第七讲信息融合状态估计卡尔曼滤波
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于贝叶斯估计理论的递归最优线性最小方差滤波器，它在信号处理和控制工程领域中广泛应用，尤其擅长于多传感器数据融合以及动态系统的状态估计。
其融合原理可以简化表述如下：
1.预测阶段：
1.利用系统的动态模型，根据上一时刻的状态估计值及其协方差矩
阵，结合当前时刻的系统输入（如果有），通过状态转移方程预测下一时刻的状态和相应的预测误差协方差矩阵。
2.更新阶段：
1.当新的观测数据可用时，通过观测模型计算出一个预测与实际观测
之间的残差（即所谓的卡尔曼增益K）。
2.卡尔曼增益是基于预测误差协方差和观测噪声的协方差之比确定
的，它反映了对预测的信任度和对观测的信任度的相对权重。
3.使用这个增益来调整预测状态，得到一个更加准确的状态估计，也
就是将预测结果与实际测量值进行加权融合。
4.同时更新后验状态误差协方差矩阵，以反映新信息被融合后的不确
定性。
整个过程的关键在于如何最优地结合来自系统动力学模型预测的信息（先验信息）与从传感器获取的实时观测信息（后验信息）。
由于假定噪声项服从高斯分布，卡尔曼滤波能够找到一种数学上的最优解，使得状态估计具有最小均方误差。
在实际应用中，这种融合方法非常强大且灵活，可以处理连续时间或离散时间的线性系统，对于非线性系统则可通过扩展如扩展卡尔曼滤波等方法来近似处理。
卡尔曼滤波算法基本原理
卡尔曼滤波算法基本原理一、概述卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，主要用于估计含有噪声的测量数据，并能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。
本篇文章将详细介绍卡尔曼滤波算法的基本原理。
二、基本原理1.状态方程：卡尔曼滤波算法基于线性系统状态空间模型，该模型可以用状态方程来表示。
状态方程通常包含系统的内部状态、输入和输出，可以用数学公式表示为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)+w(t)。
其中，x(t)表示系统内部状态，u(t)表示输入，w(t)表示测量噪声。
2.测量方程：测量数据通常受到噪声的影响，卡尔曼滤波算法通过建立测量方程来处理噪声数据。
测量方程通常表示为：z(t)=h(x(t))+v(t)，其中z(t)表示测量数据，h(x(t))表示系统输出，v(t)表示测量噪声。
3.卡尔曼滤波算法：卡尔曼滤波算法通过递归的方式，根据历史状态和测量数据来估计当前系统的内部状态。
算法的核心是利用过去的估计误差和测量误差来预测当前的状态，并不断更新估计值，以达到最优估计的效果。
卡尔曼滤波算法主要包括预测和更新两个步骤。
预测步骤根据状态方程和上一步的估计值，预测当前的状态；更新步骤则根据当前的测量数据和预测值，以及系统协方差矩阵，来更新当前状态的估计值和系统协方差矩阵。
4.滤波器的选择：在实际应用中，需要根据系统的特性和噪声的性质来选择合适的卡尔曼滤波器。
常见的滤波器有标准卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器等。
选择合适的滤波器可以提高估计精度，降低误差。
三、应用场景卡尔曼滤波算法在许多领域都有应用，如航空航天、自动驾驶、机器人控制等。
在上述领域中，由于系统复杂、噪声干扰大，使用卡尔曼滤波算法可以有效地提高系统的估计精度和控制效果。
四、总结卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，通过预测和更新的方式，能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。
本篇文章详细介绍了卡尔曼滤波算法的基本原理和应用场景，希望能对大家有所帮助。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波 数据融合算法
卡尔曼滤波数据融合算法卡尔曼滤波是一种数据融合算法，主要应用于对测量值进行估计，以及滤除测量误差的影响，从而得到更加准确的估计值。
卡尔曼滤波是一种递归算法，能够根据之前的状态和观测值来预测下一个时刻的状态。
下面将分步骤阐述卡尔曼滤波的实现过程：第一步：建立模型卡尔曼滤波是一种基于状态空间模型的算法，所以在实施卡尔曼滤波之前，需要先建立一个状态空间模型。
状态空间模型可以表示为一个动态方程和一个观测方程。
其中，动态方程用来描述系统的演化规律，而观测方程表示系统状态的可观测部分，即通过测量得到的信息。
第二步：进行预测在卡尔曼滤波开始时，需要先对系统状态进行预测。
预测的方法是利用之前的状态，通过动态方程推出下一个时刻的状态。
预测出来的状态通常被称为先验状态。
第三步：计算卡尔曼增益卡尔曼增益是一种用于加权测量值和先验值的权重，可以根据观测方程和测量误差求得。
卡尔曼增益的值越高，说明观测值对估计值的影响越大，而先验值对估计值的影响则越小。
第四步：校准先验状态在计算出卡尔曼增益之后，可以使用观测方程来校准先验状态。
这意味着我们可以根据观测值来对估计值进行修正。
修正后的状态通常称为后验状态。
第五步：更新协方差矩阵在校准先验状态之后，需要再次更新协方差矩阵。
协方差矩阵用于评估估计误差的大小，它的值越小，说明估计值越准确。
第六步：重复以上步骤以上步骤构成了一次卡尔曼滤波的过程。
接着，我们可以根据新的状态和观测值，再次进行预测、计算卡尔曼增益、校准状态、更新协方差矩阵的过程，以得到更加准确的估计值。
总之，卡尔曼滤波是一种非常有效的数据融合算法。
它可以将多个来源的信息进行整合，并通过动态方程来预测系统的状态，通过校准先验状态和更新协方差矩阵来逐渐提高估计的准确度。
在许多应用领域，比如导航、控制、通信等方面，卡尔曼滤波都有广泛的应用。
07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
32
W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
33
2、标量卡尔曼滤波器
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
34
b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
16
式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
19
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的强大工具，它在许多领域都有着广泛的应用，包括航空航天、自动控制、金融领域等。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和应用，并探讨其在状态估计模型中的重要性。
首先，让我们了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过将系统的动态模型和测量模型结合起来，不断地更新对系统状态的估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型来预测下一个时刻的状态，然后利用测量值来修正这一预测，从而得到对系统真实状态的更准确估计。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常用于处理带有噪声的传感器数据，以及对系统状态进行估计。
例如，在飞行器导航系统中，卡尔曼滤波可以用来估计飞行器的位置和速度，从而实现精确的导航控制。
在自动驾驶汽车中，卡尔曼滤波可以用来融合来自不同传感器的数据，以实现对车辆位置和周围环境的准确估计。
除了在航空航天和自动控制领域的应用外，卡尔曼滤波在金融领域也有着重要的应用。
例如，它可以用来对金融市场的波动进行
预测，从而帮助投资者做出更明智的决策。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计方法，它在许多领域
都有着广泛的应用。
通过结合系统动态模型和测量模型，卡尔曼滤
波可以对系统状态进行准确的估计，从而为实际应用提供了重要的
支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解卡尔曼滤波的原理和应用，并在实际工程中加以应用。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波 详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它于1960年代由R.E.卡尔曼提出，被广泛应用于飞机、导弹、航天器等领域，并逐渐在其他科学领域中得到应用。
卡尔曼滤波的基本思想是通过融合测量数据和系统模型的信息，对系统状态进行更准确的估计。
其核心原理是基于贝叶斯定理，将先验知识与观测数据相结合来更新系统状态的概率分布。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：更新和预测。
