四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十一讲 简单的幻方及其他数阵图(例题解析版)全国通用
第十一讲简单的幻方及其他数阵图有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方.据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.九子排列上、下对易左右相更四维挺出怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.解答这个题目，可以分三步解决：①先求出每行、每列三个数的和是多少？②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？③最后试填其他方格里的数.∵A+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）=15X4.45+3E=603E=15E=5.这样，正中央格中的数一定是5.由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.例2 在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.分析与解答①从1行和3列得：A+12+D=D+20+11A+12=20+11A=19.②观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和：A+15+11=19+15+11=45.③B=45-（16+19）=10.④D=45-（20+11）=14.⑤C=45-（16+11）=18.∴A=19、B=10、C=18、D=14.例3 将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.分析已知题目中只给了3个数，22、30、38，而每个数都有3个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90.以A、B、C记这三个数.如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90.而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.其中第一图中由于A+A+A=90，因此必须A=30；第二图中C+C+C=90，所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.在第一图中B，C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取.因此共有4种不同的重新排列法.解：由分析可知，右图所示为4种不同的重新排列方法中的一种.例4 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，1=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.解：由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.例5 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.分析为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+5＝27 （1）5+C+E＝27 （2）5+D+G＝27 （3）6+C+D=27 （4）A+6+E＝27 （5）A+C+G＝27 （6）B+C+F＝27 （7）E+F+G＝27 （8）由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知：3C＝27 C=9.将C＝9代入（4），D＝12代入（2），则E=13.将D=12代入（3），则G=10.将E=13代入（5），则A＝8.将A=8代入（1），则B=14.将B=14、C=9代入（7），则F=4.解：由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右图.例6 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析①根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24÷3=8.②既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16 2+14=26 3+13=164+12=16 5+11=16 6+10=167+9=16③按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.九个数字分别填在右图的圆内，使每一横行、每一竖行、两对角线中三个数的和都相等.分析解答这类问题，要想办法化难为易，从中找到解答的方法.①由于分数求和较繁，如果找到上述九个分数分母的最小公倍，将分数扩大后转成整数，问题就易于解决.[2，3，4，6，12]=12，将九个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7.而3×3的幻方是熟知的.如右图所示：②将上图的每个数除以12就是所求.解：例8 如下图的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.解：例9 将1～9这九个数字分别填入下图中两分图中的空格内（其中1和5已填好，使得前两行构成的两个三位数之和等于第三行构成的三位数，并且当每格看成单独一个数时相邻（上、下或左、右）的两格内的数的奇、偶性不同.分析由题设条件（即把3×3阵列看成三位数的加式以及奇偶性的分布）可知，上图（1）中个位上的加式必向十位上进1位（因为偶数+奇数≠偶数），而十位未向百位进位.因此，第三行第三列的奇数小于5，不等于1，必为3，进而第一列第一行和第三行的数分别为7和9.接着可把其余四格中的偶数相继确定.解：从对上图（1）的分析可得解如下图（1）.对上图（2）进行类似的分析，可得解如下图（2）.习题十一1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.。
四年级奥数数阵与幻方
数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。
在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。
如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。
在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。
还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。
这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。
例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。
例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。
例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。
小学奥数 数阵与幻方 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。
例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。
例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
小学数学《幻方与数阵图》练习题(含答案)
