2015届江苏省苏州高三数学调研测试试题
江苏省苏州市2015届高三2月调研测试数学试题
苏州市2015届高三调研考试数学试题一、填空题1.已知集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B = .2.已知23(,,ia bi ab R i i+=+∈为虚数单位)，则a b += . 3.已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k 的值为 .4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 .5.已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为 .6.运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==， 则输出的a 的值为 .7.以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心， 离心率为2的双曲线标准方程为 . 8.设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，则以(,)x y 为坐标 的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域内的 概率为 . 9.已知函数()lg(1)2x a f x =-的定义域是1(,)2+∞， 则实数a 的值为 .10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . 11.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒， 点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==， 点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .12.已知函数24,()43,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥<若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .13.已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .A D FEB C14.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 . 二、解答题15.已知向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ==，且,a b 共线，其中(0,)2πθ∈.（1）求tan()4πθ+的值；（2）若5cos(),02πθϕϕϕ-=<<，求ϕ的值.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD DD 中点. 求证：（1）EF ∥平面1C BD ； （2）1A C ⊥平面1C BD .17.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙AP ,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了A B C D A 1B 1C 1D 120000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？18.如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A（A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.19.已知函数()(1)xf x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.20.已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .数 学数学Ⅱ 附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
2018届江苏省苏州市2015级高三上学期调研考试数学(理)试卷及解析
2018届苏州市2015级高三上学期调研考试数学（理）试卷2018．1★祝考试顺利★注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的表面积公式S=4πr2，其中r为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知i为虚数单位，复数的模为_____．【答案】【解析】，故答案为.2.已知集合，，且，则正整数______．【答案】2【解析】，，且，，故答案为.3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线方程为的焦点坐标为，故答案为.4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．【答案】【解析】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为，故答案为.5.已知，，则正实数______．【答案】【解析】，则，得，故答案为.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为_________．。
苏州市2015届高三第一次调研测试数学试卷(精)
苏州市 2015 届高三调研测试数学Ⅱ试题 2015．1 参考答案与评分标准21． A ．解：设⊙O 半径为 r，由切割线定理得， 2 即 12 ，解得 r=9．2 (4)分 (7)分…………………………………………10 分连结 OA，则有，又 CD ，所以 OA∥CD．所以，即 C． OA PO 15 5．解：解：设，由得：，分，，．分 C ．解：，圆的普通方程为：即， 24 …………………………………………………3 分…………………6 分直线的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：．．解:∵∴≥ ……………10 分………………………4 分……………………………7 分 18 y z ，当且仅当时取等号, 7 2 3 3 6 9 ∵，∴． 7 7 7 ∴的最小值为 18 3 6 9 ,此时．……………………………………10 分 7 7 7 7 高三数学答案第 5页，共 6 页22．解：（1）如图，以 CD ， CB ， CE 为正交基底建立空间直角坐标系，则 E (0,0,1 ， D( 2,0,0 ， B (0, 2,0 ， uuu r uur uu u r F ( 2, 2,1 ．( 2,0,1 ．，∴分平面 ADF 的法向量，，设平面 DFB 法向量，则，∴．从而令，得，2 ，……………………………………………………………………4 分，显然二面角为锐角，故二面角的大小为 60 ．………………………………………………6 分（2）由题意，设 P(a, a,0 (0≤a≤ 2 ，则，．∵PF 与 BC 所成的角为，，∴或（舍）， 2 2 所以点 P 在线段 AC 的中点处．……………………………………………………10 分 23．解： (1依题意，X 的可能取值为 1,0，－1，………………………………………2 分 X 的分布列为解得－1 1 2 1 4 1 4 ………………………………4 分 1 11 …………………………………………………………………5 分． 3 4 4 (2设 Y 表示 10 万元投资乙项目的收益，则 Y 的分布列为：Y P 2 α －2 β ……………………8 分 E(Y＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥ 1 9 ，∴≤α≤1．………………… 10 分 4 16 高三数学答案第 6页，共 6 页。