在更新步骤中，算法通过观测值来计算系统的状态估计。
在预测步骤中，算法使用系统的模型对下一个时间步长的状态进行预测。
通过反复进行这两个步骤，可以得到不断更新的状态估计结果。
卡尔曼滤波算法的关键是系统模型和观测模型的建立。
系统模型描述了系统状态的演化规律，通常用线性动态方程表示。
观测模型描述了观测值与系统状态之间的关系，也通常用线性方程表示。
当系统模型和观测模型都是线性的，并且系统噪声和观测噪声都是高斯分布时，卡尔曼滤波算法能够得到最优的状态估计。
卡尔曼滤波的优点在于，在给定模型和测量信息的情况下，它能够最小化误差，并提供最佳的状态估计。
此外，卡尔曼滤波算法还具有递归、高效、低存储等特点，使其在实时应用中具有广泛的应用前景。
然而，卡尔曼滤波算法也有一些限制。
首先，它要求系统模型和观测模型能够准确地描述系统的动态特性。
如果模型存在误差或不完全符合实际情况，滤波结果可能会产生偏差。
其次，卡尔曼滤波算法适用于线性系统，对于非线性系统需要进行扩展，例如使用扩展卡尔曼滤波或无迹卡尔曼滤波。
另外，卡尔曼滤波算法还会受到噪声的影响。
如果系统的噪声比较大，滤波结果可能会失真。
此外，卡尔曼滤波算法对初始状态的选择也敏感，不同的初始状态可能会导致不同的滤波结果。
综上所述，卡尔曼滤波是一种高效、优秀的滤波算法，能够在给定模型和测量信息的情况下提供最优的状态估计。
然而，它也有一些局限性，需要充分考虑系统模型和观测模型的准确性、噪声的影响以及初始状态的选择。
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1.
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
ˆ x )2 ] P E [( X
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2、递归估值器
一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－ 1 1－a ˆ X k
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
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递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉
冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪
声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
3
状态估计的主要方法
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
4
算法的改进及适应性
状态估计难点：机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善 对机动目标的跟踪能力。 2、扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 标系中才能使用的局限而提出。
1 a 2 2 ˆ P E [( X k x ) ] n 1 a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
P 1 E[( x nk x) ] E(n )
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
由于 │ a│ ＜ 1 ，故随着 k 值的增加， yk 趋近于 x/(1-a) 。这样，如 果以(1-a)yk作为x的估计值，
ˆ k (1 a) yk X
则
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ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
iபைடு நூலகம்1
k
此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 估值的均方误差
5
卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
6
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能；
为最佳估计并能够进行递推计算；
只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
7
卡尔曼滤波器的局限性
当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有
最后得：
ij
m
P
13
2 n
m
结论
①估计值 是用m X个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
^
③该估值器是一个无偏估值器。
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x) x0 m i 1
m
ˆ hi zi X
i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
m 1 ˆ z X i m i 1
ˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的 该式表明，估计 X
近似值的，故称其为采样平均估值器。
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估计的均方误差以Pε表示，有
m m 1 1 2 2 2 ˆ P E ( ) E ( X x ) E 2 n j ni 2 n ji m j 1 i 1 m j i
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
8
一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
9
1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z－ 1 z2 h2 z－ 1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
m 1 ˆ X zi m b i 1
1 2 n mb
其中，b=σ2n/σ2x，在 b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪
声方差σ2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方 误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。
hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为
21
1 h1 h2 hm mb
yk ay k 1 zk z k x nk
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
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式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
10
根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一
种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，
在许多领域有着广泛的应用。
假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x — nk —观测噪声采样 假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的 加权系数。滤波器的输出
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1 2 P (k 1) n (k 1) b
由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有
hi (k ) hi (k 1)
第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
2
状态估计主要内容：位置与速度估计。
位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
2
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
相应的估计误差
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k ) n k b