角，它不再是单纯地认识几何图形，而是在运动、变化中认识几何图形，更能发现几何图形最核心、最本质的性质。
譬如，平行四边形有很多的等价定义，但最为本质的还是对角线的交点是它的对称中心；还有我们最为熟知的图形——圆，它最本质的性质是有无数条对称轴。