一元函数的最值模型
一元函数的最值与最值问题
一元函数的最值与最值问题一、介绍在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的输入仅为一个实数。
最值问题是指确定一元函数在给定定义域范围内的最大值和最小值。
本文将探讨一元函数的最值求解方法和最值问题的应用。
二、一元函数的最值求解方法在求解一元函数的最值问题之前，我们需要了解一些求导相关的基本概念和方法。
1. 导数一元函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以表示为函数 f(x) 在给定点 x 处的极限值，记作 f'(x) 或 df/dx。
导数有助于确定函数的局部极值点。
2. 求导法则求导法则是求解导数的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
通过运用这些法则，我们可以计算函数的导数，从而找到函数的极值点。
3. 极值点一元函数的极值点是指函数取得最大值或最小值的点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
极值点可以通过求导和解方程的方法找到，即令导数等于零并解方程。
三、最值问题的应用最值问题在实际生活中具有广泛的应用，尤其在优化和最优化领域中。
下面介绍一些常见的最值问题应用。
1. 最大收益问题在经济学和管理学中，最大收益问题是指在给定约束条件下最大化某种资源的利润或收益。
通过建立数学模型，可以将问题转化为一元函数的最大值问题，并运用最值求解方法找到最优解。
2. 最短路径问题在运输和网络领域中，寻找最短路径是一种常见的最值问题。
通过将道路或网络抽象为图论模型，可以利用一元函数的最值求解方法找到起点到终点的最短路径。
3. 优化设计问题在工程和设计领域中，优化设计问题是指寻找最优解以满足给定约束条件的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过优化一元函数的最值来确定最佳材料用量、结构形式等。
四、总结一元函数的最值与最值问题是数学中的重要概念和应用。
本文介绍了一元函数的最值求解方法，包括导数、求导法则和极值点的求解。
同时，我们也探讨了最值问题在实际生活中的应用，如最大收益问题、最短路径问题和优化设计问题等。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义在数学中，一元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
极值点可以是函数的局部最大值或局部最小值，也可以是函数的全局最大值或全局最小值。
下面我们将详细介绍一元函数的极值定义及其应用。
一元函数的极值定义对于一个一元函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么我们称点x=a为函数f(x)的极值点。
如果f''(a)>0，则称点x=a 为函数f(x)的局部最小值点；如果f''(a)<0，则称点x=a为函数f(x)的局部最大值点。
如果f(x)在定义域内的任意点处都比点x=a处的函数值大（或小），则称点x=a为函数f(x)的全局最小值点（或全局最大值点）。
应用一元函数的极值在数学和实际问题中具有重要意义。
在数学中，通过求函数的极值点，我们可以找到函数的最值，进而推导出函数的性质和特点。
在实际问题中，极值点可以用来解决最优化问题，比如在经济学中，找到成本函数或收益函数的最大值点可以帮助企业做出最佳决策；在物理学中，找到能量函数或路径函数的最小值点可以帮助预测物体的运动轨迹。
除了通过求导数的方法找到极值点外，我们还可以通过二分法、牛顿法等数值方法来寻找函数的极值点。
这些方法在实际问题中也有着重要的应用价值。
总结一元函数的极值定义为函数在某个点处取得的最大值或最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步推导出函数的性质和特点。
极值点在数学和实际问题中都具有重要意义，可以帮助我们解决最优化问题，预测物体的运动轨迹等。
希望通过本文的介绍，读者能对一元函数的极值有一个更加深入的理解。
最值问题详解【一元分析学经典讲义】
16 4096 故 s( ) = 为所有三角形中面积的 最大者 . 3 27
可以用最值证明不等式. 可以用最值证明不等式
注：若区间非闭或无限，且有唯一极值，则该极 若区间非闭或无限，且有唯一极值， 值为最值；此时若有多个极值， 值为最值；此时若有多个极值，先判断区间两端 点或无穷远处函数的变化趋势， 点或无穷远处函数的变化趋势，再考虑从极值中 找最值。 找最值。 例
lim y = +∞
2 + ln x y′ = 2 x
y = x ln x
三、小结
注意最值与极值的区别. 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念. 最值是整体概念而极值是局部概念 实际问题求最值的步骤. 实际问题求最值的步骤
思考题
若 f (a ) 是 f ( x ) 在[a , b ] 上的最大值或最 小值，且 f ′(a ) 存在，是否一定有 f ′( a ) = 0 ？ 存在， 小值，
二、应用举例
例1 求函数 y ຫໍສະໝຸດ 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 14 的在[−3,4]
上的最大值与最小值 .
