4.6 反函数举例
反函数-高中数学知识点讲解
反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
1/ 1。
高三数学复习反函数
2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展 若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是C解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x . 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g（x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1. 8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx -+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx -+11＞1.当a ＞1时， 原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0. ∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。
反函数通俗简单例子
反函数通俗简单例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：反函数是函数的逆运算。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的函数，而反函数就是对这些函数进行逆操作的一种方式。
反函数的概念非常重要，它不仅帮助我们理解函数的性质，还有助于解决一些复杂的数学问题。
在本文中，我们将通过通俗简单的例子来介绍反函数的概念和应用。
让我们来看一个简单的函数：f(x) = 2x + 3。
这个函数表示输入一个数x，然后将它乘以2再加上3，得到的结果就是函数的输出。
当x=2时，f(2) = 2*2 + 3 = 7。
这样，我们就可以得到函数的输出值。
现在，我们想要找到这个函数的反函数。
反函数的定义是，如果对于函数f的任意输入x，通过反函数得到的输出是f的输入，那么这个反函数就是f的逆运算。
为了找到函数f的反函数，我们可以按以下步骤进行：将函数f(x)中的x替换为y，得到等式：y = 2x + 3。
反函数的概念还可以通过图像来理解。
如果将函数f(x) = 2x + 3表示为直线，在平面直角坐标系中，那么函数f的反函数就是这条直线关于y=x对称的一条曲线。
这是因为反函数的性质是，它的输出值和输入值互换，所以反函数的图像就是原函数关于y=x对称的曲线。
反函数是函数的逆运算，它是对原函数的输入和输出值进行互换的一种操作。
通过通俗简单的例子，我们可以更好地理解反函数的概念和应用。
希望本文能对你有所帮助，如果有任何疑问，欢迎留言讨论。
谢谢！第二篇示例：在数学中，我们常常会遇到函数和反函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
而反函数则是函数的逆运算，它将原函数中的值映射回原来的自变量。
为了帮助大家更好地理解反函数的概念，下面以一个通俗简单的例子来说明。
假设有一个函数y = 2x + 3，我们可以将其表达为一个映射关系：对于任意输入的x，函数会根据表达式2x + 3计算出对应的y的值。
当x = 1时，y = 2 * 1 + 3 = 5；当x = 2时，y = 2 * 2 + 3 = 7。
第一册反函数
第一册反函数教学目标1。
使学生了解反函数的概念；2。
使学生会求一些简单函数的反函数；3。
培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点1。
反函数的概念；2。
反函数的求法。
教学难点反函数的概念。
教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。
（记作A）；第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2。
4。
1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x 在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。
（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。
）在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y 都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y，前者中的y是后者中的x。
）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
高一数学反函数知识精讲
高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。
如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。
在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。
习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。
2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。
3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。
（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。
（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。
特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。
数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件
概念辨析
辨析1：下列函数是否具有反函数？
(1) y 1.8x 32 (2) y x2 1 (3) y x2 1, x 0
课题引入 概念探求
概念辨析
辨析2：下列各图中，能成为某个具有反函数的函数y=f (x)的图像是（ ） 练习4.5/1
课题引入概念探求
课堂练习
课题引入 概念探求
-20
O
20
40
x 60
80
100
120
-10
-20
-30
-40
-50
-60
书到用时方恨少、事非经过不知难。 感情久了，就不是爱了而是依赖；失去那阵，那不是痛而是不舍。 教育者应当深刻了解正在成长的人的心灵……只有在自己整个教育生涯中不断地研究学生的心理，加深自己的心理学知识，才能够成为教育工 作的真正的能手。——苏霍姆林斯基 友谊使欢乐倍增，悲痛锐减。——培根 用最多的梦想面对未来。 一个今天胜过两个明天。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 一句“好孩子”能让学生看到自己的进步与价值，而一句“坏孩子”学生会丧失进去的信心和斗志，甚至毁灭一生。——王玉章 家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗
(b, a)
4、求解反函数的三个步骤
1、y把 f(x)看作x的 关方 于程 x， f1(y)解 ；出
