3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质 教师版
人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件
2p
y
F O lx
y
l OF x
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
关于y轴对称
p 2 y0
y1 y2 p
p 2
y0
( y1 y2 ) p
二、抛物线的几何性质
直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切和相离． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)位置关系判定方法：方程法
当y02=p2时，易知结论成立。 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
三、题型与方法
题型四 抛物线的综合应用 例6.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N. (1)求y1y2的值；
解：（1）依题意，设AB的方程为x＝my＋2， 代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8. 证明:（2）设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1.
二、抛物线的几何性质
5.焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
MF
x0
p 2
6.焦点弦：
过抛物线的焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
二、抛物线的几何性质
7.通径： 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反应 抛物线基本特征的草图. 2p越大，抛物线张口越大
8
32
二、抛物线的几何性质
方程
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
抛
物 图形
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
抛物线的焦点弦问题
解：设抛物线方程为 x2＝2py 或 x2＝－2py(p>0)，
p 依题意得 y＝
，代入 x2＝2py 或 x2＝－2py 得|x|＝p，
2
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为 x2＝8y 或 x2＝－8y.
04课堂总结
课堂总结
1.抛物线的几何性质的应用； 2.直线与抛物线的位置关系； 3.抛物线的焦点弦问题。
由题意有 x1＋x2＝2x， ③ y1＋y2＝2y. ④
直线与抛物线的位置关系
①－②得 y21－y22＝2(x1－x2)，将④代入上式且当 x1≠x2 时，所以y1－y2
1 ＝
．
x1－x2 y
又y1－y2
y－1 ＝
y－1 (kAB＝kMQ)，所以
1 ＝
，
x1－x2 x－2
x－2 y
即 y2－y＝x－2，所以(y－1)2＝x－7 ．
顶点
4个
2个
1个
离心率
0<e<1
e>1
e＝1
决定形状 的因素
e 决定扁平程度
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
抛物线的简单几何性质
典例：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
2
4
故弦 AB 的中点的轨迹方程为(y－1)2＝x－7 ．
2
4
抛物线的焦点弦问题
例 8：已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 60°.求|AB|的值．
人教版高数选修2第5讲：抛物线的标准方程与性质(教师版)
抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质类型一 抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )A ．217B .17C ．215D .15【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，即k>－1. 又x 1＋x 22＝2k ＋2k2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝542－4＝215.【答案】C练习1：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92【答案】A练习2：F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【答案】52类型二 抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A .45B .35C ．－35D ．－45【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.故选D .【答案】D练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12【答案】Ｃ练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．【答案】1类型三 抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )A .13B .23C .23D .223【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA|＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝223，选D .【答案】D练习1：过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【解析】直线y ＝x －p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px ，∴x 2－3px ＋p24＝0，|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON.【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.【答案】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.练习１【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）Ａ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，【答案】Ｄ练习2：抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．【答案】201.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．2212128x y -= Ｂ．2212821x y -= Ｃ．22134x y -= Ｄ．22143x y -= 【答案】Ｄ2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.3.（2014·辽宁卷）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43【答案】D4.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_________【答案】ｐ＝２5.（2014·广东卷）曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y ＝－5x ＋36.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，设y 2＝2px(p>0)，∵p 2＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)． 当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ， 设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)，FA →＝(m －1,2m)，FB →＝(m －1，－2m)， ∴FA →·FB →＝m 2－6m ＋1<0， ∴3－22<m<3＋2 2.当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －m∴ky 2－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2m>0恒成立， y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4m ，又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋8m ，∵FA →·FB →＝(y 214－1)·(y 224－1)＋y 1y 2＝y 1y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12＝m 2－6m ＋1－4k2<0，即：4k 2>m 2－6m ＋1对∀k ≠0恒成立，又4k 2>0，∴m 2－6m ＋1<0恒成立， ∴3－22<m<3＋22，综上，m 的取值范围是：3－22<m<3＋2 2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18【答案】D2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1C.12D.14【答案】A3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x2【答案】D4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4【答案】B5．