【20套试卷合集】山东省济南市历城第二中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案总分100分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．的表格中． 1．已知p ：2＋3＝5，q ：5＜4，则下列判断正确的是( )A ．“p ”为假B ．“q ”为真C ．“p 或q ”为真D ．“p 且q ”为真2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++＝3，则222a b c ++≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则222a b c ++＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则222a b c ++＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则222a b c ++≥3D ．若222a b c ++≥3，则a ＋b ＋c ＝33．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥B ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >C ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >4．从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为( ) A ．25，60，15 B ．15，60，25 C ．15，25，60D ．25，15，605．“(1)(3)0x x +-<”是“1->x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[10，40)上的频率为( ) A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.647．如下图所示的程序的输出结果为S ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程是y x =，则双曲线的离心率为( )A ．32BCD9．已知椭圆()222109x y m m +=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点， 则m 的值为ABC ．4D ．10二、填空题：(共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答卷．．的横线上．) 10．如右程序中，输出时A 的值是输入时A 的值的______倍 11．用辗转相除法求得111与1 850的最大公约数是_________12．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为____________13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重(单位：kg )数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知m ＝_________，所抽取的学生中体重在50~45kg 的人数是_________．14．已知圆x 2＋y 2－9＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．15．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为__________ 三、解答题：(本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．(本小题10分)已知A B 、为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1，0)，线段AB 恰被(2,1)M 所平分． (Ⅰ)求抛物线E 的方程； (Ⅱ)求直线AB 的方程．17．(本小题10分)已知直线:l y ax b =+，其中实数{},1,1,2a b ∈-． (Ⅰ)求可构成的不同的直线l 的条数；(Ⅱ)求直线:l y ax b =+与圆221x y +=没有公共点的概率．18．(本小题10分)已知平面上的两个定点(0,0),(0,3)O A ，动点M 满足||2||AM OM =． (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程；(Ⅱ)若经过点2)A 的直线l 被动点M 的轨迹E 截得的弦长为2，求直线l 的方程．19．(本小题10分)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ，上顶点为)1,0(D ，设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭． (Ⅰ)求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； (Ⅲ)过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值．(文科数学)答卷一、选择题：(共36分)二、填空题：(共24分)10．__________________；11．______________；12．________________．13．_____________；___________14．_______________；15．_______________________；三、解答题：共4个题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．17．18．19．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求). 1. 有两个问题①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3人参加座谈会.则下列说法中正确的是( )A.①随机抽样法②系统抽样法B.①分层抽样法②随机抽样法C.①系统抽样法②分层抽样法D.①分层抽样法②系统抽样法2.盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是( ) (A) 14 (B) 12 (C) 18(D)无法确定3.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,04.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至多有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球5．执行右图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是( ).A ．4-B ．2C ．±2或者－4D ．2或者－46.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛 得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A ．65B ．64C ．63D ．62 7.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（ ）A. 16，16，16B. 8，30，10C. 4，33，11D. 12，27，98.如下左图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（ ）A ．34 B ．16 C ．1112D ．25249.投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 （ ）A ．361B. 181C. 61D.12510. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x 为某一实数时可使02<x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中有5个次品，从中取出5个，5个都是次品”是随机事件， 其中正确命题的个数是（ ）A ．0 B. 1 C. 2 D. 311.向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S2的概率为( ) (A) 12 (B) 14 (C) 23 (D) 3412. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n 后,输出的)20,10(∈S ,那么n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为————14.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P(A ∪B)=_____(结果用最简分数表示).15为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是.16．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为。
（用分数表示）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．___________14．___________15．___________16.____________三、解答题（本大题共6小题，17题——21题各12分，22题14分，共74分）17（本题12分）某医院一天内派医生下乡医疗，派出医生数及概率如下：求（1)派出医生为3人的概率；（2）派出医生至多2人的概率。
（3）派出医生至少2 人的概率。
18（本题12分）从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛,（1）求所选2人都是男生的概率;（2）求所选2人恰有1名女生的概率;（3）求所选2人中至少有1名女生的概率。
19(12)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.20 (12分）（1） 在区间[0,10]中任意取一个数，求它与4之和大于10的概率 (2）在区间[0,10]中任意取两个数，求它们之和大于9的概率21（本题12分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位千元)与月储蓄i y (单位千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为12千元,预测该家庭的月储蓄.附线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中,∑∑==--=ni i ni iixn x yx n y x b 1221ˆ，x b y aˆˆ-=.其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为a x b yˆˆˆ+=.22.(14)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率.2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案1．A.10B.11C.12D.132．下列说法正确的是 A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1” B ．命题“若A ＝B ，则tanA ＝tanB ”的逆否命题为假命题C ．命题“∃x 0∈R ，x 02＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1＞0”D ．若“p 或q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.85yx a =+，则a =A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.94．已知命题p ：若x>y ，则xye e >；命题q ：若a<|b|，则22a b >.下列四个命题： ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;，其中真命题的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=﹣4xB ．y 2=﹣8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y6．已知3:1,:11p x k q x ≥+<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A.),1[+∞ B.()1,+∞C.),2[+∞ D. ),2(+∞7．如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋139的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 A ．n ＝n ＋2，i>21? B ．n ＝n ＋2，i>20? C ．n ＝n ＋1，i ≥20?D ．n ＝n ＋1，i>21?8．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A.B.C.23D.129．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A ．23B ．25C ．35D ．910三、解答题：（3小题，共34分）15．（本小题10分） （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题12分） 已知抛物线2:4E x y =.（Ⅰ）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；BC边过定点(0,2)N，点M在BC上且AM⋅17.”是真命题．x M∈的必要条件，求a的取值范围．1018AB≠CD．“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“19P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k 12⎫⎪⎭，则椭圆方程为A D三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为25. （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b . (i)记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率； (ii)在区间[0,4]内任取2个实数,x y ，记a b >+” 为事件B ，求使事件B 恒成立的概率.22．（本小题12分）设命题:p 函数21()lg()16f x ax ax =-+的定义域R ，命题:q 不等式ax x +<+4163对一切正实数x 均成立，如果命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.23．（本小题12分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；上方有两个交点，且圆（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆在x 轴的在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆C 的方程稿 纸第I卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分）11．3 12．4313．80 14．78三、解答题：（3小题，共34分）17．（本小题即(2)当当则当182021为10∴②.(,xΩ444()1444B S P B S ππΩ⨯-∴===-⨯.…………12分 22．（本小题12分）【解析】p 为真2104ax ax <=>-+>恒成立， 当0a =，符合题意，…………………………1分 当0a ≠ 时，由0010a a >⎧⇒<<⎨∆<⎩∴:01p a ≤< …………………… 5分q为真<=>a >==对一切x >均成立， …………………………7分48> 8341633<++∴x 从而38a ≥………………………… 8分 又3018p q p p a a q q p q ∨⎫⎧⎧⇔⇔≤<≥⎬⎨⎨∧⎩⎩⎭为真真假，或，或假真为假. ………… 12分 （其他解法酌情给分）23．（本小题12分）【解析】解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF ==从而1221121222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =.……………………2分从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=…………………………4分 （Ⅱ）如右图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=，高二数学（理）期中考试卷答案 第3页 共4页高二数…………5分由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P ，得()221110x y -++=，又由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. …………………………7分 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .………8分 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C的半径11213CP ===.……………………………10分 容易求得圆心坐标为(0，53)………………………………………………11分 所以，所求的圆的方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭……………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案数 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．命题p ：存在实数m ，使210x mx ++=有实数根，则“非p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 B ．对任意实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 C ．对任意实数m ，使得方程210x mx ++=有实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根2倍，则椭圆的离心率等于( )A ．12B C ．2D 3．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于( )A ．66B ．99C ．144D ．2974．方程2212516x y k k+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围是( ) A ．1625k -<< B ．9162k -<< C ．9252k <<D ．92k >5．已知正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为( ) A ．223+B ．221+C ．24D ．326．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++等于( )A ．