空间平行与垂直专题
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。
在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。
本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。
一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。
1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。
- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。
2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。
- 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。
3. 平行线的性质- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。
- 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方向不会改变。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。
1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一：两个直角相等。
- 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面，其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。
- 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。
2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是垂直的。
- 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。
三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。
二轮复习12空间中的平行与垂直
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专题四 第2讲
典范研究 安徽，文19 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 例2： 2012· 中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意 一点．
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专题四 第2讲
(1)证明：BD⊥EC1； (2)如果AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求AA1的长．
专题四 第2讲
典范研究 四川高考下列命题正确的是( 例1：2012· )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直 线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则 这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两 个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
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专题四 第2讲
考向一
空间位置关系的判定 命题指数：★★★★
精彩看点 空间线面关系的考查主要是考查线线、线面、面面三者的 平行、垂直关系，其中推理论证的关键是要结合空间想象力进 行推证，防止考虑不全导致推断片面，题目难度不大，以容易 题和中档题为主.
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专题四 第2讲
考点6：二面角的求法 ①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 垂线法是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱． ②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直 线(往往先找垂面再找垂线)．
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空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
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空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练【知识图解】【知识梳理】一、平行1、平行公理2、构造三角形：3、构造平行四边形:4、线面平行性质：5、面面平行性质:6、线面平行判定:7、面面平行的性质：8、面面平行的判定1：9、面面平行的判定2：【典型例题】例1、正方体ABCD_A、B\GD\屮，E,F分别是的屮点，求ffi: EF〃面ABCD.变式:如图，两个全等的正方形ABCD和M3EF所在的平面相交于AB, M eAC, Nw FB 且AM = FN，求证：MN〃平面BCE.例2、如图，以垂直于矩形ABCD所在的平面，PA=AD f E、F分别是AB、PD 的中点。
(1)求证：AF〃平面PCE；*(2)求证：平面PCE丄平面PCD。
/ \\(1) 求证:BC 】//平面CAD(2) 求证：平面CAJ)丄平面AAiBiBo例3、浙江理20.(本题满分15分)如图，平面PAC 丄平面ABC, \ABCPB, AC 的中点，AC = 16, PA = PC = 10.(I) 设G 是0C 的中点，证明：FG//平面BOE ；(II) 证明：在AABO 内存在一点M ，使FM 丄平面BOE, 并求点M 到Q4, 03的距离.练习：1、(浙江卷文)(本题满分14分)如图，DC 丄平面ABC , EB//DCAC = BC = EB = 2DC = 2 , ZACB = 120 ,只Q 分别为AE.AB 的中点.（I ）证明：PQII 平面ACD ； （II ）求AD 与平面ABE Wr 成角的.正弦值.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1屮，AC=BC,点D 是AB 的屮点。
是以4C 为斜边的等腰直角三角形，匕£0分别为必,（第20（2） 求二面角B-FC!-C 的余眩值。
. Ei D L-.-.♦ E / ■<C 3、如图，在四面体ABCD 中，截而EFGH 是平行四边形•求证：AB 〃平面EFGH.安徽理（19）如图，圆锥定点为P,底面圆心为O,其母线与底而所成的角为22.5°, AB 和 CD 是底面圆0上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°-（1） 证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面;（2） 求 cosZCOD4、点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，E,F 分别是PA,BD 上的点，且 PE:EA=BF ・・FD,求证：EF//面PBC.5、（山东卷理）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD ・A]B]C]D]中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA ）=2, E 、E“ F 分别是棱 AD 、AA 【、AB 的中点。
第2讲空间中的平行与垂直
