一元函数的极值与最值【精选】
一元函数的最值与最值问题
一元函数的最值与最值问题一、介绍在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的输入仅为一个实数。
最值问题是指确定一元函数在给定定义域范围内的最大值和最小值。
本文将探讨一元函数的最值求解方法和最值问题的应用。
二、一元函数的最值求解方法在求解一元函数的最值问题之前，我们需要了解一些求导相关的基本概念和方法。
1. 导数一元函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以表示为函数 f(x) 在给定点 x 处的极限值，记作 f'(x) 或 df/dx。
导数有助于确定函数的局部极值点。
2. 求导法则求导法则是求解导数的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
通过运用这些法则，我们可以计算函数的导数，从而找到函数的极值点。
3. 极值点一元函数的极值点是指函数取得最大值或最小值的点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
极值点可以通过求导和解方程的方法找到，即令导数等于零并解方程。
三、最值问题的应用最值问题在实际生活中具有广泛的应用，尤其在优化和最优化领域中。
下面介绍一些常见的最值问题应用。
1. 最大收益问题在经济学和管理学中，最大收益问题是指在给定约束条件下最大化某种资源的利润或收益。
通过建立数学模型，可以将问题转化为一元函数的最大值问题，并运用最值求解方法找到最优解。
2. 最短路径问题在运输和网络领域中，寻找最短路径是一种常见的最值问题。
通过将道路或网络抽象为图论模型，可以利用一元函数的最值求解方法找到起点到终点的最短路径。
3. 优化设计问题在工程和设计领域中，优化设计问题是指寻找最优解以满足给定约束条件的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过优化一元函数的最值来确定最佳材料用量、结构形式等。
四、总结一元函数的最值与最值问题是数学中的重要概念和应用。
本文介绍了一元函数的最值求解方法，包括导数、求导法则和极值点的求解。
同时，我们也探讨了最值问题在实际生活中的应用，如最大收益问题、最短路径问题和优化设计问题等。
最值和极值的区别和联系
最值和极值的区别和联系极值与最值的关系是局部与整体的关系。
极值是局部的最概念，而最值是整体的最概念。
也就是说极值是局部的最大或最小值，而最值是整体的最大或最小值。
一元函数中，我们求极值是通过求导数，使导数等于零的点就可能为极值。
这里的逻辑是什么呢？在经济学上有一个概念叫做边际，导数也就是每一个点的边际值。
通过学习定积分，我们知道了，如果要求一个函数的原函数值，那么我们可以求出在这个区间上每一个点所对应的导数值，把所有值相加，也就是原函数值了，图像上也就是导函数所对应区间的面积。
这样我们就可以发现，当边际值为正的时候，那么原函数的值始终是增长的。
当边际值一旦为负，那么原函数的值就开始下降。
因为一元函数是平面上的线，所以在这一条线上的极值是边际值为零所对应的函数取值。
由此我们扩充到二元函数领域。
二元函数相当于一个立体的单元。
我们可以将二元函数理解为等高地形图。
则极值点，也就是每一个峰值和低谷。
而最大值就是峰值最高的那一个点，最小值就是低谷最低的那一个点。
这些峰值和低谷有什么特征呢？垂直于地平面的任意截面，在这些截面平面上，（x0，y0）都是极值此我们可以得出，极值点的必要条件是。
对x的导函数我和y的导函数都存在。
且当这些导函数取（x0，y0）时，它们的值都是零。
那么，它的充要条件是什么呢？这个就要应用到二元函数的泰勒公式。
一元函数的泰勒公式表示的意思是，模拟出一条曲线，是这条曲线无限接近于原来的区县。
而二元函数模拟出来的是一个曲面，这个曲面无限接近于原来的前面。
那怎么求二元函数的极值呢？关于这个内容，我不做赘述，大家可以去查询资料，主要是关于二元函数的泰勒公式推导出来的。
先求出一阶偏导数等于零的方程组，得出（x0,y0）,再通过求二阶偏导数，FXX(x0,y0)=A,FXY(x0,y0)=B,FYY（x0,y0）=C,l 若AC-B2＞0，A＜0。
则有极大值l 若AC-B2＞0，A＞0。
则有极小值l 若AC-B2＜0，则没有极值l 若AC-B2＝0，则可能有极值，也可能没有极值。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义在数学中，一元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
极值点可以是函数的局部最大值或局部最小值，也可以是函数的全局最大值或全局最小值。
下面我们将详细介绍一元函数的极值定义及其应用。
一元函数的极值定义对于一个一元函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么我们称点x=a为函数f(x)的极值点。
如果f''(a)>0，则称点x=a 为函数f(x)的局部最小值点；如果f''(a)<0，则称点x=a为函数f(x)的局部最大值点。
如果f(x)在定义域内的任意点处都比点x=a处的函数值大（或小），则称点x=a为函数f(x)的全局最小值点（或全局最大值点）。
应用一元函数的极值在数学和实际问题中具有重要意义。
在数学中，通过求函数的极值点，我们可以找到函数的最值，进而推导出函数的性质和特点。
在实际问题中，极值点可以用来解决最优化问题，比如在经济学中，找到成本函数或收益函数的最大值点可以帮助企业做出最佳决策；在物理学中，找到能量函数或路径函数的最小值点可以帮助预测物体的运动轨迹。
除了通过求导数的方法找到极值点外，我们还可以通过二分法、牛顿法等数值方法来寻找函数的极值点。
这些方法在实际问题中也有着重要的应用价值。
总结一元函数的极值定义为函数在某个点处取得的最大值或最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步推导出函数的性质和特点。
极值点在数学和实际问题中都具有重要意义，可以帮助我们解决最优化问题，预测物体的运动轨迹等。
希望通过本文的介绍，读者能对一元函数的极值有一个更加深入的理解。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义一元函数的极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
在数学中，极值是函数的重要性质之一，它可以帮助我们了解函数的特性以及解决实际问题。
我们来讨论一元函数的极大值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≥ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极大值。
换句话说，极大值是函数在某一点上取得的最大值。
要确定函数的极大值，我们可以通过求导数来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
具体来说，如果二阶导数大于零，则该驻点是极小值；如果二阶导数小于零，则该驻点是极大值。
接下来，我们来讨论一元函数的极小值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≤ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极小值。
换句话说，极小值是函数在某一点上取得的最小值。
和求极大值类似，我们也可以通过求导数和二阶导数的符号来确定函数的极小值。
