2.5状态估计-卡尔曼滤波
系统辨识 第三章 状态估计—Kalman滤波方法
定理 若 z 的协方差阵 Rzz 有逆 则 z 对 x 的线性无偏最小方差估计唯一地表示为 −1 ˆ = E ( x | z ) = m x + Rxz Rzz ( z − mz ) x (3.1.16) 且误差协方差阵为 −1 ~~ T ˆ ˆ T R~ x = cov{x x } = cov{( x − x )( x − x ) } = R xx − R xz R zz R zx (3.1.17)E[T * (Y ) − x] ≤ E[T (Y ) − x] 2 则称 T (Y ) 为最小方差估计 定理 设 x 和 Y 是两个联合分布的随机向量 期望值 ˆ = E[ x | y ] = ∫ x p( x | y )dx x
−∞ ∞
ˆ 就是 x 的条件 则 x 的最小方差估计 x (3.1.8)
估计值能够落在真值的任一
定义 如果对于任意实数 ε > 0 式 3.1.1 ˆ (N ) − x > ε} = 0 lim P{ x
N →∞
得到的估计量依概率收敛于真值
即 (3.1.4)
则称该估计为一致估计 充分估计 ˆ 包含了样本 { y (1), y (2),L , y ( N )} 关于 x 的全部信息 则称 x ˆ (N ) 为 x 的 如果 x 充分估计
−1
−1
−1
结合式
(3.1.18)
定理得证
5 定理 如果 z = { y (1),L , y ( N )} 是 Y 的一组子样 且 y (i ), i = 1, L , N 对 x 的线性无偏最小方差估计为 ˆ = E{x | z} = ∑ E ( x | y (i )) − ( N − 1)m x x
证明 假定 f ( y ) 为 x 的一个估计 其中 y 为随机向量 Y 的某一实现 则估计误差为 ~ x = x − f ( y) 且 E[ ~ x~ x T ] = E{[ x − f ( y )][ x − f ( y )]T = E{[ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )] • [ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )]T } = E{[ x − E ( x | y )][ x − [ x − E ( x | y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ x − E ( x | y )]T } 下面说明上式的最后两项为零 E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T }
卡尔曼滤波器
Ak (xk1 xˆk1 H kCk Ak (xˆk1 xk1) k1 H kCk Akk1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) (I H kCk )k1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) k1 H kvk
(2.5.17)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
所以(xˆskuǒ1yǐ) 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 E[(xk1 xˆk1)vkT ] E[vk (xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.18)
E[(xk1 xˆk1)kT1] E[k1(xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.19)
(2.5.24)
令
U T (Pk'CkT )T Ck Pk'T Ck Pk'
(2.5.25)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义:设A∈Cn×n是Hermite矩阵,如果对任意0≠x∈Cn,都有 xHAx＞0,则A是Hermite正定阵; 若xHAx≥0,则A是Hermite半正定阵.
定理(dìnglǐ):设A∈ Cn×n 是Hermite矩阵,则下列条件等价 (1)A是Hermite矩阵,AH=A (2)A的特征值全为正实数 (3)存在矩阵P ∈Cn×n,使得A=PHP
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程(fāngchéng)和量测方程(fāngchéng)
假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程(fāngchéng)和量 测方程(fāngchéng)（也称为输出方程(fāngchéng)）表示为
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
状态估计之kalman滤波
Π
其中：
Π
进而：
2012/6/6
Π
8
5.1 卡尔曼滤波
● 针对随机线性时不变离散系统，用状态方程描述如下：
⎧ X k = Φk ,k −1 X k −1 + Γ k ,k −1Wk −1 状态(转移)方程 ⎨ 观测方程 ⎩Zk = Hk X k + Vk
ˆ E ⎡ba T ⎤ = E ⎡ ( I − K k H k )Wk −1 ( X k −1 − X k −1 ) T ΦkT ( I − K k H k ) T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T E ⎡bc T ⎤ = E ⎡( I − K k H k )Wk −1VkT K k ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ E ⎡ca T ⎤ = E ⎡ K kVk ( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡cb T ⎤ = E ⎡ K kVkWkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2012/6/6
3
5.1 卡尔曼滤波
从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望 估值与状态的真实值的误差越小越好，即要求有：
ˆ x(t ) − x(t ) = min
因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 如何去估计状态值是一个非常重要的问题，卡尔 曼滤波通常用当前时刻输出测量值和前一时刻的 状态估计值去估计当前时刻的状态值。
ˆ ˆ = Φk ( X k −1 − X k −1 ) − K k H k Φ k ( X k −1 − X k −1 ) + Wk −1 − K k H kWk −1 − K kVk
状态估计卡尔曼滤波
22
13
它的特点是可以用递推的方法计算，其所需数据 存储量较小，便于进行实时处理。 具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量 方程对系统状态进行估计。
14
卡尔曼滤波具体运算步骤
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。 该系统可用一个线性随机微分方程 （Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k)
21
针对上述不足，很多学者提出了不同的方法加以 克服，如限定记忆法、平方根滤波、渐消记忆滤 波、自适应卡尔曼滤波(Adap tive Kalman Filtering,AKF)、抗野值滤波等。其中，AKF因为 具有自适应特性非常适合动态系统滤波而受到广 泛重视。因此，在采用卡尔曼滤波处理动态测量 数据时，一般都要考虑采取适当的自适应滤波方 法来解决这一问题。
2
估计理论是现代许多信号处理和数据处理系统的 基础，像雷达、声纳、通信等系统都有两个共同 的问题。 一是信号检测问题； 二是检测到信号以后需要估计信号的某些参数， 也就是参数估计问题。 参数估计按被估计的量是否是随时间变化的又分 为静态估计和数是不随时间变化的，而 动态估计中被估计的参数是随时间变化的。 动态估计又称为状态估计或波形估计。 其目的是： （1）对目标过去的运动状态进行平滑； （2）对目标现在的运动状态进行滤波； （3）对目标未来的运动状态进行预测，这些运动 状态包括目标位臵、速度、加速度等。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现）卡尔曼滤波器简介近来发现有些问题很多人都很感兴趣。
所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。
现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。
因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。
希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。
卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
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分成二项
ˆ b z b z X k 1 k 1 i k 1 k 1
i 1
k
ˆ X ˆ b (z X ˆ ) X k 1 k k 1 k 1 k
第一项同时乘、除一个bk