第2讲空间中的平行与垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．3．平行关系及垂直关系的转化示意图考点一空间线面位置关系的判断例1(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m(1)(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α考点二线线、线面的位置关系例2如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：EC∥平面P AB.考点三面面的位置关系例3如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝ 2.(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.考点四 图形的折叠问题例4 (2012·北京)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．(2013·广东)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .1．证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明．2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行．3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行．4．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．5．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．1． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等2． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你 的结论．一、选择题1． 已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥αB ．若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥αC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β2． 已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的必要不充分条件是( ) A ．m ∥α且n ∥α B ．m ⊥α且n ⊥α C ．m ∥α且n ⊂αD ．m ，n 与α成等角3． 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC4． 下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ. 正确的命题是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5． 一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为( ) A.a 22 B.a 23 C.a 24D.a 256． 在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是 ( ) A ．12π B ．32π C ．36πD ．48π二、填空题7． 设x ，y ，z 是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．8． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .9． 如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①P A ∥平面MOB ； ②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 三、解答题10． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ， F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4. (1)求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ； (2)求证：FB ∥平面A ′DE .。
专题8.3 空间几何中的平行、垂直(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。
高考数学复习考点题型专题讲解14 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)
高考数学复习考点题型专题讲解专题14 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法) 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.1.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案 A解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD⊥平面ABCD，1又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系， 设AB ＝2，则D (0，0，0)，B 1(2，2，2)，E (2，1，0)，F (1，2，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，则EF →＝(－1，1，0)，EB 1→＝(0，1，2)，DB →＝(2，2，0)，DA 1→＝(2，0，2)，AA 1→＝(0，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，A 1C 1→＝(－2，2，0). 设平面B 1EF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝－x 1＋y 1＝0，m ·EB 1→＝y 1＋2z 1＝0，可取m ＝(2，2，－1)，同理可得平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(1，－1，－1)， 平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，1，0)， 平面A 1C 1D 的一个法向量为n 3＝(1，1，－1)， 则m ·n 1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B 1EF 与平面A 1BD 不垂直，故B 错误； 因为m 与n 2不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1AC 不平行，故C 错误； 因为m 与n 3不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1C 1D 不平行，故D错误.2.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案 A解析法一连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直.所以选项A正确.故选A.法二 以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略).设AB ＝2，则A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，D 1(0，0，2)，B (2，2，0)， 所以M (1，0，1)，N (1，1，1)，所以A 1D →＝(－2，0，－2)，D 1B →＝(2，2，－2)，MN →＝(0，1，0)， 所以A 1D →·D 1B →＝－4＋0＋4＝0， 所以A 1D →⊥D 1B →，即A 1D ⊥D 1B .又由图易知直线A 1D 与BD 1是异面直线， 所以A 1D 与BD 1异面且垂直.