《2.2.1双曲线及标准方程》教学案
双曲线的定义及标准方程
2.2.1 双曲线的定义与标准方程高课题：§2.2.1 双曲线的定义与标准方程课型：新授课课时：第一课时教法：三导式教学法一、教学目标1．知识与技能：了解双曲线的标准方程的推导过程；掌握双曲线的定义与标准方程；掌握运用待定系数法求双曲线的方程.2．过程与方法：经历导出双曲线标准方程的过程，复习待定系数法。
3．情感、态度与价值观：认识双曲线的图象，体会数学的对称美，增强学生学习数学的兴趣。
二、教材分析重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程．难点：1．定义中的“常数2a与2c的关系”的理解；2．双曲线标准方程的推导与化简三、学法指导：双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教材的处理方法也相仿，同学们可用对比椭圆与双曲线的异同点来学习。
四、教学过程一、导学：（一）、展示学习目标：1．掌握双曲线的定义及其标准方程；了解双曲线的标准方程的推导过程2．掌握运用待定系数法及定义法求双曲线的方程；（二）自学思考1、什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？2 、双曲线定义中，当2a =2c；2a＞2c＞0时，动点P的轨迹分别是什么？3、例1 中（如何建立适当的坐标系，求双曲线的方程? ）主要有那些步骤？4、与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程又是怎样呢？5、如何判断椭圆、双曲线的焦点在哪一条轴上？二、导疑：问题1：什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？（用几何画板进行演示实验1、2）（由椭圆的定义引出双曲线的定义，由多媒替演示两个实验，在上述演示的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，学生试叙述，教师用多媒体展示双曲线的定义．）1．双曲线的定义：||PF 1|-|PF 2||=2a （0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数2a(0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c ＞0)．问题2:设动点为P ，由定义知||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，，请大家讨论以下几个问题：(1)当2a=2c 时，动点P 的轨迹是分别以点F 1、F 2为端点，方向指向F 1F 2外侧的两条射线？(2)当2a ＞2c ＞0时，动点P 的轨迹是不存在？问题3:例1如图 建立适当的坐标系，如何求双曲线的方程?请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．主要有那些步骤？主要步骤（1）建系设点（2）列式a MF MF 221±=-（3）列方程a y c x y c x 2)()(2222±=+--++（4）化简),0,0(,12222222b a c b a by a x +=>>=+ 利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程,结合图形再一次理解方程中0＜2a ＜2c 的条件是不可缺少的．b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c 2=a 2+b 2与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处．由此得出双曲线的标准方程。
高中数学 2.2.1双曲线的及其标准方程教案 新人教版选修1-1
§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。
本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。
【教学目标】：知识与技能1、使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法1、理解双曲线标准方程的推导过程；2、认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。
【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试：1．一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。
分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有|PC|＝|PM|－4， 外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P 的轨迹是双曲线x 24－y 212＝1。
2．已知动圆P 与定圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49,C 2：(x －5)2＋y 2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程 分析：外切有|PC 1|＝7＋r, |PC 2|＝1＋r ，∴|PC 1|－|PC 2|＝6，内切有|PC 1|＝r －7, |PC 2|＝r －1，∴|PC 2|－|PC 1|＝6故点P 的轨迹是双曲线x 29－y 216＝13．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -= 5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.1922=-y x6．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 答案：C7．“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 答案：C8．与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c =25 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1。
2.2.1 双曲线及其标准方程(2)(教师版)
高二数学选修1-1学案2.2.1 双曲线及其标准方程（2）学习目标：（1）进一步熟练双曲线的定义；（2） 熟练掌握双曲线的标准方程；（3）会根据已知条件求出双曲线的方程，会判断给定方程是椭圆还是双曲线. 学习重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程的应用． 学习难点：含参数的曲线方程的讨论.学习方法：直观发现，在与椭圆的类比中获得双曲线的知识. 学习过程：一、课前准备：1.填写下表，椭圆与双曲线的区别与联系（焦点在x 轴、y 轴的情况都有考虑）：2. 过双曲线221x y -=的焦点且垂直x 轴的弦的长度为 （ C ）A .1BC .2 D3. 2221y x -=的焦点为(0)2±，焦距是 .*4.说明下列方程各表示什么曲线：（14=；（25=；（36=.答：（1）因为26c =，24a =，所以22c a >，又是动点到两个定点的距离之差的绝对值，所以方程表示双曲线.（2）26c =，25a =，所以22c a >，又动点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为5，即动点到左焦点的距离大于到右焦点的距离，所以方程表示双曲线的右支. （3）26c =，26a =，所以22c a =，方程表示两条射线（都在x 轴上，分别是以(3,0)-为端点向左的射线和以(3,0)为端点向右的射线）.二、典型例题：【例1】已知(5,0),(5,0)B C -是ABC ∆的两个顶点，且3sin sin sin 5B C A -=，求顶点A的轨迹.【分析】用正弦定理将三角函数值的等式转化为边的等式. 【解析】在ABC ∆中，设外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin 2b B R=，sin 2c C R=，sin 2a A R=，所以，已知等式变为35b c a -=，因为||10a B C ==，所以上式变为6b c -=，即||||6A C A B -=.根据双曲线的定义知，点A 的轨迹是双曲线的左支，26a =，210c =，所以22216b c a =-=，所以双曲线的方程为221(3)916xyx -=<-.