10B ．12C ．8D ．32log 5+7．有下列四个命题：(1)“若1xy =，则,x y 互为倒数”的逆命题； (2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若1m ≤，则方程220x x m -+=有实数解”的逆否命题； (4)“若A B A ⋂=，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数()f x 满足(1)f n +＝2)(2nn f +)(*N n ∈且(1)2f =，则(20)f 为( ) A ．95B ．97C ．105D ．1929．下列各函数中，最小值为2的是( )A ．1y x x=+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C．2y =D ．43,(1)1y x x x =+->- 10．已知点11(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若1230F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是( ) AB ．16 C．16(2+ D．16(211．已知关于x 的不等式0ax b ->的解集是(,1)-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为( ) A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞12．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则( )A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若3=x ，则031<-x ”的否命题________________________________ ．14．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的最大值是______________．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a ()n N *∈，则72是这个数列的第_________项．16．已知函数)2521(2512<<-+-=x x x y ，则y 的最大值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，，求椭圆的标准方程．18．(本小题满分12分)已知命题:p m 的值使得x m x f )42()(-=在R 上单调递增；命题:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)数列{n a }满足11a =，1(2)1n n na a n n -=≥-． (1)求{n a }的通项公式； (2)求和n T ＝1211123(1)na a n a ++++．20．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式50ax x a-<-的解集为M (1)当4=a 时，求集合M ；(2)若M ∈3且M ∉5，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)3,2,1(22 =-=n a S n n ，数列}{n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线02=+-y x 上．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项n a 和n b ； (2)设n n n b a c =求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知)(x f 是定义在[1,1]-上的奇函数，且1)1(=f ，若∈n m ,[1,1]-，0≠+n m 时()()0f m f n m n+>+(1)解不等式 )11()21(-<+x f x f ； (2)若12)(2+-≤at t x f 对所有∈x [1,1]-，∈t [1,1]-恒成立，求实数t 的取值范围2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x R MN =-<<==+∈则集合＝( )A ．(2,)-+∞B ．(—2，3)C ．[1，3)D ．R2．数列｛n a ｝中，5,2,2121==-=++a a a a a n n n ，则5a 为( )A ．－3B ．－11C ．－5D ．193．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a等于( )( )A ．5B ．52C ．25D ．54．函数)sin()(ϕω+=x x f (其中2||πϕ<)的图象如图所示，为了得到xy ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，这个几何体的体积是( )A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cm D ．34000cm6．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A ．14B ．12C ．58D ．387．若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 是的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．()2,∞-B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-813,C ．()2,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,813 8．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ba的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1，3 ) C ．(2,2 )D ．(,23 )9．下列命题：①若p ，q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件． ②若p 为：2,20x R x x ∃∈+≤，则p⌝为：2,20x R x x ∀∈+>．③命题p 为真命题，命题q 为假命题．则命题()p q ⌝∧，()p q ⌝∨都是真命题． ④命题“若p ⌝，则q ”的逆否命题是“若p ，则q ⌝”．则正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知0,0>>b a ,b a ,等差中项是21,且aa 1+=α, b b 1+=β,则βα+最小值( ) A ．3B ．4C ．5D ．611．F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，A 是其右顶点，过F 2作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为P ，G 是12PF F ∆的重心，若120GA F F ⋅=，则双曲线的离心率是( )A ．2BC ．3D 12．若R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，且当10≤<x 时，x x f 2log )(=，则方程)0(41)(f x f +=在区间)2012,2010(内的所有实数根之和为( ) A ．4020B ．4022C ．4024D ．4026第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．在△ABC 中，ab b c a =+222-，则角C ＝________．14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为________.15．程序框图如图，将输出的a 的值依次记为n a a a ,,,21⋅⋅⋅，数列{n a }的通项公式为n a ＝_________．16．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．(本题满分10分)设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．(本题满分12分)已知函数()()ax x f a -=3log当[]()a x f x 恒有意义，求实数时，函数2,0∈的取值范围； 是否存在这样的实数a ，使得函数()x f 在区间[]2,1上为减函数，且最大值为1，若存在，求出a 值；若不存在，说明理由．19．(本题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,已知4102sin=C ． (1)求C cos 值； (2)若ABC ∆面积为4153，且C B A 222sin 1613sin sin =+，求c b a ,,值．20．(本题满分12分)如图所示，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD ．SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AD ＝1，AB ＝2． (1)求证：MN ⊥平面ABN ； (2)求二面角A —BN —C 的余弦值．21．(本题满分12分)已知函数，214)(xx f +=数列{}n a 的前n 项和为n S ，))(1,(*1N n a a P n n n ∈+点在曲线.0,1,)(1>==n a a x f y 且上(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式n a ； (Ⅱ)数列{n b }首项b 1＝1，前n 项和T n ，且381622121--+=++n n a T a T n n n n ， 求数列{n b }通项公式b n ．22．(本题满分12分)已知椭圆C ：2222b y a x +＝1(a ＞b ＞0)的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x －y＋6＝0相切． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P (4，0)，A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交随圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号涂写在答题卡上(每小题5分，共60分)1．已知命题p ：x R ∀∈，210x x +-<，则命题p ⌝是( )A ．x R ∀∈，012≥-+x x B ．R x ∈∃，012≥-+x x C ．x R ∀∈，012>-+x x D ．R x ∈∃，012<-+x x2．已知等差数列：5,3,1,1,---．则下列不是该数列的项的是( )A ．11B ．25C ．37D ．523．已知0,0a b b +><，那么,,,a b a b --的大小关系是( )A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-4．已知1,22++=+=b a s b a t ，则t 和s 的大小关系正确的是( )A ．t ＞sB ．s t ≥C ．t ＜sD ．s t ≤5．若{}n a 是等比数列, ，若11=a ==4364a S S ，则( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知等差数列{}n a 中，93a a =，公差d ＜0，则使前n 项和n S 取最大值的正整数n 是A ．5B ．5或6C ．6D ．8或97．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知4>x ，则414)(2-+-=x x x x f 有( )A ．最大值－6B ．最小值6C ．最大值－2D ．最小值29．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0, ＋∞)B ．(0, 2)C ．(1, ＋∞)D ．(0, 1)10．关于x 的方程0)2()122=-+-+a x a x （的一个根比1大，另一根比1小，则有( ) A ．－2＜a ＜1B ．a ＜－2或a ＞1C ．－1＜a ＜1D ．a ＜－1或a ＞211．两个等差数列{}n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且3457++=n n B A n n ,则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．512．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则( )A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．在等比数列{}n a 中，若 4119=⋅a a 则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_____14．椭圆2214x y m +=焦距为2，则实数m ＝_________ 15．设2z y x =-，式中x y 、满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为_____16．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x＋6)＋f (x )＜2f (4)的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数R a a x ax x f ∈-+=,)(2(1)当2=a 时，解不等式1)(>x f (2)若函数)(x f 有最大值817，求实数a 的值；18．已知p ：12123x --≤-≤；q ：22210x x m -+-≤(0)m >．若“q ”是“p ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若1164=+yx ，求x ＋y 的最小值．20．已知函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(．(1)求该函数的解析式；(2)数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；21．若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列．(1)求等比数列124,,S S S 的公比； (2)若24S =，求{}n a 的通项公式；设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.数列{}nn 2+中的第4项是 ▲ ． 2.不等式x －2x ＋3>0的解集是 ▲ ． 3.原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是 ▲ ．4.已知等差数列{}n a 中1251,4,33,3n a a a a =+==则n 的值为 ▲ ．5.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 ▲ ．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36270a a -=，则36S S ＝ ▲ ． 7.若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值为 ▲ ．8.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝ ▲ ．9.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a =,且4a 与72a 的等差中项为54,则5S = ▲ ． 10.函数22mmx x y ++=对一切R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 11.设x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则1＋a 22b 1b 2的取值范围是 ▲ ．12.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ▲ ．13.将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即100a ＝ ▲ ．14.若实数b a ,满足a =a 的最大值是 ▲ ．二 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()6,2-；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.16.(本小题满分14分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)若对于任意n∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．17.(本小题满分14分)某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m 万件与年促销费用x 万元满足：231m x =-+，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）. （1）将2016年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18.(本小题满分16分)（1）解关于x 的不等式：22(1)(1)2()a a x a x a a R +->++-∈. （2）如果24x a =-在上述表达式的解集中，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2；（1）若椭圆C 经过点)1,26(，求椭圆C 的方程； （2）设A （—2,0），F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 存在点P ，满足2=PFPA，求椭圆C 的离心率的取值范围；20.(本小题满分16分)已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,2441n n S n a -+=.设11,n n n b n N a a *+=∈,且数列{}n b 的前n 项和为n T .(1) 求证数列{}n a 为等差数列；(2) 试求所有的正整数m ,使得222121m m m m m a a a a a ++++-为整数；(3) 若对任意的n N *∈,不等式118(1)n n T n λ+<+-恒成立,求实数λ的取值范围.高二数学试题（第二卷）1.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40， 80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽 车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆． 2.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ▲ ．3.已知命题甲是“2{|0}1x xx x +≥-”，命题乙是“3{|log (21)0}x x +≤”，则甲是乙的 ▲ 条件.（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填） 4.