因为平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以MN →·n ＝0， 又MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .设直线MN 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，因为平面BDD 1B 1的一个法向量为a ＝(－1，1，0)，所以sin θ＝|cos 〈MN →，a 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MN →·a |MN →|·|a |＝12＝22， 所以直线MN 与平面BDD 1B 1不垂直.故选A.3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点，则满足MN ⊥OP 的是( )答案BC解析设正方体的棱长为2.对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan ∠POC＝12＝22，故MN⊥OP不成立，故A错误；图(1) 图(2)对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN. 由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，又SM∩MT＝M，SM，MT⊂平面SNTM，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，OQ，PQ⊂平面OPQ，所以MN⊥平面OPQ，又OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；图(3) 图(4)对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN. 因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝12AC＝2，OQ＝AO2＋AQ2＝1＋2＝3，PO＝PK2＋OK2＝4＋1＝5，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D错误.故选BC.4.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；(2)点C1在平面AEF内.证明(1)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，于是AC⊥BB1.又BD∩BB1＝B，且BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.(2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.因为ED1＝23DD1，AG＝23AA1，DD1綊AA1，所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1.因为B1F＝13BB1，A1G＝13AA1，BB1綊AA1，所以B1F綊A1G，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.例1 (1)(多选)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m⊥β，则α⊥βC.若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nD.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n(2)已知经过圆柱O1O2旋转轴的给定平面α，A，B是圆柱O1O2侧面上且不在平面α上的两点，则下列判断正确的是( )A.不一定存在直线l，l⊂α且l与AB异面B.一定存在直线l，l⊂α且l⊥ABC.不一定存在平面β，AB⊂β且β⊥αD.一定存在平面β，AB⊂β且β∥α答案(1)BC (2)B解析(1)当m∥α，n∥α时，m，n可以相交、平行或异面，A错误；当m∥α时，α内必有b∥m，而m⊥β，则b⊥β，从而α⊥β，B正确；α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，C正确；α⊥β，m∥α，n∥β，m，n可以相交、平行或异面，D错误.(2)对于选项A，当A，B同侧时，平面α和圆柱在底面上的交线与AB是异面的；当A，B异侧时，平面α和圆柱在侧面上的交线与AB是异面的，即选项A不正确；对于选项B，当A，B同侧时，平面α和圆柱在底面上的交线与AB是垂直的；当A，B异侧时，直线O1O2⊥AB，即选项B正确；无论A，B同侧，还是异侧，若β为过AB的圆柱轴截面，则β⊥α，所以C错误；对于选项D，当A，B异侧时，直线AB与平面α相交，不可能存在β∥α，即D不正确.故选B.易错提醒 1.遗漏定理中的条件.2.直接将平面几何中的结论应用到立体几何中.训练1(多选)(2022·苏州模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是( )A.四边形BFD1E有可能是梯形B.四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形C.四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD.四边形BFD1E面积的最小值为6 2答案BCD解析由题意知，过BD1作平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE.平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理，D1E∥BF，故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，当F点到线段BD1的距离最小时，此时平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E，F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为12×2×3＝62，因此D正确.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12 BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12 BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD. 所以EF∥平面PCD.规律方法平行关系及垂直关系的转化训练2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.热点三空间向量法证明平行、垂直1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).(1)BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)， 故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥PA ，PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ，所以向量AB →＝(1，0，0)为平面PAD 的一个法向量， 而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)由(2)知平面PAD 的法向量AB →＝(1，0，0)， 向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)， 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0， 所以n ⊥AB →.所以平面PAD ⊥平面PCD .规律方法 利用向量证明线面平行的三种方法(1)证直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行. (2)证直线的方向向量与平面的法向量垂直.(3)证直线的方向向量能写为平面内两不共线向量的线性表达式.训练3 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .