贝叶斯统计ch5贝叶斯决策
贝叶斯决策
● 贝叶斯决策的缺点
-贝叶斯决策有可能延误决策的最佳时间； - 贝叶斯决策成本相对较高，针对具体问题必须权衡利弊。
● 先验分析
- 决策者根据各种自然状态及其概率、各种备选方案与自然 状态的损益值，对备选方案作出抉择的过程，称之为先验 分析。 - 当时间、人力和物力不允许收集更完备的信息时，决策者 往往选择这类方法进行决策（如确定型决策、非确定型决 策和风险型决策等）
- 后验分析与预后验分析的差别 预后验分析阶段实际并未进行调查研究和收集资料，提出 的问题是：如果去进行调查研究，可能取得多大的期望收益？ 后验分析阶段是在已实施调查研究并获得实际调查结果的 基础上，对先验概率进行修正并据此作出决策。 ● 案例一 某公司要研制开发一种新款手机，面临的挑战主要来自这种 新款手机的销路和竞争者的状况。经过必要的风险评估后， 该公司认为：当新产品销路好时，开发新产品可盈利8万元， 不开发新产品而继续生产老产品，则会因为其他竞争者开发 新产品而使得老产品滞销，公司可能因此亏损4万元；当新产 品销路不好时，开发新产品可能亏损3万元，不开发新产品就 有可能用更多的资金生产老产品，可盈利10万元；另外，该 公司认为新产品销路好的概率为0.6，销路不好的概率为0.4.
- 常规型预后验分析要解决的问题是：如果试验，应采取什 么行动策略。
-两种预后验分析得出的结论是一致的。 ● 后验分析 - 运用新信息并修正先验概率的过程称为后验分析。
- 即 根据预后验分析，如果认为收集信息、进行调查研究是 值得的，就应该决定去从事这项工作。而一旦取得了新信息， 决策者就结合这些新信息进行分析，计算各种方案的期望损 益值，选择最佳的行动方案。
统计学中的贝叶斯统计和决策理论
统计学中的贝叶斯统计和决策理论统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而贝叶斯统计和决策理论是统计学中的两个重要分支。
贝叶斯统计理论是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，而决策理论则关注如何在面对风险或不确定性时做出最佳决策。
一、贝叶斯统计1. 贝叶斯理论的基本思想贝叶斯统计理论是以英国数学家Thomas Bayes的名字命名的，其基本思想是通过先验知识和新收集的数据来进行参数估计。
与传统频率统计不同，贝叶斯统计将概率看作是描述人们对不确定性的信念，通过更新这些信念来进行推理。
2. 先验概率和后验概率在贝叶斯统计中，先验概率是在考虑新数据之前已经拥有的关于参数的概率分布。
随着新数据的不断积累，我们可以更新先验概率，得到后验概率，从而更加准确地估计参数的值。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯统计的核心公式。
根据贝叶斯公式，我们可以计算参数的后验概率，从而基于数据来更新我们对参数的估计。
4. 贝叶斯推断的优点和应用贝叶斯统计有一些独特的优点。
首先，它允许我们将先验知识与数据结合，从而得到更加准确的推断。
此外，贝叶斯统计还可以通过使用先验概率来处理缺乏数据的情况。
贝叶斯统计在各个领域中都有广泛的应用，包括医学诊断、金融风险评估和机器学习等。
二、决策理论1. 决策理论的基本概念决策理论是研究在面对不确定性和风险时如何做出最佳决策的学科。
决策问题涉及到选择行动和评估不同行动的后果。
决策理论包括概率理论、效用理论和风险管理等概念。
2. 概率理论在决策中的应用概率理论是决策理论中的一项重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
决策者可以使用概率理论来估计不同决策的结果，并在不确定性下做出合理的决策。
3. 效用理论和决策权衡效用理论是决策理论中的另一个关键概念，它描述了个体对不同结果的偏好程度。
根据效用理论，决策者可以根据结果的效用来评估不同决策的价值，并选择效用最大化的决策。
4. 风险管理和决策优化决策理论还涉及到风险管理和决策优化。
第2章 贝叶斯决策完整版.ppt
最小风险准则