2015年江苏高考数学模拟试卷(5套,含附加)有详细答案
2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。
苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——数列(2)
高三必过关题5 数列（2）一、填空题：例题1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m ＝________． 【答案】8【解析】a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 1＋28d ＝32，a 1＋7d ＝8，即a 8＝8，故m ＝8． 例题2．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________． 【答案】28【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===． 例题3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝_______． 【答案】4．【解析】两式相减得， 3433a a a =-，434a a =，434a q a ∴==. 例题4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝_______．【答案】－11．【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为32280a a q +=，解得2q =-， 例题5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝_________．【答案】．【解析】由等比数列的性质知312325a a a a ==，3789810a a a a ==,所以132850a a =,所以334565a a a a ===．例题6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝_______． 【答案】314．【解析】由a 2a 4＝1可得2411a q =，因此121a q=，又因为231(1)7S a q q =++=，联立两式有11(3)(2)0q q +-=，所以q ＝12,所以5514(1)3121412S -==-． 例题7．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1{}na 的前5项和为_______________． 【答案】3116． 【解析】显然q ≠1，所以369(1)1211q q q q q --=⇒=--，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-． 例题8．已知等比数列{a n }满足a n >0，且252(3)n n n a a n -=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++＝_____________．【答案】2n ．【解析】由252(3)n n n a a n -=≥得222,0,n n n a a =>则2n n a =，2123221log log log n a a a -+++213(21)n n =+++-= ．例题9．函数2(0)y x x =>的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝____． 【答案】21．【解析】在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22()kk k y a a x a -=-，当0y =时，解得2ka x =，所以12kk a a +=，13521a a a ++=． 例题10．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8 ＝__________．【答案】2±．【解析】1827181827271111,,a a a a a a a a a a a a +++=+=，又18273645a a a a a a a a ===，∴182a a =±．∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8 ＝128181842a a a a aa a +++==±． 例题11．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5，a 11＋a 12＋a 13＋…＋a 20＝20，则a 31＋a 32＋…＋a 40＝_____． 【答案】50．【解析】记b 1＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝5，b 2＝a 11＋a 12＋a 13＋…＋a 20＝20，由等差数列的性质得数列{b n }也是等差数列，b 4＝a 31＋a 32＋…＋a 40＝50．例题12．给定81个数排成如右图的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为___________． 【答案】405．【解析】记所以数之和为S ，则152********()81405S a a a a a =++++==．例题13．设数列{a n }是等比数列，公比q ≠1，已知其中连续三项恰为某等差数列的第r 项，第2r 项，第4r 项，则等比数列{a n }的公比q ＝ ． 【答案】2．【解析】设等差数列的公差为d ，则111111,2t t t t rd a q a q rd a q a q -+=-=-，两式相除得2112q q q-=-，所以2q =．例题14．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有323()n n nT T T =，则在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是_______________． 【答案】323()n n n S S S =-a 11 a 12 … a 19a 21 a 22 … a 29 … … … … a 91 a 92 … a 99【解析】等差数列与等比数列的类比，考察思维的发散性．例题15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S n 的最大值为S 6，且|a 6|＜|a 7|，则使S n ＜0的n 的最小值是_． 【答案】7． 【解析】数列{a n }是递减数列且670,0a a ><，则6767121,0,6()6()0a a a a S a a a a <-+<=+=+<，而116110S a =>，所以使S n ＜0的n 的最小值是7．例题16．已知x ,a 1,a 2,y 成等差数列，x ,b 1,b 2,y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围是 _________．【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】1212,a a x y b b xy +=+=，∴(a 1＋a 2)2b 1b 22()2x y x y xy y x +==++，∵||2x yy x +≥，∴(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围是(,0][4,)-∞+∞．例题17．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝2nS n ，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________．【答案】2．【解析】易得等差数列{a n }中a 1＝1,公差d ＝4，所以其的前n 项和为S n ＝2n 2－n ，T n ＝2－1n ，由数列{T n }的单调性可得T n ≤T 1＝32，又M 为正整数，所以M ＝2．