模糊数学与模糊推理

T RS
为合成符号
n
T (tik ) ml
tik ( rij s jk )
j 1
模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样，运算符号不同。
2
合成运算
0.1 0.2 0.3 R 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
关系R可以用矩阵形式来表示。一般形式为：
r11 r12 r1n 0 ( x，y) R R （rij） ，其中rij 1 ( x，y) R rm1 rm 2 rmn
则对上例有：
A×B a>b={(3 ，2) (5 ，2) (5 ，4)} 对A×B施加a>b的条件限制后得到的新的集合定义为关系，记做R 。 则：Ra>b={(3， 2) (5， 2) (5，4)}。
R ( x , y ) [0,1]
y
1
y
x1 x2
1
y
2
y
3
y
2
y
3
y
4
0 1
0 1
0 0

x1 x x
2 3
0 .8 1 .0 0 .1 0 . 7 0 0 0 .8 0 0 .9 1 .0 0 .7 0 .8
或
0 0 0.5 0.8 1 R 0 0 0 0.5 0.8 0 0.5 0 0 0
和A ' 是 X 上的模 模糊推理的数学模型：设 X 和 Y 是两个论域， A 和B ' 是 Y 上的模糊集，模糊推理的数学模型为 糊集， B
, then Y is B If X is A ', If X is A ' then Y is B
要解决模糊推理数学模型的解答，需要解决以下两个问题。
2 3 1 1 2 4 1 2 2 5 1 3 2 6 5 6 3 1 4 4 3 2 4 5 3 3 4 6 15 33

设模糊关系 R ( rij ) mn ，S ( s jk )nl ，则 R 对 S 的合成定义为：
0.5 0.5 0.2 0.2 0.7 0.7 L A B C ( A B ) C 0.9 0.4 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.2 0.3 0.2
（1）关系生成规则
（2）关系合成规则
是 X 上的模糊集， B 是 Y 上的模糊集，怎样描述当 A ，那么 Y 是 B ”这句话并给出数学表达式，这就是 “X 是 A 和 Y 上的 关系生成规则。 关系生成规则是由 X 上的模糊集 A 给出“如果 …，那么…”的数学表达式： 模糊集 B
L运算表示将括号内的矩阵按行写成 mn 维列向量的形式
A (0.5 0.7 0.3) ，B (0.8 0.2) ， C (0.9 0.4) 。求 A B C 0.5 0.5 0.2 解： A B AT B 0.7 0.8 0.2 0.7 0.2 0.3 0.3 0.2
并运算： 交运算： 补运算：
i 1,2, , m ， j 1, 2, , n 。
若所有的 rij 若所有的 rij


sij ，则称 S 包含 R ，或 R包含于 S ，记作 R S 。

sij ，则称 R与 S相等。记作 R S

。
T RS T RS
模糊关系矩阵的转置与普通矩阵的转置相似，即将行和列互相交换，记 作 RT 。

例如：
0.1 0.2 0.3 R 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.1 0.4 0.7 RT 0.2 0.5 0.8 0.3 0.6 0.9
TR
tij max(rij , sij ) ( rij sij )
tij min( rij , sij ) ( rij sij )
tij 1 rij
转置运算
1 2 1 3 4 4 9 12 19 26

