第五章 整数规划练习题答案
运筹学思考练习题答案
运筹学思考练习题答案第⼀章 L.P 及单纯形法练习题答案⼀、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。
(?)2. 线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点。
(?)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解⼀定对应可⾏域边界上的⼀个点。
(?)4. 单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个基可⾏解中⾄少有⼀个基变量的值为负。
(?)5. ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。
(?)6. 若1X 、2X 分别是某⼀线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。
(?)7. 线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为⼈⼯变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为⼤于零的常数。
(?)8. 对⼀个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为m n C 个。
(?)9. 线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解。
(?)10. 若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(?)⼆、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??+=?≥=的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。
要求：分别指出其中的基解、可⾏解、基可⾏解、⾮基可⾏解。
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
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管理运筹学
wxj
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xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
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Page:15
对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
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CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
运筹学 第四版 第五章 整数规划
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
表 3.1
货物/箱 甲 乙
托运限制/集 装箱
体积/米3 5 4
24
重量/百斤 2 5
13
利润/百元 20 10
解 设 x1,分x2 别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个
纯整数规划问题 .其数学模型为:
(pzreorgor-aomnme iinngte)ger linear
若不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成
的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题（slack
problem）
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
整数线性规划数学
n
st. j1 aij x j
max Z 20 x1 10 x2
5x1 4x2 24 s.t 2x1 5x2 13
x1, x2 0, 整数
（1）
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
max Z 20 x1 10 x2
s.t
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1, x2 0
目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
§2 解纯整数规划的割平面法
考虑纯整数规划问题
n
max Z cjxj j 1
n
aijxj bis.tj 1xj0
xj取整数
i 1, 2....m
j 1, 2...n j 1, 2,..n
n
max Z (或 min Z ) c j x j j 1
整数规划习题解答
用割平面法解整数规划问题
min w x2 2 x3 x1 2 x2 x3 2 x2 3 x3 1 s .t . x2 x3 2 x , x , x 0且为整数 1 2 3
解：不考虑整数约束条件求解伴随规划问题
min w x2 2 x3 x1 2 x2 x3 2 x2 3 x3 1 s .t . x2 x3 2 x , x , x 0 1 2 3
练 习
解：第一步：对效率矩阵进行变换：
4 7 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 10 10 6
0 0 0 0 0
3 1 2 0
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 2 3 4 0
√
所有零元可以用4条直线覆盖，说明只有最多4个独立零元。 需要对效率矩阵进行进一步的变换（增加独立零元个数）
练 习
第四步：增加独立零元素
0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 2 3 4 0 0 0 X* 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 11 8 6 6 2 2 1 0 5 0 4 2 3 4 0
练 习
cj
CB 0 1 -2 0 -z XB x1 x2 x3 x6 b 13/2 5/2 1/2 -1/2 -3/2
0
x1 1 0 0 0 0
1
x2 0 1 0 0 0
-2
16993-运筹学-习题答案选03_整数规划
运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。
运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习
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第五章整数规划1．整数规划的特点(1)整数规划:决策变量要求取整数的线性规划。
（2）整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。
(3)整数规划的可行域为离散点集。
2．整数规划的建模步骤整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。
3．求解整数规划的常用方法1）分支定界法没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z＊的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z＊的一个下界 ,分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法,逐步减小和增大，最终求得z＊。
将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。
(1）解与整数规划问题A相应的线性规划问题B,可能得到以下几种情况之一:①B没有可行解，A也没有可行解,停止计算。
②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。
③B有最优解,但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。
(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值,并记作。
以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。
下面进行迭代.分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xi ，其值为bi。
构造两个约束条件xj ≤［bj］①和xj ≥[bj］+1 ②其中［bj ］为不超过bj的最大整数。
将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。
不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。
第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ；第二步:若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解,否则转下步;第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。
第四步:对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。
若某个子问题的解是整数解,则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍;否则，对该子问题继续进行分支。
第五章整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(min 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510min x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∙∙∙=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+∙--≥∙-≥∙≤∙≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31max x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
第五章-整数规划
在E点取得最优解。即
x2
x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17
找到整数解，问题已探明，此枝 3
停止计算。
求（LP212），如图所示。此时
F在点取得最优解。即x1＝3, x2
=2.5,
1
Z(212)＝－31/2≈－15.5 > Z(211)
如对LP212继续分解，其最小值
也不会低于－15.5 ，问题探明,
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由 于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定; 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，3),(2 x2
⑴
⑵
，3),(1，4),(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最优解。 3
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
考虑纯整数规划问题：
设其中aij和bi皆为整数（若不为整数时，可乘上 一个倍数化为整数）。
割平面法（纯整数）
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法， 它主要用于求解纯ILP。
割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新 约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：
若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的 非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加 入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若 新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否 则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
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第五章 整数规划练习题答案
一. 判断下列说法是否正确
1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是
该问题目标函数值的下界。
()
2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
()
3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
()
4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
工作 工人
A &
B
C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙
8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊
10
； 5
3
6
3
答案：
设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：
16425105
3140
42
13251042510424003B 1
3752102
64
10
154062415151
3045
020305
7470574704646111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=→→- ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
---
m 4n 5l m 4
4
21342132432431541545235234
6
4
64
6
4
6=<===⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝
⎭
⎝
⎭
031023
4003115406020303535⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
31234311546233
5
3
5∅
⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝
⎭ m=5=n ，得最优解。
解矩阵*0001000100X 0000101
00010000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。
即，甲D ，乙C ，丙E ，丁B ，戊A ，最大产值=10+8+9+8+8=43。
三. — 四. 对整数规划
12
121212
MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6x ,x 0,=++≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩整数 解得其松弛问题最优表如下：
c j 8 5 0 0 θ C B 、 X B b x 1 x 2 x 3
x 4
5 x 2 3/2 ? 0 1 1/4 -1/4 8
x 1
15/4 1 0 :
1/8 3/8 σj
75/2
-9/4 -7/4
|
要求：用割平面法完成求解过程。
答案：
(1) 产生高莫雷约束：
根据Max {f i }，应选取x 1所在行为源行：134133x x x 3884+
+=，即，134133x 0x 0x 3884⎛⎫⎛⎫
++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
产生高莫雷约束为：34313
x x 0488
--≤。
(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：
c j 8 5 0 $
0 θ C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 *
x 5
5 x 2 3/2 0 1 1/4 -1/4 0 ;
8 x 1 15/4 1 0 1/8 3/8 0 ；
x 5 -3/4 0 0 -1/8 -3/8 1 → σj `
75/2
0 0 -9/4 -7/4↑ 0
c j 8 —
5
0 0 0 θ C B X B b x 1 x 2 `
x 3
x 4 x 5 5 x 2 2 0 1 1/3 \
-2/3 8 x 1 3 1 0 0 0 —
1 0 x 4
2 0 0 1/
3 1 -8/3
σj
34 0 0 -5/3 0 -14/3
b列均为整数，所有σj均非负，已得最优整数解：X*=(3, 2)T，Z*=34。