2.5状态估计-卡尔曼滤波解析
卡尔曼滤波器
Ak (xk1 xˆk1 H kCk Ak (xˆk1 xk1) k1 H kCk Akk1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) (I H kCk )k1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) k1 H kvk
(2.5.17)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
所以(xˆskuǒ1yǐ) 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 E[(xk1 xˆk1)vkT ] E[vk (xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.18)
E[(xk1 xˆk1)kT1] E[k1(xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.19)
(2.5.24)
令
U T (Pk'CkT )T Ck Pk'T Ck Pk'
(2.5.25)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义:设A∈Cn×n是Hermite矩阵,如果对任意0≠x∈Cn,都有 xHAx＞0,则A是Hermite正定阵; 若xHAx≥0,则A是Hermite半正定阵.
定理(dìnglǐ):设A∈ Cn×n 是Hermite矩阵,则下列条件等价 (1)A是Hermite矩阵,AH=A (2)A的特征值全为正实数 (3)存在矩阵P ∈Cn×n,使得A=PHP
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程(fāngchéng)和量测方程(fāngchéng)
假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程(fāngchéng)和量 测方程(fāngchéng)（也称为输出方程(fāngchéng)）表示为
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
kalman滤波算法预测和状态估计的基本方程
kalman滤波算法预测和状态估计的基本方程一、简介Kalman滤波算法是一种广泛应用于估计和预测过程的统计方法，尤其在自动化控制领域具有广泛的应用。
本文将介绍Kalman滤波算法的基本方程，包括预测和状态估计的过程。
二、基本方程1.预测方程预测方程是Kalman滤波算法的基础，它基于当前状态和已知的信息，对未来的状态进行预测。
预测方程的形式如下：x[k+1]=x[k]+u[k]+w[k]其中，x[k+1]表示未来的状态，x[k]表示当前状态，u[k]表示输入，w[k]表示过程噪声。
2.状态估计方程状态估计方程是在观测数据与预测数据存在误差的情况下，对当前状态进行估计。
状态估计方程的形式如下：x[k]=(A*x[k]+B*z[k])/(C*z[k]+D*x[k])+e[k]其中，x[k]表示当前状态，z[k]表示观测数据，A、B、C、D分别为状态转移矩阵、观测矩阵、控制矩阵和噪声协方差矩阵，e[k]表示误差项。
3.噪声模型Kalman滤波算法中，噪声模型是关键的一部分。
过程噪声和观测噪声通常被视为正态分布，其方差可以根据实际情况进行调整。
4.滤波增益矩阵滤波增益矩阵是Kalman滤波算法的核心，它用于在预测方程和状态估计方程之间进行转换。
滤波增益矩阵的形式如下：K[k]=P[k|k-1]C*T[C*P[k|k-1]*C*]+R[]/Q[]=H[k]*P[k|k-1]*H*T+R[]/Q[]P[k|k-1]=A*H[k]*P[k|k-1]*H*A*T+H*Q[k]*H*R[k]*H*Q*H+D*C*P[k]*D*C*T+D*Q*D*(A+C)为求得状态估计值及噪声协方差矩阵P及Q的值，必须知道噪声协方差矩阵R及Q的初值及噪声源特性参数（即过程的初值），但具体计算方式较复杂不便详述，读者可以查阅相关文献获取更详细的信息。
同时为了计算滤波增益矩阵K，也需要已知A、B、C、D的值。
三、总结Kalman滤波算法是一种广泛应用于估计和预测过程的统计方法，具有简单易实现、鲁棒性强等特点。
卡尔曼滤波器原理详解课件
VS
机器人避障
通过卡尔曼滤波器对机器人进行避障控制， 实现机器人在复杂环境中的安全导航。
06
卡尔曼滤词
详细描述
无迹卡尔曼滤波器
总结词 详细描述
自适应卡尔曼滤波器
缺点分析
假设限制
01
初值问题
02
计算复杂度
03
改进方向
扩展到非线性系统 优化算法 融合其他方法
05
卡尔曼滤波器的应用实例
无人机定位与控制
无人机定位
无人机控制
通过卡尔曼滤波器对无人机进行控制， 实现无人机的稳定飞行和精确控制。
航天器轨道确定
航天器轨道估计
航天器导航
机器人导航与避障
机器人路径规划
状态方程和观测方程
状态方程 观测方程
卡尔曼滤波器的递推算法
预测步骤
根据当前状态和输入预测下一个状态。
更新步骤
根据观测值和预测值更新状态估计。
递推算法
通过重复执行预测步骤和更新步骤，逐步更新状态估计。
卡尔曼滤波器的最优估计
最优估计
在给定观测数据和模型的情况下，使用某种准则（如最小方差）找到的最佳估计。
卡尔曼滤波器的基本原理
01
02
数学模型
递归估计
03 最优估计