2、按函数的习惯表 写示 为y改f 1(x)；
3、写出反函数的，定即义原域函数的 . 值域
课题引入
概念探求
例题举隅
归纳小结
作业与思考
作业：反函数学案 思考：函数及其反函数图像的关系。
课题引入
概念探求
中小学优质课件反函数图像课件.ppt
…
…
1
1
x2
4y
-2
-8
…
…
x y2
3
思考：
1.下列函数是否具有反函数？并由此 归纳具有什么条件的函数有反函数？
（1） y=x2 ； （2）y=x2 (x≤0)。
2.互为反函数的两个函数的解析式是 否一定不同？试举例说明。
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点；交点都在直线y=x上吗？
作业与练习：
(1)练习：已知函数f (x) kx b的图像 过点（1，2），它的反函数的图像过 点（4，0）试求f (x)的解析式。
（2） 作业：p64 4, 5. (3) 金版名卷：反函数A卷
y 3x 2的反函数是
y x 2 (x R) 3
B(-2,0)
图像关于直线
A(0,-2)
y=x对称
例2 求函数y x3(x R)的反函数; 在同一坐标系中画出原函数 和它的反函数的图像。
解： y x3 x 3 y y x3的反函数为y 3 x(x R)
结论：(1)函数y f (x)的图像和他的反函数 y f 1(x)的图像关于直线y x对称
结论（2）原函数的单调性与 其反函数的单调性相同。
结论3：若y f (x)有反函数y f 1(x) 则y f (x)与y f （ 1 x）互为反函数。
思考：函数y 3x 2与x y 2图像 3
关于直线y x对称吗？
答：重合；在同一坐标系 中横轴表示 自变量。
一 一对应
R y=3x-2 R
互为反函数图像间的关系
一。知识回顾：
反函数的求法:
①反解→②互换→③注明定义域
原函数
反函数
反函数第二节课件
反函数与映射的关系
反函数是映射的逆过程
映射是从一个集合到另一个集合的规则，而反函数是将这个规则逆转，从值域回到定义域。
映射和反函数都涉及到集合之间的对应关系
映射定义了两个集合之间的对应关系，而反函数则是在这个对应关系的基础上，将一个集合中的元素映射回另一 个集合中。
05
反函数的注意事项
反函数与函数图像的对称性
这意味着原函数和反函数在各自的定义域和值域内具有相 反的对应关系。
反函数与复合函数的关系
反函数可以视为复合函数的逆过程
复合函数是将一个函数的值作为另一个函数的自变量，而反函数则是将一个函数 的值作为另一个函数的因变量。
复合函数和反函数都涉及到多个函数的组合
通过复合函数可以将多个函数组合成一个更复杂的函数，而通过反函数可以将一 个复杂的函数分解成多个简单的函数。
反函数与函数奇偶性的关系
奇函数的反函数也是奇函数
如果一个函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数。这是 因为奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，而反函数的定义是将原函数 的自变量和因变量互换，所以奇函数的反函数也是奇函数。
偶函数的反函数可能是奇函数
如果一个函数是偶函数，那么它的反函数可能是奇函数。这 是因为偶函数的定义是f(-x)=f(x)，而反函数的定义是将原函 数的自变量和因变量互换，所以偶函数的反函数可能是奇函 数。
反函数第二节ppt课件
CONTENTS
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数与其他概念的联系 • 反函数的注意事项
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数的定义
如果对于函数y=f(x)，存在一个函数 x=f^(-1)(y)，使得对于每一个y值， 都存在一个x值满足y=f(x)，则称 x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
4.5 反函数
解法二： 分析：考虑对称性，从图像出发 反函数
x2 b y ,a 0 a
而（1,2）则是原函数与反函数的交点。
解：将（1,2）代入原函数和反函数 得： a=-3，b=7
反函数图像与性质的小结
1.如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数, 那么它们一定关于 y=x 对称。
2.原函数和反函数图像具有对称性
反函数的图像与性质
问题：
原函数和反函数的图象之间
有什么关系？
反函数的图像与性质
观察下列函数（），它们是否有反函数？
yx
1 y x
xy
1 x y
2
无
y 3x
y 3x 1
y -1 x 3
yx
3
x3 y
反函数的图像与性质
提问： 1.函数y=f(x)在其定义域内满足什么条件才有反函数? 2.如果函数y=f(x)在其定义域内单调,那么它是否一定存在反函数? 3.如果函数y=f(x)在其定义域内为常数函数,它是否存在反函数?
对定义理解:
1. f －1(x)是一个完整的符号，不是f或f(x)的负一次方 2.反函数还是函数吗？
是
3.反函数的定义域和值域与原函数的值域和定义域之间关系？ 4.所有函数都存在反函数吗？
反函数的定义
(3)反函数与原函数的定义域与值域关系如何？
定义域
值域
答：y=f(x)中的x、y分别与 y= f－1(x)中的y和x意义相同。
可以观察到，对于题目中一次函数： 原函数斜率k1=3 反函数斜率k2=1/3 而k1×k2=1 观察更多一次函数的例子 所以：特别的对于一次函数， 原函数与反函数斜率乘积为1 （斜率不为0和无穷）
反函数的图像与性质
高一数学反函数课件
反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函 数也是单调增函数；如果原函数是单 调减函数，则其反函数也是单调减函 数。
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也 是奇函数；如果原函数是偶函数，则 其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些 特殊的不等式，例如求解 一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以 比较两个数的大小，例如 比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些 数学不等式，例如证明算 术平均数大于等于几何平 均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数 函数的单调性。
当原函数的定义域和 值域都是实数集时， 反函数的图像是可绘 制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐 标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐 标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋 转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。 反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】B
������
6.已知函数f(x)=x2+2x+2,(x≥-1),求f-1(2). 解:设f-1(2)=a,则f(a)=2. 代入f(x)=x2+2x+2, 得a2+2a+2=2, 解得a=0或a=-2. 又f(x)=x2+2x+2,(x≥-1) 则a=0. 即f-1(2)=0.