小学数学《幻方与数阵图》练习题（含答案）1. 把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.解：2. 把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?解：3. 在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,解：4. 在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.解：5. 图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.解：6. 把1~16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.解：7. 将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26. 解：8. 在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.解：9. 把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.解：10. 将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.解：作业：1. 10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______.答案： 24.2. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.答案：4 7 1 3 82 9 5 6 11 1 63 9 2 10 5 84 73. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.答案：4. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.答案：5. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.答案：。
四年级下册奥数知识点专讲第12课《简单的幻方及其他数阵图》试题附答案
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
四年级下册奥数知识点专讲第12课《简单的幻方及其他数阵图》试题附答案
答案
四年级奥数下册：第十一讲简单的幻方及其他数阵图习题解答
---------------------赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
小学奥数 数阵与幻方 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。
例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。
例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。
例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。
这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。
拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
小学四年级奥数下册简单的幻方及其他数阵图教案
小学四年级奥数下册简单的幻方及其他数阵图教案简单的幻方及其他数阵图教案有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. 杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.九子排列上、下对易左右相更四维挺出怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.解答这个题目，可以分三步解决：①先求出每行、每列三个数的和是多少？②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？③最后试填其他方格里的数.∵A+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）=15X4.45+3E=603E=15E=5.这样，正中央格中的数一定是5.由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.网络搜集整理，仅供参考。
小学奥数四年级-幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十一讲 数阵图与数字谜 竞赛篇(解析版)全国通用
第十一讲数阵图与数字谜编写说明在四年级秋季第九、十讲和春季第三讲我们对数阵图进行了讲解,在寒假第6、7讲对数字谜进行了讲解. 本讲我们将针对这两部分知识进一步巩固和提高. 此部分内容我们在一步步分析时比较占用时间,所以本讲的例题量设置较少！同时教师也可用来缓解前几讲习题的压力！你还记得吗【复习1】请你把1～7这七个自然数,分别填在右图的圆圈内,使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析：关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k. 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如右下图.设每条直线上的数字和为k.根据题意可得：2a＋28=3k 由于28与2a的和为3的倍数,a又为1～7中的数字,经过尝试可知:a为1、4或7.若a=1,则k=10,直线上另外两个数的和为9. 得到一个解为：a=1,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若a=4,则k=12,直线上另外两个数的和为8. 得到第二个解为：a=4,b=1,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若a=7,则k=14,直线上另外两个数的和为7. 得到第三个解为：a=7,b=1, c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里,使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.分析：所有的数都是重叠数,中心数重叠两次,其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等,所以这个和应该是5的倍数,再由中心数在1至7之间,所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是8的有1,7；2,6；3,5. 于是得到右下图的填法.【复习3】在右图所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字。
如果：巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位,5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”,“谜”必定是5（0显然可以排除）； 接着看十位,四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”,那说明“字”只能是6； 再看百位,三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”,“数”可能是4或9； 再看千位,（1）如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复,不能；（2）如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.数 阵 图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图,一般地,将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中,使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等,这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】 （1）将九个数填入下图（1）的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k,则中心方格中的数必为3k.请你说明理由！（2）将九个数填入下图（2）的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有：2a be +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有：2a bc +=.请你说明理由！