专题25平面几何的最值问题
平面几何的最值问题及求法
数 学教 学
２１ 年第 ５ ００ 期
平 面几何 的最值 问题 及 求法
５５ ２１ ３ ０广东 省东莞市常 学（ 部 平中 高中 ）陈 洪波
一
、
利用三角形的性质
利用三 角形 “ 两边之和大 于第三边， 两边之
设正 △ＡＢ 的边长为 ２ Ｍ 是 Ｊ 边上的中点， ， Ｅ ； ｊ是边Ｂ ［ ） 上的任意一点， ＋Ｐ 的最大值 Ｐ Ｍ 和最小值分别记为ｓ ， 和ｔ 则求 ｓ 一ｔ的值． 解： 如图 ２ ． Ｐ ≤ ，’ ，Ｆ ≤ Ｍ， ’ Ｊ ） ＰＡ＋ ＰＭ ≤ ＣＡ＋ ＣＭ ＝ ２＋ 、３ ／． ／
所 以Ｐ Ｐ ＝ ｘＯｐ ２ ／ ＇ ＋Ｏ ＂ Ｐ
例２ （ ０ 年全国初中数学联合竞赛试题） ２ ０ ０
２１ 年第 ５ ００ 期
＝ ￣ ＯＰ２＋ ＯＰ２＝ １ ｖ － ／ ０ ／ ２
．
数 学教 学
５２ —５
解： 以点 为旋转 中心， ＡＢＣ 将 Ｅ按顺时针 方向旋转 ６ 。 ＡＢＧ 连结 ＥＦ， ＡＢ ０到 Ｆ， 则 ＥＦ为
Ａ１
、
‘ ＼ ，
‘
、 ＼＼ Ｍ 、１ ＾
＝
３ 。 ０ ．
ｊ、 、 ‘ ， Ｎ
图４
设 正方 形 边 长 为 ， ＢＧ ＝ ， 则 ＧＨ ＝ － ， ４ ｘ
Ｂ 日 ： 日 ：
（ ） ＋ ．
由Ｇ Ｈ 十 日 ＝ＡＧ ， 得
１ ２ ＋
分析： 因河宽一定的， 以桥 Ｍ Ⅳ 的长度一 所 定， 只须使 Ｍ ＋ＢⅣ 最短即可． 可平移 Ｍ （ 或
于 Ｂ． ’Ｒｃ ． △ＤＤ Ｇ中， ＤＧ． 。ＤＤ ． ＤＤ ＞ ． ．
＞
Ｍ 连结 ＣＭ 则 ． ， Ｍ ＝ ９ 。 所以 ０， Ｍ ｘＡ ＋Ｃ ＝ ／ Ｃ２ ＝ 、７ ． ＝ 、 ． ／，’ ／ ．￡ ／ ／ ７ 从而 ８ 一ｔ ＝（ 十 ） 一７ ４ ． 。 。 ２ 。 ＝４ ５ 二、 利用对称变换 例３ （００ ２０ 年黄 冈初 中数学竞赛试题） 如图 ３ ， （Ｂ ＝ ４ 。 二 ） ５ 角内有一 点Ｐ， ＰＯ ＝ １， ０ 在 角的两条 边上有两点 Ｑ 均不 同于点 Ｄ， 、 求 ＡＰ Ｒ的周长的最小值． Ｑ
几何中的最值问题
几何中的最值问题作为一门重要的数学学科，几何中有许多重要的概念和方法，其中最值问题是一个广泛研究的内容。
在几何中，最值问题是指在某些条件下，某个几何量（如长度、面积、体积等）的最大值或最小值问题。
本文将从不同角度介绍几何中的最值问题及其应用。
一、最值问题的基础概念在几何问题中，最值问题最常见的便是一些面积、长度和体积的最值问题。
最常见的方法是使用微积分的极值定理，通过计算导数为0的点来找到函数的最大值和最小值。
此外，还有最大和最小的边界问题。
这些问题需要考虑的是给定条件下的最大可行解或最小可行解。
例如，给定一个面积固定的矩形，我们需要求出其长度和宽度的最大或最小值。
这些问题与微积分密切相关，但在解决这些问题时需要更多的几何知识和直觉。
二、平面几何中的最值问题在平面几何中，最值问题通常涉及三角形、四边形和圆形等形状。
这些形状的特性可以用来求解最值问题，通常需要使用各种几何知识和技巧。
例如，对于一个给定面积的三角形，在其周长恒定的情况下，需要求出该三角形的最大或最小长度。
为解决这类问题，我们可以利用三角形的海涅定理或余弦定理，通过微积分的极值定理得到最优解。
对于圆形，最值问题可能涉及到面积和周长问题，这些需要用到圆相关的特点和公式，如半径、直径、周长和面积等，通常需要通过微积分的方法求解。
另一方面，对于四边形最值问题，我们需要利用它们的对角线和相邻边的关系来解决，这通常需要将四边形划分为三角形或矩形来计算。
三、空间几何中的最值问题在空间几何中，最值问题通常涉及立体体积，包括长方体、正方体、棱锥和棱柱等。
这些问题需要利用空间几何的特点和公式来求解，常用的方法包括微积分的极值定理和立体几何的体积计算公式。
例如，对于一个矩形长方体，在其表面积固定的情况下，需要求出其有最大或最小的体积。
如果我们设该矩形长方体的长、宽和高分别为x、y和z，那么该矩形长方体的体积可以表示为V(x,y,z)=xyz。
通过微积分的方法，可以证明只有当x=y=z时，该方体的体积最大。
专题25 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题(学生版)
专题25 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题一．选择题（共4小题）1．（2021春•顺德区期末）点P 为ABC ∆所在平面内一点，当PA PB PC ++取到最小值时，则称该点为ABC ∆的“费马点”．当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，费马点满足如下特征：120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒．如图，在ABC ∆中，AB AC ==BC 点到A ，B ，C 三点的距离之和为( )A ．4B ．2C ．2-D ．2+2．（2020秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数()f x =的最小值为( )A ．2BC ．2-D ．2+3．（2020秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．2B ．