动动手：已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线1l 过点A ，直线2l 过点B ，若1l 、2l 的斜 率之积为34，求1l 、2l 的交点P 的轨迹方程. 【解析】设P 点坐标为(,)x y ，依题意，得1l 、2l 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-，（2x ≠±），于是3224yyx x ⋅=+-， 化简得22143y x-=（2x ≠±）.【例2】已知方程224()kx y k R +=∈，讨论k 取不同实数时方程所表示的曲线.【分析】这里讲的曲线包括前面所学的直线、圆、椭圆等；对k 的所有值进行讨论，做到不重不漏.【解析】当0k =时，方程表示直线20y -=或20y +=.当1k =时，方程表示圆224x y +=. 当0k >时，方程表示椭圆，2211xy k+=，当(0,1)k ∈，椭圆焦点在x 轴上，当(1,)k ∈+∞时，椭圆焦点在y 轴上.当0k <时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线.动动手：若1k >，则关于y x ,的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线为（ B ）A . 焦点在x 轴上的椭圆B . 焦点在y 轴上的双曲线C . 焦点在y 轴上的椭圆D . 焦点在x 轴上的双曲线【例3】如图，圆E ：22(2)4x y ++=，点(2,0)F ，动圆P 过点F ，且与圆E 内切，求动圆P 的圆心P 的轨迹方程.【分析】设法证明||||P F P E -为常数.【解析】由已知，圆E 半径为2r =，设两圆内切于点M ，圆P 的半径为R ，则||||P F P M R ==，||2M E r ==，||||||2P E P M M E R =-=-，所以||||2P F P E -=，由双曲线的定义知，P 的轨迹为双曲线的左支， 因为1a =，2c =，所以b =所以，所求轨迹方程为221(1)3yx x -=≤.三、总结提升：1.含参数的双曲线方程的讨论，要以双曲线的标准方程为依据，在形如221y xm n+=的双曲线方程中，有0mn <.2. 在求例3这种类型的轨迹方程时，要注意双曲线的定义的使用；并把此类问题与椭圆中的同类型问题结合起来.四、反馈练习：1.下列方程可以表示双曲线的是 （ B ）A. 22218y x m+= B. 2214y x m += C. 22212||2y x m m += D. 221||2||y x m m += 2. 若方程22(2)kx k y k ++=表示双曲线，则k 的取值范围是 （ C ）A.2k >-B.2k <-C. 20k -<<D. 0k > 3.方程1cos sin 22=+ααyx表示焦点在y 轴上的双曲线，则α所在的象限是 （ D ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4. 分别过点(1,0)A -和(1,0)B 的两直线的斜率之积为1，则这两直线的交点P 的轨迹方程为 （ B ）A .221x y += B . 221x y -= C . 2212yx += D . 221y x -=5.相距1400m 的两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，建立适当坐标系，求出炮弹爆炸点所在的曲线方程.【解析】以两个哨所（设为A 、B ）的连线为x 轴，两个哨所连线的中点为原点，建立直角坐标系，设爆炸点为P ，由已知，可得||||||33401020P A P B -=⨯=，所以点P 的轨迹是双曲线，根据已知，700c =，510a =，所以222229900b c a =-=， 所以，所求轨迹方程为221260100229900xy-=.五、学后反思：。
双曲线及其标准方程教案
2.2.1双曲线的标准方程（1）【教学目标】: 1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时【教 具】：多媒体、实物投影仪 【教法学法】（一）教学方法 引导探索、发现法 （二）学习方法 自主探索、合作交流 ． （三） 教学手段 多媒体辅助教学． 【教学过程】 一.情境设置(1)图片展示、引入课题 (2)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即： 椭圆上动点M 满足：a MF MF 221=+(a >0)引导一：若将上式改为a MF MF 221=-(a >0)，动点M 的轨迹是怎样的曲线呢？ [解决方法]课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：集合｝，＝｛ a a MF MF M P 02211>-=的动点M 的轨迹.若将上述集合改为｝，＝｛ a a MF MF M P 02122>-= ，比较两集合的关系，取a FF 21=，同理可画出此时动点M 的轨迹(图2).观察、比较，归纳： 上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 其中右边一支满足：21MF MF > ，左边一支满足：21MF MF <引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M 应满足什么条件？ （3）常数2a 与21F F 有什么关系？ 教师引导学生观察、分析，并归纳结论：（1）平面内（2）动点M 与两个定点F 1 ， F 2的差的绝对值等于常数. （3）2120F F a <<并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点21F F 、的差的绝对值等于常数(小于21F F )的点的轨迹叫做双曲线. 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.引导三：如果改变常数a 2的范围（2a =21F F ，2a =0， 2a ＞21F F ），动点 的轨迹会发生什么变化呢？[解决方法]教师让学生相互讨论 ，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：常数2 a 动点M 的轨迹 (1) a MF MF 221±=- (0＜2a ＜21F F ) 双曲线 (2) 21212F F a ＝MF MF =- 线段F 1 F 2的延长线上以F 2为端点的一条射线21122F F a ＝MF MF =- 段F 2F 1的延长线上以F 1为端点的一条射线(3) 2 a = 0 段F 1 F 2的中垂线 (4) 212F F a > (违背了三角形三边长的关系) 不存在 （三）类比探究 建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？第一步 建系：建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点21F F 、，并且点O 与线段21F F 的中点重合.（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后， 建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）第二步 设点： 设),(y x M 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为)0(2>c c ，那么，焦点21F F 、的坐标分别是(0,c -)、(0,c ).又设点M 与21F F 、的距离的差的绝对值等于常数2 a.第三步 写点集：根据定义写出M 点的轨迹构成的点集：P = { M | |MF 1 | — |MF 2 | =± 2 a }第四步 列方程：用坐标法表示条件P （M ），列出方f(x ，y)=0，即：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++ ①第五步 化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式.将方程①化简，得)(2)(2222222a c y a x a c -=-- ②由双曲线的定义可知，a c 22>，即a c >，所以022>-a c .令222b a c =-， 其中0>b ，代入上式，得222222b a y a x b =- 两边除以22b a ，得出：图3对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x 轴上的标准方程，焦点是： F 1 (0,c -)、F 2 (0,c )，焦距c 2.