三角形内角和180°证明方法1
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180【1】°证明方法1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC∵DE ∥BC∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC（两直线平行，内错角相等） ∵D,A,E 三点共线∴∠DAE=180°∵∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180°证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C ∵CD ∥AB ∴∠A=∠ACD （两直线平行，内错角相等）∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等）∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180°∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180°证明：过A 点作AD ∥BC ∵AD ∥BC∴∠C=∠ADC （两直线平行，内错角相等）∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠DAC=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180°∵∠C=∠ADC∴∠C+∠CAB+∠B=180°4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点∵DE ∥BC∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等）∵D,A,E 三点共线∴∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180°∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等）∴∠BAC+∠C+∠B=180°5.如图，证明：∠A+∠C+∠B=180°证明：作直线DE ∥AC ，FE ∥AB 交BC 于E A∵DE ∥AC∴∠AFE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∠C=∠DEB （两直线平行，同位角相等）∵FE ∥AB∴∠AFE+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∠B=∠FEC （两直线平行，同位角相等）∴∠A=∠DEF∵B,C,E 三点共线∴∠BCE=180°∵∠BCE=∠DEB+∠DEF+∠FEC∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180°∴∠A+∠C+∠B=180°6.如图，证明：∠A+∠B+∠C=180°证明：作DE ∥AC ，FG ∥AB ，MN ∥BC ，都交于点O∵DE ∥AC∴∠AFO+∠FOD=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵FG ∥AB ∴∠AFO+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A=∠FOD∵MN ∥BC ∴∠C=∠FNO ∵DE ∥AC ∴∠FNO=∠DOM ∴∠C=∠DOM∵MN ∥BC∴∠B=∠DMO （两直线平行，同位角相等）∵FG ∥AB∴∠DMO=∠FON （两直线平行，同位角相等）∴∠B=∠FNO∵M,O,N 三点共线∴∠MON=180°∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°∴∠A+∠B+∠C=180°7. 如图，证明：∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°证明：作DE ∥AC ，FG ∥AB ，MN ∥BC ，都交于点O延长AC 交FG 于点K ，延长AB 到点L ，延长BC 交FG 于点P∵ MN ∥BC∴∠ABC=∠AHN ，∠ACB=∠ANM∴∠ABC=∠FON ∵ DE ∥AC ∴∠ANM=∠DOM （两直线平行，同位角相等） ∠OKA=∠DOF（两直线平行，内错角相等）∴∠ACB=∠DOM∵ FG ∥AB∴∠BAC=∠OKA （两直线平行，同位角相等） ∴∠BAC=∠DOF∵ M,O,N 三点共线∴∠MON=180°∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180°∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180° CO B E G M N H P。
七年级下册数学三角形的内角和
七年级下册数学三角形的内角和一、三角形内角和定理。
1. 定理内容。
- 三角形的内角和等于180°。
2. 证明方法。
- 方法一：测量法（不完全严谨，但可作为初步感知）- 用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将三个角的度数相加，会发现其和接近180°。
由于测量存在误差，所以这只能是一种初步验证的方法。
- 方法二：剪拼法。
- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角能拼成一个平角，从而直观地说明三角形内角和为180°。
