3.4确定圆的条件(北师大版)

●
A
O
●
B
O
●
O

(1)作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?

(2)作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?
• 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.

你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点? 与线段AB有什么关系？

经过两点A,B的圆的圆心 在线段AB的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上 的任意一点为圆心,这点到 A或B的距离为半径作圆.
A 同理∠ABC＋∠ADC＝180°. 圆内接四边形的对角互补. B
O
C
回顾与思考
反思自我
•想一想,你的收获和 困惑有哪些?
⊙ 练一练
判断： 1、经过三点一定可以作圆。（ × ） 2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 线的交点。（√ ） 3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ） 4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （× ）
⊙ 练一练
1.如图， △ABC为⊙O的内接三角形， ∠A=70° ,则∠BOC=______. 140° 2.点O为△ABC的外心，且 55° ∠BOC=110°，则∠A=_______.
A
A
B
C
C
3．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若 ∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ D ） A．50° B．80° C．100° D．130°
（2）经过一个已知点能作无数个圆！ （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （5）外接圆，外心的概念。
四边形与圆的位置关系
如果延长BC到E，那么 D
A ∠DCE＋∠BCD ＝ 180°
又 ∵∠A＋∠BCD＝180° ∴∠A＝∠DCE. B
O
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角, 我们把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
探 究
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图。（A、B、C不在同一直线上）
植物园

A O C
●
B
老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
画出以下三角形的外接圆A源自●A●A O
●
O C
O
B
┐
B C （图一） （图二） （图三） 1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？
2、图二中，若AB=3，BC=4，则它的外接 圆半径是多少？
B
C
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. A
只要有不在同一条直线上的三点， 就可以确定一个圆。
现在你知道了怎样要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原了吗？
画一画
图中工具的CD边所在直线恰好 垂直平分AB边，怎样用这个工具 找出一个圆的圆心？最少几次？
A
B
· 圆心
C
D
三角形与圆的位置关系
• 因此,三角形的三个顶点确定一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形 三边垂直平分线的的交 点,叫做三角形的外心.
D.外心在三角形内.
⊙ 练一练
1.下列命题不正确的是（ A.过一点有无数个圆 ） B.过两点有无数个圆.
C.过三点能确定一个圆 D.过同一直线上三点不 能 2.三角形的外心具有的性质是（ ）
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
注 意
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。

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O ●O
●
●
A
O
O
●
B
●
过如下三点能不能做圆? 为什么?
A
B
C
• 3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不 在同一条直线上),你能作出几个这样的圆?

你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什 么关系？

●
经过两点A,B的圆的圆心 在线段AB的垂直平分线上.

A
经过两点B,C的圆的圆心 在线段BC的垂直平分线上.

●
B
┏
●
O
●
C
经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条 垂直平分线的交点O的位置.
• 请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C不共线). • 作法： 1.连接AB,BC. 2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和 FG,DE与FG相交于点O. 3.以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作圆. ⊙O即为所求. 请你证明你做得圆符合要求. F 证明:连接AO，BO，CO. A ∵点O在AB的垂直平分线上，E ∴OA=OB. ●O 同理,OB=OC. C B ┏ ∴OA=OB=OC. D ∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. G ∴⊙O就是所求作的圆, 这样的圆可以作出几个?为什么?.
∵∠BOD=100°
1 ∴∠C＝ ∠BOD=50° 2
∵四边形 ABCD内接于⊙O ∴∠A＝180°-∠C=130°
4．已知△ABC内接于⊙O，AB=16cm， 且sinC＝0.8，求⊙O的半径的长. 解：过A作直径AD，连接BD A 则∠ABD＝90° ∵∠D＝∠C O ∴sinD＝sinC＝0.8 B C 在Rt△ABD中， AB D sinD＝
动物园
人工湖
延伸拓展
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学， 使这所中学到三个小区的距离相等。请问 同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？
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A
●
B
●
C
• 盛年不重来, • 一日难再晨, • 及时宜自勉, • 岁月不待人.
AD AB 16 20 ∴AD＝ sin D 0.8
∴⊙O的半径为10cm.
练 习
1、下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分.
B.过两点有无数个圆.
D.过同一直线上三点不能画圆.
2、三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外.
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三点定圆
定理 不在同一条直线上的三个点确定 一个圆. F A 在上面的作图过程中. E ∵直线DE和FG只有一个 O 交点O,并且点O到A,B, C B ┏ C三个点的距离相等, D ∴经过点A,B,C三点可 G 以作一个圆,并且只 能作一个圆.
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定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 现在你知道了吗？ 根据这个定理怎样确定一个圆？
D
我们可以证明圆内接四 边的性质:
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O C
B
圆内接四边形对角互补.
四边形与圆的位置关系
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角的一 半,∠BCD等于弧BAD所对圆心角的一半. 而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角 =360°， D ∴∠BAD＋∠BCD＝ 180°.
生活生产中的启示
问题： 车间工人要将一个如图 所示的破损的圆盘复原，你 有办法吗？
确定圆的条件
• 类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线；
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A
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A
●
B

经过两点只能作一条直线.
确定圆的条件
1.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点, 三点,…,呢？
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O O
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A
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O
O
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O ●O