分析：（1）因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右下图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k, 3k+中心方格中的数×3=4k,中心方格中的数=3k （2）和=3e ,a+e+b=和=3e,所以a+b=2e,即得：2a be +=.（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图,那么有：c +（2d-b ）= a +（2d-c ）,由此可得：2a bc +=. 值得注意的是,这个结论对于a 和b 并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9,中心数为（5＋9）÷2=7,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图 的填法.【巩固】（必讲题目）在右图的每个空格中,填入不大于12且互不相同的八个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8,7,6．另两个角上的数,和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9,不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：【例2】 将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.分析：（法1）：易得中心数为9,然后将剩余那么其余8个数分为4组,每组两个数的和是18,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果,如右图. 答案不唯一,仅供参考.（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.我们可以把它推广到等差数的幻方 ,等差数列可与序号1～9一一对应,把等差数填在相应的序号中.【前铺】将自然数1至9,分别填在右图的方格中,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45,所以每行三个数的和是45÷3=15,所以E代表15÷3=5,由于在同一条直线的三个数之和是15,因此若某格中的数是奇数,那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此,四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则,若A为奇数,则I为奇数.此时若B 为奇数,则其余所有格亦为奇数；若B为偶数,则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形,都与1至9中有5个奇数,4个偶数这一事实矛盾.）因此,B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则,可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而,G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话,一共只有两种不同的填数法：A=2,C=4或A=Z,G=4（2,4被确定位置后,其他数的位置随之而定）.（法2）：从法1知道中心数为5,那么其余8个数分为4组,每组两个数的和是10,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数,构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2）,请选择9个不同自然数填人9个方格中,使得其中最大者为20,最小者大于5,且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析：①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数,其中最大的数是9,最小的数是1,且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意,要求新制的幻方最大数为20,而9+11=20,因此,如果原表中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.【例3】在1～13这十三个自然数中选十二个填在图中的空格内,使每横行四数之和相等,每数列三数之和相等.分析：由和的整除性质,首先确定使用哪十二个数填图．由于每横行四数之和相等．每竖行三数之和相等知十二个数之和既是3的倍数也是4的倍数,因此是12的倍数,由此可知不用填图的数字是7,所选十二个数和为：[(1+13)×1 3÷2]-7=84,每横行四个数和为：84÷3=28,每竖行三个数和为：84÷4=21．由于竖行和为21,因此可知1,2,3,4在不同竖行,而5只能跟3或4在同一竖行,由此可确定竖行分组有如下两种情况：(1,8,12),(2,9,10),(3,5,13),(4,6,11)或(1,9,11),(2,6,13),(3,8,10),(4,5,12)．再根据横行和为28,易得如下结果：【拓展】右图是一个四阶幻方,请将其补全：分析：根据各行,各列,各对角线和相等为34,可得图（1）,此时我们可以设未知数,如图（2）,将一些数表示出来,进而根据和为34求得x代表9,随后得到答案,如图（3）.【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D,那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？分析：考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行,因此不是C,第三行第三个元素与C同列,因此也不是C,所以＊代表的元素必为C．【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析：如下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.【例4】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍,是偶数,1～9和为45 ,因此未标出的数是一个奇数,在1,3,5,7,9中选一个数,并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除,依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图,每面四个数和为：（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8,9不公面,因此8在顶点9的对顶点上,有公共点9的三个面上,每面其余三个数和为10,且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：（6,3,1）,（5,4,1）,（3,2,5）,填图如右下图.【例5】右图中大三角形被分成九个小三角形,大三角形的每条边都与其中五个小三角形有公共点,试将1～9九个自然数分别填入这九个小三角形内,使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等.问这个和最小值是多少？最大值是多少？分析：1～9和为45.设3个只属于一条边的数的和为k,则每条边上五个数和为：（45×2-k）÷3=30-13 k.K最小时,取k=1+2+3=6,一边上的和为：30-13×6=28；K最大时,取k=7+8+9=24,一边上的和为：30-13×24=22,因此这个和最大为28,最小为22.【巩固】将自然数1～11填入右图的11个○中,使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等.分析：左下角的数属于5条直线共有,对角线上中间的数属于4条直线共有,其余数只属于2条或3条直线,所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位,应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和.设每条直线上三数之和为k.由图（1）中5条实线上所有数字之和,可列方程：5k=（1+2+…+11）+4a ,即6645ak+=；因为k是整数,所以a只能取1,6或11；再由图（2）中四条实线上所有数字之和,可列方程：4k=（1+2=…+11）+a , 即664a k+ =.