❖ 最小风险贝叶斯决策：考虑各种错误造成损失不
同而提出的一种决策规则。
❖ 条件风险：
精选
最小风险准则
❖ 期望风险：对于x的不同观察值，采取决策αi时，
其条件风险大小是不同的。所以究竟采取哪一种决 策将随x的取值而定。这样，决策α可以看成随机向 量x的函数，记为α(x)。可以定义期望风险Rexp为：
假言：如果鱼的长度 x 大于45cm，则该鱼为 鲈鱼 1，否则该鱼为鲑鱼 2
前提：现在某条鱼 x 38cm
结论：该鱼为鲑鱼 2
❖ 概率推理（不确定性推理）
P i x 精选
最小错误率准则
❖ 例子：
给定
P
y
1
P
y
2
1 2
，类条件概率密度如图。
现有一条鱼 x=38cm， 若采用最小错误率决策，该鱼应该为哪一类？
R2
R1
a p 1 b
❖ 一旦 R1 和 R2 确定，a和b为常数
❖ 一旦 R1 和 R2 确定， R 与 P(ω1) 成线性关系
❖ 选择使 b=0 的R1 和 R2 ，期望风险与P(ω1) 无关！
精选
R* C’ C
最小最大决策准则
D
R1 ,R2不变
A
R*B
D’
B
R1 ,R2改变
b=0
此时最大 风险最小,
P i
x
Px
i P i
Px
则： P1 x P2 x
等价于：
p x 1 P 1 p x 2 P 2
p x 1 p x 2
p 2 p 1
精选
似然比公式
最小错误率准则
❖ 特例1：
统计学中的贝叶斯统计与决策理论
统计学中的贝叶斯统计与决策理论统计学中的贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯公式和概率论原理的统计推断方法。
它与传统的频率主义统计学方法相比，具有许多独特的优势。
本文将介绍贝叶斯统计学的基本原理、应用领域以及与决策理论的关系。
一、贝叶斯统计学的基本原理贝叶斯统计学是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它基于概率论的贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B分别发生的概率。
贝叶斯统计学的基本原理是根据已有的先验知识和新的观测数据，通过不断更新概率分布来得出对未知参数的后验概率分布。
通过贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，得出对未知参数的概率分布，从而进行推断和预测。
二、贝叶斯统计学的应用领域贝叶斯统计学广泛应用于各个领域，包括医学、金融、生物学、工程学等。
其应用主要体现在以下几个方面：1. 参数估计：贝叶斯统计学通过考虑先验信息，对参数进行估计。
与传统的频率主义统计学方法相比，贝叶斯统计学能够更好地利用已有的知识，提供更准确的参数估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计学提供了一种新的方法来进行假设检验。
通过计算后验概率与先验概率的比值，可以得到对不同假设的相对支持程度，从而在决策时提供更全面的信息。
3. 预测分析：贝叶斯统计学通过更新概率分布，可以对未来的事件进行预测。
这使得贝叶斯统计学在金融风险预测、天气预报等领域有着广泛的应用。
三、贝叶斯统计学与决策理论的关系贝叶斯统计学与决策理论密切相关。
决策理论主要研究如何在不确定情况下做出最优决策。
而贝叶斯统计学可以为决策提供一个统一的框架，通过计算不同决策的后验概率，从而选择概率最大的决策。
在贝叶斯决策理论中，需要考虑多个可能的决策结果以及每个决策结果的概率。
通过使用贝叶斯统计学中的贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，计算每个决策结果的后验概率，从而选择概率最大的决策。
贝叶斯统计决策
叶斯统计决策理论是指综合运用决策科学的基础理论和决策的各种科学方法对投资进行分析决策。
其应用决策科学的一般原理和决策分析的方法研究投资方案的比选问题,从多方面考虑投资效果,并进行科学的分析,从而对投资方案作出决策。
涉及到投资效果的各种评价、评价标准、费用(效益分析)等问题。