2C 1-D 1+4．（2014春•鹿城区校级期末）设点F 为锐角ABC ∆的“费马点”，即F 是在ABC ∆内满足120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒的点．若||3FA =，|4FB =，||5FC =，且实数x ，y 满足AF xAB y AC =+，则(x y= ) A ．54 B ．2516 C ．32 D ．94二．填空题（共15小题）5．（2021•泰安模拟）在一个三角形ABC 中到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，因此费马点也称为三角形的等角中心如图，在ABC ∆外作等边ACD ∆，再作ACD ∆的外接圆，则外接圆与线段BD 的交点P 即为费马点．若1AB =，2BC =，90CAB ∠=︒，则PA PB PC ++= ．6．（2021•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 ．7．（2021•江西模拟）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π．已知点P 为ABC ∆的费马点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2sin()cos 6A C B π=-，且22()6b a c =-+，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅的值为 ．8．（2020秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．9．（2020•江西模拟）我们把三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点，若三角形内角均小于120︒，则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为120︒．已知三角形ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若||a b -=，60C =︒，若三角形ABC 的费马点为O ，则OA OB OB OC OC OA ++= ．10．（2018秋•上虞区期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，已知(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，P 为ABC ∆内一点，记()||||||f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为 ，此时sin PBC ∠= ．11．（2019•凉山州模拟）点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）．若(0,2)A ，(1,0)B -，(1,0)C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000||||||AM BM CM ++的大小等于 ．12．（2018秋•荆州区校级期中）以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC ∆的正等角中心．当ABC ∆的每个内角都小于120︒时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为 ．13．（2019春•石家庄期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，函数()f x =的最小值为 ．14．（2021春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．15．（2021春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．16．（2021•泉州二模）拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点．”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值．如图，设ABC ∆代表旧城区，新的城市发展中心1O ，2O ，3O 分别为正ACD ∆，正ABE ∆，正BCF ∆的中心．现已知2AB =，30ACB ∠=︒，△123O O O ABC 的面积为 ．17．（2021•浔阳区校级模拟）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若三角形123O O O 角形ABC 的周长最小值为 ．18．（2021•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O ABC ∆的周长的取值范围为 ．19．（2021•江苏模拟）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若三角形123O O O ，则三角形ABC 的周长最小值为 ．三．解答题（共3小题）20．