得到a只能取2,6或10. 综合以上讨论知a＝6,k＝18.在图（3）中的5条实线中,只有b属于3条实线共有. 注意到这5条实线上的数字没有6,在剩下的十个数字中,三个数的和等于18的共有以下八组：3＋4＋11；1＋8＋9；1＋7＋10；3＋5＋10；2＋7＋9；2＋5＋11；3＋7＋8；4＋5＋9,其中同时出现在三个算式中的数只有3和9,所以b只可能是3或9,此时c等于9或3. 由同时含有3的三个算式知,若b＝3,c＝9,则d,e只能取4,11或5,10或7, 8,由于每条直线上的三个数之和为18,且c＝9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能取7,8. 由此可得左下图中的答案.同理,若b＝9,c＝3,则可得右下图的另一答案.【巩固】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分,并且使每个圆环内的数字之和都相等.分析：设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于1～9的和45,再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10,最大是6＋7＋8＋9＝30,所以,5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55,即11≤k≤15 .当k＝11,13,14时可得四种填法（见右下图）,k＝12,15时无解.【例6】自然数1～12中已有一些填人图中的圆圈中,试填入其余各数,使得每条直线上的四数之和相等.分析：十二个数中每个数都出现在两条直线上,每条直线上四个数之和为：[（1+12）×12÷2]×2÷6=26.考虑以a、b、c标出顶点的大三角形的三条边,如图（1）：则：10264261226a bb cc a++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,可得a=4,b=12,c=10同理可得另一个大三角形三个顶点的数.结果如图（2）：【例7】自然数1～12中有一些已填入图中圆圈内,请将其余的分别填入空圆圈内,使得圆中的四个三角形周边上的数字之和相等.分析：如下图（1）,我们设六条边和分别为S1～S6,则根据题目有S 1 +S 2 +S 3 = S 1 +S 5 +S 6 =S 2 +S 4 +S 6 = S 3+S 4+S 5 , 于是我们有：56233526S S S S S S S S +=+⎧⎨+=+⎩,进而可得：2536S S S S =⎧⎨=⎩因此图中六边和满足：142536,,S S S S S S ===,由14S S =及已知1和3的位置知1S 和4S ,两边圆圈中的数差2,同理,另两组对应相等边中的空圆圈中的数差为4和4.也就是说我们要把2,4,6,8,10,12分成三组差分别为2,4,4的数,这里的分法不唯一,给出答案如图（2）仅供参考.142536,,S S S S S S ===数 字 谜【例8】 在下面的算式中,汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的7个数字,不同的汉字代表不同的数字,恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？分析：根据加法规则,“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6,只能是“届”、“赛”分别等于2或4,此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9,“十”、“华’’分别只能取 (1,8),(2,7),(3,6),(4,5)．但l,2,3,4均已被取用,不能再取．所以,“届”+ “赛”=6填不出来,只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这 时只能是“一”+“杯”+1=10,且“十”+“华”+1=10,也就是“一”+“杯”=9, 同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3,6),(4,5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例9】 右面算式寓意第8届华杯赛于新世纪的第1年举办．新、世、纪、华、杯、赛代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的六个数字(不同的文字代表不同的数字),请把这个算式恢复出来．分析：原式变形为=华杯赛新世纪8．华杯赛最大可能是987．易知新=1. 由12×8=96,13×8=104,可知世=2．若纪≥5,新世纪×8≤987＜1000,所以纪等于4或3；若纪=4,124×8=992,出现华=杯=9,世=赛=2,与题设条件不符； 若纪=3,123×8=984,合乎题意． 所以,题设等式恢复出来是81984123=.【例10】 将0～9中的8个不同的数字分别用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 替换．在替换规则下：g×g =db ,g ×c=bd ,g ×f=ef ,ag b eh +=,如上面4个式子中,“+”、“×”、“=与平常算术中相应的符号意义相同,而且也是十进位制．在这种替换规则下,ca e ⨯的数值等于 .分析：由g×g =db 知,g≥4． 若g=4,d=1,与g ×c=bd 是偶数矛盾； 若g=5,则d=2,b=5,与g ≠b 矛盾； 若g=6,则d=3,b=6,与g ≠b 矛盾；若g=7,则d=4,b=9,由g×c =bd =94,得到c =4÷7=3137也不合题意； 若g=8,则d=6,b=4,由g×c =bd 46,得到c=46÷8=354,仍不合题意； 若g=9,则d=8,b=1,由g×c =bd =18,得到c=18÷9=2,再由g ×f=ef ,f=5,e=4,再由ag b eh +=,得a=e-1=3.所以23492ca e ⨯=⨯=.【例11】 下面算式中不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
四年级奥数幻方和数阵图
幻方和数阵图一、幻方例：用1—9这9个数排成一个三阶幻方1.用3—11这9个数补全图中的幻方，并求出幻和。
2.在图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一个横行、竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
3.在图（a ）（b ）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行，每一竖列和对角线上的三个数之和都等于30。
（a ） （b ）4.将5—20这16个数排成一个四阶幻方。
5.将5—29这25个数排成一个五阶幻方。
6.在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是几？7.从1—13这十三个数中选出12个数填到图的方格中，使每一横行四个数之和相等，每一竖列三数之和也相等。
8.在图中每个方格内填一个数，使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1、3、5、7，那么带“☆”号的两个方格中的数之和等于几？4 859 8 14？19 13第2题 第3题二、数阵图1.把1—7这七个数填入图中的○中，使每条直线上三个数的和都等于14。
第1题 第2题2.将1—9这九个数填入图中的○中，使每条边上四个数的和都等于17。
3.将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16。
第3题4.将1—8填在图中的○中，使每条线上的三个数的和都相等，并求出这个和的取值范围。
○ ○ ○○ ○○ ○ ○第4题5.将1—8填在图中的○中，使大圆上、小圆上、横线上、竖线上四个数的和都相等，而且在大圆上的四个数中最大的数尽可能小。
13 57 7 1☆ ☆第5题6.把1—7七个自然数分别填在图中的○内，使得四个三角形的三个顶点数之和等于11，则a填。
○○○a○A○○○B8.将1—8个数填入图中的八个方格内，使上面四格，下面四格，左边四格，右边四格，对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。
第8题9.把1~9这9个数，填入图11中的九个○内，使每条线段上三个数的和相等，两个四边形四个顶点上数的和也相等。