完美矩形与完美正方形
如何用Photoshop画出“完美五边形”？
如何⽤Photoshop画出“完美五边形”？
美国华盛顿⼤学研究团队近⽇发现了⼀种新的不规则五边形，相互组合后可完全铺满平⾯，不会出现重迭或有任何空隙，是全球第15种能做到此效果的五边形。
⽽距上次发现类似效果的五边形已时隔30年，这项发现相当于在数学领域中寻了获新原⼦粒⼦。
想了解更多具体内容请看这⾥和这⾥的论述。
下⾯，我就简单介绍⼀下如何在Photoshop中画出这样的完美图形，具体参数如图：
1、新建⼀个空⽩画布，横竖各新建2条参考线，包围成⼀个正⽅形，⽤“矩形⼯具”画出此正⽅形的路径。
再在其右边⽤“多边形⼯具”画出2个⼀模⼀样的等边三⾓形路径，按照下图那样排列（开启对齐到参考线并放⼤视图后，很容易实现）：
2、删除中间的那个等边三⾓形：
3、⽤“直接选择⼯具”分别选中正⽅形与等边三⾓形相对的⼀条边，然后删除，结果如下：
4、⽤“删除锚点⼯具”删除上图红圈中的2个锚点，结果如下：
5、⽤“钢笔⼯具”连接剩余路径，形成⼀个封闭图形：
6、⽤颜⾊填充图形并清除参考线，最终效果如下：
如果要⽤此图形精确地拼成完美的图案，最好还是借助其它作图软件，这⽅⾯Photoshop还是相对较弱⼀些。
最完美的四边形汇总
最完美的四边形——正方形之判别方法大汇总（035）北师大版数学八年级(上)第四章《四边形的性质探索》是初中数学中“空间与图形”板块知识的基础核心内容，是几何图形中必须掌握的重点知识。
其中四边形中的特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形以及正方形性质的理解和判别更是至关重要。
在经历了两次初二教学的反思后，我总结出了一套关于特殊四边形的教学方法，可以让学生对其性质及判别方法有更清楚的理解。
在这一轮教学中，课堂上我一直很注重发挥学生的主动性，在学到正方形的判别时让学生自己发现方法、归纳总结。
没想到的是学生由需要掌握的四种判别方法扩展成了八种方法，甚至课后还有学生提出其他方法来找我验证对错。
于是我静下心来思考了一番，发现了十几种正方形的判别方法，在这里汇总一下，帮助已经掌握了特殊四边形判别的学生做个归纳总结，开拓一下思维，更重要的是帮助没有完全掌握的学生梳理清楚思路。
正方形是最特殊的平行四边形，要想掌握好它的性质与判别，首先要掌握好前面几种特殊平行四边形的性质及判别，所以在课堂上我总是借用分层次、分台阶的方式引导学生去理解几种平行四边形之间的联系与区别。
学好平行四边形是基础，掌握好菱形和矩形是关键，这样过渡到正方形就很容易了。
一、平行四边形：掌握好平行四边形的定义、性质及判别是打好基础的第一步。
1.定义教学中要引导学生明确小学时已给出的平行四边形定义就是通过它名称中的“平行”引出的，即两组对边分别平行得四边形叫做平行四边形。
可以得出从四边形升级到平行四边形只需要“两组对边分别平行”即可。
2.性质研究平行四边形的四个性质，不仅要让学生在课堂上自主发现、进行证明外，还要帮助学生理解加记忆。
我会让学生去观察平行四边形的图形，然后自己总结性质。
由于它是由四条线段首尾依次相连而组成的，所以能够观察到的就只有四条边和边与边组成的角，学生很快就会发现性质①两组对边分别平行；性质②两组对边分别相等；性质③两组对角分别相等。
第16讲 完美的正方形
第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
八年级数学下册《完美矩形》教案、教学设计
2.介绍完美矩形的判定条件：矩形的对角线相等且垂直平分。
3.教师通过几何画板演示完美矩形的性质，如对角线互相垂直、平分等，让学生直观感受完美矩形的特点。
4.分析完美矩形在实际应用中的优势，如设计美观、节省材料等。
5.教师讲解完美矩形性质的应用，如计算周长、面积等，让学生理解完美矩形在实际问题中的解决方法。
c.应用题：运用矩形性质解决实际问题，如计算给定完美矩形的周长和面积。
2.设计作业：请学生自行设计一个完美矩形，要求如下：
a.图形美观，比例协调。
b.在设计过程中，运用所学的完美矩形判定条件。
c.计算所设计完美矩形的周长和面积，并说明计算过程。
3.探究作业：分组进行探究，讨论以下问题：
a.完美矩形在生活中的应用实例。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.完美矩形的判定条件是什么？
