函数的极值11
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值
例2 (1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为
－29(a>0)，则a，b的值为
A.a＝2，b＝－29
B.a＝3，b＝2
√C.a＝2，b＝3
D.以上都不对
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增， 即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f(0)＝b＝3， 则f(x)＝ax3－6ax2＋3， f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3， 则f(－1)>f(2)， 即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.
e－2b＋12(a－1)2＝e－a＋12(2b－1)2 化为12(a－1)2－e－a＝12(2b－1)2－e－2b， 即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)
的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致
图象，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图3
图2 图4
(2)(2021·湘潭模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax2＋2ax 有两个极值点，则 a 的
画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)
的极大值点，满足题意.
从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；
图1
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数 f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值一、基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](优质试题·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3.[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (优质试题·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[专题训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(优质试题·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1； 由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (优质试题·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [专题训练]1.(优质试题·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32， 所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1<x<－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，－a)上单调递减；当－a<x<e时，f′(x)>0，所以f(x)在(－a，e)上单调递增，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，所以a＝－ e.综上，a＝－ e.[课时跟踪检测]A级1．(优质试题·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18C．3 D．0解析：选A∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，∴M＝1，N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.2．(优质试题·梅州期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(优质试题·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝12x2＋x ln x－3x的极值点一定在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．(3,4)内解析：选B函数的极值点即导函数的零点，f′(x)＝x＋ln x＋1－3＝x＋ln x －2，则f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：选D由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.5．(优质试题·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22，当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0.∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22.7．(优质试题·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，。
函数的最大值与最小值
1 1 2 2 思考:证明不等式: 思考 证明不等式 ln x + − ( x − 1) ≥ 1 + (1 − x)3 ( x > 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x) = ln x + − ( x − 1) + ( x − 1)3 ( x > 0). 证:设 设 x 2 3 1 1 2x + 1 ′( x) = − 2 − ( x − 1) + 2( x − 1)2 = ( x − 1)3 ⋅ 2 , 则f x x x
如图,在二次函数 在二次函数f(x)= 思考: 如图 在二次函数 的图象与x轴所 4x-x2的图象与 轴所
y
围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 内接矩形 求这 个矩形的最大面积. 个矩形的最大面积 x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 设 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 故矩形ABCD的面积 从而 故矩形 的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令 f ′( x) = 0 ,结合 结合x>0得x=1. 得 结合 而0<x<1时, f ′( x) < 0;x>1时, f ′( x) > 0 ,所以 所以x=1是f(x)的 时 时 所以 是 的 极小值点. 极小值点 所以当x=1时,f(x)取最小值 时 取最小值f(1)=1. 所以当 取最小值
复习
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时 判别 0)是极大 小)值的 判别f(x 是极大 是极大(小 值的 当函数 在 处连续时,判别 方法是: 方法是 右侧f ①如果左侧f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 , 如果左侧 ） 右侧 那么,f(x0)是极大值 那么 是极大值; 是极大值 ②如果左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 , 右侧f 那么,f(x0) 是极小值 是极小值. 那么
《函数的极大值与极小值》ppt课件
x3
3
4x
4)
'
=
x2
4
=
(
x
2)( x
2)
3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x)
↗
28
极大值3
↘
极小值
4 3
↗
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 28
当当a=-1/2时，f 由 f ( x) = 0 得
( x) = 3x2 3
x
=
1
2
或
2
x 3 2
x=
=
1
3( x
，
1)(
x
1 2
)
列表如下：
x
(, 1) 1
2
2
f (x) + 0
( 1 ,1) 2
－
1 (1, ) 0+
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z
在x=1时取极小值，符合题意． 综上a=-1/2．
函数f(x)的极大值为f(2)=
4 e2
14
例3.函数y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有
极值，(1)求a、b的值．
(2)求出极值并指出是极大值还是极小值
解：
y ' = (a ln x bx2 x) ' = a 2bx 1
x
由题意,在x=1和x=2处,导数为0
∴
a a 2
2b 1 = 0 4b 1 = 0
[整理]11第十一讲二元函数的微分与极值
