第十六讲 完美的正方形(含答案)-
八年级第24讲 完美正方形
第24讲完美的正方形典例剖析类型一正方形的性质例1 如图，正方形ABCD的对角线BD长为l满足：①点D到直线l的距离为A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为（）A.1B.2C.3D.4【变式题组】1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A.2.52第1题图第2题图第3题图2．如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为CD边上一点，∠DAE=30 ，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P,Q.若PQ=AE，则AP等于___________cm3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5 ，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）4-4类型二正方形的判定例2 已知四边形ABCD是平行是变形，再从①AB=BC；②∠ABC=90 ；③AC=BC；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．①② B.②③ C.①③ D.②④【变式题组】4．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90 ，先把△ABC绕点B顺时针旋转90 至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H（1）判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由.（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形5．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形（2）当△ABC满足什么条件是，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.类型三正方形的综合题例3 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5,3）在边AB上，以点C为中心，把△CDB旋转90 ，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A.(2,10)B.(-2,0)C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)【变式题组】6．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④EGC AFE S S ∆∆=；⑤∠AGB+∠AED=145 . 其中正确的个数是 （ ）A.2B.3C.4D.57.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺市政旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依次操作下去……（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为______，此时AE 与BF 的数量关系是______；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围；类型四正方形中探究题例4 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，是B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上,连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论.拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【变式题组】8.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4,4）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P到达点O是，点Q也停止运动.连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE,设点P运动的时间为t（s）（1）∠PBD的度数为__________，点D的坐标为__________________（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．研讨乐园例5 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是BC延长线上一点，AE⊥EP交∠DCF 的平分线于点P.求证：AE=EP培优训练1.已知正方形ABCD的对角线ABCD的周长为___________________2.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180 后，C点的坐标是（）A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)第2题图第3题图3.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A.4个B.6个C.8个D.10个4.如图，正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（）第4题图第5题图5.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为___________________6.如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.（1）求证：BF=DF（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）。
【小学数学】北师大版六年级下册第16课时 图形的认识(练习题)
北师大版六年级下册第16课时图形的认识
(2)(2812)
1.摆一摆，从正面、右面和上面看一看，连一连。
解答：从（）面看这个立体图形，可以看到3个正方形横着连成一排；从（）面看，可以看到2个正方形左右相连；从（）面看这个立体图形，可以看到4个正方形排成两排，上面一排是1个正方形，下面一排是3个正方形。
在原题中连一连。
2.下列各图中，分别是从哪个方向看到的图形？
3.将下图中的硬纸片沿虚线折成一个正方体，这个正方体的1号面的对面是（）号面，2号面的对面是（）号面。
4.沿虚线转动后会形成什么样的图形？连一连。
参考答案1.【答案】:正右上
2.【答案】:上；正；右
3.【答案】:4；5
4.【答案】:。
六年级数学完美的图形试题答案及解析
六年级数学完美的图形试题答案及解析1.半圆的周长就是它所在圆的周长的一半。
（）【答案】×【解析】思路分析：半圆的周长和他所在圆的周长的一半是不同的。
名师详解：假如半圆半径是r，半圆周长等于πr＋2r，所在圆周长的一半是πr，所以不相等。
易错提示：出错的原因就是，学生们没有真正理解半圆的周长和周长的一半的含义。
2. .①画一个周长是6.28厘米的圆。
②计算这个圆的面积。
【答案】3.14平方厘米【解析】思路分析：根据题意周长为6.28厘米，先计算出圆的半径，然后利用圆规画圆。
再计算面积。
名师解析：半径=6.28÷2÷3.14=1（厘米）S=3.14×1×1=3.14(平方厘米)易错提示：不能正确使用圆规。
3.如图:一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（ )A．平方厘米B．9平方厘米C．4.5平方厘米D．3平方厘米【答案】C【解析】思路分析：这道题一定要仔细看图，可以发现阴影部分的圆心角的和正好是180度，而且圆的半径相等，所以阴影部分的面积正好等于半圆的面积。
名师详解：仔细观察发现阴影部分的面积正好等于半圆的面积，阴影面积是：π×3×3÷2=4.5π。
易错提示：求图形面积的题目做题前要仔细观察，学生审题不清会出错。
4.圆的半径扩大3倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。
【答案】3，3，9【解析】圆的直径与半径成正比；圆的周长与半径成正比；面积与周长的平方成正比。
5.从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）【答案】19.625平方分米。
【解析】略6.用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出这个圆的面积是（）平方厘米。
【答案】8，200.96【解析】略7.圆内最长的线段是（）A、半径B、直径C、周长【答案】B【解析】圆内最长的线段是直径8.求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【答案】36.48平方厘米【解析】图中阴影部分的面积：用四个半圆即两个圆的面积减去正方形的面积即可．解：两个圆的面积：3.14×（8÷2）2×2=100.48（平方厘米），正方形的面积：82=64（平方厘米），阴影部分的面积：100.48﹣64=36.48（平方厘米）．答：阴影部分的面积是36.48平方厘米．9.从圆心到圆上任意一点的线段叫。
华师大版数学八年级下册_知识拓展：完美正方形
完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。
这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。
第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。
这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。
此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。
于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。
利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。
1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正
方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。
更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。
杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
(苏教版)四年级上册数学讲义-第十六讲含有中括号的整数混合计算(含答案)