已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4 B.92C ．5D.112【答案】B6.（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3C.52D ．2【答案】B7.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94【答案】D能力提升（2）8．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________． 【答案】29．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．【答案】x-y-1=010．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．【答案】011.（2014·湖南卷）如图14，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图14【答案】12.已知动点P(x ，y)(y ≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设圆M 过点A(0,2)，且圆心M(a ，b)在曲线C 上，若圆M 与x 轴的交点分别为E(x 1,0)、G(x 2,0)，求线段EG 的长度．【答案】(1)依题意知，曲线C 是以F(0,1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线． ∵焦点到准线的距离p ＝2， ∴曲线C 方程是x 2＝4y.(2)∵圆M ∴其方程为(x －a)2＋(y －b)2＝a 2＋(b －2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴线段EG的长度是4.课程顾问签字： 教学主管签字：。
高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质教案
第三章圆锥曲线的方程3.3 抛物线3.3.2 抛物线的简单几何性质一、教学目标1、掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2、能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.二、教学重点、难点重点：掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质难点：灵活根据抛物线的几何性质解决抛物线的有关问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景一】抛物线的魅力展现【情景二】抛物线的标准方程与图形【思考】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？（二）阅读精要，研讨新知【类比、发现】抛物线的简单几何性质解读【例题研讨】阅读领悟课本134P 例3、例4（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例3已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程.解：依题意，可设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，因为点(2,M -在抛物线上，所以 2(22p -=⨯，解得2p = 因此，所求抛物线的标准方程是24y x =.例4斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 解：由已知，抛物线的焦点为(1,0)F ， 准线方程为1x =-，如 图3.3-4， 设1122(,),(,)A x y B x y ，,A B 两点到准线的距离分别为,A B d d ，由抛物线的定义， 可知12||1,||1A B AF d x BF d x ==+==+，于是12||||||2AB AF BF x x =+=++ 由已知，设直线:1l y x =-由2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以126x x +=，所以，12||28AB x x =++= 所以，线段AB 的长是8.【小组互动】完成课本136P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】【例题研讨】阅读领悟课本136P 例5、例6（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例5经过抛物线焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.证明：如图3.3-5， 以抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxyz .设抛物线的方程为22(0)y px p => ①点2000(,)(0)2y A y y p ≠， 则直线OA 的方程为02py x y = ② 抛物线的准线方程是2px =-③联立②③，可得2D p y y =-，当220y p ≠时，直线AF 的方程为02202()2py py x y p =-- ④ 联立①④，消去x ，可得2222000()0y y y p y y p ---=即200()()0y y y y p -+=，可得2B p y y =-所以D B y y =，即DB 平行于x 轴. 当220y p =时，易知结论成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例6如图3.3-6， 已知定点(,)B a h -，BC x ⊥轴于点C M 是线段OB 上任意一 点，MD x ⊥轴于点D ME BC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，求点P 的轨迹方程.解：设点(,),(,)P x y M x m ，其中0x a ≤≤ 则点(,)E a m .由题意，直线OB 的方程为hy x a =-① 因为点M 在OB 上，所以hm x a=- ②所以点P 的横坐标x 满足②.直线OE 的方程为my x a= ③因为点P 在OE 上，所以点P 的坐标(,)x y 满足③.将②代人③，消去m ，得22(0)a x y x a h=-≤≤，即点P 的轨迹方程 【发现】例6中，设点B 关于y 轴的对称点为A ，则方程22(0)a x y x a h=-≤≤对应的轨迹是常见的抛物拱AOB (图3.3-7).抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.【小组互动】完成课本138P 练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.已知F 是抛物线2y x =的焦点, ,A B 是该抛物线上的两点, ||||3AF BF +=,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D. 74解：由已知，12p =，由抛物线的定义,有||||()()322A B A B p pAF BF x x x x p +=+++=++=,所以532A B x x p +=-=,故线段AB 的中点到y 轴的距离为54. 故选C.2.设F 为抛物线24y x =的焦点, ,,A B C 为抛物线上不同的三点,点F 是ABC ∆的重心, O 为坐标原点,,,OFA OFB OFC ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,则222123S S S ++= ( )A.9B.6C.3D.2解：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ,由已知(1,0)F ，所以112233111||,||,||222S y S y S y === 所以2222221231231231()4S S S y y y x x x ++=++=++， 因为点F 是ABC ∆的重心,所以1233x x x ++=,所以2221233S S S ++=. 故选C.3. 已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点(7,8)A ,则||||PA PM +的最小值是________.解：如图,由24y x =,得2p =,所以(1,0)F ,||||||12pPM PF PF =-=-,所以2||||||||1||1(71)(80)19PA PM PA PF AF +=+-≥-=-+-=答案:9（四）归纳小结，回顾重点抛物线的简单几何性质图形焦点位置 x 轴的正半轴上 x 轴的负半轴上 y 轴的正半轴上y 轴的负半轴上标准方程 22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本138P 习题3.3 5、6、9、10、11、12、132. 阅读140P 《圆锥曲线的光学性质及其应用》3. 阅读143P 《小结》4. 完成 复习参考题3五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)
因此，所求抛物线的标准方程是 x2 2y．
学习目标
学习活动
学习总结
思考4：用待定系数法求抛物线标准方程步骤有哪些?