解 Q f ′( x ) = 6( x + 2)( x − 1)
解方程 f ′( x ) = 0, 得
x1 = −2, x2 = 1.
f ( −2) = 34; f (4) = 142;
5 、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ _________时 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ 时，做 成的漏斗 的容积 为最大 ？ 此问 题的目 标 函数为 ________________考察区间为 考察区间为_______________. ________________考察区间为_______________. 54 2 二、求函数 y = x − ( x < 0 )的最值 . x n 10 三、求数列 n 的最大项 . 2 要造一圆柱形油灌， 四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 等于多少时，才能使表面积最小？ 高的比是多少？ 高的比是多少？
微积分中的极值与最小极值
微积分中的极值与最小极值微积分是数学中的一门重要课程，其中极值与最小极值是微积分中常见的概念。
在实际问题中，我们常常需要找出函数的极值或最小极值，以便解决问题。
本文将探讨微积分中的极值与最小极值以及其在实际运用中的意义和应用。
一、极值及其定义极值指的是在函数定义域内某一点处函数取得的最大值或最小值。
对于一元函数 f(x)，如果它在 x=a 处取得了一个极大值，那么f(a) 就是该函数在定义域内的一个最大值；如果它在 x=b 处取得了一个极小值，那么 f(b) 就是该函数在定义域内的一个最小值。
通常来说，确定函数的极值需要找到函数的驻点和边界点。
其中，驻点指的是函数导数为零或不存在的点，在这些点上函数可能取得极值；边界点则指的是函数定义域的端点，这些点也可能是函数的极值点。
二、一元函数的最小值对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值；如果它在一个区间 [a,b]内单调递减，那么 f(b) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值。
此外，如果该函数具有唯一的最小值点 c，那么我们可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最小值点：1. 如果 f''(c) > 0，那么 f(c) 是该函数在其定义域内的一个最小值点；2. 如果 f''(c) < 0，那么 f(c) 不是该函数的极值点；3. 如果 f''(c) = 0，那么需要另外的方法来判定该点是否是函数的最小值点。
三、一元函数的最大值与一元函数的最小值类似，对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递减，那么 f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最大值；如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么 f(b) 就是该函数在区间[a,b] 内的最大值。
同样地，如果函数具有唯一的最大值点c，可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最大值点。
一元函数求极值的例题
一元函数求极值的例题《一元函数求极值例题》例题：设函数$f(x)=x^3+5x^2-9x+2$，求$f(x)$的极值点及极值。
解析：要求函数的极值点及极值，需要先求出函数的导数，找到导数为零的点，然后再根据二阶导数的符号确定这些点的极值属性。
首先，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$：$$f'(x)=(x^3+5x^2-9x+2)'=3x^2+10x-9$$令导数$f'(x)$为零，得到方程$3x^2+10x-9=0$。
可以使用求根公式或配方法解得$x=1$和$x=-3/3$。
然后，求函数$f(x)$的二阶导数$f''(x)$：$$f''(x)=(3x^2+10x-9)'=6x+10$$分别代入$x=1$和$x=-3/3$，得到$f''(1)=16$和$f''(-3/3)=-8$。
由于$f''(1)>0$，说明在$x=1$处函数$f(x)$取得极小值。
由于$f''(-3/3)<0$，说明在$x=-3/3$处函数$f(x)$取得极大值。
将$x=1$和$x=-3/3$代入函数$f(x)$，得到极值点和极值：$f(1)=1^3+5(1)^2-9(1)+2=-1$$f(-3/3)=(-3/3)^3+5(-3/3)^2-9(-3/3)+2=10/3$所以，函数$f(x)$的极值点为$x=1$，极值为极小值$f(1)=-1$；极值点为$x=-3/3$，极值为极大值$f(-3/3)=10/3$。
总结：求一元函数的极值，需要先求导数，找出导数为零的点，然后根据二阶导数的符号确定极值的属性。