投资决策效果的评价问题首要的是对投资效果的含义有正确理解,并进行正确评价。
贝叶斯统计中的两个基本概念是先验分布和后验分布。
①先验分布。
总体分布参数θ的一个概率分布。
贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数θ的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。
他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念。
②后验分布。
根据样本分布和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。
因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。
贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布，而不能再涉及样本分布。
贝叶斯统计(Bayesian statistics)，推断统计理论的一种。
英国学者贝叶斯在1763年发表的论文《有关机遇问题求解的短论》中提出。
依据获得样本(Xl，X2，…，Xn)之后θ的后验分布π（θ|X1，X2，…，Xn)对总体参数θ作出估计和推断。
它不是由样本分布作出推断。
其理论基础是先验概率和后验分布，即在事件概率时，除样本提供的后验信息外，还会凭借自己主观已有的先验信息来估计事件的概率。
而以R．A．费希尔为首的经典统计理论对事件概率的解释是频率解释，即通过抽取样本，由样本计算出事件的频率，而样本提供的信息完全是客观的，一切推断的结论或决策不允许加入任何主观的先验的信息。
以对神童出现的概率P的估计为例。
按经典统计的做法，完全由样本提供的信息(即后验信息)来估计，认为参数p是一个“值”。
贝叶斯统计的做法是，除样本提供的后验信息外，人类的经验对p 有了一个了解，如p可能取pl与户p2，且取p1的机会很大，取p2机会很小。
贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念
贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念贝叶斯估计和贝叶斯决策是概率论中重要的两个概念，它们在处理不确定性问题和统计推断中扮演着重要角色。
本文将介绍贝叶斯估计和贝叶斯决策的概念、原理以及应用。
一、贝叶斯估计贝叶斯估计是指在给定观测数据的条件下，利用贝叶斯定理来估计未知参数的方法。
在贝叶斯估计中，我们引入了先验概率和似然函数，并通过贝叶斯定理来更新我们对参数的估计。
贝叶斯估计的基本原理可以用以下公式表示：P(θ|X) = P(X|θ) * P(θ) / P(X)其中，P(θ|X) 表示在给定观测数据 X 的条件下，参数θ 的后验概率；P(X|θ) 是参数θ 给定观测数据 X 的似然函数；P(θ) 是参数θ 的先验概率；P(X) 是观测数据的边缘概率。
在贝叶斯估计中，先验概率可以通过领域知识或历史数据来确定，而似然函数则可以通过对观测数据的建模来获得。
通过不断地更新先验概率，我们可以得到后验概率，并将其作为参数的估计值。
贝叶斯估计在许多领域都有广泛的应用，例如机器学习、统计推断、信号处理等。
它能够有效地利用已知信息和数据，对未知参数进行准确的估计。
二、贝叶斯决策贝叶斯决策是一种基于贝叶斯准则的决策方法，它在已知观测数据的条件下，寻找一个决策规则来使得期望损失最小化。
贝叶斯决策的目标是选择一个最优的决策，使得在给定观测数据的条件下，使得期望损失最小。
贝叶斯决策的基本原理可以用以下公式表示：d* = argminΣL(d, a) * P(a|X)其中，d* 是最优决策，ΣL(d, a) 是决策 d 对于观测数据 X 情况下的期望损失，P(a|X) 是在观测数据 X 条件下决策 a 的后验概率。
贝叶斯决策需要利用先验概率和条件概率来对可能的决策进行评估，并选择最优的决策。
它能够充分考虑不确定性和风险，从而在决策问题中展现出优越性。
贝叶斯决策在许多实际问题中都有广泛的应用，例如医学诊断、金融风险评估、无人驾驶等。