02
卡尔曼滤波器的数学模型
线性动态系统
线性系统
如果系统的状态变量可以表示为输入和输出的 线性组合，则该系统是线性的。
动态系统
如果系统的状态随时间变化，则该系统是动态的。
线性动态系统
如果一个系统既是线性的又是动态的，则该系统被称为线性动态系统。
卡尔曼滤波原理详解及系统模型建立
卡尔曼滤波原理详解及系统模型建立卡尔曼滤波是一种常见的信号处理方法，它通过利用测量数据和预测模型，在存在不确定性的情况下对系统状态进行估计和修正。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理，并讨论系统模型的建立。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，其基本思想是通过利用当前时刻的测量值和上一时刻的状态估计值，结合系统的动力学模型，对当前时刻的状态进行估计和修正。
卡尔曼滤波的核心是在状态估计过程中考虑了测量误差和系统动态误差，从而有效地抑制了噪声的影响。
卡尔曼滤波的基本过程可以分为两个步骤：预测和修正。
首先，根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计值，通过状态方程对当前时刻的状态进行预测。
然后，根据当前时刻的测量值和预测的状态值，利用观测方程对状态进行修正。
通过不断地迭代这两个步骤，可以逐步逼近真实的系统状态。
在卡尔曼滤波中，状态估计值由两部分组成：先验估计和后验估计。
先验估计是在没有测量信息的情况下，根据系统的动力学模型对状态进行预测得到的估计值。
后验估计是在有测量信息的情况下，根据测量值对状态进行修正得到的估计值。
卡尔曼滤波通过融合这两个估计值，得到最优的状态估计。
二、系统模型建立在进行卡尔曼滤波之前，需要建立系统的数学模型。
系统模型包括状态方程和观测方程两部分。
1. 状态方程：描述系统状态的动态演化规律。
一般形式为：x(k) = A * x(k-1) + B * u(k) + w(k)其中，x(k)表示系统的状态向量，A表示状态转移矩阵，B表示输入控制矩阵，u(k)表示外部输入，w(k)表示系统的过程噪声。
2. 观测方程：描述系统状态与测量值之间的关系。
一般形式为：z(k) = H * x(k) + v(k)其中，z(k)表示测量向量，H表示观测矩阵，v(k)表示测量噪声。
在建立系统模型时，需要考虑系统的特性和实际应用场景。
对于线性系统，状态方程和观测方程可以直接通过物理方程或系统特性方程建立。
卡尔曼滤波算法
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
数据融合的模型: (a)集中式融合系统;
(b)无反馈式分布融合系统;
(c)有反馈式分布融合系统; (d)有反馈的全并行系统
(c)有反馈式分布融合系统
融合中心到各传感器有反 馈通道,提高各传感器状态 估计和预测精度。
2021/3/28
27
五:卡尔曼滤波的典型应用—多传感器数据融合处理
k时刻的状态预测x(k|k-1)
描述x(k|k-1)优劣程度的协方差P(k|k-1)
k-1
x(k|k)
k时刻2021/3/28
k+1
18
四:卡尔曼滤波算法数学推导
z(k)= H x(k|k-1)+v(k)
实测
x(k|k-1)
P(k|k-1)
测量值z(k)
k-1
x(k+1|k+1)
K时刻 2021/3/28
四:卡尔曼滤波算法数学推导
u
z
可见
隐藏
B
H
v
R
圆圈代表向量 方块代表矩阵
x
F
x
星号代表高斯噪声
w
k-1
Q
k
k+1
卡尔曼滤波器的模型
2021/3/28
15
四:卡尔曼滤波算法数学推导
x(k-1)
z(k) u(k) x(k|k)
k-1时刻
k时刻
2021/3/28
k+1时刻
16
四:卡尔曼滤波算法数学推导
高通、低通、带通、带阻滤波器。
现代滤波:利用信号和噪声的随机统计特性。
维纳滤波,Kalman滤波,自适应滤波,小波变换等
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它于1960年代由R.E.卡尔曼提出，被广泛应用于飞机、导弹、航天器等领域，并逐渐在其他科学领域中得到应用。
卡尔曼滤波的基本思想是通过融合测量数据和系统模型的信息，对系统状态进行更准确的估计。
其核心原理是基于贝叶斯定理，将先验知识与观测数据相结合来更新系统状态的概率分布。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：更新和预测。
在更新步骤中，算法通过观测值来计算系统的状态估计。
在预测步骤中，算法使用系统的模型对下一个时间步长的状态进行预测。
通过反复进行这两个步骤，可以得到不断更新的状态估计结果。
卡尔曼滤波算法的关键是系统模型和观测模型的建立。
系统模型描述了系统状态的演化规律，通常用线性动态方程表示。
观测模型描述了观测值与系统状态之间的关系，也通常用线性方程表示。
当系统模型和观测模型都是线性的，并且系统噪声和观测噪声都是高斯分布时，卡尔曼滤波算法能够得到最优的状态估计。
卡尔曼滤波的优点在于，在给定模型和测量信息的情况下，它能够最小化误差，并提供最佳的状态估计。
此外，卡尔曼滤波算法还具有递归、高效、低存储等特点，使其在实时应用中具有广泛的应用前景。
然而，卡尔曼滤波算法也有一些限制。
首先，它要求系统模型和观测模型能够准确地描述系统的动态特性。
如果模型存在误差或不完全符合实际情况，滤波结果可能会产生偏差。