b.如何计算完美矩形的周长和面积？
c.你能举出生活中遇到的完美矩形的例子吗？
2.学生在小组内进行讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.各小组派代表分享讨论成果，教师对学生的回答进行点评，纠正错误，补充遗漏。
4.教师引导学生在讨论中学会倾听、尊重他人意见，培养团队协作能力。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断哪些图形是完美矩形，并说明理由。
b.给定一个完美矩形，计算其周长和面积。
c.设计一个完美矩形，并说明其特点。
3.学生在规定时间内完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
6.情感态度与价值观的培养
初三数学完美正方巧妙构造
完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1 （2002年某某省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB 为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。
例2 （2003年市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。
分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI ≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G ′在一条直线上，且C 为AG ′的中点。
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 阅读材料 完美矩形》教案_4
《完美矩形》教学设计
一、教学内容：
华师版数学八年级下册第十九章阅读材料：完美矩形。
二、教学目标：
1. 能借助正方形各边之间的关系并利用一元一次方程推算完美矩形各正方形的边长.
2. 经历方程思想解决几何问题的过程，体会数形结合的数学思想方法，积累数学活动经验.
三、教学重点、难点：
重点：探索用方程解决完美矩形的方法与过程。
难点：探索完美矩形时，如何利用设出未知量表示所有正方形的边长。
四、教具、学具准备：
教具：课件、电脑投影、实物展台、导学案等。
学具：大小不一正方形纸片、透明胶、草稿纸等。
五、教学过程：
六、作业布置:
思考并推算两个猜想：
1、存在更高阶的完美矩形吗？你能找到么？能将它在生活中变成现实吗？
2、存在更低阶的完美矩形吗？最低阶的完美矩形是多少阶？
、
七、板书设计：
完美矩形
步骤：1、设：正方形的边长为x
2、表：表其余各正方形的边长
3、列：一边多表。
完美正方形与完美长方形
1/ 1 完美正方形与完美长方形
完美正方形是指由若干个边长不相等的小正方形拼成的
大正方形。
如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个长方
形或正方形，则称为简单完美正方形，否则称为复合完美正方
形。
1939年斯普拉格造出第一个完美正方形，它由55个小正
方形组成，边长4205个单位。
最小的简单完美正方形由21个
小正方形组成，边长112个单位，于1978年由荷兰数学加杜
依维斯廷用计算机发现，这个完美正方形不仅阶数最低，同时数字也更简单（较小），且构造上有许多优美的特性，如右图（正方形内数字表
示正方形的边长）。
最小的复合完美正方形则由24个小正方形
组成，有威尔科克斯发现。
完美长方形，是可以分割成几个大小不同的正方形的长方
形。
完美长方形是由完美正方形演变来的，因为完美正方形太
难寻找了，所以有些人就放宽条件，转而研究完美长方形。
1925
年数学家莫伦发现世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成
10个大小不同的正方形。
长为33
个单位，宽为32个单位。
如右图。
矩形菱形与正方形矩形矩形的判定
总结词
等边菱形是一种具有两条相等的边和两个相等的内角的菱形。
详细描述