通过这个步骤，可以确定函数的极值点和极值。
通过本例，我们找到了函数$f(x)=x^3+5x^2-9x+2$的极值点为$x=1$，极值为极小值$f(1)=-1$；极值点为$x=-3/3$，极值为极大值$f(-3/3)=10/3$。
一元二次函数的最值
一元二次函数的最值一、知识整理一元二次函数：形如2,0y ax bx c a =++≠的函数称之为一元二次函数。
一元二次函数有三种形式：一般式：2y ax bx c =++ 顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++ 两根式：12()()y a x x x x =--例如：2243(2)1(3)(1)y x x x x x =-+=--=--一元二次函数图象形状为抛物线，0a >时开口向上，0a <时开口向下，对称轴为2b x a=-. 判别式24b ac ∆=-，0∆>时图象与x 轴有2个交点； 0∆=时图象与x 轴有1个交点；0∆<时图象与x 轴没有交点.根与系数的关系：（韦达定理） 12b x x a +=-，12c x x a=一元二次函数求最值的解题顺序为：化成一般式，说明开口方向、对称轴，说明单调区间，写出最大最小值。
二、例题精讲例1 求223y x x =--，[0,5]x ∈的最值。
解一：223y x x =--开口向上，对称轴为1x =，()f x 在[0,1]上递减，在(1,5]递增。
故()f x 在1x =处有最小值4-，在5x =处有最大值12.解二：如图可知，()f x 在1x =处有最小值4-，在5x =处有最大值12.例2 求2(1)(3)y x x =--，[0,3]x ∈的值域。
解一：2(1)(3)y x x =--2286x x =-+-开口向下，对称轴为2x =，()f x 在[0,2]上递增，在(2,3]上递减，(0)6f =-，(2)2f =，故()f x 的值域为[6,2]-.解二：如图可知，()f x 的值域为[6,2]-.三、练习1、求(21)(1)y x x =--，[0,2]x ∈的值域。
2、求222,[1,3]y x x x =-+-∈-的最大值和最小值。
答案：1、求(21)(1)y x x =--，[0,2]x ∈的值域。
6最值系列之拉普拉斯点
6最值系列之拉普拉斯点拉普拉斯点，又称拉普拉斯极大值和极小值点，是指在曲线上求函数最值时，导数等于零的点。
在数学中，拉普拉斯点是研究函数特性和曲线变化的重要概念。
1. 拉普拉斯点的定义和性质拉普拉斯点定义为函数导数等于零的点。
对于一元函数，若函数的一阶导数等于零，即 f'(x) = 0，那么该点 x 称为拉普拉斯点。
对于多元函数，拉普拉斯点是指梯度向量等于零的点。
拉普拉斯点具有以下性质：- 在拉普拉斯点处，函数的斜率为零，曲线呈水平切线；- 拉普拉斯点可以是函数的极大值、极小值或函数的鞍点；- 拉普拉斯点周围的导数存在符号变化，从正到负或从负到正。
2. 拉普拉斯点的应用拉普拉斯点在数学和科学研究中有广泛的应用，特别是在最优化和优化问题中。
以下是拉普拉斯点的一些应用领域：2.1 函数最值的求解求取函数的最大值或最小值是数学中非常常见的问题。
通过求取函数的拉普拉斯点，我们可以确定函数的极值点，并进一步求解函数的最值。
拉普拉斯点方法是解决函数最值的重要工具之一。
2.2 数据拟合在统计学和数据分析中，数据拟合是常用的技术。
通过拟合曲线，我们可以找到最适合数据集的函数模型。
拉普拉斯点方法可以用于拟合曲线时确定函数的最值点，以提高拟合的准确性。
2.3 优化算法优化算法是在给定约束条件下求取最优解的算法。
拉普拉斯点在优化算法中常用于确定目标函数的极值点，从而指导算法的搜索方向，提高求解的效率和准确性。
3. 总结拉普拉斯点是数学中重要的概念，用于研究函数最值和曲线特性。
通过求解函数的拉普拉斯点，我们可以确定函数的极值点，并且可以应用于函数最值求解、数据拟合和优化算法等领域。
在数学和科学研究中，对拉普拉斯点的理解和应用具有重要意义。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
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拓展思考：
在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业正 一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效果也 成为我国的一个朝阳产业。但中国的汽车市场竞 争仍然十分激烈。随着燃油费的不断上涨，汽车 不一样。若这辆汽车发动机的效率为 p 0.768 0.00012v 。 的油耗成为了购车族关注的焦点。改进发动机的 请问小王 确定汽车的最佳速度。 性能，降低油耗，抑或研发新能源汽车已经成为 当前汽车制造商研发的重点课题。在这些课题研 究中，不可避免地要对汽车的各项指标进行定量 检测与分析，而这些均离不开数学这一强大的工具。
