海明码精典例题
海明码题型总结
1、在海明码编码方法中，若冗余位为3位，且与错码位置的对应关系为：S2S1S0 111 110 101 011 100 010 001 000错码位置a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 无错则S1的监督关系式为( )。
A. S1=a1+a3+a5+a6B. S1=a2+a3+a4+a6C. S1=a1+a3+a4+a5D. S1=a1+a2+a5+a6a6,a5,a3,a1中任何一位出错，均可使s1为1，由此可得监督关系式为：S1=a1+a3+a5+a6就是别让S1=12、如果信息长度为5位，要求纠正1位错，按照海明编码，需要增加的校验位是A.3B.4C.5D.6k=5,n=k+r, 2^r >=n+1, 得到r=43、已知海明码的关系式：S0=a2+a3+a4+a6S1=a1+a4+a5+a6S2=a0+a3+a4+a5请填充下述S2S1S0值与错误位置的对应表分别他们对应的都是A几(1)先看001, 对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a2+a3+a4+a6，就看S0的四项里哪一项S1和S2里没有，很明显是a2，所以001下面填a2.(2)再看010,对应S2S1S0就是S1=1，即S1出错，而S1=a1+a4+a5+a6，就看S1的四项里哪一项S0和S2里没有，很明显是a1，所以010下面填a1.(3)接着看011，对应S2S1S0就是S0与S1=1，即S0、S1出错，而S0与S1都有a4与a6，而S2无错，S2里有a4,没有a6，所以a6出错。
(4)100中，S2出错，S0与S1中没有a0，所以a0出错。
(5)101中，S0与S2出错，S0与S2里都有a3、a4，S1有a4，所以a3出错。
(6)110中，S1与S2出错，S1与S2里都有a4、a5，S0有a4，所以a5出错。
(7)111中，s1、s2、s3里都有a4，所以a4出错。
4、检测出d个错误，则海明距离至少为d＋1。
海明码题目
海明码：通常讨论的海明码，是一种可以纠正一位错的编码。
思路：是利用在k位信息位中增加r位冗余位，构成一个长度n=k+r的码子编码效率：R=k/(k+r)海明码生成步骤：1、根据信息位确定校验位长度规则：满足公式2r>=k+r+1的最小r就是校验位数，其中k为信息位长度如：信息位为8位，则校验位满足2r>=8+r+1，可得到最小r=4，也就是说校验位要有4位2、长度确定就可以求校验位校验位r n的位置为2n（也就是说都是2的倍数），其余位置由信息位填充例：上述信息位为8位，得到校验位应为4位，在校验位和信息和按照如下表格确定在最终I1I2的位置为5=4+1=22+20I3的位置为6=4+2=22+21I4的位置为7=4+2+1=22+21+20I5的位置为9=8+1=23+20I6的位置为10=8+2=23+21I7的位置为11=8+2+1=23+21+20I8的位置为12=8+4=23+22r n的值等于上述可被r n校验的各个信息位数据的模二相加之和：r0=I1+ I2+ I4+ I5+ I7（模二相加）3、纠错和检错机制题目：信息位8位的海明码，在接收到报文1100 1010 0000，判断传输是否出错，如果是错误的，求出发送端发送的信息位。
1）根据信息位长，可知道校验位长42）根据接收到的报文填充如下的表格3）由表可知：信息位数据位-11000100 校验位数据-10004）根据信息位，结合上面分析的验证关系，可计算出发送端的校验位（模二加法）r’3= I8+ I7+ I6+ I5=1+1+0+0=0r’2= I8+ I4+ I3+ I2=1+0+1+0=0r’1= I7+ I6+ I4+ I3 + I1=1+0+0+1=0r’0= I7+ I5+ I4+ I2+ I1=1+0+0+0+0=1接收端可根据以下关系验证是否出错（模二加法）S3= r3+ r’3=1+0=1S2= r2+ r’2=0+0=0S1= r1+ r’1=0+0=0S0= r0+ r’0=0+1=1最后得到监督位：S3 S2 S1 S0 如果结果全0 表示接收正确，非全0则将之转化为十进制，其对应位置就是出错的信息位，将出错的信息位取反即可得到正确的数据上述结果非全0，二进制为：1001，对应十进制为9，即表明接收到的数据的第9位出错，也就是I5出错，将之由0改为1，可得到发送端信息位为：11010100。
海明码校验例题
海明码校验例题
海明码是一种错误检测和纠正的校验码，它通过在数据中添加额外的校验位来检测和纠正错误。
下面是一个海明码的例题，通过这个例题来演示海明码的原理和计算方法。
题目：求信息1011的海明码。
首先，我们需要确定海明码的长度。
根据海明码的规则，数据位和校验位的总长度应该是2的整数次幂。
在本题中，我们可以选择长度为4的数据位和3个校验位，因此海明码的总长度为7位。
接下来，我们需要确定校验位的位置。
根据海明码的规则，校验位应该位于2的n（n=0，1，2....）次方位置上。
在本题中，我们可以将校验位分别放在第1、第2和第4位上。