证明 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ，易证PA ⊥AD ，即有PA ⊥平面ABCD ，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，E (0，0，1)，D (0，2，0)，F (0，1，1)，G (1，2，0)，P (0，0，2).所以PB →＝(2，0，－2)，EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·EG →＝0，∴⎩⎨⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，取x ＝1得m ＝(1，0，1)，∵PB →·m ＝2＋0－2＝0，PB ⊄平面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .一、基本技能练1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是( )A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC答案 C解析由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，∴点D在平面ABC与平面β的交线上，又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上，∴平面ABC∩平面β＝直线CD.2.设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析只有l∥β不能推出α∥β，但α∥β时，可以得到l∥β.3.设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是( )A.m⊥α，n∥α，则m⊥nB.m⊥α，n⊥α，则m∥nC.m⊥α，m⊥n，则n∥αD.m⊥n，n∥α，则m⊥α答案 D解析对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误.4.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案 B解析因为N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，连接BD，所以BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，又BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，所以BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝2a，BE＝3a24＋5a24＝2a，所以BM＝72a，EN＝34a2＋a24＝a，所以BM≠EN.5.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是( )A.MN∥平面ABEB.MN∥平面ADEC.MN∥平面BDHD.MN∥平面CDE答案 C解析如图，连接BD，取BD的中点O，连接OM，OH，AC，BH，MN.因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OM∥CD，且OM＝12CD，NH∥CD，且NH＝12CD，所以OM∥NH且OM＝NH，所以四边形MNHO是平行四边形，所以OH∥MN.又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，所以MN∥平面BDH，故选C.6.(多选)(2022·南京调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是( )A.若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥nB.若m∥n，m∥α，则n∥αC.若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γD.若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ答案ACD解析由线面平行的性质定理可知：选项A正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，所以选项B错误；如图，设α∩γ＝l，β∩γ＝m，在平面γ内取一点A，过点A分别作AB⊥l，AC⊥m，垂足分别为B，C，因为α⊥γ，α∩γ＝l，AB⊥l，AB⊂γ，所以AB⊥α，因为n⊂α，所以AB⊥n，同理可得AC⊥n，因为AB∩AC＝A，所以n⊥γ，所以选项C正确；因为m⊥α，m⊥β，所以α∥β，又α∥γ，所以β∥γ，所以选项D正确.故选ACD.7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.答案 2解析根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.8.已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列命题是真命题的有________(填序号).①过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行.答案①②④解析在AB上任取一点P，则平面PMC1与AB，B1C1都相交，这样的平面有无数个，因此③是假命题.①②④均是真命题.9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则m＝________；n＝________.答案 4 4解析直线CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，则m＝4.取CD的中点G，连接FG，EG.易证CD⊥平面EGF，又AB ⊥平面BPP 1B 1，AB ⊥平面AQQ 1A 1且AB ∥CD ， 从而平面EGF ∥平面BPP 1B 1∥平面AQQ 1A 1， ∴EF ∥平面BPP 1B 1，EF ∥平面AQQ 1A 1，则EF 与正方体其余四个面所在平面均相交，n ＝4.10.四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E 是棱PD 上一点，PE ＝3ED ，若PF →＝λPC →且满足BF ∥平面ACE ，则λ＝________.答案 23解析 如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，在线段PE 取一点G 使得GE ＝ED .连接BG ，则BG ∥OE .又因为OE ⊂平面AEC ，BG ⊄平面AEC ，所以BG ∥平面AEC . 因为BF ∥平面ACE 且满足BG ∩BF ＝B ，故平面BGF ∥平面AEC . 因为平面PCD ∩平面BGF ＝GF ，平面PCD ∩平面AEC ＝EC ，则GF ∥EC .所以PF PC ＝PG PE ＝23，即λ＝23为所求.11.如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明 (1)以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4). 于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， 所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上， 所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0，所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ， 且BC ∩BM ＝B ，BC ，BM ⊂平面BMC ， 所以AP ⊥平面BMC ， 于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ， 故平面AMC ⊥平面BMC .12.如图，过四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB 1D 1D 是矩形，试证明：平面BDEF ⊥平面ACC 1A 1. (1)解 在上底面内过点P 作B 1D 1的平行线分别交A 1D 1，A 1B 1于E ，F 两点，则EF 为所作的锯线.