注 意：区别双曲线和椭圆的标准方程中c b a ,,的关系：双曲线：222b a c +=（0,0>>b a ，没有确定的大小关系与b a ） 椭 圆：222ba c －=（0>>b a ）引导五：焦点在y 轴上，并且点O 与线段21F F 的中点重合，c b a ,,的意义同上，双曲线的方程又如何呢 ？图4[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的焦点在y 轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 x 、y 互换，即：引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点?（2）22,y x 项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？[解决方法] 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生 对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴).(四) 实践探索 形成能力1 例题剖析，初步应用例1 已知双曲线两焦点的坐标为)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.[解决方法] 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤.并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法.变式1．已知双曲线的焦点为F 1(0,-5), F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1、 F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式2．已知|12F F |＝10, 126PFPF -=，求点Ｐ轨迹的标准方程. （五）知识小结，纳入系统1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程教学案 新人教b版选修1-1
课题：双曲线及其标准方程【学习目标】1.学生通过复习回顾，能准确的说出椭圆的定义，生成条件2.学生通过演示实验，初步知道双曲线的生成过程，引出双曲线的定义3.学生通过小组讨论，能剖析出定义中的限制条件不同时，动点轨迹有何区别4.学生通过阅读课本46页，类比椭圆的标准方程推导过程，建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程，熟记a,b,c的关系5.通过本节课的学习，能准确的求双曲线的标准方程【重点难点】重点：双曲线的定义及标准方程难点：双曲线的定义及标准方程【导学流程】（一）复习导入椭圆的定义？（二）探究点一双曲线的定义问题1取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？看图分析①如图(A)，动点M满足的条件：②如图(B)，动点M满足的条件：双曲线的定义：问题2双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么问题3双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是什么？当2a>|F1F2|呢？问题4已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋2＋y2－x－2＋y2|＝6；(2)x＋2＋y2－x－2＋y2＝6.探究点二双曲线的标准方程问题1 类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？想一想焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么?问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？（四）迁移运用例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1) a=_______ , c =______,b =_______(2) 双曲线的标准方程为___________(3)双曲线上一点Ｐ，若 |PF1|=10, 则|PF2|=_________例2、求 双曲线 的焦点与焦距：（五）课堂小结（六）当堂检测1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1） a=4 b=3（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．2．已知方程表示双曲线，求m 的取值范围． 22125144y x -=22121x y m m -=++。
《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案1
《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a )师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？(引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值)师：作为此时差的绝对值2a 与|12F F |大小关系怎么样？(结合图象，学生分析：应该2a <|12F F |)(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？(学生口述教师板书椭圆的标准方程)师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P (x 、y )，｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c ，0)，F 2(c ，0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜PF 2｜由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a +22)(y c x +-两边平方，得(x +c ) 2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x -c )2+y 2化简得：cx -a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c -2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2也就是22221y x a b-=师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？ (引导学生类比椭圆得到焦点在y 轴上时双曲线的标准方程：22221y x a b-=此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程)师：如何记忆这两个标准方程？(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”)四、例题讲解例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为 (-5，0)，(5，0)，双曲线上一点与两焦点的距离的差的绝对值等于8；(2)两个焦点的坐标分别是(0，-6)，(0，6)，且双曲线经过点A (-5，6).解： (1)由已知得c =5，2a =8，即a =4.因为c 2=a 2+b 2，所以∴b 2=52-42=9.又双曲线的焦点在x 轴上，因此所求的双曲线标准方程是221.169x y -= (2)由已知得c =6，且焦点在y 轴上.因为点A (-5，6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即22221358,4,20.a abc a ==-===-=得因此，所求的双曲线标准方程是221.1620y x -=例2 已知双曲线221.3645y x -=(1)求此双曲线的左右焦点F 1，F 2的坐标；(2)如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于16，求点P 与焦点F 2的距离.解：(1)根据双曲线的方程，可知此双曲线的焦点在x 轴上.2222236,45364581.a b c a b ===+=+=由，得所以c =9，焦点F 1，F 2的坐标分别为(-9，0)，(9，0).(2)因为点P 在双曲线上，所以1212222.6,16,16-=12.