四年级上册整数四则混合运算辅导讲义学员姓名：年级：四年级辅导科目：小学数学学科教师：上课时间授课主题整数四则混合运算含有小括号的混合运算的运算顺序：先算小括号里面的，再算小括号外面的．典型例题（1）计算，说一说运算的顺序．（2）在的基础上加上小括号，变成，运算顺序怎样？（3）在的基础上加上中括号“[ ]”，变成另一个算式，运算顺序怎样？名师学堂（1）“”中既含乘、除法，又含加法，要先算乘、除法，再算加法．正确解答，．（2）“（）”叫小括号，它的作用是改变运算顺序，算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的．即括号正确解答，加上小括号后，运算顺序发生改变，要先算小括号里面的，再算小括号外面的．（3）“[ ]”叫中括号，它与小括号的作用相同，都是改变运算顺序．混合运算中，如果加了小括号仍需改变运算顺序，就用中括号，中括号一般在小括号的外面．一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的．正确解答，先算加法，再算乘法，最后算除法．重点：通过比较，理解并掌握含有小括号或中括号的混合运算的顺序，正确计算三步算式．能正确进行整数四则混合运算．难点：例1.1.1 填空．在一个没有括号的算式里，既有加减法，又有乘除法，要先算（），再算（）．【答案】乘除法加减法【解析】乘除法加减法例1.1.2 填空．在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要按（）的顺序进行计算．【答案】从左往右【解析】从左往右例1.1.3 口算。
4×6÷3＝56÷8×4＝25×2－30＝36÷9×5＝45＋（35－18）＝56－8×4＝（16－7）×0＝36－0÷23＝12÷3＋21÷3＝2800÷70＝【答案】8 28 20 20 62 24 0 36 11 40【解析】8 28 20 20 62 24 0 36 11 40例1.1.4 计算．240÷8－14×2 16×8＋48÷4【答案】240÷8－14×2 16×8＋48÷4＝30－28 ＝128＋12＝2 ＝140【解析】240÷8－14×2 16×8＋48÷4＝30－28 ＝128＋12＝2 ＝140例1.1.5 填空．42与6的积减去它们的商，差是（），列式为（）．【答案】245 42×6－42÷6＝245【解析】245 42×6－42÷6＝245例1.1.6 王老师领回一些练习本．如果每人发12本，可以发给18人．如果每人发8本，可以发给多少人？【答案】（人）⨯÷=1218827【解析】（人）⨯÷=1218827例1.1.7 在学校举办的读书比赛中，四（1）班的同学取得了优异的成绩（获奖人数见下表）。
新人教版数学八年级下《18.2.3正方形》课时练习含答案解析
新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO ＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5° 答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE ＝∠BCD ＋∠DCE ＝90°＋60°＝150°，BC ＝EC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝21（180°－∠BCE ）＝15° ∵∠BCM ＝21∠BCD ＝45°， ∴∠BMC ＝180°－（∠BCM ＋∠EBC ）＝120°，∴∠AMB ＝180°－∠BMC ＝60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD ＝∠AMB ＝60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD ＝AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD ＝∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（ ）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP ＝S △BDC －S △DPC －S △BPC ＝21－21×1×21－21×1×41 ＝81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP ＝2S △BDF ，∴S △BDF ＝161， 设F 到BD 的距离为h ， 根据三角形面积计算公式，S △BDF ＝21×BD ×h ＝161， 计算得：h ＝22161＝162． 故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP ＝2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO ＝BABM ＝21， 同理可证：DO DK ＝DA DF ＝21， 故DK ＝KO ＝OB ， ∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN ＝NB ＝AM ＝BM ，∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和，∴△OCN 的面积为12576＝48cm 2， 故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO ＝31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和． 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE ＝BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN ＝（ ）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE ＝1－－S △CDE ，∵DE ＝BD －BE ＝，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE ＝CD ×22（2－1）＝－42； S △BCE ＝1－21－S △CDE ＝42； 又∵S △BCE ＝S △BPE ＋S △BPC ＝•BC•（PM ＋PN ）∴PM ＋PN ＝＝．故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）A ．25B ．36C ．49D ．30 答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y ＝－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x ＝7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y ＝－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y ＝4.2，∴S △AOE ＝21×7.8×6＝23.4，S △AFO ＝21×4.2×6＝12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO ＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－ 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP ＝4323121＝⨯⨯， S △CDP ＝4121121＝⨯⨯，S △BCD ＝×1×1＝，∴S △BPD ＝413214143－＝－＋． 故选B ． 分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．4B ．23C ．26D ．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，∴C ．A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，连接AE 交BD 于P ，则此时EP ＋CP 的值最小，∵C ．A 关于BD 对称，∴CP ＝AP ，∴EP ＋CP ＝AE ，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP＝AE＝AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∴EP＋CP＝4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA ＝4×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的， 即41×1×1＝41， 当有三个三角形时，其面积为41＋41＝42 当有四个时，其面积为41＋41＋41＝43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ． 故答案为41-n ． 分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P 点坐标为．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，∵点E是AB的中点，∴BE＝1，∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC＝BF＝2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP ＝，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴ba a HO PO HO KP +＝＝112， KP ＝）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222， 阴影部分的面积＝21×BK ×（2b a +）＝21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a + ＝82ab ＝4ab ； （2）HO 1＝2b a +，HO 2＝2a b -， 根据勾股定理O 1O 2＝2221HO HO + ＝222b a + ＝）（22221b a +． 故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）答案：（1，0）和（1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S ＝ah ，则使得a ＝2、h ＝2或者a ＝4、b ＝1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-； （2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当A 1E 1＝6，C 1E 1＝4时，则BD 的长为 ．