通过考虑不确定性和风险，贝叶斯决策可以帮助我们做出最优的决策，提高决策的准确性和效果。
贝叶斯决策规则
贝叶斯决策规则贝叶斯决策规则（Bayesian Decision Rule）是一种统计学方法，用于处理决策问题。
在这个规则中，我们考虑不同的随机变量和由它们生成的概率分布，进而对不同的决策进行评估。
这种方法被广泛应用于多个学科领域，包括医疗、金融和工程等。
贝叶斯决策规则的核心思想是将决策过程转化为概率论问题。
它将不同的决策视为可能性函数，然后将相关的观察结果作为输入，从而推导出每个决策的后验概率。
具体来说，这个规则包含三个核心组成部分：先验概率、条件概率和似然函数。
先验概率指的是在考虑任何新信息之前已知的概率信息。
条件概率指的是在特定的条件下，某些事件发生的概率。
似然函数指的是给定某些数据的条件下，某一假设成立的概率。
这些概率信息可以通过数据收集和分析来获取。
在实际应用中，贝叶斯决策规则通常用于分类问题。
假设我们有一个输入变量 X，它具有不同的取值，表示每个输入的特征。
我们还有一个类别变量 Y，它可能取值为 A 或者 B 两种。
我们需要根据输入变量的取值对类别变量进行预测。
首先，我们需要估计每个类别的先验概率，即假设输入变量 X 不存在时，每个类别的出现概率。
接着，我们需要为每个输入值估计一个条件概率，即在已知 X 的取值的情况下，每个类别出现的概率。
这个概率可以通过计算训练数据集中每个类别的频率来获得。
最后，我们需要计算出每个类别的后验概率，即在已知 X 的取值的情况下，每个类别出现的概率。
这个概率可以通过将先验概率和条件概率相乘，然后除以规范化常数来获得。
贝叶斯决策规则的优点是它提供了一种基于统计学的方法来处理决策问题。
它可以适应数据的变化，因为它不需要事先指定任何假说或模型。
此外，贝叶斯决策规则可以有效地进行处理和解释，因为它提供了可视化结果，并且结果可解释性高。
与其他决策方法相比，贝叶斯决策规则对数据的要求较少，可以在小数据集上产生令人满意的结果。
总之，贝叶斯决策规则是一种强大的工具，可以应用于各种领域，用于解决决策问题。
贝叶斯决策分析课件
❖若试销结果是该产品需求量大或一般，则 应该选择方案a1，即引进大型设备；
❖若调查结果是该产品需求量小，则应该选 择方案a3，即引进小型设备。
§5.2 贝叶斯决策信息的价值
从前面的分析看出，利用补充信息来修正 先验概率，可以使决策的准确度提高，从 而提高决策的科学性和效益性。因此，信 息本身是有价值的—能带来收益。
则：
E (a1)=1.1（万元），E (a2)=0
记验前分析的最大期望收益值为E1，有：
E1＝max{E (a1)，E (a2)} =1.1
因此验前分析后的决策为：生产该新产品。
即：
aopt＝ a1
E1为不作市场调查的期望收益。
2、预验分析：由全概率公式
n
pHi p(Hi / j ) p( j )
但获得的情报越多，花费也更多。
因此有一个获取补充信息是否有利的问题： 收益与成本的比较。
问题：如何衡量信息的价值？
§5.2 贝叶斯决策信息的价值
5.2.1 完全信息的价值（EVPI） 完全情报：指能够提供状态变量真实情况的
补充信息。即在获得补充情报后就完全消除 了风险情况，风险决策就转化为确定型决策。 1.完全信息值
有关的概率公式
则离对散任情一况随机事件H，有全概率公式：
设 足pH有 ：完备n事p件(H组/｛ θj )j｝ p（(j=j )1 , 2 , … ( p, (n）j )， 满0) j 1
有关的概率公式
贝叶斯公式：
p i / H
p(H
/i ) p(i )
p(H )
p(H /i ) p(i )
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①参数空间Θ={0,1}
②行动空间A={0,1}
③先验分布:P(θ=0)=π0, P(θ=1)=π1
④损失函数:决策正确无损失, 决策错误的损失为1.则
(3)计算每个行动下的后验风 险:R(a=0|x)=P(θ=1|x)
R(a=1|x)=P(θ=0|x)
(4)找出最佳行动,即确定拒绝域.