=4,=28.PF PF a a PF PF PF PF -===±由得因此，或例3 已知椭圆C 的方程是22+1,1612x y =求平面内与椭圆C 在y 轴上的两个顶点的距离的差的绝对值等于椭圆C 的焦距的点的轨迹方程.解：由椭圆C 的方程可知，它在y轴上的两个顶点分别是椭圆的焦距是 4.=因为124,B B =>所以平面内与B 1，B 2两点的距离的差的绝对值等于4的轨迹是以B 1，B 2为焦点的双曲线，由常数2a =4，即a =2，半焦距c =可得2221248.b c a =-=-=因此，所求的轨迹方程是221.48x y -=例4 相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的爆炸声.已知当时声速是330m /s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时晚4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.解：设爆炸点P ，由已知条件，可得33041320(m).PA PB -=⨯= 因为20001320,,AB PA PB =>>又所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上.如图建立直角坐标系，使A ，B 两点在x 轴上，线段AB 的中点为坐标原点.由2a =1320，2c =2000，得a =660，c =1000，b 2=c 2-a 2=564400.因此，点P 所在的曲线方程是221(0).435600564400x y x -=>五、课堂小结(1)双曲线的定义及其标准方程；(2)把握方程中的3个常数a ，b ，c 间的关系: c 2=a 2+b 2. 如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程；(3)体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美.师：(给出彗星运行的图片)唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景.彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：(给出实物图片)有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
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2.2.1《双曲线及标准方程》教学案
教学目标：
1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.
2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.
教学重点与难点：
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.
定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程：
一、课题导入
师：椭圆的定义是什么？
(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.)
师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)
师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
二、定义探究
师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？
(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：
｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a )
师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.
(播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件)
师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？
（引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值）
师：作为此时差的绝对值2a 与|21F F |大小关系怎么样？
（结合图象，学生分析：应该2a<|21F F |）
(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)
三、方程推导
师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？
(学生口述教师板书椭圆的标准方程)
师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.
(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)
建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P (x 、y )，｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c ，
0)，F 2(c ，0).
由两点间距离公式，得
｜PF 1｜=22y )c x (++，｜PF 2｜=22)(y c x +-
由双曲线定义，得
｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即
22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a
化简方程
22)(y c x ++=±2a +22)(y c x +-
两边平方，得
(x +c ) 2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x -c )2+y 2
化简得：
cx -a 2=±22)(y c x +-
两边再平方，整理得
(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)
(为使方程简化，更为对称和谐起见)
由2c -2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0
设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得
b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2
也就是
x 2/a 2-y 2/b 2=1
师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对
称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2
的不同之处.
师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？ （引导学生类比椭圆得到焦点在y 轴上时双曲线的标准方程：1b
x a y 22
22=-此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）
师：如何记忆这两个标准方程？
(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相
应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”)
四、巩固内化
例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程.
变式：(1)若两定点为())5,0(,5,021F F -则轨迹方程如何？
变式：(2)若两定点为1021=F F 则轨迹方程如何？
(例由师生共同分析共同完成，(1)、(2)由学生完成)
方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.
五、课堂小结
(1)双曲线的定义及其标准方程;
(2)把握方程中的3个常数a ，b ，c 间的关系: c 2=a 2+b 2. 如何确定焦点位置，会求双曲线
的标准方程;
（3）体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美.
师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景.彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！。