然后，我们需要计算每个校验位的值。
海明码的每个校验位都是对应的数据位的异或运算结果。
在本题中，我们可以按照如下方式计算每个校验位的值：
●校验位1的值 = 数据位1 ^ 数据位2 ^ 数据位3 ^ 数据位4
●校验位2的值 = 数据位1 ^ 数据位2 ^ 数据位3
●校验位3的值 = 数据位1 ^ 数据位2
最后，我们将计算出的校验位和数据位组合在一起，得到海明码。
在本题中，我们的数据位为1011，因此我们可以将校验位计算结果放在第1、第2和第4位上，得到海明码为：1011 001 000。
通过这个例题，我们可以看出海明码通过添加额外的校验位来检测和纠正错误。
在实际应用中，海明码可以用于数据传输、存储等领域，提高数据的可靠性和安全性。
海明码纠错
海明码的检测出错介绍2007-11-10 14:57:33| 分类：电脑| 标签：|举报|字号大中小订阅1.如果传输的数据位是m位，加了r位冗余位，那么总共传输的数据单元是m+r 位。
为了能够发现这m+r位数据单元在传输到目的端后是否出错，并能够指明是在哪一位出错，那么r至少应该能够代表m+r+1种状态。
r比特能够代表2^r不同状态。
因此，2^r>=m+r若m=7，则满足上式的最小r值为：4。
海明码的纠错原理海明码的接收端的公式:S3= P3⊕ D4⊕D3 ⊕D2S2= P2⊕D4 ⊕D3 ⊕D1S1= P1⊕D4 ⊕D2 ⊕D1假定海明码1010101在传送中变成了1000101S3= P3⊕ D4⊕D3 ⊕D2=0⊕1⊕0 ⊕0 =1S2= P2⊕D4 ⊕D3 ⊕D1=0⊕1⊕ 0 ⊕1=0S1= P1⊕D4 ⊕D2 ⊕D1=1⊕1⊕ 0 ⊕1=1因此,由S3S2S1= 101,指出第5位错,应由0变12.海明码是一位纠错码，即如果数据在传输过程中有一位出错，则可以知道出错的位数并通过取反将其改正过来。
海明码的基本意思是给传输的数据增加r个校验位，从而增加两个合法消息（合法码字）的不同位的个数（海明距离）。
假设要传得信息有m位，则经海明编码的码字就有n=m+r位。
3.例题1设被校验数据是二进制数01101101,求其海明码二进制存放位置：A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12数据存放的位置：D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8在你的例子中：0 1 1 0 1 1 0 1海明码：C1 C2 C3 C4C1 = D1 + D2 + D4 + D5 + D7C2 = D1 + D3 + D4 + D6 + D7C3 = D2 + D3 + D4 + D8C4 = D5 + D6 + D7 + D8至于为什么，看那个数据的位置编号，D1 在 3 的位置上，而这个的话可以用C1 + C2得到，所以在计算C1的话就可以用这些计算位置码需要用到C1的数据二进制码来加，当1的个数为偶数时，值为0，否则为1。
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海明码问题海明码学习过程探究⾸先了解⼏个概念：1.异或的运算⽅法是⼀个⼆进制运算：1^1=0 0^0=0 1^0=1 0^1=1两者相等为0,不等为1.异或的作⽤：交换两个整数的值时可以不⽤第三个参数。
如a=11,b=9.以下是⼆进制a=a^b=1011^1001=0010;b=b^a=1001^0010=1011;a=a^b=0010^1011=1001;这样⼀来a=9,b=11了。
2.海明码是在原编码的基础上附加1部分代码，使其满⾜纠错码的条件，原编码可将它称为信息码，附加码称为校验码(⼜可称为监督码或冗余码)。
编码效率最⾼。
它属于线性分组码，由于线性码的编码和译码容易实现，⾄今仍是应⽤最⼴泛的1类码。
海明校验的特点不仅具有检测错误的能⼒，同时还具有给出错误所在准确位置的能⼒。
好了现在我们开始看看怎么去求海明码和他是怎样去纠错的。
海明码编码可遵循以下四个步骤：1。
由信息位数，根据海明不等式，确定校验位数2。
确定校验码位置3。
确定校验码的值4。
求出汉明码我们现在具体看⼀下：1.海明不等式2的r次⽅减⼀⼤于等于k+r（根据信息位数，确定校验位数，2^r-1≥k+r，其中，k为信息位数，r为校验位数。
求出满⾜不等式的最⼩r，即为校验位数。
）2.确定校验码位置从理论上讲校验码位可放在任何位置，但习惯上将它放于位置1，2，4，8……等位置。
感觉记住这⼏个位置就⾏，备注：(对于校验位少的可⽤强记法记住所在位置，⽽对于位数较多的强记法就不适⽤，在这⾥介绍1种公式法，不⽤死记硬背，即可求出各校验码的位置。
校验位rn对应的位置为2n，n的取值从0开始，则：r0=20=1 r1=21=2 r2=22=4 r3=23=8将校验位填在表格1对应的单元格内，其余位⽤信息码填充。
表格1中，位数是指数据存放在第⼏位，共11位，⽤In表⽰(n的取值从1⾄11)。