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是来自正态分布N(θ,1)的一个样本。又
设参数θ的先验分布为共轭先验分布N(0,τ2),其中τ2已知.而损
失函数为0-1损失函数
试求参数θ的贝叶斯估计。 解:分三步求解: (1)求参数θ的后验分布
(2)对于任意一个决策函数
计算后验风险函数:
(3)求出使得上述风险函数达到最小时的决策函数:
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•
到行动集A上的一个映照
称为该决策问题的一个决策函数,
表示所
有从样本空间χ到A上的决策函数组成的类,称为决策
函数类.
•在贝叶斯决策中我们面临的是决策函数类D,要在
Байду номын сангаас
D中选择决策函数
,使其风险最小.
•例题分析
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3.后验风险准则
• 定义 在给定的贝叶斯决策问题中 决策函数类,则称
动?(使后验期望损失
达到最小的行
动)
(2)特例:r=2的情形,即二个行动的假设检验问题
(3)特例:r=3的情形(三个行动的假设检验问题)
(儿童智商检验的实例P193)
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二个行动的假设检验问题
1.问题的描述:
有两个假设:
两个行动:a0:表示接受H0的行动,
a1:表示接受H1的行动.
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第二节 后验风险决策
1.后验风险函数
• 我们把损失函数
对后验分布
的
•期望称为后验风险,记
,即
•后 验 风 险 就 是 用 后 验 分 布 计 算 的 平 均 损 失 .
11
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2.决策函数
•定义5.1 在给定的贝叶斯决策问题中,从样本空间
(2)求R(δ|x)的驻点:令
(3)结论: θ的贝叶斯估计是后验分布的 例9(p191例题5.13)自学
分位数.
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3.有限个行动问题的假设检验
(1)一般问题:设A={a1,a2,…,ar},在ai下的损失为
L(θ,ai),如何从这些行动当中选择一个最优行
θ2,…,θn,且各种状态的先验概率π(θi)已知,又有m种行
动a1,a2,…,am。设Qij为出现θi采取行动aj的收益，a′为
使
取得最大时的行动，则称
为完全信息期望值，记为EVPI。
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3.先验EVPI：在一个决策问题中π(θ)是状态集Θ={θ}上
的先验分布。 a′是先验期望准则下的最优行动，则在a′下
0.9782
3.计算各行动的后验期望损失
x
0
1
13.0634 32.4148
2
3
55.4484 95.8636
42.3642 22.5636 9.5532 0.4464
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4.确定最优决策函数：
5.计算后验EVPI：x=0时，后验EVPI=13.0634 x=1时，后验EVPI=22.5636 x=2时，后验EVPI=9.5532 x=3时，后验EVPI=0.4494
•(4) 定义在
上的二元函数
称为损失函数
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三、贝叶斯决策的优缺点
1.优点主要表现在: (1)贝叶斯决策充分利用各种信息,使决策结果更加科学化; (2)能对调查结果的可能性加以数量化的评价; (3)贝叶斯决策巧妙地将调查结果和先验知识有机地结合起来; (4)贝叶斯决策过程可以不断地使用,使决策结果逐步完善. 2.缺点: (1)贝叶斯决策所需要的数据多，分析计算也比较复杂,如果 解决的问题比较复杂时,这个矛盾就更加突出; (2)在决策的过程中，有些数据必须要使用主观概率,有些人 不是很相信,这也妨碍了贝叶斯决策方法的推广和使用. O
第一节 贝叶斯决策问题
一、决策问题分类 (1)仅使用先验信息的决策问题称为无数 据(或无样本信息)的决策问题; (2)仅使用抽样信息的决策问题称为统计 决策问题; (3)先验信息和抽样信息都使用的决策问 题称为贝叶斯决策问题.