其次，卡尔曼滤波算法适用于线性系统，对于非线性系统需要进行扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波或无迹卡尔曼滤波。
另外，卡尔曼滤波算法还会受到噪声的影响。
如果系统的噪声比较大，滤波结果可能会失真。
此外，卡尔曼滤波算法对初始状态的选择也敏感，不同的初始状态可能会导致不同的滤波结果。
综上所述，卡尔曼滤波是一种高效、优秀的滤波算法，能够在给定模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
然而，它也有一些局限性，需要充分考虑系统模型和观测模型的准确性、噪声的影响以及初始状态的选择。
卡尔曼滤波详细推导
卡尔曼滤波详细推导《卡尔曼滤波详细推导》引言卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的强大方法。
它基于贝叶斯定理和最小均方差原则，能够精确估计系统的状态，并优化其预测性能。
本文将详细推导卡尔曼滤波的过程和数学原理。
一、基本假设在卡尔曼滤波中，我们做出以下假设：1. 系统是线性的：状态转移方程和观测方程都是线性的。
2. 噪声是高斯且互相独立的：过程噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间互相独立。
二、状态空间模型状态空间模型是卡尔曼滤波的基本框架，它由状态转移方程和观测方程组成。
假设我们的系统有n个状态变量和m个观测变量，则状态转移方程和观测方程可以分别表示为：状态转移方程：x_k = A_k-1 * x_k-1 + B_k-1 * u_k-1 + w_k-1观测方程：z_k = H_k * x_k + v_k其中，x_k表示系统在时刻k的状态向量，A_k-1是状态转移矩阵，B_k-1是输入矩阵，u_k-1是外部输入向量，w_k-1是过程噪声向量。
z_k表示时刻k的观测向量，H_k是观测矩阵，v_k是观测噪声向量。
三、卡尔曼滤波的递推步骤卡尔曼滤波主要包含两个步骤：预测步骤和更新步骤。
预测步骤：1. 预测状态：根据上一时刻的状态估计和状态转移方程，计算当前时刻的状态的预测值：x_k|k-1 = A_k-1 * x_k-1|k-1 + B_k-1 * u_k-12. 预测误差协方差：根据上一时刻的状态估计的误差协方差和系统噪声，计算当前时刻状态的预测误差协方差：P_k|k-1 = A_k-1 * P_k-1|k-1 * A_k-1^T + Q_k-1更新步骤：1. 计算观测残差：根据观测方程和当前时刻的观测值，计算观测向量的预测值与观测向量之间的残差：y_k = z_k - H_k * x_k|k-12. 计算预测残差协方差：根据预测误差协方差和观测噪声，计算预测残差的协方差矩阵：S_k = H_k * P_k|k-1 * H_k^T + R_k3. 计算卡尔曼增益：根据预测残差协方差和观测残差，计算卡尔曼增益的矩阵形式：K_k = P_k|k-1 * H_k^T * S_k^-14. 更新状态估计：根据预测状态和卡尔曼增益，计算更新的状态估计：x_k|k = x_k|k-1 + K_k * y_k5. 更新误差协方差：根据卡尔曼增益，计算更新的误差协方差矩阵：P_k|k = (I - K_k * H_k) * P_k|k-1四、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波广泛应用于各种需要状态估计的领域。
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2、由最优非递归估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
1 2 P ( k ) n k b
k+1次取样
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
2 2
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结论
①估计值 X 是用m个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少； ③该估值器是一个无偏估值器
^
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x ) x0 m i 1
是用m个采样值的 平均值作为被估参 量x的近似值的，故 称其为采样平均估
值器。
8
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均方误差估计
2 m m 2 1 ˆ ( n P E E( ( ) ) E E (X X x x) )2 ? ˆ P E n n 2 j i m j 1 i 1 m
3
2、扩展Kalman滤波应用于时间非线性的动态系统。 自动化学院
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自动控制等
对机动目标跟踪中具有良好的性能
：卡尔曼滤波器的应用特点
为最佳估计并能够进行递归计算 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测值就能进行状态估计
而一次取样的均方误差
2 2 2 P E [( x n x ) ] E ( n ) 1 k k n
故这一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计
