完美正方形
完美正方形
完美正方形
在数学园地里，开放着许许多多的名花，“图论”是其中名贵的一束，而“完全正方形”在这束鲜花中更是芳香迷人的一朵。
数学中，把一个正方形分成有限个互不重叠的正方形，其中任两个不同，叫做正方形的完全正方化；把用互不相待的正方形组成的正方形叫完全正方形。
1926年，苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想。
所谓“完全正方形”，是指它可以用一些大小各不相同，并且边长为整数的小正方形铺满。
这个问题引起了当时正在英国剑桥大学读书的塔特、斯通等四名学生的兴趣。
到1938年，他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形，人们称它为63阶的完美正方形。
次年有人给出了一个39阶的完美正方形。
1964年，塔特的学生，滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形。
这个图形保持了12年的最佳纪录，这是不是阶数最小的完美正方形呢？ 1978年，荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤，用大型电子计算机算出了一个21阶的完美正方形。
这是完美正方形的最终目标了。
因为鲁金曾证明，小于21阶的完美正方形是不存在的。
如何出一个完美的正方形
如何出一个完美的正方形正方形，作为几何学中的一种基本形状，具有四条边相等且四个角皆为直角的特点，十分规整美观。
无论是画画、设计、建筑还是手工制作等领域，正方形都是一个常见且重要的要素。
在本文中，我们将探讨如何出一个完美的正方形，并介绍几种常用的方法和技巧。
一、用尺子和直角三角板绘制最常见且简单的方法是使用尺子和直角三角板。
以下是具体步骤：1. 准备工作：选择一张干净的纸或者绘画板，并确保直角三角板的边缘是平整的。
2. 选择边长：根据需要确定正方形的边长，假设边长为a。
3. 绘制边界线：使用尺子绘制一条水平线段，长度为a，作为正方形的一条边界线。
4. 绘制第二条边界线：将直角三角板的一条直边放置在第一条边界线的末端，再用尺子沿着直角三角板的另一条直边绘制一条垂直线段，长度也为a，与第一条边界线相交，形成正方形的两个相邻边。
5. 完成正方形：将直角三角板移至刚刚绘制的垂直线段的末端，并用尺子沿着直角三角板的边绘制直线，长度同样为a，与前两条线段相交，形成正方形的另外两条边。
至此正方形完成。
二、使用绘图软件绘制如今，随着计算机技术的不断进步，绘图软件已成为绘制几何图形的一种常用工具。
以下是使用常见绘图软件绘制正方形的步骤：1. 打开绘图软件：打开你擅长使用的绘图软件，如AutoCAD、Adobe Illustrator等。
2. 创建新文档：选择创建新文档，设置画布大小和单位，并确保画布是方形的。
3. 绘制边界线：使用绘图软件中的直线工具，在画布上绘制一条水平线段，长度为a，作为正方形的一条边界线。
4. 复制并旋转：选择绘制好的水平线段，使用软件中的复制功能复制一份，并旋转90度，使其与水平线段相交，形成正方形的两个相邻边。
5. 连接线段：使用直线工具绘制两条直线，连接旋转后的线段与前两条线段的末端，形成正方形的另外两条边。
至此，在绘图软件上绘制的正方形完成。
三、利用物体或工具辅助绘制除了尺子和绘图软件，我们还可以利用一些常见的物体或工具来辅助绘制正方形。
趣味数学
12345×8 + 5= 98765 123456×8 + 6= 987654 1234567×8 + 7= 9876543 12345678×8 + 8= 98765432 123456789×8 + 9= 987654321
• • • • • • • • • •
9×9 + 7= 88 98×9 + 6= 888 987×9 + 5= 8888 9876×9 + 4= 88888 98765×9 + 3= 888888 987654×9 + 2= 8888888 9876543×9 + 1= 88888888 98765432×9 + 0= 888888888 987654321×9 - 1=8888888888 9876543210×9 - 2=88888888888
1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 111111×111111=12345654321 1111111×1111111=1234567654321 11111111×11111111=123456787654321
• 当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现 象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如： 乘数为9的倍数 12345679×243=2999999997 • 只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现 “清一色”。 乘数为3的倍数，但不是9的倍数 12345679×84=1037037036 • 只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现 “三位一体”。 乘数为3K+1或3K+2型 12345679×98=1209876542 • 表面上看来，乘积中出现相同的2，但只要把乘积中最左 边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543， 是“缺1”数，仍是轮流“休息”。
华师大版数学八年级下册_知识拓展：完美正方形
完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。
这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。
第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。
这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。
此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。
于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。
利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。
1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正
方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。
更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。
杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
第16讲 完美的正方形
第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
小学校心理健康教育《完美的正方形》教案
完美的正方形设计意图：《完美的正方形》描写了一个正方形一周七天的经历，生活带给它风雨和伤痛，它却用乐观的心态面对，积极调整自我，让这些阻碍和挫折成就了更好的自己。
佛语中“孔雀食毒而颜色愈加鲜艳，海蚌含沙而珍珠熠熠发光”，你所经历的一切终将成为你生命中的财富，大概就是这个意思。
五年级是小学生思维迅速发展的时期，他们开始能够对事物的本质进行理解与分析，能够联系到自己生活，理解与领悟到绘本故事所表达的内涵。