下列四个命题：① 命题“若0a =,则0ab =” 的否命题是“若0a =,则0ab ≠” ；②若命题2:,10p x R x x ∃∈++<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥;③若命题“p ⌝” 与命题“p 或q ” 都是真命题, 则命题q 一定是真命题; ④命题“若01a <<,则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭” 是真命题. 其中正确命题的序号是 ▲ ．(把所有正确的命题序号都填上）5.（本题10分）设命题:p 函数1y kx =+在R 上是增函数,命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=,如果p q ∧是假命题,p q ∨是真命题, 求k 的取值范围.6. （本题10分）将扑克牌4种花色的Q K A ,,共12张洗匀. （1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A 的概率；（第1题）0.0.0.0.（2）若甲已抽到了2张K 后未放回，求乙抽到2张A 的概率.一 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.数列{}nn 2+中的第4项是________． 命题意图：数列定义 答案 20 2.不等式x －2x ＋3>0的解集是________． 命题意图：分式不等式解法解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x>2或x<－3.所以解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)3.原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是________． 命题意图：不等式表示的平面区域、一元二次不等式的解法 答案 0<a<24.已知等差数列{}n a 中1251,4,33,3n a a a a =+==则n 的值为 _命题意图：数列基本量运算 答案 505.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 ▲ ．命题意图：不等式组表示的平面区域，简单的线性规划. 【答案】36.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36270a a -=，则36S S ＝ ▲ ． 命题意图：等比数列基本量运算 答案 287.若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值为______. 命题意图：基本不等式求最值 答案 58.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.命题意图：双曲线渐近线 答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a>0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 9.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a =,且4a 与72a 的等差中项为54,则5S = ▲ . 命题意图：等比数列的通项公式及其前n 项和 答案 ∵等差数列{}n a ，∴22313341222a a a a a q a a a =⇒⋅=⇒⋅==，又∵4a 与72a 的等差中项为54， ∴47751224a a a +=⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，∴515(1)311a q S q -==-. 10.函数22mmx x y ++=对一切R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 命题意图：恒成立问题 答案 []2,011.设x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则1＋a 22b 1b 2的取值范围是_______．命题意图：基本不等式求最值 答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)解析 在等差数列中，a 1＋a 2＝x ＋y ，在等比数列中，xy ＝b 1·b 2. ∴1＋a 22b 1b 2＝＋2xy＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x＋2.当xy>0时，x y ＋yx ≥2，故1＋a 22b 1b 2≥4；当xy<0时，x y ＋yx≤－2，故1＋a 22b 1b 2≤0.12.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.。
【20套试卷合集】济南市重点中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题．每小题5分，共50分) 二、填空题：(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11．14 12．外心13．051121022=+--+y x y x 14．0203=-=-+y x y x 或 15．③ ④ ⑤三、解答题：(本大题共6小题,共75分) 16．解：(1)依题意：321220=++=AB k ；………(2分) 由CD AB ⊥得：1-=⋅CD AB k k ， ∴ 23-=CD k ； ……………(4分) 直线CD 的方程为：)1(233--=-x y ，即：0923=-+y x ．…………(6分) (2)方法一：)2,3(=AB ，)5,2(=AC ； …………………(10分)211|2253|21=⨯-⨯=∆ABC S ．………………………(12分) 方法二：13)20()12(||22=+++=AB ，直线AB 的方程为：121202++=++x y ，即：0432=--y x ； …………(8分) 131311)3(2|43312|||22=-+-⨯-⨯=CD ； …………………(10分) 2111313111321||||21=⨯⨯==∆CD AB S ABC ．…………(12分) 17．解：(1)证明：依题意：AC AB ⊥ ;∵ ABC AA 平面⊥1，∴ AC AA ⊥1， ………………………(2分) 又 ∵ A AA AB =1 ，∴ B B AA AC 11平面⊥, ………………(4分)∵ 1BA B B AA 11平面，∴ 1BA AC ⊥．… (6分)⊂≠∴ 32=BC , ππ36332=⨯=侧S ．……………………(12分)18．解：(1)证明：∵ BD CO ⊥， ABD BCD 平面平面⊥，CO ≠⊂BCD 平面，BD ABD BCD =平面平面 ，∴ ABD CO 平面⊥; …………………(3分) ∵ 正方形ABCD 边长为4， ∴ 22==OA CO , 在COA Rt ∆中，4)22()22(2222=+=+=AO CO AC ，∴ BC AC =．(也可证COA ∆≌COB ∆)……………………(6分) (2)=-ABC D V 321622421312=⨯⨯⨯=-ABD C V ．…………(12分) 19．解：(1)依题意： 0)28(4)12(4)3(4222>+--++m m m ………………(2分) 即：0328122>++-m m ， 解得：234<<-m ， ∴ m 的取值范围是(34-，2)．……………………(6分) (2))28(4)12(4)3(421222+--++=m m m r 325)31(382322+--=++-=m m m ……(9分)∵ ∈m (34-，2)， ∴ 3350≤<r ，∴ r 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛335,0．………………(12分) 20．解：(1)设圆心a C (，0)， Z a ∈，依题意：534|294|22=+-a ， 得：2271==a a 或(舍去)， ∴ 圆C 的标准方程为：25)1(22=+-y x ．……………………(4分) (2)设圆心C 到直线05=+-y ax 的距离为d ， 则 1|5|2++=a a d ， ……(5分)① 若51|5|2>++a a ， 即 1250<<a 时，r d >，直线与圆相离； ………(6分)② 若 51|5|2=++a a ， 即 1250==a a 或时，r d =，直线与圆相切；……(7分) ③ 若51|5|2<++a a ， 即 1250><a a 或时，r d <，直线与圆相交．……(8分) ∴ 当1250<<a 时，直线与圆相离；当1250==a a 或时，直线与圆相切； 当1250><a a 或时，直线与圆相交．……………(9分)(3)易知直线l 过点C (1，0)， ∴ 341204-=---=CP k ； ……(11分)∵ 直线l AB ⊥， ∴ 43=AB k ，∴ 12543>=a ；∴ 存在实数43=a ．………………………………(13分)21．解：(1)证明：∵ G E 、分别是BC PC 、的中点， ∴ EG ∥PB ， 又 ∵ EG ≠⊂平面PAB ， PB ≠⊂平面PAB ，∴ EG ∥平面PAB ， ………………………………(2分) 同理可证：EF ∥平面PAB ，∵ E EF EG = ， ∴ 平面PAB ∥平面EFG ．……………(4分) (2)Q 为PB 的中点．………………………………(5分)证明：连接QE DE AQ 、、， 平面ADQ 即为平面ADEQ ， ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ AD PD ⊥， 又 DC AD ⊥， D PD DC = ,∴ PCD AD 平面⊥, ∴ PC AD ⊥．……………………(6分) ∵ CD PD =， ∴ PC DE ⊥， ………………………………(7分) ∵ D DE AD = ， 且AD ，DE ⊄平面ADQ ， ∴ ⊥PC 平面ADQ ．…………………………(8分) (3)证明： ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ DC PD ⊥， 又 AD DC ⊥， D AD PD = ,∴ PAD DC 平面⊥, ………(9分)EF ≠⊂平面EFG ， ∴ PAD EFG 平面平面⊥．…………(11分)方法一：取AD 的中点H ，连接FH ．则平面EFG ∩平面FH PAD =， 过点D 作FH 的垂线，分别交PA FH ,于N M ,， 则EFG DM 平面⊥，且DN DM 21=， 在等腰直角三角形PAD 中，∵ 2==AD PD ， ∴ 2=DN ， ∴ 22=DM ． 故点D 到平面EFG 的距离是22．……………………(14分) 方法二： 易得：1=EF ，3=EG ， 6=FG ，322632163cos =⨯-+=∠EGF ， 31sin =∠EGF ，∴22316321=⨯⨯⨯=∆EFG S ， 211121=⨯⨯=∆DFE S ， 1=GC ， ……………………(13分) ∵ DFE G EFG D V V --= , ∴ GC S d S DFE EFG ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131,∴121312231⨯⨯=⨯⨯d ， ∴ 22=d ． 故点D 到平面EFG 的距离是22．…………………(14分) 注：若学生采用其他解法，可酌情给分．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟试题分数：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．) 1．已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4},()U U A B C A B ===⋃=则( )A ．{5}B ．{3}C ．{1，2，4，5}D ．{1，2，3，4}2．“m ，n ＜0”是“方程122=+ny mx 表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是( )A ．0x ∀∈R ，021x ≠B ．0x ∀∉R ，021x ≠C ．0x ∃∈R ，021x ≠D ．0x ∃∉R ，021x ≠4．已知直线1l 32+=x y ，直线21//l l ，则2l 的斜率为( )A ．21B ．21-C ．2D ．－25．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆221y x m+=的离心率为( )A ．B C D 6．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且20......8654=++++a a a a ，则11S 的值为( )A ．22B ．44C ．2203D ．887．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，则M 到另一个焦点2F 的距离为( ) A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对8．已知直线m 、n 、l 不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是( )A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//C ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥；D ．若n m m //,α⊥，则α⊥n9．从221x y m n-=(其中,{1,2,3}m n ∈-)所表示的椭圆或双曲线双曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( ) A ．47B ．12C ．23D ．3410．若不论k 为何值，直线b x k y +-=)1(与圆422=+y x 总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[]2,2-C ．(D ．⎡⎣11．已知双曲线C ：116922=-y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则ΔPF 1F 2的面积等于( ) A ．96B ．48C ．24D ．1212．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222b y x =+相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．3B ．3C ．3D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题纸上) 13．过点A (1,2)且与OA (O 为坐标原点)垂直的直线方程是____________ 14．直线1+=x y 被圆221x y +=所截的弦长为_________ 15．一个西瓜切三刀，最多得到______块西瓜皮16．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，双曲线x ²－y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为______三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (Ⅰ)求()4f π的值；(Ⅱ)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值．19．(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式． (Ⅱ)设nn a b 1=，求数列{n b }的前n 项和．20．(本题满分12分)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹(“空弹”即只有弹体没有弹头的子弹)． (1)如果甲只射击1次，求在这一枪出现空弹的概率； (2)如果甲共射击3次，求在这三枪中出现空弹的概率；21．(本小题满分12分)已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线x y -=的距离等于2． (1)求圆C 的方程． (2)若直线)2,2(1:>>=+n m n ym x l 与圆C 相切，求证：2.2mn m n ++=22．(本题满分为12分)已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案2012—11参考公式：锥体体积sh V 31=，柱体体积sh V =，圆柱侧面积rl S π2=，球表面积24R S π= 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列说法正确的是( )A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．02>+x 是01>+x 的( )条件A ．必要不充分B ．充要C ．充分不必要D ．既不充分也不必要3．已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系( )A ．一定是异面B ．一定是相交C ．不可能平行D ．不可能相交4．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直．5．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )A ．B ．C ．D ．6．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n //α，则m n ⊥③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④7．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )．A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ＝2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) AB ．15CD ．359．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( ) A ．1 B ．12 C ．13D ．1610．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( ) A ．4B ．3C ．2D ．511．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ) A ．2221+ B ．22+ C ．21+ D ．221+12．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是()二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)14．已知点A 在x 轴上，点B (1，2，0)，且5=AB ,则点A 的坐标是_________． 15．下列命题中_________为真命题．①“A ∩B ＝A ”成立的必要条件是“A B ”； ②“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 16．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是______________． 17．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1AD 与平面ABCD 所成角的大小是______________． 