7.已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1,3),其反函数f-1(x)的 图象过点(2,0). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f-1(x)<2,求x的取值范围. 解:(1)由反函数f-1(x)的图象过点(2,0), 则函数f(x)=ax+b过点(0,2) 将(1,3),(0,2)代入f(x)=ax+b, 得3=a1+b;2=a0+b. 解得a=2,b=1. 所以原函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1. (2)由f(x)=2x+1, 则f-1(x)=log2(x-1),其中x>1, 又f-1(x)<2,得x<5. 又因为x>1, 所以1<x<5. 即所求x的取值范围是{x|1<x<��� ������+������
D.y=
������−������ ������
2.已知函数 f( x) =2 + 3, 则函数 f ( x) 的定义域是 ( A.( 0, + ∞) B.( 3, + ∞) C.( 4, + ∞)
) D.( -∞, + ∞)
【答案】B
三、达标训练 1.函数 y=3+ 2x-1 的反函数 的图象经过点 ．．．
A.( 2, 5)
【答案】C
(
) D.( 3, 1)
B.( 1, 3)
C.( 5, 2)
2.已知点( 1, 2) 在函数 y= ������������ + ������的图象上, 又在其反函数的图象上, 则 ( ) A.a=3, b=7 B.a=-3, b=7 C.a=3, b=-7 D.a=-3, b=-7
������������+������ ������������+������ ������������+������
【小结】 (1)求函数反函数的步骤: ①反解; ②交换x,y; ③注明定义域(原函数的值域). (2)求函数的值域遇到困难时,可以转换到求反函数的定义域.
【例2】 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3),且其 反函数的图象经过点(-3,-2),求一次函数的解析式.
（1,0） 3.若函数 y=f( x) 的图象过点( 0, 1) , 则其反函数图象必过点
������
.
4.若函数 f( x) =3x-b 的图象与函数 g(x) =������-1 的图象关于直线 y=x 对称, 则 b= -3 .
二、探究提高
【例 1】 求下列函数的反函数. ( 1) y=2x; ( 2) y=
2.反函数的性质: (1)函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称; (2)函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域; (3)若函数y=f(x)图象过点(a,b),则它的反函数图象过点(b,a).
(二)基础训练 1.函数 y=2x+ 1 的反函数是 ( ������+������ A.x=2y-1 B.y= ������
【解】 由已知可得: ������ + ������ = ������ , 解得: k=2, b=1. −������������ + ������ = −������ 所以所求一次函数为 y=2x+ 1.
【例3】
已知f(x)=10x+1,则f-1(1000)=
.
【解】 设f-1(1000)=m,则f(m)=1000. 由f(x)=10x+1,则f(m)=10m+1. ∴10m+1=1000,即m=2. ∴f-1(1000)=2.
-1 3.若函数 f( x) =2lo������������ x 的值域为 [ 1 , 1 ] , 则函数 f ( x) 的值域 ������ ������ [ 是 ������ , ������ ] . 4.函数 f( x) =2-lg(x-3) , 则 f-1( x) =y=3+102-x . -1 5.已知 f( x) =100x-1, 则f ( 1000) = ������ .
������������+������ . ������−������
【解】 ( 1) 由 y=2x 得 x=log2y, 即所求反函数为 y=log2x( x>0). ( 2) 由 y= ������−������ , 则 y( x-3) =2x+ 1, ∴x= ������−������ , 即所求反函数为 y= ������−������ ( x≠2).
4.6 反函数举例
【考纲要求】
【学习重点】
1.了解反函数的概念及互为反函数的函数图 象间的关系. 2.会求一些简单函数的反函数. 1.理解互为反函数的函数图象间的关系. 2.求函数的反函数.
一、自主学习 (一)知识归纳 1.反函数的定义:设y=f(x)表示y是以x为自变量的函数,它的 定义域为A,值域为C,从y=f(x)中解出x,得到x=φ(y).如果对于y在 C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对 应,那么x=φ(y)就表示x是以y为自变量的函数.这样的函数x=φ(y) (y∈C)叫做函数y=f(x) (x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改 写成y=f-1(x).