2、递归估计
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估计值， 则
ˆ k (1 a) yk X
12
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
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当k值较大时， 估值的均方误差
1 a 2 2 ˆ x) 2 P E [( X ] ? n k k 1 a
这种最小均方误 差准则下的线性 滤波，通常称作
m个参数逐一求导，令等于零
1 h ˆ i X ? zi m b i 1
15
m
b=σ2n/σ2x
标量维纳滤波。
ˆ x )2 ] P E [( X
1 2 n mb
h1 h2 hm
1 mb
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k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出
k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如果以(1-a)yk作为x的
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第5讲 状态估计—卡尔曼滤波
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状态估计的主要内容
状态估计主要内容： 位置估计： 速度估计：
位置与速度估计
距离、方位和高度或仰角的估计 速度、加速度估计
应用：
通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态向量。
1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
i 1 i 1
k 1k 1Fra bibliotek1 2 P (k 1) n (k 1) b
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b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b）
hi (k ) hi (k 1)
x，
式中： x — nk —观测噪声采样
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的加权系数。滤 波器的输出
ˆ hi zi X
i 1
m
h1=h2=…=hm=1/m
m 1 ˆ z X i m i 1
ˆ 该式表明，估计 X
2
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状态估计的主要方法：
这些方法针对匀速或 匀加速目标提出，如 目标真实运动与采用 的目标 模型不致， 滤波器发散。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波
3、卡尔曼滤波
：算法的改进及适应性
状态估计难点：
机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善对机动目标的跟踪能力。
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2、递归估值器
一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－ 1 1－a ˆ X k
＋
yk ayk 1 zk zk x nk
11
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1 的滤波器加权系数， 如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
卡尔曼滤波器的局限性：
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问题时，动态方程和测量方程均为线性。
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器
2、递归估值器
5
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z2 h2 z3 h3 ∑
ˆ X
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1
m
在b<<m时
ˆ x )2 ] E[( h z x )2 ] P E[( X i i
i 1
m
最优非递归估计近似于采样平均
在噪声方差σ2n较大时
均值为零的白噪声
性能明显优于非最佳情况
z－ 1
z－ 1
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中估计信号x。
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根据数字信号处理技术，所谓非递归数字滤波器是一种只有前馈而没有反馈 的滤波器。
假定用zk表示观测值
zk=x+nk
假定，E(x)=x0 E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。 ，D(x)=σ2