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泰山学院信息科学技术学院教案)0,0(0,02122)0,0(),(22)0,0(),(f yx xy liny x liny x y x ==+=+→→所以函数在点(0,0)处连续；由偏导数的定义知f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0；但函数在(0, 0)不可微分,这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρρ])0 ,0()0 ,0([lim0y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆→21limlim220220=+=+=→→x x xxy x xyx ρ.不趋向0.4、偏导数的求法（1）复合函数求导法),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yvv f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例5：（1）x v x u v u z cos ,sin ,ln ===,求dxdz （2）),,(22z xy y x x f u =,求zx uy u z u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,, , 【解】(1)x x x x x v ux v dx dv v z dx du u z dx dz sin tan cos ln cos sin cos .ln -=-=∂∂+∂∂=(2) /32/2/12zf y xyf f x u++=∂∂/3/222xyzf f x y u+=∂∂ ]2[22]2[//33//322/3//23//222222xyzf f x xyz xzf xyzf f x x yu ++++=∂∂=//33222//323/3//233//2244222f z y x yzf x xzf yzf x f x ++++2//332/322//23//13222xy zf y f y xy xyf f xy zx u ⋅++⋅+=∂∂∂ //334/32//2332//1322zf xy f y f y x f xy +++=（2）隐函数求导法若函数),(y x z z =由方程0),,(=z y x F 确定，方程两边关于x 求导，0=∂∂+x Z F F z x ，所以，zx F F x Z -=∂∂，同理，z y F F y Z-=∂∂ 例6：再由2)1,1(=f ，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f（下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面0),,(=z y x f 在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0y 0z 0)(x -x 0)+F y (x 0y 0z 0)(y -y 0)+F z (x 0y 0z 0)(z -z 0)=0.法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.例16： 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式.【解】 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14,F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6.法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3).所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0.法线方程为332211-=-=-z y x 2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u =f (x , y ，z )在点P 0(x 0, y 0,z 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),,(000z y z l f∂∂γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000z y x f z y x f z y x f z y x ++=,其中cos α, cos β,γcos 是方向l 的方向余弦.。
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
高中数学选择性必修修二第1课时 函数的极值
5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值基础过关练题组一函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点x2,则f(x)()3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值4.函数f(x)=x+2cos x在[0,π2]上的极大值点为()A.0B.π6C.π3D.π25.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二含参函数的极值问题6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则()A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m 的取值范围是()A.m<12B.0<m<12C.m>12D.0<m<18.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是.9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m=,n=.10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.题组三函数极值的综合应用11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是()A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为()A.52B.3C.72D.214.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)=.15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x0及函数f(x)的表达式.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.深度解析17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.能力提升练题组一函数极值的求解及其应用1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个 2.()已知函数f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为( )A.0 B .-427C.-527D.13.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.f(x)在(-3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时, f(x)取得极小值 4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=√x -aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a 的值; (2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.题组二 含参函数的极值问题 5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax 3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( ) A.0 B .1 C.2 D .46.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a ≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,又无极小值7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)={x 2-(3m +1)x +3,x ≤0,mx 2+xlnx,x >0恰有三个极值点,则m 的取值范围是( ) A.(-12,-13)B.(-12,0))C.(-1,-13)D.(-1,-128.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=a+x2的极值点,则实数xa的值为.易错9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.x2-ax+ln x(a∈R). 10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=12(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值范围.(2)设a<e+1e题组三函数极值的综合应用11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1x-x2的图象大致是()12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)A.(-e,e)B.[-e,e]C.(-1,1)D.[-1,1]13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1x上两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=12ax2-ax-ln x的两个极值点,则直线AB与椭圆x 24+y2=1的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是()A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>015.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是()A.若a≤0,则函数f(x)没有极值B.若a>0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是(-∞,1e)D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪{1e}16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案全解全析 基础过关练1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1−x 2x(x>0),当x>1时, f'(x)<0, 当0<x<1时, f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值. 故选B.4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x, 令f'(x)=0,得x=π6,当0<x<π6时, f'(x)>0;当π6<x<π2时, f'(x)<0.∴当x=π6时,f(x)取得极大值.5.