（2021春•台江区校级期中）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对ABC ∆而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC ∆的费马点．如图所示，在ABC ∆中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC ∆的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =．（1）求PAC ∆的面积；（2）求PB 的长度．21．如图，在ABC∆中，90ABC∠=︒，AB，1BC=，P为ABC∆内一点，90BPC∠=︒．（1）若12PB=，求PA；（2）若150APB∠=︒，求tan PBA∠．22．在ABC∆内存在一点O，满足BAO CAO CBO ACO∠=∠=∠=∠，求证：ABC∆的三边构成等比数列．。
几何中的最值问题
几何中的最值问题在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
变式1：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使P A－PB最大。
ALB例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。
A'例3、已知：如图⊙O1与⊙O2相交于C、D,A是⊙O1上一点，直线AD交⊙O2于点B。
⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O2于点B’，连结A’C、B’C。
证明：△A’B’C ∽△ABC。
(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S△A’B’C最大，说明理由。
（3）当O1 O2＝11，CD＝9时，求S△A’B’C的最大值。
BB图1 图2例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝y mm ，宽MN＝x mm（1）求证：y=120- x(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？。
专题25平面几何的最值问题_答案.doc
专题25 平面几何的最值问题例】等提示：当CM ®吋，CM 值最小，g 営:晋MN 的最小值为点厅到AB 的距离B'F, BE= —— = 4^5 cm, AC阳=8亦cm, AE=-BE 1=(20, -(4⑹'=8辰m.在△ABB'中，由丄 的“/^二丄血叩乍，得B'F=16cm ・故BM+2 2MN 的最小值为16cm. 例3 由厶APDs 厶BPQ,得(例2题咔“ 、A/竺=如,即盹=竺竺二好2 -P+BQ=x+冬"・・・・x+《4 BP BQAP x x x2 lx — = 14ab ,・••当且仅当x=—即x=V^时，上式等号成立.故当4PV XXp= 伤时，AP+BQ 最小，其最小值为2 后 _b.例4 (1”；=25 +亍，仔= 49”，故要选择路线/较短•⑵Z+EM +b ，(例5题图)X —呂=才(沪一4)厂一4八・当r=-^—时，片=1?,当r>-^—时，/,2>^,当r<-^— 1 2 LV ) 」 兀$ _4 1 - 兀—4 1 2亍-4时，/.2< /； • 例 5 设 DN=x, PN=y,则 S=xy,由厶APQs'ABF,得4f 3，.=-即-2 — (4 — x) 2不在自变量y 的取值范围内，所以y=—不是极值点，当y=3时，S {3)=12,当y=4时，S (4)=8,故S m ”=12.此时，钢板的最大利用率 ---------- : ---- =80%. 例6设PD=x(x>l),42 -Zx2xl2 则 PC=厶—,由 RtMCDsZAB,得&B=S"'= "I ,令 y=&3・Sz^B ，则 Y= ~ PC J7~[2(P)x=10 — 2y,代入 S=xy 得 S=xy=y(10—2小 即 S=~225 +因 3WyW4,而 y=2AB X PA X AB = (x + 厅2(x-l)求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y =2,即当x=3时，y 有最小值4.②例2如图，B f M+x-\ 2 ------ 1 ----- 2 x-1+ 4 , A 当2运用基本不等式：y=X_1 232x-l 2 二当——=——，即当尸3吋，尹有最小值4.③借用判别式，去2 x — 1分母，得 “+2 (l-y)x+l+2y=0,由厶=4(1一尹)2—4(1+2尹)=4尹(p-4)N0,得比 4,・\y 的最小值为4.1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最人.2.83. ^744.D5.D6.B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. (1)连结 ME,过 N 作 NFA.AB 于 F,可证明 RUEB 4竺Rt^MNF,得 MF=AE=x. VME 2=AE 2+AM 2f故 MB 1=X 1+AM 1,即(2—力M) 2=x 2+.4M 2, AM=\~-x.:・S=4AM十 DN xq= "M + " x2=/M+/M+MF=2/M+Ag=2 (l--x 2) +x=~-x 22 24 2+x+2.