18．若直线043=++m y x 与圆044222=++-+y x y x 没有公共点，则实数m 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分．)19．(本小题满分12分)已知:210p x -≤≤，2:11q m x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分)在ABC ∆中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N在轴上，求：(1)顶点C 的坐标;(2)直线MN 的方程．21．(本小题满分12分)已知过点)1,0(-的直线l 与圆0122:22=+--+y x y x C 相交于Q P ,两点．(1)当||PQ 取得最大值时，求直线l 的方程． (2)若2||=PQ ，求直线l 的方程．22．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E、F 分别为1DD 、DB 的中点．(1)求证：EF //平面11ABC D ； (2)求证：1EF B C ⊥；23．(本小题满分12分)如图，在底面是菱形的四棱锥S —ABCD 中，SA ＝AB ＝2，SB SD ==(1)证明：BD ⊥平面SAC ；(2)问：侧棱SD 上是否存在点E ，使得SB //平面ACE ？请证明你的结论；(3)若0120BAD ∠=，求几何体A —SBD 的体积．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．1与3两数的等差中项是( ) A ．1B ．3C ．2D ．3±2．已知条件2:=x p ，条件0)3)(2(:=--x x q ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题：若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数．用反证法证明该命题时，应反设的是( )A ．假设c b a ,,都是偶数B ．假设c b a ,,都不是偶数C ．假设c b a ,,至多有一个偶数D ．假设c b a ,,至多有两个偶数4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a +=，则=19S ( ) A ．55B ．100C ．95D ．不能确定5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x x R ，则( ) A ．1sin ,:≥∈∃⌝x x p R B ．1sin ,:≥∈∀⌝x x p R C ．1sin ,:>∈∃⌝x x p R D ．1sin ,:>∈∀⌝x x p R6．对于任意实数d c b a ,,,，命题： ①bc ac c b a >≠>则若,0,； ②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22； ④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0． 其中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( )． A ．71-B ．71 C ．1411 D ．141 8．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．xy y x +B ．4522++x xC ．1tan tan θθ+D ．22x x-+9．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则11+-=x y t 的取值范围是( )A ．［－1，31］ B ．［31,21-］ C ．［21-，＋∞) D ．［21-，1) 10．锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A B 2=，则ab的取值范围是( ) A ．)2,2(-B ．)2,0(C ．)2,2(D ．()3,2(二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．函数12()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________． 12．命题“若三角形的两条边相等，则此三角形对应的两个角相等”的否命题是_____________． 13．等比数列}{n a 中0>n a ，且243879236a a a a a a ++=，则38a a +＝______________．14．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，在以下四个命题中：①q p ∨⌝)( ②q p ∧③)()(q p ⌝∧⌝ ④)()(q p ⌝∨⌝，所有真命题的序号是___________． 15．若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范围是___________． 三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8分)已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==．(1)数列{}n a 从哪一项开始小于0？ (2)求13519a a a a ++++值．17．(8分)在ABC ∆中，53cos ,135cos =-=B A ． (1)求C sin 的值；(2)设5=BC ，求ABC ∆的面积．18(8分)已知命题02:2≤--x x p ，命题0:22≤---m m x x q ．(1)若p ⌝为真，求x 的取值范围；(2)若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．(8分)若函数)8(62++-=k kx kx y 对一切x 恒有意义，求实数k 的取值范围．20．(9分)随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，汽车等商品逐渐成为大众化消费．某种汽车，购车费是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年比上一年递增0.2万元．试问这种汽车使用多少年时，年平均费用最少？21．(9分)设关于x 的一元二次方程n a -2x 1n a +)(01N n x ∈=+有两根a 和β，且满足3626=+-βαβα．(1)试用n a 表示1+n a ； (2)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列；(3)当671=a 时，求数列{}n na 的前n 项和n S2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1. 本试卷共分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分；考试时间120分钟；满分150分。
2022-2023学年山东省济南市历城区历城高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）222:1y C x b -=(2,0)-CA ．BC ．D 0x =0y +=10x +-=10y +-=【答案】B【分析】由双曲线中a ，b ，c 的关系先求出b ，进而可求焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题意，，又，解得.1,2a c ==222c a b =+b =所以双曲线的一条渐近线方程为.C by x a =-=0y +=故选：B.2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）22216x y a a +=+y a A ．B ．3a >2a <-C ．或D ．且3a >2a <-23a -<<0a ≠【答案】D【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.206a a <<+【详解】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，22216x y a a +=+y 所以，即，解得且；206a a <<+()()230a a +-<23a -<<0a ≠故选：D3．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（ ）C 222x y +=(,3)A m m -A CA ．1B ．2C D 【答案】C【分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，C AC再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径，C 222x y +=()0,0C r==所以点到圆A C =故选：C.4．如图，在四棱锥中，平面，M ，N 分别为，上的点，且P ABCD -PA ⊥ABCD PC PD ，，若，则的值为（ ）2= PM MC =PN ND =++ NM xAB y AD z AP x y z ++A ．B ．C ．1D ．23-2356【答案】B【分析】以为基底表示，由此求得，进而求得.{},,A B A D A PNM,,x y z x y z ++【详解】()12NM AM AN AC CM AD AP=-=+-+111322AB AD CP AD AP=++-- ()111232AB AD AP AC AP=++-- 11112332AB AD AP AC AP=++-- ()111236AB AD AB AD AP=+-+- ，211366AB AD AP =+-所以.2112,,,3663x y z x y z ===-++=故选：B5．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t 的值为21:20l x y t ++=2:24230l x y t ++-=1l 2l （ ）A ．1B ．C ．D ．21213【答案】B【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性d t 即可求解.【详解】解：∵直线即为直线，∴直线直线．2:24230l x y t ++-=23202t x y -++=1//l 2l ∴与间的距离时取等号．1l 2l 2d 12t =∴当与间的距离最短时，t 的值为．1l 2l 12故答案选：B6．已知大小为的二面角棱上有两点A 、B ，，，，，若60︒l αβ--AC α⊂AC l ⊥BD β⊂BD l ⊥，，，则的长为（ ）3AC =3BD =7CD =AB A ．22B ．40C ．D 【答案】C【分析】过作且，连接、，易得通过线面垂直的判定定理A //AE BD AE BD =CE DE 60,CAE Ð=°可得平面，继而得到，即可求出答案ED ⊥AEC ED EC ⊥【详解】解：过作且，连接、，则四边形是平行四边形，A //AE BD AE BD =CE DE ABDE 因为所以平行四边形是矩形，,BD AB ⊥ABDE 因为，即，而，BD l ⊥AE l ⊥AC l ⊥则是二面角的平面角，即CAE ∠l αβ--60,CAE Ð=°因为，即为正三角形，所以，3BD AE AC ===ACE △3CE =因为，即，平面，ED AE ⊥l AC ⊥ED AC ⊥,,AE AC A AE AC ⋂=⊂AEC所以平面，因为平面，所以，ED ⊥AEC EC ⊂AEC ED EC ⊥所以在中，，所以Rt EDC ED ==AB ED ==故选：C7．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，若双曲线C 以O 1，O 3为焦点､以直线O 2O 4为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．D ．21311【答案】A【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.e =【详解】如图建立直角坐标系，过向x 轴引垂线，垂足为A ，易知，4O 411O A =213O A =1113b a ∴=e ∴==故选：A8．已知点，动点满足，则的取值范围(40)(10)(43)A B C ---，，，，，P Q ，2PAQA PB QB==CP CQ+（ ）A ．B ．C ．D ．[1]16，[614]，[416]，【答案】B【分析】根据题意，求出点和的轨迹，结合平面向量的加法以及模长的计算，即可求解.P Q 【详解】设，(),P x y因，即，因此点在以原点为圆心，2为半径的圆上，2PA PB=2=224x y +=P O 同理可得点也在以原点为圆心，2为半径的圆上.Q O 又因，所以当和重合，且、、三点共线时，取得最2CP C CO O O Q P Q +=++P Q C O P CP CQ+ 值，因此，.()max2214CP CQOC +=+=()min226CP CQOC +=-= 故选：B.二、多选题9．已知空间中三点，，，O 是坐标原点，下列说法正确的是（ ）()0,1,0A ()1,2,1B --()1,3,1C -A ．点关于平面对称的点为B ．C Oxy (),,-131OB =C ．D ．AC OB ∥ OA OB ⊥【答案】BC【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标的概念判断A ；利用向量长度公式判断B ；利用共线向量的性质判断C ；利用向量垂直的性质判断D ．【详解】因为点关于平面对称的点为，所以A 错误；C Oxy ()1,3,1--因为B 正确；OB ==因为，，则，所以C 正确；()1,2,1AC =- ()1,2,1OB =-- AC OB =-因为，，则，所以D 错误．()0,1,0OA = ()1,2,1OB =-- 20OA OB ⋅=-≠故选：BC ．10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ）A ．直线BD 与A 1D 所成的角为45°B ．异面直线BD 与AD 1所成的角为60°C ．二面角A -B 1C -C 1D ．二面角A -B 1C -C 1【答案】BD【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD 与A 1D 所成的角为60°，选项A 错误；1A BD ，异面直线BD 与AD 1所成的角等于BD 与BC 1所成的角，为等边三角形， ∴异11//AD BC 1C BD △面直线BD 与AD 1所成的角为60°，选项B 正确；BC 1与CB 1相交于点O ，连接AO 、AC 1，如图所示：正方体中，，O 为B 1C 的中点，∴，，二面角A -B 1C -C 1的1AB AC =111C B C C =1AO B C ⊥11C O B C ⊥平面角为，1AOC ∠不妨设正方体棱长为2，，，1AC =1C O =AO =由余弦定理，2221111cos 2AO C O AC AOC AO C O +-∠===⋅⋅∴A -B 1C -C 1，选项C 错误，选项D 正确.1sin AOC ∠=故选：BD11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线恒过点（-3，-3）(3)4330()m x y m mR ++-+=∈B ．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1224x y +=:0l x y -=C ．圆与圆恰有三条公切线，则m =422120C :x y x ++=222480C :x y x y m +--+=D ．已知圆，过点P （3，4）向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB22:4C x y +=方程为3440x y +-=【答案】BCD【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，，()(3)433033430m x y m m x x y ++-+=⇒+++-=，所以定点为，A 错误.30334303x x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩()3,3-B 选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线，224x y +=2l 1=所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B 选项正确.224x y +=:0l x y -=C 选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，1C ()1,0-12C ()2,4=由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，C 选1C 2C1=4m =项正确.D 选项，圆的圆心为原点，半径为.，以为直径的圆的方程为22:4C x y +=O 25OP =OP ，即，则所在直线方程为()22325224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭22340x y x y +--=AB ，.D 选项正确.()22224034x x x y y y +--+=--3440x y +-=故选：BCD12．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面∞∞∞直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”C .xOy 1(,0)F a -2(,0)F a 2(0)a a >∞已知点是“曲线”C 上一点，下列说法中正确的有（ ）()00,P x y ∞A ．“曲线”C 关于原点O 中心对称；∞B ．022a a y -≤≤C ．“曲线”C 上满足的点P 有两个；∞12PF PF =D ．的最大值为.PO【答案】ABD【分析】对A 中，设动点，求得曲线C 的轨迹方程，结合方程，可判定A 正确；由(,)C x y ，故，根据，得到，可判定B 正确；由()00,P x y 1212012PF F S F F y =⋅△212PF PF a ⋅=022a a y -≤≤，则在的中垂线为y 轴上，代入运算，可得判定C 不正确；由12PF PF =()00,P x y 12F F，结合余弦定理，化简得到，进而得到，12POF POF π∠+∠=2222122||2OP a PF PF +=+||OP ≤可判定D 正确.【详解】对A 中，设动点，可得C ，(,)C x y 2a =把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；(,)x y (,)x y --对B 中，因为，故，()00,P x y 12121212011sin 22PF F S PF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅△又，所以，212PF PF a ⋅=2120sin 2a F PF a y ∠=⋅即，故，故B 正确；012sin 22a ay F PF =∠≤022a a y -≤≤对C 中，若，则在的中垂线即y 轴上.12PF PF =()00,P x y 12F F 故此时，00x =2a =可得，即，仅有一个，故C 错误；00y =(0,0)P 对D 中，因为，故，12POF POF π∠+∠=12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212||||02||2||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅因为，，故.12OF OF a==212PF PF a ⋅=2222122||2OP a PF PF +=+即，所以.