答案：（1）见解析 （2）AB －EF1＝A 1C 1 （3）27知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F 作FG ⊥AB 于G ，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF＝FG，∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG，直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，∴FG＝BG＝OF，∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，∴AB－OF＝AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1＝A1A＝x，A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，∴x＝1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB＝7，∴BD＝7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE＝BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF ＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE＝∠AGE＝75°，∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，∴∠EFC＝30°（3）∵AB＝BC＝3，∠BAE＝30°，∴BE＝1，CE＝3－1，∵∠EFC＝30°，∴CF＝3－3，∴S△CEF＝CE•CF＝23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－3．分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF ＝S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ． 解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF ＝1cm ，CE ＝2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题解析：解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y ＝kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k ＝2，k ＝21， 因此BE 所在直线的解析式是y ＝21x （1）， 同理可得出DF 所在直线的解析式是y ＝34（x －1）（2）， 联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）． 故可求四边形CEGF 的面积S ＝S △BCE －S △BFG ＝21×4×2－21×1×54＝518．分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。
人教版八年级数学第24讲完美的正方形
人教版八年级第24讲完美的正方形姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且AF=BE，BE与AF相交于点G，则下列结论中错误的是（）A．BF=CE B．∠DAF=∠BECC．AF⊥BE D．∠AFB+∠BEC=90°2 . 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形D．当时，它是正方形3 . △ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为（）A．30B．40C．50D．604 . 如图，圆P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且AB＝12，以AB为边作正方ABCD(点D、P在直线AB的两侧)，若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为（）.A．0B．36πC．D．6π5 . 一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转旋转180°，再将它按照逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．二、填空题6 . 对角线长为的正方形的周长为________，面积为________．7 . 如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=____．三、解答题8 . 综合与实践--------图形变换中的数学问题问题情境：如图1，已知矩形中，点是的中点，连接．将矩形沿剪开，得到四边形和四边形．（1）求证：四边形是矩形；操作探究：保持矩形位置不变，将矩形从图1的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，设旋转角为（）．操作中，提出了如下向题，请你解答：（2）如图2，当矩形旋转到点落在线段上时，线段恰好经过点，设与相交于点.判断四边形的形状，并说明理由；（3）请从两题中任选一题作答．A．在矩形旋转过程中，连接线段和．当时，直接写出旋转角的度数．B．已知矩形中，．在矩形旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长．9 . 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE 为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．10 . 已知：如图，在中，，是的边的中点，，，垂足分别是、．求证：；只添加一个条件，使四边形是正方形，并给出证明．11 . 如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB＝∠MBN＝90°，AC＝BC＝4，MB＝NB＝2，点N在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．12 . 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM 交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．13 . 如图所示的方角铁皮，要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、二、填空题1、2、三、解答题1、2、3、4、5、6、。
15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第十六讲 完美的正方形
名师第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨 AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP 交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为 ．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
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第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(2001年北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3. (2001年江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨 本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．注 数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ． (2002年河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (2000年苏州市中考题)(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (2003年南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( )(2003年河北省中考题)A ．22B ．21C ．23D ．32 6．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC的长为( )A．2 B．3 C．3D．22(2003年武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD中，C为CD上的一点，延长月C至F，使CF=CE，连结DF，BE与DF相交于G，则下面结论错误的是( )A．BE=DF B．BG⊥DF C．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG＝90°(2001年山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(2002年泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．(第1l届“希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为 ．(第13 “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则 △CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (2002年北京市竞赛题)(第15题) (第17题) (第18题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9. (第16届江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23 D ．33 (第12届“希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°(第19题) (第20题)20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(第15届江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD ∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(2003年郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。