解析(1)由题意得,f'(x)=3x2-6x-9,令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22. (2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2(x 2+1)−4x2(x2+1)2=-2(x-1)(x+1)(x2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1. (3)由题意得, f'(x)=2x-2x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去), 当x ∈(0,1)时, f'(x)<0, 当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值. 6.C 由题意得, f'(x)=1x -ax 2=x -a x 2,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a, 令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 故f(x)的极小值为f(a),无极大值,当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=12e x .∵x<0,∴0<12e x <12,∴0<m<12.8.答案 [0,3]解析 由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R), 得f'(x)=3x 2+2ax+a.∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上, ∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立, ∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3, ∴a 的取值范围是[0,3].9.答案 2;9解析 由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n, ∴{f'(-1)=3-6m +n =0,f(-1)=-1+3m -n +m 2=0, 解得{m =1,n =3或{m =2,n =9.当{m =1,n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.10.解析 (1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1x+1,则切线斜率k=f'(1)=2,又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1), 所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax 2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax 2+(1−a)x+1x(x>0),当a ≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值. 当a>0时,g'(x)=-a(x -1a)(x+1)x ,令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),所以当x ∈(0,1a )时,g'(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g'(x)<0,所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是(0,1a ),单调递减区间是(1a ,+∞),所以当x=1a 时,g(x)有极大值g (1a )=12a -ln a,综上,当a ≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值12a -ln a,无极小值.11.D f'(x)=12x 2-2ax-2b, ∵f(x)在x=1处有极值, ∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又a>0,b>0,∴a+b ≥2√ab ,∴2√ab ≤6, ∴ab ≤9,当且仅当a=b=3时等号成立, ∴ab 的最大值为9.12.A 因为函数f(x)=(x 2-m)e x ,所以f'(x)=e x (x 2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x (x 2+2x)=e x (x+2)x,因为e x >0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A. 13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x 3+12x 2-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1)和(23,+∞)上单调递增,在(-1,23)上单调递减,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.14.答案 1解析 由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由{f'(-1)=3m -2n +p =0,f'(2)=12m +4n +p =0, 解得{p =−6m,2n =−3m,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m, ∴f'(1)f'(0)=1.15.解析 (1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b. ∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0), ∴{b =0,12+4a +b =0,解得{a =−3,b =0. (2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x, 令f'(x)>0,得x>2或x<0, 令f'(x)<0,得0<x<2.∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x 3-3x 2-1. 16.解析 (1)由题意得, f'(x)=6x 2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得{f'(1)=6+6a +3b =0,f'(2)=24+12a +3b =0,解得{a =−3,b =4,经检验a,b 均符合题意. (2)由(1)可知,f(x)=2x 3-9x 2+12x+c, f'(x)=6x 2-18x+12=6(x-2)(x-1), 令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x<1或x>2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,∴{f(1)=5+c >0,f(2)=4+c <0,解得-5<c<-4. 方法技巧 解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系. 17.解析 (1)由题可得,f'(x)=e x (ax+a+b)-2x-4. 由已知得{f(0)=b =4,f'(0)=a +b -4=4,解得{a =4,b =4.(2)由(1)知,f(x)=4e x (x+1)-x 2-4x, f'(x)=4e x (x+2)-2x-4 =4(x+2)(e x -12).令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x ∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e -2).能力提升练1.A 设y=f'(x)的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4.由题图知,当a<x<x 1时,f'(x)>0,当x 1<x<x 2时,f'(x)<0,所以x 1是极大值点;同理,x 2是极小值点,x 4是极大值点.又当x 2<x<x 3时, f'(x)>0,当x 3<x<x 4时, f'(x)>0,所以x 3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A. 2.A 由题知f'(x)=3x 2-2px-q, f'(1)=3-2p-q=0, f(1)=1-p-q=0, 联立{3−2p -q =0,1−p -q =0,解得{p =2,q =−1.∴f(x)=x 3-2x 2+x, f'(x)=3x 2-4x+1. 令f'(x)=3x 2-4x+1=0, 解得x=1或x=13,经检验知x=1是函数f(x)的极小值点, ∴f(x)极小值=f(1)=0.3.CD f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A 错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B 错误;由题图可知,当x ∈(1,2)时, f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析 (1)因为f(x)=√x -aln x, 所以f'(x)=2√x -ax (x>0),所以f'(1)=12-a.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.(2)f'(x)=2√x -a x =√x -2a2x.①当2a ≤1,即a ≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增, 所以y=f(x)在[1,4]上无极值;②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立, 所以y=f(x)在[1,4]上单调递减, 所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当1<2a<2,即12<a<1时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b3a ,所以M+m=4,故选D.6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a)2x=(x-a)(2lnx +1−ax)(x>0),令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-a x=0.作出g(x)=2ln x+1和h(x)=a x的图象(图略),易知g(x)=2ln x+1和h(x)=ax的图象有交点,所以方程2ln x+1-ax=0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.7.A 由题可知f'(x)={2x -(3m +1),x ≤0,2mx +lnx +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=lnx+1x,令g(x)=lnx+1x,则g'(x)=-lnx x 2,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示, 所以当0<-2m<1,即-12<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=3m+12<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-13.8.