()22212122||22OP a PF PF PFPF +=-+⋅()22122||OP PF PF =-又，当且仅当P ，，共线时取等号.12122PF PF F F a-≤=1F 2F 故，即，解得，故D 正确.()222122||(2)OP PF PF a =-≤22|2OP a ≤||OP ≤故选:ABD .【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解．三、填空题13．从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所()0,1M -1y x =+在直线的方程为_________．【答案】20x y +=【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反M 1y x =+A OA 射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，()0,1M -1y x =+(),A m n 则线段的中点在直线上，则，①AM 1,22m n B -⎛⎫ ⎪⎝⎭1y x =+1122n m -=+因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，②1y x =+1AM 1y x =+11AM n km +==-联立①②可得，即点，21m n =-⎧⎨=⎩()2,1A -因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为，()0,0O 12OA k =-所以反射光线所在直线的方程为，即．12y x=-20x y +=故答案为：．20x y +=14．已知，B 是圆C ：上的任意一点，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .(1,0)F -()22116x y -+=则动点P 的轨迹方程为______.【答案】22143x y +=【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．【详解】解：圆，圆心为，半径为4，22:(1)16C x y -+=(1,0)因为线段的垂直平分线交于点，所以，BF BC P ||||PB PF =所以．||||||||||4||2+=+==>=PC PF PC PB BC FC 所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．P C F 22143x y +=故答案为：．22143x y +=15．抛物线与圆交于A 、B 两点，圆心，点为劣弧上不2:4E x y =()22:125M x y +-=()0,1M P AB 同于A 、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是B y PN N PMN ______．【答案】()10,12【分析】由题可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得P H ，故的周长为，联立圆与抛物线可得点坐标，可得的取值范||||MN NH =PMN ||5PH +,A B ||PH 围，可得答案.【详解】解：∵圆交，抛物线，()22:125M x y +-=2:4E x y =∴圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线为，(0,1)M 1y =-过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，P H ||||MN NH =故的周长，PMN ||||||||||||||5l NM NP MP NH NP MP PH =++=++=+由可得，()2224125x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩(4,4),(4,4)A B -又圆与轴正半轴交于，22:(1)25M x y +-=y (0,6)C 所以，46P y <<又因为，||1P PH y =+所以的取值范围为，||PH (5,7)所以的周长的取值范围为.PMN ||5PH +(10,12)故答案为：.(10,12)16．已知，是椭圆的左、右焦点，为曲线上一点，，1F 2F ()222210x y a b a b +=>>P 1260F PF ∠=︒的外接圆半径是内切圆半径的4倍．若该椭圆的离心率为，则______．12PF F △e e =【答案】23【分析】由正弦定理以及等面积法得出外接圆和内切圆半径，结合椭圆的定义以及题设条件得出离心率.【详解】设的外接圆半径，内切圆半径分别为，设，12PF F △,R r 1PF m =2PF n=则，依题意可知， 2m n a +=()121222PF F a c r S+==△即.在中，由余弦定理可知，mn =12PF F △2224m n mn c +-=得，得，()2243m n c mn+-=()2243a c mn -=()2243a c -=即又r=1144sin 60c r R ==⋅=︒.=23c e a ==故答案为：23四、解答题17．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线C 上．()2:20C y px p =>()1,2P (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为，求直线l 的方程及()3,2M -．AB【答案】(1)，准线方程为()1,0F =1x -(2)；81y x =-+【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得方程解析式，根据抛物线性质，可得答案；（2）利用点差法，求得直线的斜率，代入中点，解得答案.【详解】（1）将点代入抛物线C ，得，∴∴，()1,2P 222p =2p =2:4C y x =∴，准线方程为；()1,0F =1x -（2）设，，∴，∴()11,A x y ()22,B x y 2114y x =2224y x =12121241y y x x y y -==--+∴直线l 的斜率为∴直线l 的方程：，∴，1k =-1y x =-+12628AB x x p =++=+=18．在平行四边形中，点，，平行四边形对角线的交点为．ABCD ()1,1A ()4,2B ABCD ()3,4M (1)求点的坐标以及直线的方程；,CD CD (2)求线段的中点到直线的距离．AM N CD 【答案】(1)，，()5,7C ()2,6D 3160x y -+=【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分，求得坐标，利用两点式求得直线ABCD ,C D 的方程；CD （2）求出线段的中点的坐标，利用点到直线的距离公式得出答案．AM N 【详解】（1）分别设点，，(),C a b (),D c d 因为平行四边形的对角线互相平分，ABCD 所以，解得，1432212422a cb d ++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩5,7,2,6a b c d ====所以，．()5,7C ()2,6D 所以直线的方程为，化简得．CD 676252y x --=--3160x y -+=（2）设，则，，即，(),N x y 1322x +==14522y +==52,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以到直线的距离N CD d 19．如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,,,P ABCD -PC ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥//AB CD ,是的中点．222AB AD CD ===E PB(1)求证:平面平面;EAC ⊥PBC(2)若二面角,求直线与平面所成角的正弦值．P AC E --PA EAC 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)先根据题中给出的数量关系和垂直关系,由线线垂直证得线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得面面垂直.(2)先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后分别求出平面和平面的法向量,根据二PAC EAC面角的坐标,最后求出与平面的法向量的夹角的余弦值P AC E --P PAEAC 的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值.PA EAC 【详解】（1）平面,平面,PC ⊥ ABCD AC ⊂ABCD ,AC PC ∴⊥,,,2AB = 1AD CD ==AB AD ⊥AC BC ∴==,222AC BC AB ∴+=,AC BC ∴⊥,,平面,BC PC C ⋂=BC PC ⊂PBC 平面,AC ∴⊥PBC 平面,AC ⊂ EAC 平面平面.∴EAC ⊥PBC （2）如图,以为原点,取中点,、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐C AB F CF CD CP标系,则,,(0,0,0)C (1,1,0)A (1,1,0).-B 设,则,(0,0,)(0)P a a >11(,,)222a E -设为平面的法向量,,,(),,m x y z = PAC (1,1,0)= CA (0,0,)= CP a ,即,00CA m CP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y az +=⎧⎨=⎩令,则.1x =(1,1,0)m =-设为平面的法向量,(,,)n x y z = EAC 则,即,00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩令,则.x a =(,,2)n a a =--，∴|cos m <|||||m n n m n ⋅>===解得 2.a =,∴(2,2,2)n =-- (1,1,2).=-PA 设直线与平面所成角为,PA EAC θ则sin cos ,||||PA n PA n PA n θ⋅===即直线与平面.PA EAC 20．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，22():21M x y -+=(1,)P t -:1l x =-P M 切点分别为．AB 、（1）若，求切线所在直线方程；1t =（2）求的最小值；AB（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．,PA PB y S T 、ST【答案】（1），；（2）31y =3410x y +-=min AB =【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值；,PM AB N MPA MAN ∠=∠（3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，k t ST可得最值．【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，()11y k x -=+10kx y k -++=则圆心到切线的距离，解得或，M 1d 0k =34-故所求切线方程为，；1y =3410x y +-=（2）连接交于点，,PM AB N 设，则，MPA MAN θ∠=∠=2cos 2cos AB AM θθ==在中，，Rt MAP ∆1sin AM PMPMθ==∵，∴，∴，∴3PM ≥()max 1sin 3θ=()min cos θ=min AB =（3）设切线方程为，即，的斜率为，()1y t k x -=+0kx y k t -++=,PA PB 12,k k故圆心到切线的距离，得，M 1d 228610k kt t -+-=∴，，1234k k t+=21218t k k -=在切线方程中令可得，0x =y k t =+故()()1212ST k t k t k k =+-+=-==∴，故的最小值为minST=0t =ST【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．21．已知椭圆经过点 ，过点的直线l 与椭圆C 2222:1(0)x y C a b a b +=>>(21)A ，(30)B ，交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为和 ，求证：为定值AM k AN k AM AN k k +【答案】(1)22163x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意结合椭圆的几何性质，列出方程组，求得答案;（2）设直线l 的方程为并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，代入化简(3)y k x =-的表达式，可得结论.AM AN k k +【详解】（1）由题意椭圆经过点 ，2222:1(0)x y C a b a b +=>>(21)A ，可得，解得，22222411a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩a b =故椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为，(3)y k x =-由，可得，22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(12)121860k x k x k +-+-=由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则，解得，42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->11k -<<设,则，1122(,),(,)M x y N x y 2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++，11(3)y k x =-22(3)y k x =-故121221121211(31)(2)(31)(2)22(2)(2)AM AN y y kx k x kx k k x k x x x x -----+---+=+=----121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++，2244222k k -+==--即为定值.AM AN k k +22．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角E ABC DE D ABC -2DE =ABC 6形，．5DB DC ==(1)求点到平面的距离；C ABD (2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．G AC DEG BCD【答案】(2)．12【分析】（1）取的中点，连接，，过点作，交于，进而证明点BC F EF DF E //EH BC AC H 在上，平面，即可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标法E AF BC ⊥DEF ,,EF EH ED 求解即可；（2）结合（1）求平面的法向量为，设，，进而求平面BCD (m =AG AC λ=()0,1λ∈的法向量，再根据向量方法求解即可.DEG 13,0u λ⎫=-⎪⎭ 【详解】（1）：取的中点，连接，．BC F EF DF 因为是三棱锥的高，即平面，DE D ABC -DE ⊥ABC 因为平面BC ⊂ABC 所以．DE BC ⊥因为，的中点为，5DB DC ==BC F 所以，DF BC ⊥因为平面,,DE DF D DE DF =⊂ DEF 所以平面，BC ⊥DEF 因为平面，EF ⊂DEF 所以．BC EF ⊥又因为是边长为的正三角形，的中点为ABC 6BC F 所以，，即点在上．BC AF ⊥E AF所以，，，AF =4DF ==EF ==AEAF EF =-=过点作，交于，则两两垂直，E //EH BC AC H ,,EFEH ED 所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，E EFEH ED,,x y z则，，，，()A ()3,0B -()C ()0,0,2D 所以，，，．()2BD =-()BA =-()0,6,0BC =设平面的法向量为，ABD()111,,n x y z =则，即，取．00BD n BA n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111132030y z y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩1x =32n ⎫=-⎪⎭ 所以，点到平面的距离为．CABDn BC n ⋅== （2）解：结合（1）得，，，，()A ()3,0B -()C ()0,0,2D 所以，，．()2BD =- ()0,6,0BC = 设平面的法向量为，BCD ()222,,m xy z =则，即，取，则．00BD m BCm ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222232060y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩21x =(m = 所以，，()AC =设，．AG AC λ= ()0,1λ∈所以，．()()(),0EG EA AC λλλ=+=+= 设平面的法向量为，DEG ()333,,u x y z = 则，即 取．00ED u EG u⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ (3332030z x yλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩3x =13,0u λ⎫=-⎪⎭ 所以，，当且仅当时，等号成立．1cos ,2u m u m u m ⋅==≤ 13λ=所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．DEG BCD 12。
山东省济南市历城第二中学2019_2020学年高二数学12月月考试题
山东省济南市历城第二中学2019-2020学年高二数学12月月考试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间150分钟。
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、代码、准考证号填写清楚。
请认真核准准考证号、姓名和科目、姓名代码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（ ） A ． (－1,0) B ．(－∞,－1) C. (0,1) D ．(1,+∞) 3.两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．与4.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若|AB |=4，则弦AB 的中点到直线102x += 的距离等于（ ） A ．74 B ．94C ．4D ．25.若正数x ，y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ）A.245B.2C.285D.56.在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．87.已知F 1，F 2是双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12||||PF PF λ=，则下 列结论正确的是( )A ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图，正方体中，是棱的中点，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年山东省高二上学期期中数学试题及答案