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B 1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面A1C1CA，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.二、创新拓展练13.(多选)(2022·济南模拟)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是( )A.三棱锥A－D1PC的体积不变B.A1P∥平面ACD1C.DP⊥BC1D.平面PDB1⊥平面ACD1答案ABD解析对于A，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，则A1C1∥AC，由A知：AD1∥BC1，所以平面BA1C1∥平面ACD1，从而有A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，所以BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥平面ACD1，从而由面面垂直的判定知，平面PDB1⊥平面ACD1，故D正确.14.(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1，则下列结论中正确的是( )A.平面A1B1CD⊥平面BC1DB.在直线A1C上存在一点R使得D1R⊥平面BC1DC.平面A1B1CD上存在一点P使得D1P∥平面BC1DD.在直线A1C上存在一点Q使得D1Q∥平面BC1D答案ACD解析对于A，可以证明BC1⊥平面A1B1CD，从而平面A1B1CD⊥平面BC1D.对于B，过点A1作A1S⊥OD于点S，因为平面A1B1CD⊥平面BC1D，所以A1S⊥平面BC1D，设R为直线A1C上任意一点，连接PR，D1R，则A1S，D1R一定为异面直线，所以不存在直线A1C上的一点R使得D1R⊥平面BC1D.对于C，设A1D∩AD1＝P，则P为平面A1B1CD上的一点，满足D1P∥平面BC1D.对于D，设B1C∩BC1＝O，连接DO，过点P作PQ∥DO交A1C于Q，连接D1Q，可以证明平面PQD1∥平面BC1D，所以存在直线A1C上的一点Q，使得D1Q∥平面BC1D.故选ACD.15.(多选)(2022·镇海中学质检)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD 上一动点，现将△BEC沿BE折起至△BEF，在平面FBA内作FG⊥AB，G为垂足.设CE＝s，BG＝t，则下列说法正确的是( )A.若BF⊥平面AEF，则t＝3 2B.若AF⊥平面BEF，则s＝1 2C.若平面BEF⊥平面ABED，且s＝1，则t＝1 2D.若平面AFB⊥平面ABED，且s＝32，则t＝23答案BCD解析如图所示，对于A, 若BF⊥平面AEF，则有BF⊥AF，在Rt△AFB中，易得BG＝t＝12，故A选项错误；对于B，若AF⊥平面BEF，则有AF⊥FB，AF⊥FE，在Rt△AFB中，AF＝3，在Rt△AFE中，根据勾股定理知，AF2＋EF2＝AE2，即(3)2＋s2＝(2－s)2＋1，解得s＝12，故B选项正确；对于C，若平面BEF⊥平面ABED，过点F作FH⊥EB，垂足为H，连接HG. 易知FH⊥平面ABED，∴FH⊥AB.又AB⊥FG，∴AB⊥平面FHG，∴AB⊥HG.∵s＝1，在等腰Rt△FEB中，BH＝22，在Rt△BHG中，BG＝t＝12，故C选项正确；对于D，若平面AFB⊥平面ABED，易知FG⊥平面ABED，∴FG⊥BE. 过点F作FH⊥EB，垂足为H，连接HG，∴BE⊥平面FHG，∴BE⊥HG.在矩形ABCD中，连接CH，则C，H，G三点共线.由Rt△CBG∽Rt△CBE知，BG＝t＝23，故D选项正确.综上，故选BCD.16.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为23，点P为线段DE上一点，当三棱锥P－ACE的体积为33时，DPDE＝________.答案3 4解析如图，过A作AF⊥CB的延长线，垂足为F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为23，得12BC·AF＝23，∴AF＝3，在DE上取一点P，连接AP，CP，AD，∵V P－ACE＝V A－PCE＝13×12×PE×CD×AF＝33.∴PE＝1，∴DPDE＝34.17.(2022·菏泽调研)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A 1B1的中点，F在棱BB1上.(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选取两个条件，并说明能否证明AB1⊥平面C1DF.①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝ 2.注：如果选择多种情况分别解答，那么按第一个解答计分.(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，依题意有A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，又D是A1B1的中点，则C1D⊥A1B1，又AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A 1B1⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B.(2)解若选①③，则能证明AB1⊥平面C1DF，理由如下. 连接A1B，如图，则DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，又AA1＝2，于是得四边形AA1B1B 为正方形.所以A1B⊥AB1，从而有DF⊥AB1.因为C1D⊥平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，1又DF∩C1D＝D，C1D⊂平面C1DF，DF，DF⊂平面C1所以AB1⊥平面C1DF.若选①②，则不能证明AB1⊥平面C1DF，理由如下.连接A1B(图略)，则DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，AA1＝AB21－A1B21＝1，则A1B与AB1不垂直，即DF与AB1不垂直，所以AB1不垂直于平面C1DF.若选②③，则不能证明AB1⊥平面C1DF，理由如下.在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，又AB1＝AB2＋BB21＝2≠3，矛盾，所以不能证明AB1⊥平面C1DF.。
立体几何专题：空间几何体的平行和垂直
变式三
A
D O B
C
如图，四棱锥P—ABCD中， PA ⊥平面ABCD，底面ABCD是直 角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点． (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD； (II) 求证：BE//平面PAD． P
变式四
A
E D C
B
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
折叠,使得DE ⊥ EC. (1) 求证：BC⊥面CDE ； (2) 求证：FG//面BCD； (3)在线段AE上找一点R,使得面BDR ⊥面DCB,并说明理由. D
D
·
E
F
·
C G F
G
变式三
E
A B A B
C
A1
D
变式四
A
O
CBຫໍສະໝຸດ 1 ABC 90 , SA 面ABCD，SA AB BC 1, AD . 2 (1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证： SAB 面SBC ; 面
。
S
变式五
B A D C
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，
E是PC的中点．
证明:平面PDC⊥平面ABE.