小学生在生活中也会遇到来自家庭、同伴、学习等方面的困难和挫折，不少孩子缺乏有效的应对方法和策略，实际上，有一些孩子也很难通过告诉他们方法来改变（尤其是那些内在资源和力量较弱的孩子），这时候艺术疗愈的方法能够很好的帮助到孩子们，帮助他们在潜意识开展工作和转化。
发展性艺术治疗以积极心理学为理念，以艺术为手段，通过艺术各种形式，调节、管理不良情绪，有效调节身心平衡，激发个体自身潜能来解决问题，提升生命质量，提高主观幸福感，让生活充满乐观和希望，使个体生命更加充实而有意义。
教学目标：1.通过活动认识到，生活中每个人都会遭遇各种困难与挫折；2.正确看待挫折，尝试用积极的方法来应对和转化挫折，发现生命的多种可能性；3.在创作过程中，整合和疗愈过去的经历，纾解学生的不良情绪。
教学重难点：1.引导学生根据绘本联系到自己现实生活中遇到的问题及困难；2.提供一个温暖而安全的环境，让学生能够走进自己内心。
课时：1课时年级：5年级教学准备：分组4人一组、正方形卡纸、A4纸、三首轻音乐起来看游戏规则（PPT 出示）：1.老师给大家30秒钟回忆最近一周发生的事情（可以是任何事情）比如：昨天娇娇老师第一次见到同学们就被大家的热情感动了，我这两天都特别开心！ 2.击鼓传花：鼓响时大家开始传，至鼓停止为止；3. 传的人可以下座位，其他人不能下座位（师提醒：只能用传的方式，不能扔、抛）；4.此时球在谁手中(或其座位前),谁就来分享；设计意图：在首学环节，通过游戏的方式激发孩子对课堂的兴趣，游戏的内容也跟后面的内容联系紧密，激发学生思考，引出课题。
完美正方形
完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。
完美的正方形分割
在学习中,我们会遇到这样的问题,将一个大的正方形分割成若干个小的正方形.对于这样的问题,许多同学不知所措,现在我们来讨论如何将一个大正方形分割小正方形.首先,我们容易知道,一个正方形不能分割成2个、3个或5个小正方形.下面,假设一个正方形可以分割成n个小正方形(n≠2,3,5),究竟如何分法.当n=4时,情形比较简单,分割方法如图1,即将正方形的每边2等分即可.进一步推广便知,当正方形n=k2(k≥2)时分法如图1~3,即将正方形每边k等分,一共可得n=k2个小正方形,它们的大小是一样的.现将图1中的1个小正方形分割成4个,即可增加3个,一共可得7个,依此方法继续,又可得10个、13个……(如图4~6)可见,一个大正方形总可以分割成n=3k+1(k≥2)个小正方形;当n=3k+2(k≥2)时,根据上面的思路,最简单的情形是8个小正方形,就是说,只要能分成8个小正方形,那么8+3个,8+3×2个……都可以得到.怎样才能分成8个呢?刚才的思路是由4个小正方形进一步分割成7个、10个、13个或者更多的.现在我们倒回来想,将较多个数的正方形进行适当拼合,减少数量,......完美的正方形分割正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。
它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。
对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。
二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。
到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。
它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。
图1 图2现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。
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正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形。
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行） 当CD移动到 C D 位置，且 AD AB 时，此 时的图形还是矩形吗？
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
如图，在正方形ABCD中，点E在对角 线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？
D C
解：BE=DE. 因为 对角线AC所在的直 线是正方形ABCD的对 称轴，而点E在对称轴 上，点B为点D关于AC 的对称点， 所以 BE=DE
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边 形． （√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (
完美正方形正方形
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
判断题:
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
） ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ 是正方形（
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4．四个内角都相等的四边形一定是（C ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点， 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
B O
4 正方形的面积S=______.
5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，
O
36 6 面积S=________. 则边长AB＝______,
B
C
5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ）
E A B
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
对角线
对角线相等且互 对角线互相 相垂直平分，每 垂直，每条 条对角线平分一 对角线平分 组对角 一组对角 既是中心对 称图形又是 轴对称图形
) )
×
× ×
× ×
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
3、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
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√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
图形的 对称性
中心对称 既是中心对 既是中心对 称图形又是 称图形又是 图形 轴对称图形 轴对称图形
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义法
2、
菱形
一内角是直角
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
以四边形为基础：
①四条边相等，四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
小结
6 ．四个内角都相等，四条边也都相等的 A） 四边形一定是：（
A．正方形 行四边形
B．菱形
C．矩形
D．平
试一试
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC= 2 2 ,2