2019-2020学年山东省高二上学期期中数学试题及答案一、单选题1．若a b c >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．sin sin a b > B ．22log log a b < C ．1122a b<D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据函数性质逐个选项证明或举反例即可. 【详解】 对A,当2,33a b ππ==时sin sin a b =,故A 错误.对B,当,0a b <时不满足对数函数定义域,故B 错误. 对C, 当,0a b <时1122,a b均不存在,故C 错误.对D,由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数可知a b c >>时1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质,主要注意举不满足函数定义域或单调性等的反例即可.属于基础题型. 2．下列命题中,正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若ac bc >，则a b <C ．若,a b c d >>，则a c b d ->-D ．若22a bc c <，则a b <【答案】D【解析】运用不等式的性质,结合取特殊值法,对四个选项逐一判断即可选出正确答案. 【详解】选项A:当0,0a b c d >>>>时,ac bd >成立,例如：21,12>->-,显然22->-不成立；选项B:当0c <时，能从ac bc >推出a b <.例如：(2)2(3)2-⨯>-⨯,显然23-<-不成立； 选项C:例如 32,21>>,显然11>不成立；选项D:式子22a bc c <成立,显然0c ≠,所以20c >,根据不等式的性质:不等式两边同乘一个正数,所得的不等式与原不等式同向,显然有a b <成立. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了取特殊值法,属于基础题.3．已知条件:(1)(3)0p x x -+<，条件2:56q x x -≤，则p ⌝是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：:31或p x x <->，:23或q x x ≤≥，:31p x ⌝-≤≤，所以p ⌝是q 的充分非必要条件．故选A ． 【考点】充分必要条件．4．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A．B． C ．(25)， D．(2【答案】B 【解析】【详解】由题意得，双曲线的离心率222222(1)1()1(1)c a a e a a a++===++， 因为1a 是减函数，所以当1a >时，101a <<，所以225e <<，所e << B.【考点】双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.5．在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2018201920162017a a a a -=-（） A ．3或-1 B ．9或1C ．3D ．9【答案】D【解析】利用13213,,22a a a 成等差数列求出等比数列{}n a 的公比,再化简2018201920162017a a a a--求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >,因为13213,,22a a a 成等差数列, 故223121113232230(3)(1)0a a a a q a a q q q q q =+⇒=+⇒--=⇒-+=. 因为0q >故3q =.故()2201620172201620179a a q q a a -==-故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求法,属于基础题型.6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别是,A B ，左，右焦点分别是12,F F ，若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为 （A ）14（B）5（C ）12（D2【答案】：B【解析】：1121||,||2,||AF a c F F c F B a c =-==+由1121||,||,||AF F F F B 成等比数列得2(2)()()c a c a c =-+即225a c e =⇒=【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( )A ．116B ．103C ．56D ．53【答案】D【解析】由题意可得中间部分的为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，可得到1a 和d 的方程，即可求解. 【详解】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为1a ，公差为d ， 由题意可得11111[20(3)(4)]()7a d a d a a d ++++⨯=++，解得153a =，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中根据题意设最小的一份为1a ，公差为d ，列出关于1a 和d 的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得112(22)223b c b a c ⨯⨯=⨯+⨯得，2a c =，即12c e a ==，故选C.【考点】椭圆的标准方程与几何性质. 9．已知函数()2222,2{log,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤-成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．10．椭圆2211615x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ，椭圆右焦点F ，数列{}n P F 是公差大于12018的等差数列，则n 的最大值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．4036 D ．4037【答案】C【解析】由已知求出c ，可得椭圆上点到点F 距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，再由公差大于12018求得n 的最大值．【详解】由已知椭圆方程可得：a 2=16，b 2=15，则c=1． ∴|P 1F|=a ﹣c=3，当n 最大时，|P n F|=a+c=5． 设公差为d ，则5=3+（n ﹣1）d ，∴d=21n -， 由2112018n >-，可得n ＜4037， ∴n 的最大值为4036． 故答案为：C 【点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当n 最大时，|P n F|=a+c=5．二、多选题11．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的 充 分不 必 要条件B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由11a<,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确； 选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出224x y +≥,然后再判断由224x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 【详解】 选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a<,但是由11a <,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a <,但是不符合1a >,所以本选项是正确的；选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的； 选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.12．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b ab a b +≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2 【答案】ABD【解析】运用比较法、结合不等式的性质、反证法、基本不等式对四个选项逐一判断即可. 【详解】 选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+,故本选项是正确的； 选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤因此本选项是正确的；选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab+---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()()()6a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥=（当且仅当1a b c ===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b c b c a +++至少有一个不小于2,故本选项是正确的. 故选：ABD 【点睛】本题考查了不等式的性质、做差比较法、反证法、基本不等式的应用,属于基础题.13．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()0,x x x n ⎡⎤∈⎣⎦能取到所有值的个数，n S 是数列12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确的有（ ） A ．34a = B ．190是数列{}n a 中的项 C ．1056S = D ．当7n =时，21n a n+取最小值【答案】ACD【解析】先根据n a 的定义可求得123,,a a a ,再确定n a 的递推公式,从而求得n a 的通项公式求解即可. 【详解】当1n =时,[)0,1x ∈,[]0x =,[]0x x =,故 []0x x ⎡⎤=⎣⎦,即11a =, 当2n =时,[)0,2x ∈,[]{}0,1x =,[]{}[)01,2x x ∈⋃,故[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦,即22a =,当3n =时,[)0,3x ∈, []{}0,1,2x =, []{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃,故[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦,即34a =,以此类推,当2n ≥,[)0,x n ∈时, []{}0,1,2,...x n =,[]{}[)[))201,24,6(1),(1)x x n n n ⎡∈⋃⋃⋃--⎣,故[]x x ⎡⎤⎣⎦可以取的个数为221123...12n n n -++++++-=,即22,22n n n a n -+=≥ 当1n =时也满足上式,故22,2n n n a n N +-+=∈. 对A, 2333242a -+==,故A 正确.对B,令22219037802n n n a n n -+==⇒--=无整数解.故B 错误.对C,12112()2(1)(2)12n a n n n n n ==-+++++. 故11111122(...)1)2334122n n n S n =-+-++-=-+++.故10251126S =-=.故C 正确.对D,2122112222n a n n n +=+-≥.当且仅当()226,72n n n⋅⇒=时取等号. 因为n N +∈,当6n =时,21166n a n+=+, 当7n =时,21167n a n +=+, 故当7n =时,21n a n +取最小值,故D正确.故选：ACD 【点睛】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题.三、填空题14．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b =_____．【答案】3【解析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， 由面积得12|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b的值. 【详解】 ∵F 1、F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|＝9，∴（|PF 1|+|PF 2|）2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4（a 2-c 2）=4b 2，∴b=3．故答案为3． 【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.15．已知命题p ：∃x ∈[0，]，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[－1，2]【解析】根据三角函数的二倍角公式将条件转化为一元二次函数再求解. 【详解】令m ＝cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－98，由于x ∈[0，2π]，所以cosx ∈[0，1]．于是m ∈[－1，2]，因此实数m 的取值范围是[－1，2]． 【点睛】解决与特称命题有关的参数取值范围问题，可用分离参数法，将问题转化为求相应函数在某区间上的值域、范围. 16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中252,16a a ==，则2662n n nS S ++的最小值是______. 【答案】17【解析】求得等比数列的通项公式,再求出前n 项和n S ,代入2662n n nS S ++利用基本不等式求解即可. 【详解】由252,16a a ==易得公比2q ==.故211a a q ==.故()1122112n nn S -==--.2221nn S =-.故22662121666421117222n n n n n n n n S S ++-+-+==++≥=. 当且仅当64228,32n nn n =⇒==时等号成立.故2662n n nS S ++的最小值是17.故答案为：17 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求解以及等比数列的求和,同时也考查了基本不等式的运用,属于中等题型.17．下列命题：①设,a b 是非零实数，若a b <，则22ab a b <；②若0a b <<，则11a b>； ③函数y=的最小值是2；④若x 、y 是正数，且+=1，则xy 有最小值16；⑤已知两个正实数x ，y 满足+=1，则x+y 的最小值是42.其中正确命题的序号是________________． 【答案】②④【解析】试题分析：①若10a =-，1b =-，则2210100ab a b =->=-，故不正确；②若0a b <<，由同号不等式取倒数法则，知11a b >，故正确；③函数2222312222x y x x x +==++≥++等号成立的前提条件是2212=2x x++，即22=1x +，21x =-不成立，所以函数2232x y x +=+的最小值不是2，故不正确；④因为,x y 是正数，且141x y +=，所以241124xy ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即16xy ≥，故正确；⑤因为正实数x ，y 满足+=1，所以2122x y x x ==+--，则2212322322x y x x x x +=++=-++≥+--，当且仅当22=2x x --时等号成立，即，22x =故x+y 的最小值是223，故不正确.【考点】基本不等式及其应用；函数的单调性、最值；不等式的定义及性质.四、解答题18．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）32n a n =-+；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，可得n b ．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵27382329a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，∴1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得113a d =-⎧⎨=-⎩，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列得1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+， ∴()()21147321n n S n q q q -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦()()213112n n n q q q --=+++++．∴当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-．19．2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x ＜40和当x ≥40两种情况得到L 与x 的分段函数关系式；（2）当0＜x ＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L 的最大值，当x ≥40时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可． 【详解】（1）当040x <<时，22()5100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；当40x 时，1000010000()5100501450025002000L x x x x x x⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+， 当20x时，max ()1500L x =；当40x 时，1000010000()200020002L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭20002001800=-=.