例题18．已知S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，则下列四个命题：①d ＜0；②S 11＞0；③S 12＜0；④S 13＞0中真命题的序号为________． 【答案】 ①②【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧S 6＞S 7⇒S 6＞S 6＋a 7⇒a 7＜0S 7＞S 5⇒S 5＋a 6＋a 7＞S 5⇒a 6＋a 7＞0，S 6＞S 5⇒S 5＋a 6＞S 5⇒a 6＞0即a 6＞0，a 7＜0，a 6＋a 7＞0，因此d ＜0，①正确；S 11＝11a 6＞0②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2＞0，故③错误；S 13＝12(a 1＋a 13)2＝12a 7＜0，故④错误，例题19.已知a ,b ,c 成等比数列，且公比q ＞3，若在b ,c 之间插入n 个数，使这n ＋3个数成等差数列，则n 的最小值为_________. 【答案】3．【解析】设公差为d ，则d ＝aq －a ，又aq 2＝a ＋(n ＋2)d ，得n ＝q －1，∵q ＞3，∴n ＞2，∴n 的最小值为3．例题20．已知数列{}n a 是等比数列，首项1a ＝8，令2log n n b a =，若数列{n b }的前7项的和7S 最大，且78S S ¹，则数列{}n a 的公比q 的取值范围是 ． 【答案】3172[2,2)--．【解析】13b =，公差2log 0d q =<，2(3)22n d dS n n =+-，∵{n b }的前7项的和7S 最大，且78S S ¹，∴31317222dd --<≤，∴1327d -<-≤，即3172[2,2)q --∈．二、解答题例题21．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)2n n n T -=． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在常数a ，使得212()()()n n n S a S a S a ++-=--对n Î*N 都成立？ 若存在，求出a ，若不存在，说明理由．【解析】（1）111a T ==，2n ≥时，(1)22(1)(2)1222n n n n n n n n T a T -----===，∴数列{a n }是首项为1，公比为14的等比数列，∴22124n n n a --==； （2）由题意得，数列{S n －a }是等比数列，∵S n －a =441()334na --，∴要使数列{S n －a }是等比数列， 则43a =． 例题22．已知数列{}n a ,{}n b 分别是等差、等比数列，且111a b ==，22a b =，434a b b = ． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前项和，求数列1{}nS 的前n 项和n R ； （3）设1()n nn n a b C n S +=*N ，12n n T C C C =+++，求n T ．【解析】（1）设公差为d ，公比为q (q ≠1)，则2113d q d q+=⎧⎨+=⎩,解得12d q =⎧⎨=⎩，∴1,2n n n a n b -==； （2）(1)2n n n S +=，∴12112()(1)1nS n n n n ==-++，∴122(1)11n n R n n =-=++； （3）∵112222(1)(2)(1)(2)212n n n nn n n C n n n n n n -+⋅⋅===-++++++，∴1212n n T n +=-+．例题23．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2．（1）求a 3，a 5；（2）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（3）设c n ＝(a n ＋1－a n )1n q -(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解】：(1)由题意，零m ＝2,n －1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6 再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20(2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8， 于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即 b n ＋1－b n ＝8， 所以{b n }是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列， 则b n ＝8n －2，即a 2n ＋＝1－a 2n －1＝8n －2， 另由已知(令m ＝1)可得a n ＝2112n a a ++－(n －1)2， 那么a n ＋1－a n ＝21212n n a a +-+－2n ＋1＝822n -－2n ＋1＝2n于是c n ＝2n 1n q -，当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·1n q -， 两边同乘以q ，可得 qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2n ·q n ， 上述两式相减得 (1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋…＋1n q-)－2nq n＝2·11nq q--－2nq n ＝2·11(1)1n n n q nq q+-++-所以S n ＝2·12(1)1(1)n n nq n q q +-++-综上所述，S n ＝12(1),1(1)12,1(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨⋅≠⎪-⎩例题24．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n ． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n n c c +<．【解】(1)由于114a S ==当n ≥2时，221(22)[2(1)2(1)]4n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=，4()n a n n ∴=∈*N 又当n ≥2时111(2)(2),2n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---∴=∴数列{}n b 项与等比数列,其首项为1,公比为12，11()2n n b -=．(2)由(1)知22221111221116(1)()1(1)2,16(),12216()2nn n n n n n c n c a c n c n n -+-++==∴== 由11n nc c +<，得2210,13n n n n -->∴>≥， 又3n ≥时22(1)12n n +<成立,即11n nc c +<，由于0n c >恒成立， 因此,当且仅当3n ≥时, 1n n c c +<．例题25．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围．