一元函数微分学6.3 函数的最值及应用
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
微积分中的极值与最小极值
微积分中的极值与最小极值微积分是数学中的一门重要课程，其中极值与最小极值是微积分中常见的概念。
在实际问题中，我们常常需要找出函数的极值或最小极值，以便解决问题。
本文将探讨微积分中的极值与最小极值以及其在实际运用中的意义和应用。
一、极值及其定义极值指的是在函数定义域内某一点处函数取得的最大值或最小值。
对于一元函数 f(x)，如果它在 x=a 处取得了一个极大值，那么f(a) 就是该函数在定义域内的一个最大值；如果它在 x=b 处取得了一个极小值，那么 f(b) 就是该函数在定义域内的一个最小值。
通常来说，确定函数的极值需要找到函数的驻点和边界点。
其中，驻点指的是函数导数为零或不存在的点，在这些点上函数可能取得极值；边界点则指的是函数定义域的端点，这些点也可能是函数的极值点。
二、一元函数的最小值对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值；如果它在一个区间 [a,b]内单调递减，那么 f(b) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值。
此外，如果该函数具有唯一的最小值点 c，那么我们可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最小值点：1. 如果 f''(c) > 0，那么 f(c) 是该函数在其定义域内的一个最小值点；2. 如果 f''(c) < 0，那么 f(c) 不是该函数的极值点；3. 如果 f''(c) = 0，那么需要另外的方法来判定该点是否是函数的最小值点。
三、一元函数的最大值与一元函数的最小值类似，对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递减，那么 f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最大值；如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么 f(b) 就是该函数在区间[a,b] 内的最大值。
同样地，如果函数具有唯一的最大值点c，可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最大值点。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§ 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
、导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' <设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
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一．闭区间上连续函数的最值 定理 闭区间上的连续函数必有最大值与最小值. 求连续函数 y f (x)在闭区间[a,b]上最值的步骤如下： （1）求 f (x)； （2）求 y f (x)的驻点与不可导点； （3）求出函数 y f (x)在驻点、不可导点和区间端点的函
数值，并对其进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者 就是函数的最小值.
则有
g(x)
x2
20x x
400 ， 其中
x
(0,)，
g(x) 1 400 ， x2
令 g(x) 0，得 x 20，
由实际可知，当产量 x 20吨时，该公司每吨产品的平均成本最低， 每吨产品的最低平均成本为 g(20) 202 20 20 400 60（千元）.
20
例 6 如图所示，公司要用每平方米为0.4万元的不锈钢板建造一个
（2）储油罐的表面积 s 2r 2 2rh 2r 2 2r V r 2 2r 2 500 （其中 r 0），
r s 4r 500 ,
r2 令 s 0得r 5,
当r 5时h 10，由实际可知，此时储油罐所用材料最省，
储油罐所用材料的费用为0.4(2 52 2 5 10) 188.4（万元）.
解（1）点 D 选在 AB 的中点，则
铁路长 BD 50，公路长CD 202 502 10 29
若设铁路每吨公里的运费为3k ，则公路每吨公里的运费为5k ，
于是，每吨货物从工厂运到销售地的运费为：
50 3k 10 29 5k 419.25k . (2) 设 D点选在距离 A点 x公里处， 则铁路长 BD 100 x，公路长CD 400 x2 ，
容积V 250 立方米的圆柱形储油罐，(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3.14)
（1）若储油罐的底面半径为10 米，求储油罐的材料费用，
（2）要怎样设计，建造储油罐所需材料费最少，最少是多少？
解 用r表示储油罐的底面半径，h表示高，s表示表面积.
（1）当r 10时，由圆柱体的体积V r 2h得其高 h 2.5米， 储油罐的表面积 s 2r 2 2rh 250 ， 储油罐的材料费用为0.4 250 314（万元）.
2 答案 最大值为1，最小值为 3 .
2
例 2 求函数 f (x) 1 sin3 x sin 2 x 3的最值. 3
解 令sin x t ，可得 g (t) 1 t3 t 2 3，其中 t [1,1]， 3
g(t) t 2 2t ，
令 g(t) 0得t 0与t 2（舍去），
由于 x 1是函数唯一的一个极小点，所以函数的最小值为 f (1) 3，
函数无最大值.
例 5 一公司生产某产品 x（单位：吨）的总成本c（单位：千元） 为c x2 20x 400，该公司的产量为多少吨时，每吨产品的平均成
本最低？最低是多少？
解 用 g(x)表示产量为 x吨时每吨产品的平均成本，
因此，求开区间内只有一个极值点的连续函数的最值就是求函 数的极值.
例如二次函数的极大值就是其最大值，极小值就是其最小值.
例 4 求函数 y x4 4x的最值. 解 函数的定义域为(,)，
y 4x3 4
令 y 0得 x 1,
当 x 1时 y 0，故函数在(,1)内单调递减， 当 x 1时 y 0，故函数在(1,)内单调递增， x 1是函数的一个极小点，极小值为 f (1) 3，
二. 开区间内只有一个极值点的连续函数的最值
设 x0是连续函数 y f (x)在区间(a,b)内唯一的一个极大点，若
x0是一个极大点，则函数只有最大值而没有最小值，若 x0是一个极
小点，则函数只有最小值而没有最大值.
若连续函数 y f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点，则该极值
点所对应的极值就是函数的最值.
由于 g (0) 3， g (1) 5 ， g (1) 7 ，
3
3
故函数 g (t)在闭区间[1,1]上的最大值为3，最小值为 5 ， 3
于是，函数 f (x)的最大值为3，最小值为 5. 3
例 3 如下图所示，
A
D
B
C
铁路线 AB 段的距离为 100 公里,工厂 C 距离 A 处为 20 公里,工 厂为了将产品运输到销售地 B 处，需要在铁路线 AB 上选定一点 D 修 建一个货物转运站和一条工厂到转运站公路.若每吨公里货运铁路 与公路的运费之比为 3:5.(1)若点 D 选在 AB 的中点，求每吨货物从 工厂 C 到销售地 B 的运费,（2）为了使每吨货物从工厂 C 到销售地 B 的总运费最省,问 D 应选在何处？
若设铁路每吨公里的运费为 3k ，则公路每吨公里的运费为5k ，
用 y表示每吨货物从工厂运到销售地的运费，
则有 y 3k (100 x) 5k 400 x2 ，其中 x [0,100]， y 3k 5k ， 400 x2
令 y 0，得 x 15， y x15 380k , y x0 400k ， y x100 50 104k ， 由此可知，当 D 点选在距离 A点15公里时，工厂每吨货物的运费最低.
例 1 求函数 f (x) x4 8x2 6在闭区间[1,3]上的最值.
解 因为初等函数 f (x)在[1,3]上有意义，所以函数 f (x)在[1,3]
上是连续的，
f (x) 4 x3 16 x
令 f ( x) 0 得 x1 2 （舍去）， x2 0 ， x3 2
f (0) 6 ， f (2) 10， f (1) 1， f (3) 15 比较可得，函数 f ( x)在[1,3]的最大值为 f (3) 15，最小值为 f (2) 10. 练习 求函数 f ( x) x 3 3 ( x 1)2 在闭区间[0,2]上的最值.