（当且仅当10000x x=即100x =时，“=”成立） 因为18001500>所以，当100x =时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分） 如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，则，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率.（1）由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）解法一：如图（21）图，设点P在椭圆上，且，则求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如图由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,,从而由,知，因此【考点】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．21．命题p：实数x满足22430x ax a-+<（其中0a>）,命题q：实数x满足1232xxx⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩.(1)若1a=,且命题p q、均为真命题,求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】(1)()2,3;(2)(]1,2.【解析】(1)先解出不等式22430x ax a-+<的解集,再解出不等式1232xxx⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩的解集,根据题意,可以求出实数x的取值范围；(2)根据q是p的充分不必要条件,可以根据集合的关系得到关于实数a的不等式组,解这个不等式组即可求出实数a的取值范围.【详解】解(1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >， 所以3a x a <<,当1a =时,13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩，得1332x x x -≤≤⎧⎨≤->⎩或解得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.p q 、均为真命题，所以实数x 的取值范围是2,3（）.(2)由（1）知:3p a x a <<,:23q x <≤,q 是p 充分不必要条件,∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,2. 【点睛】本题考查了两个命题为真命题时求参数问题,考查了根据命题的充分不必要条件求参数问题,考查了数学运算和分析能力.22．在数列{}n a 中，112a =-，()1212,*n n a a n n n -=--≥∈N ，设n n b a n =+.（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和nT ；（Ⅲ）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2019P 的最大的整数.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）222n nn T +=-（Ⅲ）2019.【解析】（Ⅰ）构造数列证明()11n n a na n -++-为常数即可.（Ⅱ）易得122nn n nnb n ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,再利用错位相减求解即可.（Ⅲ）先求得n c n =,再利用错位相减求解数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和即可. 【详解】解（Ⅰ）证明：由121n n a a n -=--两边加2n 得,()121n n a n a n -+=+-,所以()1112n n a n a n -+=+-,即112n n b b -=. 故数列{}n b 是公比为12的等比数列,其首项为11111122b a =+=-+=,所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）122nn n nnb n ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.234112341222222n n nn nT --=++++++ ①2345111123412222222n n n n nT -+-=++++++ ②①-②得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=++++⋯+-=--,所以222nnn T +=-. （Ⅲ）由（Ⅰ）得12nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,n c n ∴=. ()2222111111111n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++. 11111112211n p n n n n n ∴=+-+++-=+--+.2019120202020p ∴=-. 所以不超过2019p 的最大整数是2019. 【点睛】本题主要考查了构造数列证明等比数列的方法,同时也考查了错位相减与裂项相消的问题,属于中等题型.23．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ；（Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120mm m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -，易得当20m =时，max||AB ，故AB ；（Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ， 则221133xy += ①，222233xy += ②，又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
山东省济南市历城第二中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含答案
数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间150分钟。
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、代码、准考证号填写清楚。
请认真核准准考证号、姓名和科目、姓名代码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．82.下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（ ） A ． (－1,0) B ．(－∞,－1) C. (0,1) D ．(1,+∞) 3.两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．与4.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若|AB |=4，则弦AB 的中点到直线102x += 的距离等于（ ） A ．74 B ．94C ．4D ．25.若正数x ，y 满足35x y xy +=，当34x y +取得最小值时，2x y +的值为（ ）A.245B.2C.285D.56.在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．87.已知F 1，F 2是双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12||||PF PF λ=，则下 列结论正确的是( ) A ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图，正方体中，是棱的中点，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市历城二中2019-2020学年高二新高考教学质量检测数学试卷
山东省济南市历城二中2019-2020学年高二新高考教学质量检测数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.不等式245x x <+的解集为（ ） A .()(),15,-∞-+∞U B .()(),51,-∞-+∞U C .()1,5- D .()5,1- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且512a =,则9S =（ ） A .108 B .104 C .100 D .96 3.设223,21P x Q x x =-=++,则,P Q 的大小关系是（ ） A .P Q > B .P Q = C .P Q < D .无法确定 4.若各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为152,81,3n S a a a ==,则5S =（ ） A .124 B .123 C .122 D .121 5.给出下列命题:①若,0a b c <<,则22;ac bc --<②若a b >,则2211a b <;③若0a b c >>>,则b c a b a c >--.其中正确的是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 6.若不等式()()22234180m m n m n ---++>对于任意实数n 都成立,则正实数m 的取值范围是（ ） A .()1,+∞ B .()7,+∞ C .()3,+∞ D .()3,7 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()13123n n S a +=++⨯,则a =（ ） A .73- B .23- C .45- D .94- 8.设,x y 为实数,满足13,01,x y ≤≤<≤则（ ） A .x y +的取值范围是[]1,4 B .x y -的取值范围是(]0,3 C .xy 的取值范围是(]0,3 D .x y 的取值范围是[)3,+∞试卷第2页，总9页9.已知数列{}n a 满足21110,(2)n n a a a n -==≥,则n a =（ ） A .1210n - B .1310n - C .2110n - D .3210n - 10.已知等差数列{}n a 的公差不为0,{}n a 中的部分项123,,.......n k k k k a a a a 成等比数列.若1231,9,49,k k k ===则2019k =（ ） A .2021251⨯- B .2020251⨯- C .2019251⨯- D .2018251⨯- 11.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知9772,10S a ==,则（ ） A .3n a n =+ B .24n a n =- C .21722n S n n =+ D .2n S n n =-12.已知(),0,,a b ∈+∞且291ab a b +=+,则a b +的取值可能是（ ）A .5B .8C .9D .13 13.已知数列{}n a 的前n 项和为12,2,4n S a a ==,且()11362n n n a a S n +-+=+≥,设()·21,0n n n b t n a t =-≠⋅,若数列{}n b 是等差数列,则（ ）A .2n a n =B .2n n a =C .110t =D .12t =二、填空题14.已知等比数列{}n a 满足23345,10,a a a a +=+=,则公比q = ,前n 项和n S = .15.已知102a <<,则()12a a -的最大值为 .16.已知数列{}n a 满足11110,(2)11n n a a n a -==≥+,则20a =.17.设实数,,x y z 满足,x y z >>且12()()T x z x y y z =-+--,则T 的最小值是 .三、解答题18.记等差数列{}n a 的前n 项和n S ,已知43S S =.(1)若24a =,求{}n a 的通项公式;(2)若10a >,求使得n n S a ≥的n 的取值范围.19.已知函数()()21f x x m x m =-++.(1)当3m =时,求不等式()0f x >的解集;(2)若函数()f x 的图象与x 轴有两个交点,且两交点之间的距离不超过5,求m 的取值范围. 20.设等比数列{}n a 的前n 项和为13,10,n S a a +=且440S =. (1)求{}n a 的通项公式; (2)若()312n n b n log a +=+,求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 21.某电子产品生产企业生产一种产品,原计划每天可以生产()510x x ≤≤吨产品,每吨产品可以获得净利润()w x 万元,其中()()160035510.w x x x x =++≤≤.由于受市场低迷的影响,该企业的净利润出现较大幅度下滑.为提升利润,该企业决定每天投入20万元作为奖金刺激生产,在此方案影响下预计每天可增产()2535m m x ≥+吨产品,但是受原材料数量限制,增产量不会超过原计划每天产量的四分之一.试求在每天投入20万元奖金的情况下,该企业每天至少可获得多少利润(假定每天生产出来的产品都能销售出去). 22.已知等差数列{}n a 满足24535,13a a a a =+=+.设正项等比数列{}n b 的前n 项和为,n S 且24381,13b b S ==. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设n n n c a b =,数列{}n c 的前n 项和为,n T 求n T . 23.设函数()2f x mx nx n =-+. (1)若0m >时,不等式()0f x ≤的解集为空集,求n m 的取值范围; (2)若对任意的[)[]()1,,2,3,0m x f x ∈+∞∈≥恒成立,求n 的取值范围.试卷第4页，总9页参考答案 一、选择题 1.答案：C 解析：由()()150x x +-<,得15x -<<,故原不等式的解集为()1,5-. 2.答案：A 解析：由等差数列的前n 项和公式,得19959()91082a a S a +===. 3.答案：C解析：因为223,21,P x Q x x =-=++所以()()22232144,P Q x x x x -=--++=--≤-故P Q <. 4.答案：D解析：因为215381a a a ==,所以39,a =又23a =,所以13,1q a ==,551312113S -==-.5.答案：C解析：对于①,由0c <知20c ->,故①正确;对于②,不妨设1,2a b ==-,则2211a b >,故②错误;对于③,因为0,a b c >>>所以0a c a b ->->,110a b a c >>-- ,又0b c >>,所以b ca b a c >--,故③正确.6.答案：B解析：由题设得222023016(1)32(23)0m m m m m m >⎧⎪-->⎨⎪+--<⎩化简得0(1)(3)0(1)(7)0m m m m m >⎧⎪+->⎨⎪+-<⎩解得7.m > 7.答案：A解析：因为等比数列的前n 项和,n n S A Aq =-由已知()3163,n n S a =++⨯得316,a +=-所以73a =-.8.答案：C解析：由已知可得,x y +的取值范围是(]1,4,x y -的取值范围是[)0,3,xy 的取值范围是(]0,3,xy 的取值范围是[)1,+∞9.答案：A解析：由0,n a >对21n n a a -=两边取对数得12,n n lga lga -=所以{}n lga 为等比数列,11122,n n n lga lga --=⨯=所以1210n n a -=. 10.答案：D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,由已知2132k k k a a a =⋅,所以29149a a a =⋅, 即()()2111848a d a a d ⋅+=+,得12a d =. 于是,在等比数列123,,......n k k k k a a a a 中,公比915a q a == 由n ak 为数列{n ak }的第n 项,知n ak 125;n d -=⨯ 由n ak 为数列{}n a 的第n k 项,知n ak ()()111n n a k d d k =+-=+, 所以()1251n n d d k -⨯=+,故1251n n k -=⨯-,所以20182019251k =⨯-. 11.答案：AC 解析：因为972,S =所以5972a =,即58.a =因为710,a =所以75175a a d -==-,则()553n a a n d n =+-=+,21()(43)172222n n n a a n n S n n +++===+ 12.答案：AB 解析：(),0,a b ∈+∞Q ,2()2a b ab +∴≥ ,可得214()ab a b ≥+,当且仅当12a b ==或4a b ==时取等号.2292981,1()ab a b ab a b a b +=∴=-≥+++Q ,化为()()2980a b a b +-++≤,解得18,a b ≤+≤则a b +的取值范围是[]1,8. 13.答案：BD 解析：由题意,当2n ≥时,1136n n n a a S +-+=+ ,① 123,36n n n n a a S --∴≥+=+,② 两式相减得()1143n n a a n +-=≥, ①式中令2n =,则2311233 6.2,4,8a a S a a a +=+==∴=Q , ()31114,42,n n a a a a n +-∴=∴=≥ {}2k a ∴是以2a 为首项、4为公比的等比数列,{}21k a -是以1a 为首项、4为公比的等比数列,∴11*2214?44,24,,2k k k n k k n a a k N a ---===⋅∈∴=. 若{}n b 是等差数列,则2132,b b b =+ 23212240t t t ∴⨯=+,解得110t =或12.试卷第6页，总9页若110t =,则2325b =,3125b =,47625b =,3242,b b b ≠+∴110t =不满足题意; 若12t =,则{}21,n n b n b =-是等差数列,∴12t =. 二、填空题 14.答案：52;(21)6n - 解析：因为()3423a a q a a +=+,所以1025q ==.因为235a a +=,所以()124,a S +=所以156a =,则前n 项和5(12)56(21)126n n n S ⨯-=--. 15.答案：18解析：因为102a <<所以120,a ->则()2112121212(12)(2228a aa a a a +-=⨯⋅-≤⨯=-(当且仅当212a a =-,即14a =时,等号成立).16.答案：10191解析：因为1111(2)n n n a a -=+≥,即111(2)n n n a a --≥,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列,所以11(1)10n n a =+-，201010,109191n a a n ==-.17.答案：3+ 解析：2()1212()()[()()]()3y z x y T x z x y y z x y y z x y y z x y y z --=-+=-+-+=++------，为0,0x y y z ->->,所以2()333y z x y T x y y z --=++≥++--当且仅当2y z x yx y y z --=---)()x y y z -=-时取得最小值.三、解答题18.答案：(1)因为43S S =,所以410,30a a d =+=,即13a d =-. 