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二、贝叶斯决策问题
• 先验信息和抽样信息都用的决策问题称为贝叶斯 决策问题。若以下条件已知，则我们认为一个贝叶斯 决策问题给定了。
2.计算一个EVSI的基本步骤：
第一步：计算先验EVPI；
第二步：计算θ的后验分布；
第三步：计算每个行动的后验期望损失
；
第四步：确定最优决策函数；
第五步：计算后验EVPI；
第六步：计算后验EVPI的期望值；
第七步：计算抽样信息期望值。
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案例分析
甲厂的某一零件由乙厂生产，每批1000只，其次品率 θ的概率分布如下表所示：
益.记为ENGS,即 二、最佳样本量及其上界 1.最佳样本量:使得抽样净益达到最大的样本量n*称为最佳样
本量．即
2.上界的确定:
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三、最佳样本量的求法
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第六节 二行动线性决策问题的EVPI
一、正态分布下二行动线性决策问题的先验EVPI 二、贝塔分布下二行动线性决策问题的先验EVPI 三、伽玛分布下二行动线性决策问题的先验EVPI
品个数来决定是采取行动a1还是行动a2 ，并想知道这样能
否带来更大的收益？
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分析过程
一、计算先验EVPI： 支付函数：
由此的支付矩阵和损失矩阵：
计算每个行动下的先验期望损失： 由此得在先验期望准则下，a1是最优行动，
则：先验EVPI=15.68
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(3)求最优行动使上述风险函数达到最小.令: 则得:
(4)数值计算:
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例3 如何判断一个样本是来自密度函数为p0(x) 的总体还是 来自密度函数为p1(x) 的总体。
解:两个假设:
(2)求后验分布:
问题:接受H0还是H1?
(1)把假设检验问题转化为贝叶 斯决策问题:
其中λ(θ)为参数空间Θ上的正值函数.
定理5.3 在参数向量
的场合下,对多元二
次损失函数
,Q为正定阵, θ的
贝叶斯估计为后验均值向量:
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贝叶斯统计ch5贝叶斯决策
例4 设
是来自泊松分布
的一个样本.若θ的先验分布用其共轭先验分布
G(α,λ),即
其中参数α与λ已知.求平方损失函数下θ的贝叶斯估 计.
如果
,即:
应选择a0,拒绝a1. 5.确定拒绝域:
若
,则
则由上一步可算得:
即拒绝域
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则 则
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第四节 抽样信息期望值
一、基本概念
1.完全信息：对需要作决策的问题，假如决策者所获得
的信息足以肯定那一个状态即将发生，则该信息就称为(该
状态的)完全信息。
2.完全信息期望值(EVPI)：设某决策问题有n种状态θ1,
的损失函数L(θ, a′)的先验期望
称为完全信息先
验期望值，记为先验EVPI。
4.两者的关系:
•5.例题:对给定的Q或L怎样计算EVPI和先验EVPI？如：
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二、抽样信息期望值
1.定义：在一个贝叶斯决策问题中, a′是先验期望准则下的最优 行动， 是后验风险准则下的最优决策函数。则先验EVPI与 后验EVPI期望值的差称为抽样信息期望值，记为：
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第三节 常用损失函数下的贝叶斯估计
1.平方损失函数下的贝叶斯估计
•定理5.1 在平方损失函数 叶斯估计为后验均值,即
下, 的贝
•[Pr] 在平方损失函数下,任何一个决策函数
的
后验风险为
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定理5.2 在加权平方损失函数
下,
θ的贝叶斯估计为:
θ π(θ)
0.02 0.45
0.05 0.39
0.10 0.16
甲厂在整机装配时，如发现零件是次品，必须更换，每换一
只，乙厂赔偿2.20元的损失费，但也可以在送装前采取全
部检查的办法，使每批零件的次品率降为1%，但乙厂必须
支付每只0.10元的检查费。乙厂面临如下两种选择：
a1:一批中一件都不检查 a2:一批中每件都检查 若乙厂厂长想从每批中任取三只零件进行抽查，根据不合格
把指定时间t0后该产品才失效的概率
称为产品在t0时刻的可靠度。在平方损失函数下 怎样估计可靠度R(t0)？
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2.线性损失函数下的贝叶斯估计
定理5.4 在绝对值损失函数L(θ,δ)=|θ-δ|下, θ
的贝叶斯估计δB(x)为后验分布π(θ|x)的中位数.
证明:(1)证明的思路:
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