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结 1.定位置：即根据条件确定抛物线焦点所在坐标轴以及开口方向； 2.设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； 3.解方程：利用已知条件，求出p； 4.得结果：将p代入所设方程.
因此，所求抛物线的标准方程是 y2 4x．
学习目标
学习活动
学习总结
思考3：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 M (2,2 2) 的抛物线有几 条？求出这些抛物线的标准方程. 2条 （1）当对称轴为x轴时，抛物线标准方程为 y2 4x；
（2）当对称轴为y轴时，设抛物线标准方程为 x2 2 py( p 0)， 因为点M (2, 2 2)在抛物线上，所以 22 2 p (2 2) ，解得 p 2 ，
顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，由抛物线图象可知， 抛物线的顶点坐标是原点，即（0,0）.
离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比 | MF |
d
，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.
学习目标
学习活动
学习总结
思考1：结合之前所学，分别说说椭圆，双曲线、抛物线的离心率都有什么区 分和联系？
（3）通径可以反应抛物线开口大小：即p越大，抛物线开口越大；p越小， 抛物线开口越小.
学习目标
学习活动
学习总结
练一练
已知抛物线 C : y 4x2，则抛物线C的焦点到其准线的距离为（
A．2
B．4
C．1
D．1
4
8
解：抛物线C : y 4x2 ，所以标准方程：x2 1 y ，
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
3.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)课件(人教版)
p 2 y0
( x1 x2 ) p y1 y2 p
2p
p 2 y0 ( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
PART
ONE
抛物线的简单几何性质
焦点弦问题
如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，称为焦
点弦．设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x0，y0)，过 A，M，B 分别向抛物 线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1，M1，B1，则根据抛物线的定
ONE
课堂小结
抛物线的简单几何性质
8.直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线交于 A，B 两点，若线段|AF|，|BF|
的长分别为 m，n，则m1 ＋1n＝( C )
A.14 C．1
B.12 D．2
由焦点弦性质得 1 ＋ 1 ＝2，即1＋1＝1. |AF| |BF| p m n
03课堂小结
PART抛物线的简单几源自性质（2）分别过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1.根据抛物线定义知 |FA|＝|AA1|＝x1＋p2，|FB|＝|BB1|＝x2＋p2， ∴|F1A|＋|F1B|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2
＝2x12＋p＋2x22＋p＝2（（2x22＋ x1＋p）p）＋（22（x22＋x1p＋）p） ＝4x1x42＋（2xp1＋（xx21）＋＋x2）4p＋p2＝24p（（xx11＋＋xx22＋＋pp））＝2p.