P
变式六
A
B
E D C
题型二、已知面面垂直， 怎么样证明面面垂直
四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面
ABC⊥底面BCDE，BC=2， 2，AB=AC． CD
证明：平面ABD⊥平面ACE。
例题二
（2010江苏）如图，平面PAC⊥平面ABC, AC⊥ BC, PE∥CB, M, N分别是AE, PA的中点。 ⑴求证：MN∥平面ABC； ⑵求证：平面CMN ⊥平面PAC.
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空间平行与垂直专题1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点答案：Ba // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④解析：对于®』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于®』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此®不正确.综上所述，正确命題的序号是①③,答案：A3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（）A. API PB AP I PC可以共面, 例如 EF// GH 故选B.解析：若2 .设m n 是不同的直线,3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题:①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a④若 m//n , n? a ,贝Um//B. API PB BC ^ PBC. 平面 BPQ_平面 APC BCL PCD. API 平面 PBC解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B4 •设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题:其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于®,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故®错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A5•如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点,解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面MNQ 故选A.答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中①若 m// n ,②若 m//a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（. _________ B AAT-?M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体AiM点.现有结论：①BC X PC ②OM/平面APC ③点B 到平面PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正确的是（）解析：对于①，••• PA ±平面ABC二 PA X BC ••• AB 为O O 的直径，••• BCI AC 又••• PA n AC= A , ••• BC 丄平面PAC 又 PC ?平面 PAC •- BC X PC对于②，•••点 M 为线段PB 的中点, ••• OM/ PA •/ PA ?平面 PAC OM 平面 PAC ••• OM/平面 PAC 对于③，由①知 BC X 平面PAC•••线段BC 的长即是点B 到平面PAO 的距离，故①②③都正确. 答案：BA ,若直线a , b 与平面a 所成角都是30°,则这两条直线平行、相交、异面，故A 错;对于B ,若直线a , b 与平面a 所成角都是30°,则这两条直线可能垂直,如图，直角三角形 ACB 的直角顶点C 在平面a 内，边AC BC 可以与平面a 都成30°角，故B 错;A . ①②B .①②③ C. ① D .②③7.已知平面a 及直线 a , b,则下列说法正确的是 （）A .若直线 a , b 与平面 (X所成角都是30°,则这两条直线平行 B .若直线 a , b 与平面(X所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线 a , b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 a 平行D.