- 方法三：推理证明（以平行线的性质为基础）- 已知：△ABC。
- 求证：∠A + ∠B+∠C = 180°。
- 证明：过点A作直线EF∥BC。
- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C = ∠EAC。
- 又因为∠FAB+∠BAC + ∠EAC=180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，即三角形内角和为180°。
二、三角形内角和定理的应用。
1. 在求三角形内角的度数中的应用。
- 例1：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
- 解：根据三角形内角和定理，∠C = 180° - ∠A - ∠B。
- 已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = 180° - 50° - 60° = 70°。
2. 在判断三角形的类型中的应用。
- 例2：一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，判断这个三角形是什么类型的三角形。
- 解：设三角形的三个内角分别为x，2x，3x。
- 根据三角形内角和定理可得：x + 2x+3x = 180°。
- 合并同类项得6x = 180°，解得x = 30°。
- 那么三个角的度数分别为30°，2×30° = 60°，3×30° = 90°。
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180°证明7种方法三角形是平面几何中的重要概念，它由三条边和三个角组成。
在欧氏几何中，三角形的内角和总是等于180°。
证明三角形内角和等于180°有许多不同的方法。
下面将介绍七种不同的证明方法，以阐述这一重要结论。
方法一：直角三角形的证明考虑一个直角三角形，其中一个角度为90°。
以这个角度为基础，我们可以将其他两个角度表示为α和β。
根据三角形内角和的定义，我们可以得到α+β+90°=180°，因此α+β=90°。
方法二：欧几里得几何法欧几里得几何中，三角形的内角和等于平面中的一直线对应的角。
在直线上，两个互相垂直的角的和是等于90°。
因此，我们可以将直线分为相互垂直的两个角，然后将两个角组合成一个等于90°的角。
这样，我们得到了三角形内角和等于180°的结论。
方法三：外角的证明考虑一个三角形ABC，我们可以在每个顶点处添加一个外角D、E和F。
根据外角定理，我们知道每个外角等于与其不相邻的两个内角之和。
因此，我们可以得到D=C+A，E=A+B和F=B+C。
将D、E和F相加，我们可以得到D+E+F=2(A+B+C)。
由于A+B+C是一个平面中的角的和（即180°），所以我们可以将上述等式重写为D+E+F=360°。
因此，三角形的外角和等于360°，而每个外角等于180°减去与其相邻的内角，即180°-D=180°-(C+A)=B。
因此，我们得出结论：三角形的内角和等于180°。
方法四：平行直线的证明考虑一个三角形ABC，其中一个角度为α。
通过点B，我们可以绘制一条平行于边AC的直线DE。
这样，我们获得了两个平行直线AC和DE，并且角DBC和角BCA为同旁内角，它们的和等于180°。
因此，我们可以得到角DBC+角BCA=180°-α。
“三角形内角和是180°”的验证教学
“三角形内角和是180°”的验证教学几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180°”，常见的有三种方法：（1）用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°（简称“测量求和法”）；（2）将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（简称“剪拼法”）；（3）将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（简称“折拼法”）。
这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180°。
这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180°”的错误印象。
“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与撕下来后图形间的联系与变化。
“折拼法”有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起来方法不明──学生并不能十分清楚地掌握折的方法。
因此，我们对教材中的“折拼法”方案稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”，然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（如图1）。
经改进操作起来简捷多了。
其实，对于三角形内角和的三种常见验证方法，或多或少都存在着误差。
用任何一种方法验证“三角形内角和是180°”，都不足以让人信服。
因此，让尽量多的验证方法出现在课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。
然而事实并不随你我所愿。
正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。
