2012年高考理科数学(新课标卷)答案

1..选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法. 2..选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案. 3..选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4..选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 所以34c e a ==.5..选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6..选C.7..选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，1132323932V =⨯⨯⨯⨯=.8..选C.易知点()4,23-在222x y a -=上，得24a =，24a =.9. .选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10..选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. .选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312O ABC V -=⨯⨯=，226S ABC O ABC V V --==12..选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离122xx e d -=.令()12x f x e x =-，则()112x f x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1ln 2-.所以122x x e d -=122xe x-=，min 1ln 22d -=. 所以()min min ||221ln 2PQ d ==-.13..32.由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=-a ab +b 242210=-=b +b ，解得=b 32.14..[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点()1,2时，Z 取最小值3-；当直线2Z x y =-经过点()3,0时，Z 取最大值3.故2Z x y =-的取值范围为[]3,3-. 15..38. 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16..1830.由1(1)21nn n a a n ++-=-得，22143k k a a k --=-……① 21241k k a a k +-=-……②,再由②-①得,21212k k a a +-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a -=-+-+-+奇偶…()6059a a +-159=+++…117+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.17.解：(Ⅰ)法一:由cos 3sin 0a C a C b c +--=及正弦定理可得sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C +--=, ()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,3sin sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,3sin cos 10A A ∴--=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos 3sin 0a C a C b c +--=可得，2223sin 02a b c a c A b c ab+-⋅+--=，即222223sin 220a b c bc A b bc +-+--=，222223sin 220a b c bc A b bc +-+--=2223sin 12b c a A bc +--+=，即3sin cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)3ABC S =△，13sin 324bc A bc ∴==，4bc ∴=，2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.18.解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X60 70 80X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为X 55 65 75 85 P0.10.20.160.54X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 12DC DC a ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，12DC a =，15BC a =，又已知BD DC ⊥1，3BD a ∴=.在Rt ABD △中，3,,90BD a AD a DAB ==∠= ， 2AB a ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，111212sin 22aC EC DE C Da ∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . P0.1 0.2 0.7同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则 121233cos 262n n n n θ⋅===⨯, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. 解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l 的距离2d FB FD p ===.由42ABD S =△得,11224222BD d p p ⨯⨯=⨯⨯=, 2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得3A x p =. 直线m 的斜率为333AF p k p==.直线m 的方程为3302p x y -+=. 由py x 22= 得22x y p =,xy p'=.由33x y p '==得, 33x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为3,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 直线n 的方程为3306px y --=. 所以坐标原点到m ，n 的距离的比值为343312pp =.21.解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意; (2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00,()0u x x e u x x e ''>⇔<<<⇔>,所以当x e =时, ()u x 取最大值()2e ue =. 故当1,2e a e b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x xf ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .22.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.23.解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)-、(1,3)--、(3,1)-；(Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++()()2212cos 33sin ϕϕ=-+-()()2232cos 13sin ϕϕ+--+-()()2212cos 33sin ϕϕ+--+--()()2232cos 13sin ϕϕ+-+--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立， 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-。