(2) S=~- (X 2-2 X +1)(x —l)讣丄.故当亦=x= 1 时，四边形ADNM2 2 2 2的面积最大，此吋最大值为仝.29. (1) 3C 长为竺二(2)提示：连结3D (3)过点3作丄力D 于由(2)知四3AB?边形/BCD 为等腰梯形，从而BC=AD-2 AM=2r-2 /M.由厶BAM^/\DAB,得 -------------------ADX YY EF=2 r- —./=4x+2 (2 厂一一)=-- rr r(0<x< V2 r)..当兀=厂时，/取得最大值6— 2+2=4,2 x-lY・・・BC=2厂一一.(x —r) 2+6 r (第8題图)10. (1) V ZAPE= ZADQ.Z4EP= ZAQD,:. ^APE^/\ADQ. (2)由厶4PEs △力DQ,1J 1333'PDFs£\ADQ,S、PEF = — S DPEQF ，得 S、PEF = — — 7+x= — — (x ——)2+ — •故当 x=—2 3 3 2 42时，即P 是/D 的中点时，取得最大值，(3)作A 关于直线BC 的对称点连结DA 交BC 于0,则这个0点就是使LADO 周长最小的点，此时0是BC 的中点. 11. (1)点P 恰好在3C 上时，由对称性知MN 是LABC 的中位线，.••当BC=3时，2点P 在BC 上.(2)由己知得ZUBC 底边上的高〃=“扌=4.①当0＜疋3时，如图1,连结并延长交BC 于点、D, 4D 与MN 交于点O.(第11题图)图22J 2 1 o 1 市△/A/Ns △/3C,得 AO= — X J y=S、PMN =S、AMN =—x — x=—x?即尹=—x?•当=3 时，v3 ■‘233 3'的值最大，最大值是3.②当3<x<6时，如图2,设△PMN 与BC 相交于点E, F, 4P 与 244相交于D.由①屮知AO=-x, :.AP=-x, :.PD=AP~AD=-x-A, T \PEFs 厶ABC.,3 33尹的最大值为4.综上，当兀=4时，夕的值最大，最大值为4.1.8 8^232提示：当ZCAB=ZACD=90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.S MB C(x-3)・••吵=S“wv _c — 1 2b“EF—~ 入3(x —3) 2=-X 2 + 8X -12 = - (X —4) 2 + 4.故当 x=4 时,Q'PE F・• SbPEF=~即2. 0</<1 提示：设BC=a, CA=b, AB=c, b+c=2观(r+1),又—/)csin60°=5A/i5c:=—2 2Ca+b+c) F,即、bc^~ = L [2\/3 +2A/3 G+l)]『，.bc=4r (r+2) . b, c 为方程2 2 2X2-2A/3 (r+1) x+4r (r+2) =0 的两个根，由—0,得(r+1) <22.H r>0, r+l>0,故 r+l<2,即 0</<l.3如7提示:过P 作垂直于"的弦倔此时弓形面积最小•4.丄提示：设 —=x,则 —= 1-^= —,也型=/,3 AB BA CA S’％° ° 2 1S 梯形DEFG = 1 —工厶—2 ( 1 —X ) 2 = — 3 (.X — — ) ' + —・33n:]5. 7 + °提示：当= 时，OC 的长最大.6. C27. (1)由 RtzUBPsRtAPC 。
平面几何中的最值.doc
平面几何中的最值江苏省泗阳县李口中学沈正中在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题。
如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率。
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题, 称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：一、应用几何性质：1.三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2.两点间线段最短；3.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；4.定圆中的所有弦中，直径最长。
二、运用代数证法：1.运用配方法求二次三项式的最值；2.运用一元二次方程根的判别式。
下面介绍几例。
【题例1】①图1所示，A、B两点在直线/的同侧，在直线，上取一点P,使PA +PB最小。
②图2所示，A、B两点在直线/的两侧，在直线，上图 1 图 2P ，A —P ，B ，VAB\ 所以 即PA-PB 最大。
(A0 - BO)2 『AO 2 + BO 2 AB22=—取一点P ，使PA-PB 最大。
【解答】①图1中，在直线I 上任取一点P',再取点A 关于直 线/的对称点 A 、连 AP\ AT\ A ，B 、BP\ 则 AP ，= A ，P\在△A ，BP ，中,A'P'+BP'>A'B,当P'在A ，B 与直线，的交点处P 点时,A"+BP ，=AB 即 A ，P+BP=A'B,此时 PA+PB 最小。