【解析】(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之得⎩⎨⎧q ＝2a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n ， (2)122log 2n n n b =＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①－2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1②①－②得，S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1由S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0，即2n ＋1－2－n ·2n ＋1＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1＜0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1＜2－2n ＋1. 对任意正整数n ，m ＜12n －1恒成立．∵12n －1＞－1，∴m ≤－1. 即m 的取值范围是(－∞，－1]．例题26．已知数列{}n a 是等差数列，221()n n n c a a n +=-∈*N（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由； （2）如果132********,14313a a a a a a k +++=+++=-(k 为常数)，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12n =时取得最大值．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则22221121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---2221112()()n n n a a d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列（2）1325130a a a +++=，242614313a a a k +++=-∴两式相减：131313d k =-，1d k ∴=-113(131)1321302a d -∴+⨯=3212a k ∴=-+，1(1)(1(133))n a a n d kn k ∴=+-=-+-22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-2226326(21)(1)k n k =-+-+-22(1)25305k n k k =--⋅+-+（3）因为当且仅当12n =时n S 最大，12130,0c c ∴><有即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ⎧⎧--+-+>+->⎪⎪⇒⎨⎨--+-+<-+>⎪⎪⎩⎩ 1191921211k k k k k k ><-⎧⇒⇒<->⎨><⎩或或或。
江苏省大联考2015届高考数学五模试卷(理科) 含解析
2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上. 1．已知复数z=（1+i)(2﹣i）(i为虚数单位),则=．2．集合M=｛x|0＜x≤3｝，N=｛x∈N|0≤x﹣1≤1},则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．用反证法证明命题“若正整数a，b,c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时,反设应为．5．已知i是虚数单位，则｜﹣|=．6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．7．某商品在5家商场的售价x(元)和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：价格x（元）9 9。
5 10 10.5 11销售量y(件）11 a 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是=﹣3。
2x+4a，则a=．8．关于x,y的不等式组所构成的区域面积为．9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在［85,90），[90，95),［95，100］三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试,则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O 为坐标原点），且A到F的距离为3，则p=．12．已知S n是数列｛a n｝的前n项和,向量=．13．已知2a=3b=6c,k∈Z，不等式＞k恒成立，则整数k的最大值为．14．设S n为等差数列｛a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案2015年苏锡常镇高三数学（二模）试卷及答案一．填空题（5×14=70分）1.已知集合 $A=\{-1,1,3\},B=\{2,2,-1,A\}$，则实数 $a$ 的值是 $\boxed{2}$。
2.设 $1+2i=2i(a+bi)(i$ 为虚数单位，$a,b\in R)$，则$a+b$ 的值是 $\boxed{1}$。
3.某工厂生产某种产品 $5000$ 件，它们来自甲、乙、丙$3$ 条不同的生产线。
为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样。
若从甲、乙、丙 $3$ 条生产线抽取的件数之比为$1:2:2$，则乙生产线生产了$\boxed{2000}$ 件产品。
4.根据XXX所示的伪代码，若输入的 $x$ 值为 $-1$，则输出的 $y$ 值为 $\boxed{1}$。
5.从 $3$ 名男生和 $1$ 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 $\boxed{\dfrac{3}{4}}$。
6.已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的离心率等于 $2$，它的焦点到渐近线的距离等于 $1$，则该双曲线的方程为$\boxed{\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1}$。
7.已知向量 $a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2)$，若 $a-2b\perp c$，则实数 $k=\boxed{4}$。
8.已知常数 $a>0$，函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{x}$ 在定义域$(1,+\infty)$ 内单调递减，则 $a$ 的值为 $\boxed{4}$。
9.函数$y=3\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(x>1)$ 的最小值为$3$，则 $a$ 的值为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。
【数学】2015年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷和解析