答案 2解析 由f(x)=ax+x 2,得f'(x)=-ax2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2. 此时f'(x)=2(x 3-1)x 2,当x<1时, f'(x)<0;当x=1时, f'(x)=0;当x>1时, f'(x)>0.因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.易错警示 已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x 的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.9.解析 (1)由已知得f'(x)=e x (ax 2+2ax+1),因为f(0)=1, f'(0)=1, 所以所求切线的方程为y=x+1.(2)证明: f'(x)=e x (ax 2+2ax+1),令g(x)=ax 2+2ax+1,则Δ=4a 2-4a. (i)当Δ≤0,即0<a ≤1时,∀x ∈R,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R 上是单调递增函数,此时函数f(x)在R 上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x 1,x 2是方程ax 2+2ax+1=0的两个根,不妨设x 1<x 2,则{x 1+x 2=−2<0,x 1x 2=1a>0,所以x 1<x 2<0.当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数y=f(x)的极小值为f(x 2),又因为函数y=f(x)在[x 2,0]上单调递增,所以f(x 2)<f(0)=1. 所以函数y=f(x)的极小值小于1.10.解析 (1)由已知得f'(x)=x+1x -a(x>0,a ∈R).①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1x在(0,+∞)上恒成立,又x+1x∈[2,+∞),所以a ≤2.②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1x在(0,+∞)上恒成立,又x+1x∈[2,+∞),所以a ∈⌀.因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2. 又a<e+1e,所以2<a<e+1e.设f'(x)=x+1x -a=x 2-ax+1x =0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分别为x 1,x 2,于是{x 1+x 2=a,x 1x 2=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2), 所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)=(12x 12-ax 1+ln x 1)-(12x 22-ax 2+ln x 2) =12(x 12-x 22)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2) =-12(x 12-x 22)+ln x1x 2 =-12(x 1x 2-x2x 1)+ln x1x2. 令t=x 1x 2,t ∈(0,1),则S=-12(t -1t)+ln t. 又t+1t=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=a 2-2∈(2,e 2+1e 2),所以1e 2<t<1.所以S'=-12(1+1t 2)+1t =-12(1t-1)2<0, 所以S=-12(t -1t )+ln t 在(1e 2,1)上为减函数.所以S ∈(0,e 4-4e 2-12e 2).11.D 令y=1x -x 2=0,得x 3=1,解得x=1.因此选项A 、C 中的图象不正确;y'=-1x2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-√123,因此,x=-√123是函数y=1x-x 2的唯一的极大值点,因此,当x<-√123时,y'>0,当-√123<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.12.A当x>0时,f'(x)=ln x+1-2ex ,f″(x)=1x+2ex2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m∈(-e,e),故选A.解题模板利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C由f(x)=12ax2-ax-ln x,得f'(x)=ax-a-1x =ax2-ax-1x,因为A,B的横坐标x1、x2是函数f(x)=12ax2-ax-ln x的两个极值点,所以x1、x2是方程ax2-ax-1=0的两根,因此{x1+x2=1, x1x2=−1a, a≠0,又点A,B为曲线y=1x 上两个不同的点,所以k AB=1x1-1x2x1-x2=-1x1x2=a,因此直线AB的方程为y-1x1=a(x-x1),即y=ax-ax1+1x1=ax-ax1-ax2=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1), 即直线AB 恒过定点(1,0),显然点(1,0)在椭圆x 24+y 2=1内,因此直线AB 与椭圆x 24+y 2=1必相交.故选C.14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0), ∴f'(x)=ln x+1+2x,易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增,f'(1e )=2e >0,∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1e ,∴A 正确,B 错误. ∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 02+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1x,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.当a>0时,在(0,1a )上f'(x)<0, f(x)单调递减,在(1a ,+∞)上f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =f (1a )=1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即a=1e时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即0<a<1e时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD. 16.证明 (1)设g(x)=f'(x)=1x -1+2cos x,当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减, 又因为g (π3)=3π-1+1>0,g (π2)=2π-1<0,所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α. (2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增; 当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减, 所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点α(π3<α<π2),所以f(α)>f (π2)=ln π2-π2+2>2-π2>0,又因为f (1e 2)=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1e 2+2<0, 所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点, 又因为f(π)=ln π-π<2-π<0, 所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点, ②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x, 设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减, 所以h(x)≤h(π)<0,所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立, 所以f(x)在[π,2π)上没有零点. ③当x ∈[2π,+∞)时, f(x)≤ln x-x+2, 设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1x -1<0,所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。
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例题讲解
例1. 设函数f ( x ) 2 x 3(a 1) x 6ax 8其 中a R . （1） f ( x )在x 3处取得极值，求常数 a的值； （2）若f ( x )在( ， 0)上为增函数，求 a的取值 范围？
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例讲解
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例3. 设函数f ( x ) x ax 2 x b， ( x R )其 中a、b R. 10 （1）当a 时，讨论函数 f ( x )的单调性； 3 （2）若函数f ( x )仅在x 0处有极值，求 a的取 值范围； （3）若对于任意的 a [2， 2]，不等式f ( x ) 1在 [1， 1]上恒成立，求 b的取值范围 .
例题讲解
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3 例2. 已知f ( x ) 4 x 3 x cos cos （其 16 中x R，为参数， 0 2 .） （1）当cos 0时，判断函数 f ( x )是否有极值； （2）要使函数f ( x )的极小值大于 0，求参数 的取值范围 .