第5章整数规划
目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
运筹学思考练习题答案
运筹学思考练习题答案第⼀章 L.P 及单纯形法练习题答案⼀、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。
(?)2. 线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点。
(?)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解⼀定对应可⾏域边界上的⼀个点。
(?)4. 单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个基可⾏解中⾄少有⼀个基变量的值为负。
(?)5. ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。
(?)6. 若1X 、2X 分别是某⼀线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。
(?)7. 线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为⼈⼯变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为⼤于零的常数。
(?)8. 对⼀个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为m n C 个。
(?)9. 线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解。
(?)10. 若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(?)⼆、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??+=?≥=的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。
要求：分别指出其中的基解、可⾏解、基可⾏解、⾮基可⾏解。
运筹学重点
第一章线性规划与单纯形法一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：必考知识点，30分以上,非常重要！二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．三、本章重难点：重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模．难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模．四、本章要点精讲：·要点１化标准型·要点２图解法·要点３单纯形法的原理·要点４单纯形法的计算步骤·要点５单纯形法的进一步讨论1）要点１化标准型线性规划的数学模型：Z=CX （C：价值系数） Ax=b （a：工艺或技术系数 b：资源限制）复习思路提示：化标准型按“目标函数—资源限量—约束条件—决策变量”的顺序进行。
2）要点２图解法线性规划解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；3）要点３单纯形法原理解的概念与关系:基：设A是约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n>m），其秩为m，B是A 中的一个m*m阶的满秩子矩阵（B≠0的非奇异子矩阵），称 B是线性规划问题的一个基．设除基变量以外的变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有的非基变量=0，可以求出唯一解X。
基可行解：变量非负约束条件的基解．可行基：基可行解的基．几个定理：１线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量是线性独立的．２线性规划问题的基可行解Ｘ对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点．３若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解．最优解唯一时，最优解也是基最优解；当最优解不唯一时，最优解不一定是基最优解．基最优解基可行解集解最优解可行解线性规划解的判别：①最优解：全部σｊ≤ 0，则X(0)为最优解．②唯一最优解：全部σｊ＜0，则X(0)为唯一最优解．③无穷多最优解：全部σｊ≤0，存在一个非基变量的σ＝0，则存在无穷多最优解．④无界解：若有一个非基变量的σ＞0，而其对应非基变量的所有系数ａ′≤0，则具有无界解。
第五章整数规划
第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。
现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
运筹学概念整理
运筹学概念整理名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法)线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化线性规划问题的数学模型包含的三要素：一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。
一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。
一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。
1.解决的问题是规划问题；2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。
图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。
求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系；第二步：根据约束条件画出可行域；第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。
LP问题的解：（原因）唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解）无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集）标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负●线性规划模型标准化（模型转化）(1) “决策变量非负”。
若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。
(2) “目标函数求最大值”。
如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。
注意：求解后还原。
(3) “约束条件为等式”。
对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。
对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。
(4) “资源限量非负”。
若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
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j
x2 x1 x3
j
-1/3 -2/3
例2：用割平面法求解整数规划
max z 3x1 x2 3x1 2 x2 3 5 x1 4 x2 10 st. 2 x1 x2 5 x1 , x2 0 且为整数
解：引入松驰变量x3，x4，x5，将问题化为标准 形式，用单纯形法解其松驰问题，得最优单纯形 表如下：
第五章
整数规划
1
§1 整数规划的数学模型
一、整数规划的数学模型 1.整数规划(Integer Programming 简记IP) 要求一部分或全部决策变量必须取整数的规划问题
2. 松驰问题(Slack Problem)
不考虑整数约束，由余下的目标函数和约束条件构 成的规划问题(也称伴随规划) 3. 整数线性规划(ILP) 若松驰问题是一个线性规划问题
3 x1 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0
0 x3 0 -1/2 -2 1/2 -5/7
0 x4 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 0 1 -3/7
0 X6 1 3/2 11 -7/2 0
30
j
cj CB 3 -1 0 0 XB x1 x2 x3 x5 b 1 5/4 5/2 7/4
25
cj CB 1 1 0 1 1 0 XB x2 x1 x5 b 7/4 3/4 -3/4 1 1 1
1 x1 0 1 0 0 0 1 0 0
1 x2 1 0 0 0 1 0 0 0
0
0
0 x5 0 0 1 0 1 -1/3 -4/3
26
x3 x4 3/4 1/4 -1/4 1/4 -3/4 -1/4 -1/2 -1/2 0 0 1 0 0 1/3 1/3
16
max z x1 x2 x1 x2 1 st .3 x1 x2 4 x1 , x2 0 且为整数
p (3/4,7/4) q (1,1)
x2 1
* *
*
*
17
二、割平面法步骤 1. 解松驰问题的最优解； 2. 若X*的所有分量均为整数，则满足整数约束，X* 即为整数规划的最优解。若存在X*的某个分量为小 数，则选取分数部分最大的分量，构造新的约束条 件； 3. 将新的约束条件加入松驰问题中，形成一个新的 线性规划，对这个新的线性规划求解； 4. 若新的解满足整数约束，则此解为整数规划的最 优解，否则重复第2，3步，直到获得最优解为止。
max Z 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24 s.t 2 x1 5 x2 13 x , x 0, 整数 1 2
（1）
10
若暂且不考虑 x1 , x2 取整数这一条件。则(1)就变为下列线 性规划 :
max Z 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24 s.t 2 x1 5 x2 13 x ,x 0 1 2
（2）
将式(2)称为(1)的松驰问题，解(2)得到最优解:
* x1 4.8, * x2 0,
Z * 96
（3）
但它不满足(1)的整数要求。因此它不是(1)的最优解。
11
若取X1=(5,0)T，它不满足 (1) 中的约束条件1。
若取X2=(4,0)T，X2是 (1) 的可行解, 但它却不是(1) 的最优 解。 因为当X2=(4,0)T 时,Z = 80,
4
§1 整数规划的数学模型
二、整数规划举例
例1：某厂生产A1和A2两种产品，需要经过B1，B2， B3三道工序加工，单件工时和利润以及各工序每周 工时限额见下表，问工厂应如何安排生产，才能使 总利润最大？
B1 B2 B3 利润
A1
A2
0.3
0.7
0.2
0.1 100
0.3
0.5 150
25
40
5
工时限制 250
8
例1:某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制见表.问每集装箱 中两种货物各装多少箱,可使所获利润最大?