2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【解答】解：连接AO，∵PA为圆的切线，∴△PAO为Rt△，∴122+r2=（r+6）2，∴r=9．又CD垂直于PA，∴OA∥CD，∴=，解得CD=cm．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【解答】解：设，由可知：，故，解得，所以．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【解答】解：由圆ρ=3cosθ，可得ρ2=3ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=3x，配方为，圆心为C，半径r=．直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为直角坐标方程：2x+4y+a=0．∵直线与圆相切可得：=，解得a=﹣3．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．【解答】解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值是，当且仅当x==，即x=，y=，z=．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．【解答】解：（1）如图，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系，则E（0，0，1），D（，0，0），B（0，，0），F（，1），平面ADF的法向量=（1，0，0），=（，0），=（），设平面DFB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，﹣），∴cos＜＞==，∵二面角A﹣DF﹣B的平面角是锐角，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°．（2）解：由题意，设P（a，a，0），（0），则=（，，1），=（0，，0），∵PF与BC所成的角为60°，∴cos60°=|cos＜＞|==，解得a=或a=（舍），∴点P在线段AC的中点处．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P （ξ=1）=，P （ξ=0）=，P （ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：Eξ=﹣=．…（6分） （2）设η表示10万元投资乙项目的收益， 则η的可能取值为2，﹣2， P （η=2）=α， 2p ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）。
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2015届江苏省苏州高三数学调研测试试题
（满分150）
一．填空题（14×5分）
1． 已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
若,A B =则锐角θ=
▲ 2． 若复数122,
1,z a i z i =+=-
且12z z 为纯虚数则实数a 的值为 ▲ 3． 右图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图
则其平均得分为
▲
4． 已知函数()2
log 1a x
f x x
-=+为奇函数则实数a 的值为 ▲ 5． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数361
4,,2
a a ==则45a a += ▲
6． 一只口袋内装有大小相同的5只球其中3只白球2只黑球从中一次
性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为 ▲
7． 右图是一个算法的流程图则最后输出W 的值为 ▲
8． 已知双曲线2215
x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同则
9． 已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的图象上有一个
最高点的坐标为(,由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与x 轴交于点()6,0,则此解析式为
▲
10．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲
11．已知圆()()2
2
10C y a a +-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点则当CPQ ∆的面积最大时此时实数
a 12．函数()32
122132
f x ax ax ax a =+-++13．如图AB 是半径为3的圆O 的直径P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点且4,AQ AB ⋅= 则BQ BP ⋅
的 值为 ▲
14．已知函数()()2
,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于
,,,A B C D 四点且四边形ABCD 的面积为25则正实数c 的值为 ▲
Y
N
3π
2-313
0.614x 8
4y x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3:2
244
二．解答题（3×14分+3×16分）
15．如图在平面直角坐标系xOy 中点,,A B C 均在单位圆上已知点A 在第一象限用横坐标是3
,5
点B 在第二象限点()1,0.C
（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形求点B 的坐标
16．如图在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点点F 在AC 上，且.AF
AC
λ=
（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED
17．如图有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离
O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿X X '的方向乙沿Y Y '的方向两人同时以4/km h 的速度步行
（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；
（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当为何值时甲乙两人的距离最短并求出此时两人
的最短距离
18．如图,,A B 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B 的任意一点直线是椭圆的右
准线
（1）若椭圆C 的离心率为
1
,2
直线:4,l x =求椭圆C 的方程； （2）设直线AM 交于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点求椭圆C 的离心率
()24
1625
分(
)214B 分
()1162λ= 分()2
14 证明略分(14
分
()12132
t = 当时,分
19．已知数列
{}
n a 共有2k 项
()*
2,
k N ≤∈数列
{}
n a 的前n 项的和为,n S 满足
12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=- 其中常数1p >
（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若221
2
,k p -=数列{}n b 满足()()2121
log 1,2,,2,n n b a a a n n n =
= 求数列{}n b 的通项公式 （3）对于（2）中的数列{},n b 记3
,2
n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的和
20．设函数()()x
f x ax e
a R =+∈
（1）若函数()f x 有且只有两个零点()1212,,x x x x <求实数a 的取值范围； （2）当1a =时若曲线()f x 上存在横坐标成等差数列的三个点,,A B C ①证明：ABC ∆为钝角三角形；
②试判断ABC ∆能否为等腰三角形并说明理由
()22
11643
x y += 分
(
)216e =
分()15 证明略分
()1
21921
n n b k -=
+- 分()2
231621
k k T k =- 所求和分()()1,6a e ∈-∞- 分()()12,10a e ∈-∞- 分
216ABC ∆
不可能是等腰三角形分。