k b bk 1 ˆ k 1 ˆ X b z b z X k bk 1 zk 1 k 1 k i k 1 k 1 bk i 1 bk
bk 1
ˆ X k 1
z
递 归 公 式
1
20
X k 1 X k bk 1 ( zk 1 X k )
^
^
^
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应用时要注意初始条件，即递推开始时的初始值
ˆ 0最佳，递 为使 X 推初始条件
ˆ 0 )2 ] E[( x X 0 ˆ X 0
x，
式中： x —恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的加权系数。滤 波器的输出
ˆ hi zi X
i 1
m
h1=h2=…=hm=1/m
m 1 ˆ z X i m i 1
设要估计的随机信号为由均值为0，方差为σ2w的白噪声激励的一个一阶递归过 程，即信号对时间变化满足动态方程：
x(k)=ax(k-1)+w(k-1)
式中，a——系统参数 w(k-1)——白噪 声采样。
如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则
0 j 0 Pw ( j ) E[ w(k ) w(k j )] 2 w j 0
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解之，得 将其代入预测方程，有
a(k)=aa(k)=？cβ(k)
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1
m
在b<<m时
ˆ x )2 ] E[( h z x )2 ] P E[( X i i
i 1
m
最优非递归估计近似于采样平均
在噪声方差σ2n较大时
均值为零的白噪声
性能明显优于非最佳情况
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z k 1
bk 1
最优递归估计器 ˆ X k 1
1（ / 1 bk )
z
1
递 归 公 式
bk 1 ^ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
^
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z k 1
最优递归估计器
估计值， 则
ˆ k (1 a) yk X
12
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
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当k值较大时， 估值的均方误差
1 a 2 2 ˆ x) 2 P E [( X ] ? n k k 1 a
卡尔曼滤波器的局限性：
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问题时，动态方程和测量方程均为线性。
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器
2、递归估值器
5
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z2 h2 z3 h3 ∑
ˆ X
3
2、扩展Kalman滤波应用于时间非线性的动态系统。 自动化学院
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自动控制等
对机动目标跟踪中具有良好的性能
：卡尔曼滤波器的应用特点
为最佳估计并能够进行递归计算 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测值就能进行状态估计
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k 1) n (k 1) b
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b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b）
hi (k ) hi (k 1)
P (k )
2 n
bk bk 1
P (k 1)
2 n
ˆ 0 E ( x) X
若E(x)=0
ˆ 0 X 0 ˆ 0 X 20 x 1 b0 b0 2 ? n b
从零开始递推
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三、标量卡尔曼滤波器
主要作用：
对掺杂有噪声的随机信号进行பைடு நூலகம்性估计。
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1、模型 1） 信号模型
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2） 观测模型
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k)
式中：c——测量因子；
v(k)——E(·)=0，
D(·)=σ2n的白噪声。
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2、标量卡尔曼滤波器
由前将递归估计的形式写成：
ˆ ( k ) a( k ) X ˆ (k 1) b(k ) z(k ) X
而一次取样的均方误差
2 2 2 P E [( x n x ) ] E ( n ) 1 k k n
故这一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计
2、递归估计
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第5讲 状态估计—卡尔曼滤波
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状态估计的主要内容
状态估计主要内容： 位置估计： 速度估计：
位置与速度估计
距离、方位和高度或仰角的估计 速度、加速度估计
应用：
通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态向量。
1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
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k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出
k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如果以(1-a)yk作为x的
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3、标量卡尔曼预测器
标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。但经 常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。根据预测 提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、 m步预测， 通常
ˆ (k 1 / k ) 。预测的步数越多， 误差越大。 把1步预测记作 X
这种最小均方误 差准则下的线性 滤波，通常称作
m个参数逐一求导，令等于零
1 h ˆ i X ? zi m b i 1
15
m
b=σ2n/σ2x
标量维纳滤波。
ˆ x )2 ] P E [( X
1 2 n mb
h1 h2 hm
1 mb
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2、由最优非递归估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
1 2 P ( k ) n k b
k+1次取样
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
2
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状态估计的主要方法：
这些方法针对匀速或 匀加速目标提出，如 目标真实运动与采用 的目标 模型不致， 滤波器发散。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波
3、卡尔曼滤波
：算法的改进及适应性
状态估计难点：
机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善对机动目标的跟踪能力。
最后有递归估值器：
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ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
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滤波器增益b(k) ？
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一维标量卡尔曼滤波器， 其结构如图所示。
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z(k) ＋
∑ －
b(k)
＋
∑ ＋
ˆ (k ) X
c
a
z－ 1
标量卡尔曼滤波器结构
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
10