②图2中，在直线Z 上任取一点P,再取点B 关于直线/的对 称点B ，，连AB 、并延长交,于P,连AP ，、BP\ BT\ BP,则PB = P ，B, PB ，= PB,所以 AB 9= PA-PBoP ,A-P ,B = P ,A-P ,B\ 在左AB ，P ，中, 唯有P ，在p 点时，才有P ，A —P ，B ，=AB\【题例2】如图3所示，已知直角AAOB 中，直角顶点o 在单位圆心上，斜边与单 位圆相切，延长AO, B0分别与单位圆交 于C, D.试求四边形ABCD 面积的最小值。
初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）
初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）平面几何的最值问题【阅读与思考】几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等:揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.【例题与求解】【解析】作点B关于直线AC的对称点B'，交AC与E，连接B'M，过B'作B'G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知B'M+MN=BM+MN≥B'G，再由等号成立条件得出AC=10√5，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB'的值，由相似三角形的判定定理得出△B'GB~△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解.【点评】本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质.也考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的判别式运用.【解析】(1)根据勾股定理易得路线1:l₁²=AC²=高²+(底面周长一半)²；路线2:l₂²=(高+底面直径)²；让两个平方比较，平方大的，底数就大.(2)根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.【点评】此题考查了平面展开一最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减，注意运用类比的方法做类型题.【解析】根据题意画图分析.用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长.借助三角形相似建立关系.【点评】根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围.【点评】本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x²+2(1-y)x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键.。
12.平面几何的最值问题(教师版)
，
∴当 x 1 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4．
2
x 1
②运用基本不等式：y＝ x 1 2 2 2 2 x 1
x 1 2 ＋2＝4， 2 x 1
∴当 x 1 ＝ 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4. 2 x 1
③借用判别式，去分母，得 x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，
由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得 y≥4，
①求 y 关于 x 的函数关系式；
②当 x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时 y 的值．
（南通市中考试题）
第 9 题图
第 10 题图
第 11 题图
第 12 题图
11．如图，已知直线 l ： y kx 2 4k ( k 为实数)．
(1) 求证：不论 k 为任何实数，直线 l 都过定点 M，并求点 M 的坐标； (2) 若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）
例 1 在 Rt△ABC 中，CB=3，CA=4，M 为斜边 AB 上一动点．
过点 M 作 MD⊥AC 于点 D，过 M 作 ME⊥CB 于点 E，
则线段 DE 的最小值为
．（四川省竞赛试题）
解题思路：四边形 CDME 为矩形，
连结 CM，则 DE= CM，将问题转化为求 CM 的最小值．
解： 12 5
解： 如图，B′M＋MN 的最小值为点 B′到 AB 的距离 B′F，
BE＝ AB BC 4 5 cm，BB′＝ 8 5 cm， AC
AE＝
AB2 BE 2
202
4
5
2
8
5 cm．
在△ABB′中，由 1 BB′•AE＝ 1 AB•B′F，得 B′F＝16cm．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题25 平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）1234。