货物/箱 甲 乙 托运限制/ 集装箱 体积/米3 5 4 重量/百斤 2 5 利润/百元 20 10
24
13
9
解：设 x1 , x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数. 则这是一个纯整数规划问题。其数学模型为:
6
§1 整数规划的数学模型
二、整数规划举例
例2：见书P130 例1
7
§1 整数规划的数学模型
三、整数规划解的特点
1.整数规划问题的可行解集合是它的松驰问题可行解 集合的一个 子集 。
2.整数规划问题最优解的目标函数值不优于 松驰问题 最优解的目标函数值。 3.对松驰问题最优解中非零分量取整，所得到的解不 一定是整数规划问题的最优解，甚至也不一定是整数 规划问题的可行解。
构造新的约束条件为：
( f
jK
割平面约束
i0 j
) x j fi0
21
四、新增约束条件的性质 性质1：原松驰问题的非整数最优解不满足新增约 束条件。
性质2：原松驰问题的整数可行解均满足新增的约 束条件，也就是说，整数可行解始终保留在每次形 成的线性规划的可行域中。
22
下面说明新增约束：
当X3=(4,1)T时,Z′=90>Z,即松驰问题的最优解通过“舍零取 整”得到的X1,X2都不是(1)的最优解。因此通过松驰问题最 优解的“舍零取整”的办法 , 一般得不到原整数规划问题 的最优解。
12
x2
松驰问题(2)的可行域K如图, 则原整数规划(1)的可行域 K0应 是K中有限个格点(整数点）的集 合。图中“*”为整数点(格点)。
23
例1：用割平面法求解整数规划
max z x1 x2 x1 x2 1 st .3 x1 x2 4 x1 , x2 0 且为整数
解：引入松驰变量x3，x4，将问题化为标准形式， 用单纯形法解其松驰问题，得最优单纯形表如下：
24
cj CB 1 1 XB x2 x1 b 7/4 3/4
2
§1 整数规划的数学模型
一、整数规划的数学模型
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(min) z cj xj
j 1 n
a x ( )b i 1,2,, m ij j i j1 st. x j 0 j 1,2,, n x j 中部分或全部取整数
1 1 3 x4 x6 x7 4 4 4
31
cj CB 3 -1 0 0 0
( f
jK
i0 j
) x j fi0
能够“割掉”松驰问题中的非整数可行解。
证明：设X*为松驰问题的最优解，将其代入新增 约束有： 0 fi ，（因非基变量取值为0） 这与 0 fi 1 矛盾，即X*不满足新增约束。
0
0
注：经验表明若从最优单纯形表上选择具有最大小 数部分的非整数分量所在行构造割平面约束，往往 可以提高“切割”效果，减少“切割”次数。
n
3
§1 整数规划的数学模型
一、整数规划的数学模型
整数线性规划分为：
纯整数LP——Pure Integer Linear Programming
混合整数LP——Mixed Integer Linear Programming
0-1型整数LP——Zero-One Integer Linear Programming
jK
分解 ai0 j 和 bi0 成两部分，一部分是不超过该数的 最大整数，另一部分是余下的正小数。即：
20
三、新约束条件的构造
ai0 j N i0 j f i0 j N i0 j ai0 j 且为整数 0 fi0 j 1 ( j K ) bi0 N i0 f i0 N i0 bi0 且为整数 0 fi0 1
引入松驰变量x6，得割平面方程：
1 2 6 x3 x5 x6 7 7 7
28
1 2 6 x3 x5 x6 7 7 7
cj CB 3 -1 0 0 XB x1 x2 x4 x6 b 13/7 9/7 31/7 -6/7
3 x1 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0
18
三、新约束条件的构造 在松驰问题的最优单纯形表中，m个约束方程可表 示为：
xi aij x j bi
jK
i Q
其中Q为m个基变量的下标集合，K为n-m个非 基变量的下标集合。
19
Hale Waihona Puke 、新约束条件的构造 若 bi (i0 Q) 不是整数，其对应的约束方程：
0
xi0 ai0 j x j bi0
13
由于整数规划问题(1)可行解的个数较少，故可用“穷举法”来 求解,即将 K0 中所有整数点的目标函数值都计算出来,然后 逐一比较找出最优解。 取 x1 =0,1,2,3,4
x2 =0,1,2
其组合最多为15个(其中有不可行的点)。 但对大型问题，这种组合数的个数可能大得惊人! 如在指派 问题中，有n项任务指派n个人去完成，不同的指派方案共有 n!种。当n=20时，这个数超过2×1018。如果用穷举法每一个 方案都计算一遍，就是用每秒亿次的计算机，也要几十年。
0 x3 1/7 -2/7 -3/7 -1/7 -5/7
0 x4 0 0 1 0 0
0 x5 2/7 3/7 22/7 -2/7 -3/7
0 X6 0 0 0 1 0
29
j
1 2 6 x3 x5 x6 7 7 7
cj CB 3 -1 0 0 XB x1 x2 x4 x5 b 1 0 -5 3