又因为24a =,所以124a d d +=-=,解得2d =-,所以()2228n a a n d n ⋅=+-=-+.(2)因为130a d =->,所以0d <,所以1(1)(1)322n n n n n d a nd d S n --+-+==， ()()11?4n a a n d n d =+-=-. 因为,n n S a ≥所以2(3)(4)2n n n d n d --≥-. 因为0d <,所以2342n n n n --≤-, 整理得2980n n -+≤,解得18n ≤≤. 所以n 的取值范围是8{|1},n n n N ≤≤∈. 解析： 19.答案：(1)当3m =时,()243f x x x =-+ , 则()0f x >等价于2430x x -+>, 解得1x <或3x >. 故不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞+∞U . (2)设()f x 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为12,x x ,则12121,.x x m x x m +=+=由题意可得1250x x ⎧⋅≤⎪⎨∆>⎪⎩即222240(1)0m m m ⎧--≤⎪⎨->⎪⎩ 解得41m -≤<或1 6.m <≤ 故m 的取值范围是[)(]4,11,6-U . 解析： 20.答案：(1)设等比数列{}n a 的公比为q 然1q ≠,则221114211(1)10(1)(1)(1)401a a q a q a q a q q q ⎧+=+=⎪⎨-=++=⎪-⎩ 解得11,3,a q == 故1113.n n n a a q --== (2)因为13,n n a -=所以13,n n a +=所以()()3122n n b n log a n n +=+=+, 所以11111((2)22n b n n n n ==⨯-++, 故111111111111[(1()()()...()()]23243546112n T n n n n =⨯-+-+-+-++-+--++, 即1111323(1)221242(1)(2)n n T n n n n +=⨯+--=-++++试卷第8页，总9页解析： 21.答案：解:由题意得,每天投入20万元奖金后,每天增产产品吨数354m x x ≤+, 因为350x +>,所以2213525(35)(35)()444648x m x x x x ≤⋅+=+=+- 因为510x ≤≤,所以2235253525((52546484648x +-≥+-=,25m ≤. 又因为25,m ≥所以25m =. 设每天投入20万元奖金后,该企业每天可获得利润为()f x 万元,则()25251600(()20()(35203535x w x x x x x f x x =+⋅-=+⋅++-++,整理得()()4000031605,[5,1035](5)x x x f x x x =+++∈+.令()35t x x =+,可得235t x x =+在[]5,10x ∈上为增函数,从而[]100,350t ∈. 又40000()(35)1605(35)f x x x x x =++++可转化为40000()1605(100350)g t t t t =++≤≤所以40000()160516052005g t t t =++≥=,当且仅当40000t t =,即200t =时,()g t 有最小值2005,即()f x 有最小值2005万元,故该企业每天至少可获得2005万元的利润.解析： 22.答案：(1)设公差为d ,因为24535,13a a a a =+=+,所以5253513d d d +++=++,解得2d =又因为25a =,所以()2221n a a n d n ⋅=+-=+.因为2481b b =,所以23381,9b b ==,即219,b q =①又313S =,所以31(1)131bq q -=-,即()21113b q q ++=,②由①除以②,得2121913(1)b q b q q =++,化简得24990,q q --=因为0q >,所以3,q =所以3313933n n n n b b q ---==⨯=.(2)因为()1213,n n n n c a b n -⋅==+ 所以()0121335373213,n n T n -=⨯+⨯+⋅+⨯+⋯+③ ()1233335373213,n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯⋅++④ 由③减④,得()()121232333213,n n n T n --=+++⋯⋅+-+ 所以13(31)232(21)32231n n n n T n n ---=+⨯-+⋅=⋅-. 所以·3.n n T n = 解析： 23.答案：(1)因为不等式()0f x ≤的解集为空集,所以240n nm ∆=-<. 因为0m >,所以2(4()0n n m m -<, 解得04n m <<. 故n m 的取值范围是()0,4. (2)记()2·.g m x m nx n =-+ 因为[]2,3x ∈,所以20x >,所以()g m 在[)1,+∞上单调递增,则()()21min g m g x nx n ==-+. 由题意可知()0f x ≥恒成立等价于()0g m ≥恒成立,即20x nx n -+≥. 因为[]2,3x ∈,所以21x n x ≤-即1121n x x ≤-++-. 因为[]2,3x ∈,所以10,x ->所以1121x x -+≥- (当且仅当2x =时,等号成立).因为当[)1,m ∈+∞时,对任意的[]()2,3,0x f x ∈≥恒成立,所以min 11)1(24n x x ≤-++=-. 故n 的取值范围是(],4-∞. 解析：答案第1页，总1页。
山东省济南市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
山东省济南市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆：与圆：的位置关系是（）A . 内含B . 内切C . 相交D . 外切2. （2分）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A . +B . 1+C . 1+D . 2+3. （2分） (2016高三上·西安期中) 下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“ • ＜0”．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）若直线与圆相切，则的值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 16B . 32C . 36D . 486. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 若圆：始终平分圆：的周长，则直线被圆所截得的弦长为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·定州期末) 设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A . 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB . 若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥βC . 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αD . 若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n8. （2分）若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）过点（0，1）引x2+y2－4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（）.A .B .C .D .10. （2分）(2018·茂名模拟) 如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）以为圆心，为半径的圆的方程为（）A .B .C .D .12. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1 C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB=BC=1，∠ABC=120°，AA1=2 ，则球O的表面积为（）A . 4πB . 16πC . 24πD . 8π二、填空题 (共4题；共18分)13. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.14. （1分）(2017·运城模拟) 四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为________．15. （1分） (2016高二上·镇雄期中) 底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为________ cm2 ．16. （15分） (2016高一下·漳州期末) 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．（1）求证：AN⊥DM；（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二上·绍兴期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1= ，（1）试在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（2）在（1）的条件下，求AE和BC1所成角．18. （10分）已知直线l过点P（2，3），（1）若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，求直线l的方程；（2）若直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16，求直线l的方程．19. （10分）(2017·湖北模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2（1）证明：平面ABP⊥平面ADP；（2）若直线PA与平面PCD所成角为α，求sinα的值．20. （10分） (2019高三上·瓦房店月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，（1）求证：平面平面PAD；（2）若，求二面角的大小．21. （10分）已知圆C过原点，圆心在直线y=2x上，直线x+y﹣3=0与圆C交于A，B两点，且，（1）求圆C的方程；（2）若M（0，5），P为圆上的动点，求直线MP的斜率的取值范围．22. （10分）(2017·湖北模拟) 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（，）．（1）求点C的直角坐标；（2）若点P在曲线C2：x2+y2=4上运动，求|PB|2+|PC|2的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共18分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、16-3、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年山东省济南市高二期中数学试题及答案
2019-2020学年山东省济南市高二期中数学试题及答案一、单选题1．命题0:,p x R ∃∈20010x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．0,x R ∃∈ 20010x x ++>B ．,x R ∀∈ 210x x ++≥C ．,x R ∀∈210x x ++>D ．,x R ∀∈210x x ++≤【答案】C【解析】根据命题的否定，即要转化量词，也要否定结论来判断. 【详解】因为0:,p x R ∃∈20010x x ++≤， 所以p 的否定是,x R ∀∈ 210x x ++>故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2．已知数列{}n a 为等差数列，356a a +=，则其前7项的和是（ ） A ．36 B ．30 C ．2 D ．21【答案】D【解析】根据数列{}n a 是等差数列且356a a +=，利用等差数列的性质有()()++==173577722a a a a S 求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列且356a a +=， 所以()()++===17357772122a a a a S故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．椭圆2222kx y +=的一个焦点是(1,0)，那么k =（ ） A．B ．-1 C ．1 D【答案】C【解析】先将椭圆方程2222kx y +=，化为椭圆标准方程，再根据222ca b =-即可解出k 值.【详解】由2222kx y +=，得22121x y k+=，则有211,1k k -==.故选：C. 【点睛】考查椭圆的标准方程以及焦点公式.椭圆标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 焦点，12(,0),(,0)F c F c -,则有222ca b =-.题目较为简单.4．已知24(0,0)x y x y +=>>，则xy 的最大值是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】D【解析】利用均值不等式即可解,注意何时取等号. 【详解】由题意得：24x y +=≥①，解得2xy ≤.当2x y =，即1,2x y ==时不等式①取等号. ∴xy 的最大值为2. 故选：D. 【点睛】考查均值不等式的应用.a b +≥(,)a b R +∈,当a b =时区取等号.运用均值不等式要注意,a b 均为正数. 5．数列{}(1)n n -的前2019项的和是（ ） A ．-2019 B ．-1010 C ．1010 D ．2019【答案】B【解析】根据数列{}(1)nn -是摆动数列的特点，利用并项求和的方法求和. 【详解】因为数列{}(1)nn -所以()()()()=-++-++-+++-+-2019123456......201720182019S=⨯-=-20191009120191010S故选：B 【点睛】本题主要考查了摆动数列的求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．(0,2B ．[2C ．(0,2D ．,1)2【答案】B【解析】由椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b ≥，∴2222c b a c ≥=-，∴2212c a ≥∴c e a =≥。
2023学年山东省济南市历城二中高二(上)开学数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省济南市历城二中高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在复平面内，复数是虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A. B. C. D.3.如图，四棱锥中，M，N分别为AC，PC上的点，且平面PAD，则( )A. B. C. D. 以上均有可能4.已知中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则( )A.B.C.D.5.a，b，c为三边之长，若，则的最大角为( )A. B. C. D.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )分数54321人数2010303010A. B. C. 3 D.7.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足，则的形状为( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 锐角三角形8.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件表示事件B 的对立事件发生的概率为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.若复数，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z 的虚部为B.C.为纯虚数D. z 的共轭复数为10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品C. 至少有1件次品与至少有1件正品D. 恰有1件次品与恰有2件正品11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N ，若线段MN 的最小值为，则( )A. 正方体的外接球的表面积为B. 正方体的内切球的体积为C. 正方体的棱长为2D. 线段MN 的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共12分）13.已知向量，，其中，，与的夹角为=______ .14.在中，，，，则a的值为______ .15.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______ .16.在平行四边形ABCD中，，，且，以BD为折痕，将折起，使点C到达点E处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为______.四、解答题（本大题共6小题，共72分。
山东济南历城二中2020级高二第一学期期末模拟卷
（1）当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）若 ，证明对任意 ， 恒成立.
参考答案
1．D
【分析】
分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限．
【详解】
直线 的斜率为 ，
在 轴上的截距为 ，
所以直线经过第一、三和四象限，
故选： ．
2．D
A． B．
C． D．
8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 ，第二行为 ， ，第三行为 ， ， ，第四行为 ， ， ， ，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，例如 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．等差数列 的前 项和为 ， ， ，则（）
【详解】
9．AC
【分析】
根据 ，由等差中项可知 ，从而判断出 ，即可判断AB，再由 ，化为关于 的一元二次不等式即可判断C，计算 的正负，即可判断D.
【详解】
因为 ，∴ ，∴ ，即 .
又 ，所以 ，A对，B错；
当 ，解得
，∴ ，故C对；
∴ ，D错.
故选：AC
10．ACD
【分析】
根据圆的一般方程 可判断A；利用点到直线的距离为 可判断B；利用两圆心的距离与两圆半径之间的关系可判断C；利用基本不等式可判断D.
18．如图，已知 的边 所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 .
（1）求 边所在直线的方程；
（2）求 外接圆的方程；
19．已知数列 是等比数列，且 ，其中 成等差数列．
（1）数列 的通项公式；
（2）记 ，则数列 的前 项和 ．