等边菱形的四条边都相等，且每个内角都是135度。这种形状给人以对称、平衡和稳定的感觉，因此常被用作装饰和设计元素。
等边菱形
总结词
完美正方形是一种具有四条等长边和四个直角正方形的四边形。
详细描述
完美正方形是一个理想的几何形状，其四条边长度相等，且每个角都是90度。这种形状具有绝对的对称性和平衡感，经常被用于建筑、设计和其他领域。
正方形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。
正方形的面积与周长
04
矩形菱形与正方形的异同点
Chapter
周长计算公式不同
矩形周长 = 2(长十宽)；菱形周长 = 4 x 边长；正方形周长 = 4 x 边长。
异同点比较
定义不同
矩形是指有一个相等的长和宽的平行四边形；菱形是指邻边相等的平行四边形；正方形是指长宽相等且邻边相等的平行四边形。
轴对称
菱形是轴对称图形，对称轴是菱形的对角线所在直线。
定义与性质
菱形的判定
定义判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
面积
菱形的面积等于其对角线乘积的一半，即 S=1/2ab 其中 a 和 b 是菱形的对角线长度。
要点一
要点二
周长
菱形的四条边都相等，所以周长 P=4a 其中 a 是菱形的边长。
菱形的面积与周长
几何应用
艺术创作
02
在艺术创作中，矩形和正方形可以创造出稳定和平衡的感觉，而菱形则可以营造出动态和流动的感觉。正方形也被广泛用于棋盘、地图等需要规则分割的场合。
自然界中
03
在自然界中，矩形和正方形可以在很多场合被找到，如湖面、山川、沙漠等。而菱形则可以在水晶等自然物体中找到。
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Y-3Z Z
Y-2Z
Y-Z
∴
2014年5月1日星期四
X=4
y=10
6
2 完美正方形
如果一个大正方形能由边长互不相等的小正方 形铺满，我们就称这个大正方形是完美正方形。
课本中图（3）是1978年荷兰数学家用大型计算机算 出的一个完美正方形，这个完美完美正方形是由21个小 正方形组成的，说成21阶，（图中的小正方形的边长没 有填写，你知道它的边长是多少吗？）其后，荷兰，苏 联数学家证明小于等于20阶的完美正方形不存在。
2014年5月1日星期四 2
怎样求出矩形的面积呢？
解：设右下角正方形的边长为x， 则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3
x+2 x+1 x
x+3 x
∴2x+5=3x+1， 解得x=4， ∴矩形的边长为13，11， ∴矩形的面积为13×11=143
故答案为143．
2014年5月1日星期四
3
1936年，英国剑桥大学的4名学生把一个矩形分成9 个大小各不相同的正方形（可以证明完美正方形是最少由 9个大小个不同的正方形铺成）
Y-Z
2014ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5月1日星期四
5
（2X+Y)+(X+Y)=(2Y-5Z)+(Y-2Z)+（Y-Z) ① (2X+Y)+(2Y-5Z)=(X+Y)+Y+(Y-Z) ②
整理
3X-2Y+8Z=0③ X-4Z=0 ∴X=4 ④
2X+Y 2Y-5Z
设Z=1代入④
将X=4,Z=1代入③ ∴y=10
Z=1
X X+Y Y
18
15
4 14 10
7 1
8 9
2014年5月1日星期四
4
1936年，英国剑桥大学的4名学生把一个矩形分成9 个大小各不相同的正方形（可以证明完美正方形是最少由 9个大小个不同的正方形铺成） 设最小的正方形边长为Z 其余两个分别为Y,X
2X+Y 2Y-5Z
由于矩形的对边相等 所以列出方程
X X+Y Y Y-3Z Z Y-2Z
2014年5月1日星期四
7
2014年5月1日星期四
8
2014年5月1日星期四
9
完美矩形与完美正方形（沪科版）
2014年5月1日星期四
1
1 完美矩形
如图（1）一个矩形是由6个正方形组成，如果中间最小 的正方形的面积是1，你能求出矩形的面积吗？ 从左图可以看出，图中的正方 形有两个是一样大的，如果一个 矩形的内部能用一些大小不相同 的正方形铺满，（既不重叠也无
缝）就称它为完美矩形。