令 R ( x ) 0 ， 得驻点 x 2.5 。 把 x 2.5 代入， 得到最大收入 R 31.25 元。
四、模型求解
四、模型求解
Fminsearch是求函数最小值，需将 R(x)=30+x-0.2x2转换成 -R(x)=-30-x+0.2x2。 选择x=3为初始点，在其周围寻找最小 值。
拓展思考：
1.如果本周采摘，每棵树可采摘约15kg， 问题1的其他条件不变。问第几周采摘， 老王的收入最高？ 2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关 系。 3.如果考虑分期采摘，是否会提高收入？
光纤收费标准模型
某地有多家有线电视公司。有限公司A的光纤收 费标准是14元/（月*户），目前它拥有5万个 用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1 元的光纤收费，则可增加5000个新用户。 （1）请根据这一预测，为公司制定收费标准， 以获得最大利益。 （2）如果公司每月每户降低1元的光纤收费，只 增加1000个新用户，又该如何制定收费标准？
拓展思考：
1、如果通过调研发现，该公司最多只能拥 商品的销售量在一定程度上受商品价格的影响。 有5.7万个用户，问该如何制定收费标 一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以并 准。
不是商品的价格越高，企业获利越高。科学合理 2、试分析最佳收费与每降低1元的新增客 地确定商品的价格会使企业获得最佳收益。
2
生产调度模型
佳韵体育专用器材厂收到生产8000个跳水板的订 单。公司目前拥有3台生产跳水板的自动化设 备，每台机器每小时可以生产30个跳水板，每台 机器运转的折旧费是160元，每个跳水板的材料 费为20元。生产过程中，需要一个操作人员全程 管理这些设备，操作人员的劳务费为30元/h。 1、请表示生产8000个跳水板的总费用。 2、问公司购置几台这样的设备，可使成本最低。
微分模型-一元函数最值模型
吕 靖
预备知识
一元函数导数和微分
学习目标
1、掌握建立（一元和多元）函数最值模 型的方法； 2、掌握用求函数驻点的方法求函数的最 值。
教学内容
一、一元函数的最值模型 二、分段函数的最值模型 三、多元函数的最值模型
一元函数的最值模型
在实际生产和生活中，常常遇到求“成 本最低”、“产量最大”、“收入最 高”、“利润最大”、“效率最高”、 “用料最省”、“时间最短”等问题。这 类问题在数学上就是求函数的最大值、 最小值问题，统称为最值问题。
炼油厂 2.5km X 10km
P 灌装点
三、模型的分析与建立
第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为 Q(x)=10+x 此时，苹果的销售单价为 p(x)=3-0.2x 所以第x周采摘时农户所得收入为 R(x)=Q(x)p(x)=(10+x)(3-0.2x) =30+x-0.2x2
四、模型求解
方法一 :将收入函数求导 ，得：
R ( x ) 1 0.4 x
一元函数的最值模型
它是数学上一类常见的优化问题，这类 问题可以表示为以下模型： Max(min)f(x)
其中y=f(x)为目标函数，max(min)分别表 示求最大（最小）值。求解此类问题可 以利用微积分学中的导数知识或是借助 于MATLAB求解。
水果的最佳采摘时间模型
又是一个苹果成熟的季节，老王正 为采摘和出售苹果的时间犯愁。如果本 周采摘每棵树可采摘约10kg苹果，此 时，批发商的收购价为3元/kg。如果每 推迟一周采摘，则每棵树的产量会增 加1kg，但批发商收购价格会减少0.2 元/kg。8周后，苹果会因为熟透而开始 腐烂。问老王第几周采摘，收入最高？
户数量之间的关系。
最佳车速模型
小王准备租用一辆载重为 5t 的货车将一批货物从成 都运往都江堰。为节省高速公路费，他安排司机走老 路。若货车 以 xkm / h(40 x 65) 的速度行驶 ， 每升柴油 可 供货车行驶 400 km ，而此时柴油的价格是 5.36 元 /L，司 x 机的劳务费 是 30 元/h.假设从成都到都江堰的路程为 45km， 请型准备
此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的 收入最高，其中 收入=产量*单价
二、模型假设与变量说明
1、假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘 的情形； 2、假设老王采摘苹果后立即卖给批发商； 3、假设本周每棵树可采摘10kg，且最近8 周内每推迟一周，一棵苹果树会多长出 等质的苹果1kg； 4、假设第x周采摘时每棵树的收入为R(X) 元，x=0对应本周。
作业：
【油管铺设问题】某石化公司要铺设 一根石油管道，将石油从炼油厂输 送到河对岸的石油灌装点，如图， 炼油厂附近有条宽2.5km的河，灌装 点在炼油厂对岸沿河下游10km处。 如果在水中铺设管道的费用为6万 元/km，在河边铺设管道的费用为4 万元/km。试在河边找一点P，使铺 设管道费用最低。