合成运算
普通矩阵的乘法运算
1 0 0 0 Ra>b=A 3 1 0 0 5 1 1 0 2 4 6 B
精确关系与模糊关系
精确关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。 模糊关系 表 示 二个 或 二个 以上 集合元 素 之 间关 联 、交 互、 互连是 否存在或不存在的程度。
模糊关系
模糊关系指对普通集合的直积施加某种模糊条件限制后得到的模糊集合。 记作 R表示。模糊关系可用扎德表示法、隶属函数或矩阵形式来表示。
B "。 R "A
' 是 X 上的模糊集，R 表示“如果…，那 A
么…”的关系生成表达式，怎样由 X 上的模糊
' 和“如果…，那么…”的关系 R 得到 Y 集A ' ，即给出运算 上的模糊集 B ' R ' A B
模糊条件语句和模糊推理
三种基本类型的模糊条件语句 在程序设计中，经常用到的三种条件语句
1
当论域为连续区间时，模糊关系 R可用隶属函数来表示。
~
例：设 A与 B均为实数集合， A到 B的一个模糊关系 R的隶属函数为
0 ab R ( a，b) 100 1 [1 ] a b 2 （a b）
它表示的是 a» b的模糊关系。
模糊关系的基本运算
相等与包含
~
当论域元素有限时，模糊关系 R可用扎德表示法表示和模糊关系矩阵 ~ 来表示。 例：设 A和 B为两个不同论域上的普通集合， A=（1 2 3）， B=（1 2 3 4 5），对A×B 施加 a«b的模糊条件限制后得到一个模糊关系为：
R (U ,V ) {( x , y ) | x X , y Y } U , V 是二个精确的集合。
t 22 maxmin( 0.4,0.6), min( 0.5,0.4), min( 0.6,0.1) 0.4
t31 maxmin( 0.7,0.3), min( 0.8,0.2), min( 0.9,0.8) 0.8 t32 maxmin( 0.7,0.6), min( 0.8,0.4), min( 0.9,0.1) 0.6
设同一论域上的两个模糊关系矩阵，R (rij ) ， S ( sij ) ，
并、交、补运算
) S ( 设 R、 S 为同一论域 U上的两个模糊关系矩阵， R (rij， 。 sij ) i 1,2, , m ， j 1, 2, , n 。则其并、交、补运算分别定义为：
关系和模糊关系
模糊关系与模糊推理
关系 是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合。常 用R表示。 例： A=（ 1， 3， 5），B= （2 ，4 ，6 ）则直积集合为： A×B ={(1 ，2) (1 ，4) (1 ， 6) (3， 2) (3， 4) (3， 6) (5， 2) (5， 4) (5， 6)} 对其施加a>b的条件限制，则满足条件的集合为：
1 当只当（ x, y ) R (U V ) R 0 其它。
R(U,V) {(x, y, R(x, y))| (x, y)U V} U,V 是二个论域。
0.5 0.8 1 0.5 0.8 0.5 R （ 1， 3）（ 1， 4）（ 1， 5）（2， 4）（2， 5）（3， 5）
0.3 0.6 0.1 0.2 0.3 0.3 0.6 S 0.2 0.4 R S 0.4 0.5 0.6 0.2 0.4 0.8 0.1 0.7 0.8 0.9 0.8 0.1
幂运算
t11 maxmin( 0.1,0.3), min(0.2,0.2), min( 0.3,0.8) 0.3
R2 R R
R3 R R R
依次类推
t12 maxmin( 0.1,0.6), min(0.2,0.4), min( 0.3,0.1) 0.2 t21 maxmin( 0.4,0.3), min( 0.5,0.2), min( 0.6,0.8) 0.6
AB ( x, y ) [ A ( x ) B ( y)] [1 A ( x)]
0.3 0.2 R S 0. 6 0. 4 0. 8 0. 6
模糊集合的直积
例：设模糊集合 设 A、B 分别为不同论域上的模糊集合，则 A对 B的直积定义为：

A B AT B



三个模糊集合的直积定义为：
A B C ( A B) C ( A B) L C
Βιβλιοθήκη ②若 A 则 B 否则 C 型
若 A，则B否则 C ； A ； 如今 1 B A R 结论 1 1
③若 A且 B 则 C 型
若 A且B，则C； 如今 A1且 B1； L T 结论C1 [( A1 B1 ) ] R
设 A、 B 分别是论域 X、Y 上的模糊集合，其隶属函数分别 为 A ( x) 、 R B ( y) 。又设 A B 是X×Y论域上描述模糊条件语句“ 若A则B型 ”的模糊关 系，其隶属函数为：
三种普通条件语句 模糊条件语句简记形式
模糊推理