解：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－p. 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，
抛物线的简单几何性质
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抛物线的方程与性质【要点梳理】 要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p => ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p 它的准线方程是2px =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >要点三、抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程22(0)y px p =>的几何性质范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴 顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（0，0） 离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e 表示，e=1。
抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为2p ；这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义。
另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P 刻画了抛物线开口的大小，P 值越大，开口越宽；P 值越小，开口越窄．抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y 2=2px （p ＞0）y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0）x 2=－2py （p ＞0）顶点O （0，0）范围 x≥0，y R ∈x≤0，y R ∈y≥0，x R ∈ y≤0，x R ∈对称轴 x 轴 y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e=1准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =焦半径0||2p MF x =+0||2pMF x =- 0||2p MF y =+0||2pMF y =-【典型例题】 类型一：抛物线的定义例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x 轴，求抛物线的方程。
【解析】设M （x ，y ）为抛物线上的任意一点，22(3)(3)||x y y -+-=两边平方，整理得2136y x x =-+∴所求抛物线的方程为2136y x x =-+举一反三：【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)；设y 2=2px ，以(-2，3)代入，得2922-==x y p ，∴x y 292-=； 设x 2=2py ，以(-2，3)代入，得3422==y x p，∴y x 342=。
（2）焦点在直线3x -4y -12=0上； 【答案】：若焦点为（4，0），则y 2=16x 若焦点为（0，-3），则x 2=-12y（3）准线过点(2，3)；【答案】：准线为x =2，则y 2= -8x 准线为y =3，则x 2= -12y（4）焦点在y 轴上，抛物线上一点)3,(-m M 到焦点的距离等于5。
【答案】：设抛物线方程为x 2=-2py （p >0），则点M (m ,-3)到准线的距离为5， 即5)3(2=--p，∴p =4，x 2=-8y 举一反三：【变式1】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； （2）经过点A （2，－3）； （3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.1.解：（1）双曲线方程可化为221916x y -=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32p-=-，∴p=6. ∴方程为212y x =-（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y 2＝2px 或x 2＝－2py ．点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝29 点A （2，－3）坐标代入x 2＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝34 ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，代入A 点坐标求得m=29，n=-34，∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y （3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。
（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物线定义得：p52AF m ==+， 又2(3)2pm -=，∴1p =±或9p =±，故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。
例2.平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程。
解法一：设P 点的坐标为（x ，y ）||1x =+， 两边平方并化简得y 2=2x+2|x|。
∴{24,0,0,0,x x y x ≥=<即点P 的轨迹方程为y 2=4x （x≥0）或y=0（x ＜0）。
解法二：由题意，动点P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离大1， 由于点F （1，0）到y 轴的距离为1， 故当x ＜0时，直线y=0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P 到点F （1，0）与到直线x=―1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y 2=4x 。
故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x （x≥0）或y=1（x ＜0）。
类型二：抛物线的标准方程例3．求过点(3,2)-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.【解析】∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左，当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >），∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-，∴23p =，∴243y x =-， 当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22x py =（0p >），∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯，∴94p =，∴292x y =， ∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292x y =， 对应的准线方程分别是13x =，98y =-. 举一反三：【变式1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M -，求它的标准方程.【答案】22x y =-.【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 【答案】 B类型三：抛物线的几何性质 例4.（1）写出抛物线214y x =的焦点坐标、准线方程； （2）已知抛物线的焦点为(0,2),F -写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【解析】（1）抛物线214y x =的标准方程为24x y =， 因为2p=4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为1y =-.（2）因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p=2，所以4p =，从而所求抛物线的标准方程为28x y =-. （3）由已知得3p =，所以所求抛物线标准方程为26y x =，焦点坐标为3(,0)2，准线方程为32x =-.举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为p=3，所以焦点坐标是3(,0)2准线方程是32x =-例5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（3，2）的抛物线方程； （2）焦点在直线x －2y －4=0上【解析】（1）设过点M （3,2）的抛物线方程是22y px =或2'2x p y =若抛物线方程是22y px =，把M （3,2）代入可得424p =⨯，求得23p =， 可得抛物线方程是243y x =若抛物线的方程为2'2x p y =，把M （3,2）代入可得'922p =⨯，求得'94p =， 可得抛物线方程是292x y =，故抛物线方程是243y x =或292x y = （2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，2p=4，∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ；焦点为（0，－2）时，2p=2，∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y ∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ， 对应的准线方程分别是x =－4，y =2举一反三：【变式1】已知抛物线y 2＝4x 的内接三角形OAB 的一个顶点O 在原点，三边上的高都过焦点， 求三角形OAB 的外接圆的方程．【答案】 ∵△OAB 的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点， ∴AB ⊥x 轴，故A 、B 关于x 轴对称，设A 211(,)4y y ，则B 211(,)4y y -，又F (1,0)，由OA ⊥BF 得，解得21y ＝20， ∴A 5，B (5，－5)，因外接圆过原点，且圆心在x 轴上，故可设方程为：x 2＋y 2＋Dx ＝0， 把A 点坐标代入得D ＝－9， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－9x ＝0.【变式2】如图过抛物线22(p 0)y px =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ， 若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为（ ）A.28y x = B. 24y x = C. 22y x = D. 2y x =【解析】选B ，如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ， 设|BF|=a ,则由已知得：|BC|=2a ，由定义得：|BD|=2a ，故30BCD ∠=， 在直角三角形ACE 中，|AF |4,|AC |43a ==+，2|AE ||AC |∴=，438a ∴+=，从而得4,3a =//FG,423,P 23BD P ∴=∴=因此抛物线的方程是24y x =。