如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：学生猜想“三角形内角和是180°”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180°吗？说说你的依据。
（1）“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。
三角形的内角和定理与证明
证明三角形的内角和定理1、过三角形的一个顶点做对边的平行线，该顶点处有三个角，相加为180，然后把这三个角中的两个角通过平行关系代换成内角，从而得证。
2、任意绘制一个平行四边形，将其分割成两个三角形，这两个三角形全等，然后平行四边形相邻两角相加为180，可以找到三个角的和为180，而其中两个角是一个三角形的内角，还有一个角同样可以通过平行线关系代换成此三角形内角，从而得证。
3、任意做三角形的一条高线，然后过高线所在边的一个顶点，做高线的平行线，然后可以证明出被高线分割出来的三角形的两个不是直角的内角互余，然后同理另外一个三角形的两角也互余，这四个角相加等于大三角形的内角和，等于一百八十度，从而得证。
扩展资料：一、内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
二、多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形。
因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）所以n边形的内角和是（n-2）×180°。
证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）。
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180°证明方法1. 如图，证明/ B+Z C+Z BAC=180 证明：过A点作DE// BC••• DE// BC•••Z B=Z DAB Z C=Z EAC（两直线平行，内错角相等）••• D,A,E三点共线•Z DAE=180vZ DAE Z DAB Z BAC+Z CAE•Z DAB Z BAC+Z CAE=180•Z B+Z C+Z BAC=1802. 如图，证明：Z B+Z A+Z ACB=180证明：过C点作CD// AB,延长BC交CD于 Cv CD// AB•Z A=Z ACD（两直线平行，内错角相等）ZB=Z DCE（两直线平行，同位角相等）v B,C,E三点共线•Z BCE=180vZ BCE Z ACB Z ACD Z DCE•Z ACB Z ACD Z DCE=180•Z A+Z B+Z ACB=1803. 如图，证明：Z C+Z BAC Z B=180°证明：过A点作AD// BCv AD// BC•Z C=Z ADC（两直线平行，内错角相等）Z DAC Z B=180°（两直线平行，同旁内角互补）vZ DAC Z DAC Z CAB• Z DAC Z CAB Z B=180°vZ C=Z ADC•Z C+Z CAB Z B=180°4. 如图，证明：Z BAC Z C+Z B=180°证明：过A点作DE// BC,延长AC BC交DE于A点v DE// BC•Z C=Z FDA Z B=Z GAE（两直线平行，同位角相等）v D,A,E三点共线•Z DAE=180vZ DAE Z DFA Z FAG Z GAE•Z DFA+Z FAG Z GAE=180 v・Z GAE Z BAC（对顶角相等）•Z BAC Z C+Z B=180°5. 如图，证明：Z A+Z C+Z B=180°EEA证明：作直线DE// AC FE// AB交BC于 EA•••DE// AC•••/ AFE+Z DEF=180 （两直线平行，同旁内角互补）/ C=Z DEB（两直线平行，同位角相等）•FE// AB•••/ AFE+/ A=180°（两直线平行，同旁内角互补）Z B=Z FEC（两直线平行，同位角相等）•••/ A=Z DEF•B,C,E三点共线•••Z BCE=180•Z BCE Z DEB Z DEF Z FEC•Z DEB Z DEF Z FEC =180°•Z A+Z C+Z B=180°6. 如图，证明：Z A+Z B+Z C=180 证明：作DE// AC, FG// AB MN/ BC，都交于点O•DE// AC•Z AFO Z FOD=180 （两直线平行，同旁内角互补）•FG// AB•Z AFO Z A=180°（两直线平行，同旁内角互补）•Z A=Z FOD•MN/ BC•Z C=Z FNO（两直线平行，同位角相等）•DE// AC•Z FNO Z DO（两直线平行，同位角相等）•Z C=Z DOM•MN/ BC•Z B=Z DM（两直线平行，同位角相等）•FG// AB•Z DMO Z FON（两直线平行，同位角相等）•Z B=Z FNO•M,O,N三点共线•Z MON=180•Z MON Z DOM Z DOF Z FON•Z DOF Z DOM Z FON=180•Z A+Z B+Z C=1807. 如图，证明：Z BAC Z CBA Z ACB=180证明：作DE// AC, FG// AB MN/ BC，都交于点O延长AC交FG于点K,延长AB到点L,延长BC交FG于点P• MN// BC•Z ABC Z AHN Z ACB Z ANM（两直线平行，同位角相等）•AB // FG•Z AHN Z FON Z BAC Z AKO（两直线平行，同位角相等）•••/ ABC=/ FON••• DE// AC •••/ ANM N DOM（两直线平行，同位角相等）/ OKA N DOF（两直线平行，内错角相等）•••N ACB N DOM••• FG// AB•/ BAC N OKA（两直线平行，同位角相等）•N BAC N DOF••• M,O,N三点共线•N MON=18°vZ MON N DOM N DOF N FON•/ DOM N DOF N FON=180•N BAC N CBA N ACB=180A。
