第一章 几何光学

5.5 单球反射面成像公式
用类似推导方法可得成像公式：

1 1 2 s' s r
n
P
C
M
r f f ' 2
此时 F 和
s
P s ' r
h O
d
F 两个焦点重合
5.6 傍轴物点成像
P y
Q

n
n

i
9;
P
s'
物高和像高的符号法则：

若 P P '点在光轴上方，则 y 0 或 y ' 0 或 若 P P '点在光轴下方，则 y 0 或 y ' 0 或
Q点的振动方程：EQ E0 cos(0 t ) P点的振动方程就是：
Q
P
EP E0 cos(0 (t ))
2 ˆ ˆ 定义波矢：k kk k0 0
2nl 2 nl 其中 c 0
0
设其方向沿波动的传播方向
光程： L nl
用惠更斯原理解释 反射定律和折射定律
§3 费马原理
3.1 光程定义：
如图，在均匀媒质中有：(QP )
nl
M l 2 N
1 2
在m种不同的媒质中有：
(QP ) ni li
i 1
m
Q l1
l3
3
媒质1 媒质2 媒质3 P n n n
P
在折射率连续变化的媒质中：(QP) ndl
5.7 横轴放大率公式
定义：
y' V y
，
横向放大率公式的推导：
y i s
y' i' ， s'
ni n'i'
y' ns' V y n' s
用类似方法可以得到反射 球面的横向放大率公式：V
s' s
讨论：
（1） 若 V 1 ，则为放大像。 若 V 1 ，则为缩小像。 （2） 若 V 0 ，则为正立像。 若 V 0 ，则为倒立像。 （3） 若 s' 0 ，则为实像。 若 s' 0 ，则为虚像。
证明：
N2
, N1 l1 , n c 0 0 2 1 v l2
N1
1
l1

n1l1
0
,
N2
l2
2

n2 l 2
0
已知有： 1l1 n2 l 2 就有： N n N1 2 这个命题的物理意义： 可以通过比较光程比较两个波动的状态差异。
3.4 位相差与光程差成正比
这就是准确的物像关系式或成像公式
讨论：
（1）n、n'、r 已知时，给定同心光束的 变化， 出射光束丧失了同心性。
s 后 s ' 随
为了保持出射光束的同心性，必须近似处理 （2） 令
sin ( / 2) ( / 2) 1
2 2
s s' 则有 n( s r ) n' ( s'r )
入射光从左向右传播时 1）若 Q 和 F 点在A点的左方，则 s 0 ， f 0 若 Q 和 F 点在A点的右方，则 s 0 ， f 0 F 2）若Q、 和 C点在A点的左方， 则 s 0 ，f 0 ， 0 r F 若Q、 和 C点在A点的右方， 则 s 0 ，f 0 ， 0 r 3）若入射光由右向左传播时，符号法则与上述规定相反
3.2 光在媒质中走过的光程等于
在真空中走过的几何路程
c l0 l n 证明： t ， v 就有 0 c v
Q
l nl
3.3 光程相同含有的波数相同： 1 N 2 N
N 波数定义： l

已知： n1l1 n2 l 2
求证： N1 N 2
N1
n1 N2 n2
l1 l2
（1）反射情况：
nQM nPM nQO nOP 0
即
QM PM
n
Q
M
n'
O
P
（2）折射情况
n1
M
n2
Q
O
P
n1MQ n2 MP n1OQ n2OP C
（3）折射情况
第一次成像： n1QM n2 MP C1 或者： n1QM n2 MN n2 NP C1
P
由费马原理推导折射定律
§4 成 像
4.1 实像与虚像，实物与虚物
同心光束，光具组，理想光具组，物点， 像点
注意：
1）判断的出发点：同心光束是光具组 的入射光束还是出射光束 2）物点或像点是相对具体光具组而的
n
P
n'
P'
P
n
n'
P'
实物和虚物： 实像和虚像：
（a）实物成实像 （b）实物成虚像 n n' n' n '
带入折射定律：sin i1 / sin i2 n2 / n1
n2 有： n1 sin
m
2 2
n
n1 1，n2 n 时，
sin
m
2 2
sin
sin
光的可逆性原理: 当光线的方向反转时，它将逆着同一 路径传播，称为光的可逆性原理。
§2 惠更斯原理
波线
2.1 波的几何描述
注意：
（1）光线反向时过渡关系不变； （2）多次成像的总放大率等于各次放大率的积，
V V1V2V3
证明，以三次成像为例：y '1
y2 , y'2 y3
y'1 y' 2 y'3 y'3 V V1V2V3 y1 y '1 y' 2 y1
C
5.9 例 题
Q Q’ A
如图所示，玻璃球的曲率半径为100mm， 折射率为 n 1.53， 观看此玻璃球时发现球内有一个气泡位于球心C和顶点A 连线的中点，求气泡距顶点A的距离？ 解：入射光线从左向右传播，计算起点为顶点A 已知： 1.53，r 100mm ，s' 50mm n 求: s ?
A

i2 i
令
' 2
D B

E
求其最小值： i1 i1' d
di1
i1
折射率 n
i2
i
' 2
F
i
' 1
C G
0 ，且有 d 2 di1 0 2
可以得到：当 i1 i , i2 i 时
' 1
' 2
m
此时有：i1
m
2
i2 / 2
则有：EP E0 cos 0 k0 L t ,
位相差： ( P) (Q) k0 L ( L)
其物理意义：
可以通过比较两个振动的光程来考察 两个振动的步调差异。
3.5 费马原理的表述
两点间的实际路径就是光程取平稳的路径
举例
(QP ) ndl 0
u
Q'
s
s'
np' sin n' ( s'r ) sin i
，
p p' n( s r ) n' ( s'r )
， p' ( s'r ) r 2r ( s'r ) cos
2 2 2 2
p 2 (s r ) 2 r 2 2r (s r ) 2 cos
d ( QMP ) dx
n1 x h x
2 1 2

n2 ( p x ) h ( p x)
2 2 2
Q h1 i1
n1
x
M p xP'
M'

Q'
n1 sin i1 n2 sin i2
h2
n2
i2
由光程取极小值条件 d (QMP ) / dx 0 即得 n1 sin i1 n2 sin i2
5.8 逐次成像方法
将 s2 d12 s'1 推广
可得过渡关系：
s n 1 d n ( n 1) s' n
逐次成像的步骤：
1）绘图，并确定第一次成像的入射光线 方向及计算起点； 2）确定第一次成像的各个已知量的正负和大小； 3）代入相应成像公式计算； 4）检查结果是否合理； 5）利用过渡关系求出下次成像的物距， 重复上述步骤逐次成像。

利用 2 sin 2 ( / 2) 1 cos
p 2 s 2 4r (s r ) sin 2 ( / 2)
p' 2 s' 2 4r (s'r ) sin 2 ( / 2)
可得： s2 s' 2 1 1 2 2 4r sin ( / 2) 2 2 2 2 2 n (s r ) n' ( s'r ) n ( s r ) n' ( s'r )
n1
M
n2
Q
n3
N
第二次成像： n2 NP n3 NW C2 两次合起来有：
W
P
n1QM n2 MN n3 NW C1 C2 C
注意：
1）引入虚光程概念是为了把物像之间等 光程原理推广到虚物或虚像情形。 2）正确写出虚光程公式的关键是正确判 断虚光线所在媒质的折射率，这由虚 线对应的实际光线所在的媒质的折射 率来确定 3）图中的虚线不一定是虚光程