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 位数1 0 0 r3 1 1 0 r2 1 r1 r0 编码)3.确定校验码的值(成功与否的关键)⽤我⾃⼰的话写（带有局限性）：海明码的位号拆分成校验码位号的2的N-1次幂的和如图2.6 备注说明然后校验码的值就等于所校验的所有位值的异或值。
海明码
5 6 6
C1 C2 1 0 7=1 7=0 7=0
0 C4 0
∴ 0011 的海明码为 1000011
3. 海明码的纠错过程
形成新的检测位 Pi
4.2
其位数与增添的检测位有关
如增添 3 位 （k = 3） 新的检测位为 P4 P2 P1 ） 为例， 以 k = 3 为例，Pi 的取值为 P1 = 1
4.2
（按配偶原则配置）试问要求传送的信息是什么? 按配偶原则配置）试问要求传送的信息是什么
∴ P4P2P1 = 110 位出错， 第 6 位出错，可纠正为 0100101， ， 故要求传送的信息为 0101。
练习2 练习 写出按偶校验配置的海明码
0101101 的纠错过程 P4 = 4 P2 = 2 P1 = 1 5 3 3 6 6 5 7=1 7=0 7=0 位错， 第 4 位错，可不纠
六、存储器的校验
1 . 编码的最小距离
4.2
任意两组合法代码之间 二进制位数 的 最少差异 编码的纠错 、检错能力与编码的最小距离有关 L 1 = D + C ( D≥C ) L — 编码的最小距离 D — 检测错误的位数 C — 纠正错误的位数 海明码是具有一位纠错能力的编码 L=3 具有 一位 纠错能力
二进制序号 名称
4.2
1
2
3
4
5
6
7 1
C1 C2 0 C4 1 0 0 1 0 ∴ 0101 的海明码为 0100101
练习1 练习 按配偶原则配置 0011 的海明码
解： ∵ n = 4 根据 2k ≥ n + k + 1 取k=3
二进制序号 名称
4.2
1
2
海明码校验例题
海明码校验例题摘要：1.海明码的概念与原理2.海明码的校验方法3.海明码的例题解析正文：一、海明码的概念与原理海明码是一种用于数据传输时检测和纠正错误的编码方法，由美国数学家海明在1950 年提出。
海明码的主要原理是利用冗余信息来实现数据的校验和修复。
在数据传输过程中，通过增加一定的冗余信息，使得接收方能够检测到传输中出现的错误，并根据冗余信息对错误进行修复。
二、海明码的校验方法海明码的校验方法主要有两种：奇偶校验和CRC 校验。
1.奇偶校验：通过在数据位之间插入奇数或偶数个校验位，使得整个编码后的数据包中1 的个数为奇数或偶数。
接收方在接收到数据后，统计1 的个数，如果与发送方一致，则认为数据传输正确；如果不一致，则说明数据传输出现错误。
2.CRC 校验：CRC（Cyclic Redundancy Check）校验是一种基于循环冗余的校验方法。
在数据传输过程中，发送方计算待发送数据的CRC 值，并将其附加在数据后面。
接收方收到数据后，也对数据进行CRC 计算，然后将接收到的CRC 值与计算得到的CRC 值进行比较。
如果两者相同，则认为数据传输正确；如果不同，则说明数据传输出现错误。
三、海明码的例题解析假设我们有一个数据传输系统，需要传输一个4 位的数据包，为了保证数据的正确性，我们希望在传输过程中能够检测到并纠正单个比特的错误。
为了实现这一目标，我们可以使用海明码进行编码。
具体编码过程如下：1.在数据位之间插入3 个校验位，使得整个数据包中1 的个数为奇数。
这样，在传输过程中，如果出现单个比特的错误，总1 的个数将变为偶数。
2.接收方在接收到数据后，统计1 的个数。
如果1 的个数为奇数，则认为数据传输正确；如果为偶数，则说明数据传输出现错误。
3.如果检测到错误，接收方可以根据校验位信息对错误进行修复。
例如，通过奇偶校验，我们可以知道错误发生在哪个比特位置，并据此对错误进行纠正。
综上所述，海明码是一种有效的数据校验和修复方法。
海明码例举详解
S1=0⊕1⊕1⊕1⊕0 =1
S2=0⊕1⊕1⊕1⊕1 =0
S3=0⊕1⊕1⊕1
=1
S4=1⊕0⊕1
=0
按照S4S3S2S1排列得到的二进制数为：0101，对应的 值十进制为5，找到错误位置！纠错！把1改为0！
S3=M4⊕M5⊕M6⊕M7
=P3⊕D2⊕D3⊕D4
S4=M8⊕M9⊕M10 =P4⊕D5⊕D6
如果海明码没有错误信息，S1、S2、S3、S4都为0， 等式右边的值也得为0，由于是异或，所以Pi（ i=1,2,3…）的值跟后边的式子必须一样才能使整个式 子的值为零，即：Pi=后边的式子的值,即：
这个公式在验证纠错的时候还会用得到，只要记住这个 公式的推导就可以解决所有问题了。
图2
接下来就是代入求值的过程了，注意“⊕”这个符号 ，这是异或符号。按照图1中的指示，把相应的值代 入到图2 的公式里，可以得到如下内容
S1=M1⊕M3⊕M5⊕M7⊕M9 =P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5
S2=M2⊕M3⊕M6⊕M7⊕M10=P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6