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
数学论文证明三角形内角和等于180度
数学论文证明三角形内角和等于180度
一、定义
（1）三角形：三角形（Triangle）是由三条相互垂直的直线组成的
三角形，它有三个角，被称为内角。
（2）内角：内角是三角形的三个角，它们是由直线所组成的角度，
每个角的角度都是不同的。
（3）角和：角和是指三角形内角三个角的总和。
二、证明正向思路
（1）假设任意三角形ABC的三个角A、B、C角度分别是α、β、γ，即A+B+C=α+β+γ。
（2）由三角形公式知，任意两边之间的夹角为90°，即α+β=90°，β+γ=90°，α+γ=90°。
（3）在△ABC中取任意一条边BC，将两个除BC以外的边分别延伸到BC上，此时围成的平行四边形ABCD两条对角线AD和BC相交，两条对角
线所构成的两个角分别为A、C，按照棱锥定理知，这两个角A、C的角度
总和等于180°，即α+γ=180°。
（4）将（2）式和（3）式综合起来，可得
α+β+γ=90°+90°+180°=360°，也就是三角形ABC的三个角A、B、C
的角和等于180°。
（5）综上所述，可得三角形内角和等于180度的结论。
三、证明反向思路
（1）令任意三角形ABC的三个角A、B、C的角和等于180°。
（2）由三角形公式知，任意两边之间的夹角为90°，即α+β=90°，β+γ=90°，α+γ=90°。
（3）令两条对角线AD和BC的角度总和等于180°，即α+γ=180°。
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三角形内角和180°证明方法1
三角形内角和180°证明方法
1.如图，证明∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：过A 点作DE ∥BC
∵DE ∥BC
∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC （两直线平行，内错角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°
∵∠DAE=∠DAB+∠BAC +∠CAE ∴∠DAB+∠BAC +∠CAE=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
2.如图，证明：∠B+∠A+∠ACB=180°
证明：过C 点作CD ∥AB ，延长BC 交CD 于C
∵CD ∥AB
∴∠A=∠ACD （两直线平行，内错角相等） ∠B=∠DCE （两直线平行，同位角相等） ∵B,C,E 三点共线 ∴∠BCE=180°
∵∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠DCE ∴∠ACB+∠ACD+∠DCE=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
3.如图，证明：∠C+∠BAC+∠B=180° 证明：过A 点作AD ∥BC
∵AD ∥BC
∴∠C=∠ADC （两直线平行，内错角相等）
∠DAC+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAC=∠DAC+∠CAB
∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠ADC
∴∠C+∠CAB+∠B=180°
4.如图，证明：∠BAC+∠C+∠B=180°
证明：过A 点作DE ∥BC ，延长AC 、BC 交DE 于A 点
∵DE ∥BC
∴∠C=∠FDA ，∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°
∵∠DAE=∠DFA+∠FAG+∠GAE ∴∠DFA+∠FAG+∠GAE=180° ∵·∠GAE=∠BAC （对顶角相等）
C
B
A
D
E A
D A
B
C
A
B
C
D E F G
∵ MN ∥BC
∴∠ABC=∠AHN ，∠ACB=∠ANM （两直线平行，同位角相等） ∵ AB ∥FG
∴∠AHN=∠FON ，∠BAC=∠AKO （两直线平行，同位角相等） ∴∠ABC=∠FON ∵ DE ∥AC
∴∠ANM=∠DOM
（两直线平行，同位角相等） ∠OKA=∠DOF
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACB=∠DOM ∵ FG ∥AB
∴∠BAC=∠OKA （两直线平行，同位角相等） ∴∠BAC=∠DOF ∵ M,O,N 三点共线 ∴∠MON=180°
∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON ∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180° ∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°
C O B A
D
F G M N
H K
L P。