若直线 a , b 垂直，则这两条直线与平面 a 不可能都垂直解析：对于 H对于D,假设直线a, b与平面a都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立, 故D正确，故选D.答案：D 8.三棱柱ABO A B C中，△ ABC为等边三角形，AA丄平面ABC AA= AB M N分别是AB, AQ的中点,则BM与AN所成角的余弦值为（）1 A.-B.7C.ioD.解析：取BC的中点O连接NO AO MN因为BC綊BC, OB= -BC 所以OB/ BC , OB= ^BC ,因为M N 分别为AB , AC的中点，所以MN/ B I C , MN= q BC,所以MN綊OB所以四边形MNO是平行四边形，所以NO/ MB所以/ ANC或其补角即为BM与AN所成角，不妨设A N+O N— A O在^ ANC中 ,由余弦定理可得cos / AN Q —2A r O^ =AB= 2,则有AO^^/a , ON= , AN=J5 ,5+ 5 — 3 7 …I T亍=10.故选C.2X p5 X y/ 510答案：C9 .在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A- BCD中 , AB1平面BCD 且BDI CD AB= BD= CD点P在棱AC上运动，设CP的长度为x,若^ PBD的面积为f（x）,贝U f（x）的图象大致是（）C显然错误;解析:如图，作 PQL BC 于Q 作QRL BD 于R 连接PR 贝U PQ/ AB QR CD 设 AB= BD= CD= 1 ,厂 x PQ 口口x则A "，百彳，即PQ^，QR BQ — X —=BC r 乖所以所以= ^3^2x 2- ^/3x + 3,答案：A10.如图，四边形 ABCDK AD // BC AD= AB / BCD= 45°,/ BAD= 90°,将^ABDL 平面BCD 构成三棱锥 A- BCD 则在三棱锥 A- BCD 中，下列命题正确的是 （T yy /\y■TfJXi 0 JfC2晶 + 3,其图象是关于直线 x =申对称的曲线，排除 B 、C D,故选A.AD 册BD 折起，使平面所以f (x )=A .平面 ABD_平面ABCB .平面 ADC_平面BDCC.平面 ABC_平面BDCD.平面 ADC_平面 ABC解析：T 在四边形 中,ADIIBC, AD=AB, Z5CD=45*, 二丄CD-又平面虚D 丄 平面BCD,且平面ABDCl 平面£仞=£0」• •仞丄平面ABD,则⑷丄曲.又血丄曲，川DPI 仞=0，二肋 丄平面 QG 又血匸平面血G 二平面 MGL 平面肋& 故选D 一 答案：D答案 A答案 C11. I l , I 2表示空间中的两条直线, 若 P ： I 1, 12是异面直线，q : I 1, I 2不相交，则（A . P 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B . P 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C. P 是q 的充分必要条件D. P 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析 由I l , I 2是异面直线，可得I l , I 2不相交,所以P ? q ；由 I l , I 2不相交，可得 I 1, I 2是异面直线或I 1/ I 2,所以q ?p •所以P 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 故选 A.12.设a, b 是平面a 内两条不同的直线，I 是平面 a 外的一条直线，贝y“l 丄a ,I 丄b ” “I 丄a”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析若a , b 是平面 a 内两条不同的直线, I 是平面 a 外的一条直线，I 丄a , I 丄b, a // b ,贝U I 可以与平面 a 斜交，推不出丄 a, a , b 是平面a 内两条不同的直线，I 是平面a外的一条直线，则I 丄 a , I 丄 b. •••“I 丄 a , I 丄 b ” 是 “I 丄 a” 的必要而不充分条件，故选 C.,3是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（A . 若 n ? a , n // a ，则 n // mB . 若 n ? a , m 丄 3，则 a 丄3C. 若 n 丄 a , n 丄 3，则 a / 3D. 若 n ? a , n 丄a ，则 ml n答案 A13 .设m n 是空间两条直线，a解析 A 中，若m ? a, n //a,贝y n // m 或 m , n 异面.