海明码详解
以D= 101101这个数字的海明码推导为例
海明码步骤： 一、确定校验码的位数k 二、确定校验码的位置 三、数据的位置 四、求出校验位的值
一、 确定校验码的位数k
数据的位数m=6，公式来计算满足条件的k的最小值 2的k次方-1>=m+k 即：2的k次方-1>=6+k 解此不等式得在我们得到了D=101101的正确海明码就是
那么出错的时候是怎么验证出来的呢？比如第5位错 了，第5位现在的值是0，如果错了，它只能是1，二 进制就这两种值即：我们得到了这样的一组编码， 现在要找出错误的位置（假定你不知道哪里错）
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海明码精典例题(重点理解)
海明码的生成与接收
方法一：（按教科书）
1)海明码的生成。
例1.已知：信息码为："0010"。
海明码的监督关系式为：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
求：海明码码字。
解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。
设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：
a2=a4+a5+a6=1
a1=a3+a5+a6=0
a0=a3+a4+a6=1
因此，海明码码字为："0010101"
2)海明码的接收。
例2.已知：海明码的监督关系式为：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
接收码字为："0011101"(n=7)
求：发送端的信息码。
解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：
S2S1S0 000 001 010 100 011 101 110 111
错码位置无错a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6
3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"
5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"
方法二：
1)海明码的生成（顺序生成法）。
例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8) 求：海明码码字。
解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码
码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "
码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。
码位分别为1,2,4,8。
2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)
A->1,3,5,7,9,11；
B->2,3,6,7,10,11；
C->4,5,6,7,12；(注5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)
D->8,9,10,11,12。
3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：
A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
C=∑(0,1,0,0,0)=1
D=∑(0,1,1,0,0)=0
4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
2)海明码的接收。
例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8) 求：发送端的信息码。
解：1)设错误累加器(err)初值=0
2)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：
A=∑(1,0,1,0,1,0)=1err=err+20=1
B=∑(0,0,0,0,1,0)=1err=err+21=3
C=∑(1,1,0,0,0)=0 err=err+0 =3
D=∑(0,1,1,0,0)=0 err=err+0 =3
由err≠0可知接收码字有错，
3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。
4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：
"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
5)把位于2k位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"。