数理统计统计量及其分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。
在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。
本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。
一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。
常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。
下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。
1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。
样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。
2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。
样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。
4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。
样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布
(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
《概率论与数理统计》统计量及其分布
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
数理统计学：统计量与抽样分布
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
数理统计知识小结
数理统计知识小结------缪晓丹 20114041056第五章 统计量及其分布§5.1总体与样本一、 总体与样本在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。
这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说：总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p 表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示：不同的p 反映了总体间的差异。
在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。
这种总体称为多维总体。
若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。
实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
二、样本与简单随机样本 1、样本为了了解总体的分布，从总体中随机地抽取n 个个体，记其指标值为 n x x x ,,,21 , 则n x x x ,,,21 称为总体的一个样本，n 称为样本容量或简称为样本量，样本中的个体称为样品。
当30 n 时，称n x x x ,,,21 为大样本，否则为小样本。
首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母 n X X X ,,,21 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组数值，此时用小写字母n x x x ,,,21 表示。
简单起见，无论是样本还是其观测值，本书中均用n x x x ,,,21 表示，从上下文我们能加以区别。
每个样本观测值都能测到一个具体的数值，则称该样本为完全样本，若样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，则称这样的样本为分组样本。
期末数理统计
θ
ˆ Var(θ ) =
n 2 n n θ − θ = θ 2 → 0, 2 n+2 n + 1 (n + 1) (n + 2)
2
故X(n)是θ 的相合估计。
15 May 2012
习题课
第30页 30页
例9 对均匀总体U(0, θ )，由θ 的极大似然估计得到的
无偏估计是 θˆ = (n + 1) x( n )，它的均方误差 /n
λ
k
e−λ , k = 0,1 2,L ,
λ
xi
xi !
e
−λ
=e
−nλ
15 May 2012
∏x !
i =1 i
n
λ
xi
习题课
第22页 22页
泊松分布( 泊松分布(续)
ln L = −nλ + ∑ xi ln λ − ∑ln( xi !) i =1 i=1 n d ln L 1 令 = −n + ∑xi = 0 dλ λ i=1
M SE (θˆ ) = Var(θˆ ) =
θ2
n ( n + 2)
现我们考虑θ的形如 θˆα = α ⋅ x( n ) 的估计，其均方差为
n n ⋅α MSE (θˆα ) = α 2 θ2 + − 1 θ 2 ( n + 1) 2 ( n + 2) n +1
2
用求导的方法不难求出当α 0 = (n + 2) /(n + 1)时上述均方 误差达到最小，且其均方误差
15 May 2012
习题课
第13页 13页
练习： 设x1, x2, …,xn 是来自泊松分布 P(λ)的一
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
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3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为
x ~N (1, 1 ) N (1,0.182) 30
5.3.3 样本方差和 样本标准差
定义5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它
关于样本均值 x 的平均偏差平方和:
Var
n i 1
xi
n 2
n2
2
n
E xi x 2 E xi2 nx 2 E(xi2 ) nE(x 2 )
[E(xi )2 Var(xi )] n[E(x)2 Var(x)]
n 2 n 2 n 2 n 2
n
(n 1) 2
E s2
n
1 1
E
xi
x 2
个数据可以自由变动,而第 n 个则不能自由取值,因为 n xi x 0 i 1
样本偏差平方和的三种不同表达式：
2
n xi x2
i 1
xi2
xi
n
xi2 nx 2
分组样本场合，样本方差的近似计算
公式为
s2 1
K
n 1 I 1
fi (xi
x)2
1 k n 1 i1
5.3.1 统计量及其分布
定义5.3.1 统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若
样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知 参数,则称T为统计量. 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布.
例：X ~ N (, 2 ) , , 2是未知参数
X
1 n
n i 1
Xi ,
S 2 1 n n 1 i1
定义5.3.6 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
Xi X
2
1
U 2
n i 1
Xi 2
F x1
G x(1)
n
H xi2 i 1
注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布 一般是依赖与未知参数的.
5.3.2 样本均值及其抽样分布
定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算术平均
值称为样本均值，一般用 x表示,即
fi
xi 2
nx
2
练习:例5.3.4
定理5.3.4 设总体X具有二阶矩,即
E(x) ,Var(x) 2 ,
x1,x2,…,xn为从总体得到的样本, 则:
证明:
E(x) ,Var(x) 2 , E(s2 ) 2
n
E ( x )
1 n
E
n i 1
xi
n
n
Var(x)
1 n2
n
(xi x) 0
i 1
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如
xi c2的函数中, xi x 2最小,其中 c 为任意
给定常数.
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和 最小,
即在形如 xi c2
的函数中, xi x2
最小,其中c为任意给定常数.
证明: 为任意给定常数c
1 (n n 1
1)
2
2
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i 1
xi k
称为样本 k 阶原点矩
bk
1 n
n
( xi
i 1
x)k
称为样本k 阶中心矩
请回答：x , s*2 , s2 是样本矩吗？
定义5.3.5 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
1
b3
/
b 3/2 2
称为样本偏度.
说明: 1 b3 / b23/2 称为样本偏度.
1、 1 反映了总体分布密度曲线的对称性信息.
2、 1 是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.
1 0, 说明数据是对称的.
1 0,
说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.
1 0, 说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.
p(x) (x 3)/4 3 x 5 0, others
3)总体分布为指数分布Exp(1)；
解: 1) 均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样 本均值的渐进分布为
x ~N (3, 4 / 3) N (3,0.212 ) 30
2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本 均值的渐进分布为
n
证明: 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函
数的性质证） 2)由中心极限定理,
n (x ) / L N (0,1)
x ~ N(,n2)
例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样 本均值的渐进分布:
1)总体分布为均匀分布U(1,5); 2)总体分(布3密x)/度4 ,函1数x 为3 (倒三角分布)
s*2 1 n n i1
xi x 2
称为样本方差.
s* s *2
称为样本标准差.
在 n 不大时常用
s2 1 n
n 1 i1
xi x 2
也称为样本方差(也称无偏方差)
s s2
.
也称为样本标准差.
说明：
n
n1 称为偏差平方和 xi x 2 的自由度
i 1
自由度的含义是：
n个偏差 x1 x, x2 x, , xn x 中只有n1
2
2
xi c xi x x c
2
2
xi x n xi c 2 xi x xi c
2
2
2
xi
x
n
xi
c
xi
x
定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样x 本，为样本均值
1) 若总体分布为N(, 2) ，x则~ N(,n2)
2) 若总体E分(x)布 未,V知ar或(x)者不2是正态分布,但 则n较大时x ~N(, 2 )
x
x1 ... xn n
1 n
n i 1
xi
在分组样本场合,样本均值的 fn n
n k fi
i1
其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数.
例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的 娱乐支出费用数据:
79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102
1则0x该21月1100这87129100名841青13年11的2158平 1均9295娱.4 乐支出为
将这20个数据分组可以得到如下频数频率 分布:
组序分组区间组中值频数频率
x 1 82 3 92 5 122 2 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即