故不正确；B , C , D 均正确.故选 A.14•将正方体的纸盒展开如图，直线AB CD 在原正方体的位置关系是（）B .垂直15.如图，四边形 ABCDK AD // BC AD= AB / BCD= 45°,/ BAD= 90°，将△ ADE 沿 BD 折起，使平面ABD L 平面BCD 构成三棱锥 A- BCD 则在三棱锥 A- BCD 中 ,下列命题正确的是 （）A .平面 ABD_平面ABCB .平面 ADC_平面BDCC.平面 ABC_平面BDCD.平面 ADC_平面ABC答案 D 解析 因为在四边形 ABCD^ , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90°,所以 BD 丄 CD 又平面 ABDL 平面BCD 且平面 ABD T 平面BC P BD, CD ?平面BCD 所以CDL 平面 ABD 贝U CD L AB, 又 AD L AB ADA CD= D,所以 AB!平面 ADC 又AE ?平面ABC 所以平面 ABCL 平面 ADC 故选D.C.相交成60°角D.异面且成60°角答案 D解析如图，直线AB CD 异面.因为CE// AB 所以/ ECD 即为直线AB CD 所成的角，因为△ CDE 为等边三角形，故/ ECD= 60°.CA .平行16•如图，在空间四边形 ABC 呼，点 M AB 点N € AD 若MM=需则直线MNf 平面BDC 勺位置关系是答案 ,AM AN H由ME T N D 得 MN/ BD而BD ?平面BDC MN 平面BDC所以MN/平面BDC 17.正方体 ABCD-ABCD 中，E 为线段BD 上的一个动点，则下列结论中正确的是 ①AC 丄BE ②BE//平面ABCD ③三棱锥E - ABC 的体积为定值; ④直线BiEl 直线BC .答案①②③ 解析 因AC!平面BDEB i ，故①正确；因 BD //平面ABCD 故②正确；记正方体的体积为 V 则V E -ABC ^V ,6 为定值，故③正确； BE 与BC 不垂直，故④错误.18.下列四个正方体图形中，点 A, B 为正方体的两个顶点，点 M N P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB 解析对于①J 注意到该正方体的面中过直线AB 的侧面与平面如平行J 因此直线AB 平行于平面砂;对于②，注意到直线心和过点』的一个与平面M2平行的平面相交，因此直线血与平面两相交；对 于③「注意到此时直线M 与平面砂内的一条直线A/P 平行』且直线曲位于平面两外，因此直线AB 与平面AW 平行；对于®、易知此时AB 与平面ACVP 相交・综上所述,能得岀直线AB 平行于平面丽 的團形解析//平面MNP 勺图形的序- 号是（写出所有符合要求的图形序号 ）.答案①③■~n；1/ 1J X■ ■■ BJ-t -JC平行“A的库号是①③•学！科网19 .如图，在正方体 ABC —ABCD 中，点 M N P 分别为棱 AB BQ CD 的中点.⑵平面BBDD L 平面CMN证明 （1）在正方体 ABC —ABCD 中, 因为点M P 分别为棱AB CD 的中点,所以AM= PC .又 AM/ CD PC // CD 故 AM/ PC , 所以四边形 AMCP 为平行四边形. 从而AP// CM又AP ?平面CMN C i M?平面CMN 所以AP//平面CMN⑵连接AC 在正方形 ABCDK AC! BD又点M N 分别为棱AB, BC 的中点，故 MN/ AC 所以MNL BD在正方体 ABC —ABCD 中，DD 丄平面ABCDC求证：（1）AP//平面CMN又MN ?平面ABCD 所以DD 丄MN 而 DD n DB= D,DD , DB ?平面 BBDD,所以MNL 平面BBDD, 又MN ?平面CMN ， 所以平面BBDD 丄平面CMN 20.—个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（2）解 平面BEG/平面ACH 证明如下: 因为ABC —EFGH 为正方体, 所以 BC// FG BC= FG 又 FG// EH FG= EH 所以 BC// EH BC= EH 于是BCH 为平行四边形. 所以BE// CH又CH ?平面ACH BE ?平面ACH所以BE//平面ACH 同理BG/平面ACH ， 又 BE n BG= B , 所以平面BEG/平面ACH(3)证明连接FH, SD.因为为正方体」 所以丄平面肋 因为迟Gu 平面EFG/?,所以DR 丄EG-(1)G H 标记在正方体相应的顶点处 （不需说明理由）； (2)判断平面 BEG 与平面ACH 的位置关系•并证明你的结论; (3)证明：直线DF 丄平面BEG (1)解点F , G H 的位置如图所示. CA请将字母 F , C£y EGlFH, EGiWH=O,所以.£G丄平面EW2D 又。