在实际问题中，极值的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们可以利用一元函数的极值来研究企业的利润最大化问题。
假设一个企业的利润函数为P(x)，其中x表示生产的数量。
为了确定企业的最佳生产数量，我们可以通过求解P(x)的极大值来找到最大利润对应的生产数量。
同样地，在物理学中，我们可以利用一元函数的极值来研究物体在某一时刻的最大速度或最大加速度。
一元函数的极值也可以用于优化问题的求解。
例如，我们想要在一定的约束条件下，求解一个函数的最大值或最小值。
这类问题被称为约束优化问题，而求解这类问题的方法之一就是利用一元函数的极值。
我们可以将约束条件转化为等式或不等式，然后通过求解等式或不等式的极值来找到函数的最大值或最小值。
一元函数的极值是函数的重要性质之一，在数学和应用领域中都有广泛的应用。
通过求解极值，我们可以了解函数的特性，解决实际问题，并在优化问题中找到最优解。
极值问题详解【一元分析学经典讲义】
二、求下列函数的极值： 求下列函数的极值： 1 、 y = e x cos x ； 2、 y = x ； x2 y 3 、方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ； x12 4 、 y = e , x ≠ 0 . 0, x = 0 证明题： 三 、证明题： 1 、如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 − 3ac < 0 ， 则函数无极值. 则函数无极值. 2、 2 、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 ， 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.
1 x
练习题答案
2、 2、 f ′( x 0 ) = 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无 4、 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e π 2 4 + 2 kπ π e 二、1、极大值 y( + 2kπ ) = ,极小值 4 2 π 2 4 + ( 2 k +1) π π y( + ( 2k + 1)π ) = − e ( k = 0,±1,±2,L) ； 4 2 局部； 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) = e ； 3、极小值 y(0) = −1； 4、极小值 y(0) = 0 .
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
(1)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) > 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) , (1)如果 处取得极大值. 有 f ′( x) < 0，则 f (x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 (2)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) < 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) 处取得极小值. 有 f ′( x) > 0，则 f (x)在x0 处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当x ∈( x0 − δ , x0 )及x ∈( x0 , x0 + δ ) 时, f ′(x) 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f (x)在x0 处无极值.
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
第八节极值与最值
• 使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.
• 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不
一定是极值点。例如,
有驻点( 0, 0 )
• 极值点也可能是偏导数不存在的点。
• 极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.
例： f ( x, y ) y 2 x 2 1 解： f x 2 x 0 , f y 2 y 0 ,
例3 求由方程 x2 y2 z2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x, y)的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0
zx' 0, z'y 0, 代入上式，解得驻点为 P(1,1),
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 求二阶偏导数及判别.
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
zx
(x2 y2 1)2
0,
zy
(x2
y2 1) 2y(x (x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点 (
1, 2
1 2
)
和
(
1 , 2
1 2
)
,
x y
因为
lim
x
x2
y2
1
0
y
即边界上的值为零. z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
一元函数的最值与零点
一元函数的最值与零点一元函数是指只含有一个自变量的函数，其最值和零点是我们在数学中经常研究的重要概念。
在本文中，我们将探讨一元函数的最值以及零点的求解方法。
一、一元函数的最值一元函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
求解一元函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定函数的定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
在定义域内，函数才有意义并且可以求解最值。
2. 导数法求解：通过求解函数的导数，我们可以得到函数的临界点。
临界点是函数取得最值的可能位置。
我们需要求解出这些临界点，并将其与定义域的端点进行比较，找出最大值和最小值。
3. 二阶导数判别法：在确定了临界点后，我们可以通过求解函数的二阶导数来判定每个临界点对应的极值类型。
通过判断二阶导数的正负，可以确定临界点是极大值还是极小值。
4. 求解最值：最后，我们将求解得到的最值与函数的定义域的端点进行比较，确定最大值和最小值的位置。
二、一元函数的零点一元函数的零点指的是函数取值为零的自变量的取值。
求解一元函数的零点可以通过以下步骤进行：1. 方程法求解：将函数等于零转化为方程，通过求解方程，可以得到函数的零点。
我们可以使用一些常用的代数方法，如配方法、因式分解、二次方程公式等来求解方程。
2. 图像法求解：通过绘制函数的图像，在函数与x轴相交的点即为函数的零点。
可以使用计算机软件或者手绘的方式来绘制函数的图像，然后通过观察图像找出函数的零点。
3. 数值法求解：数值法是一种通过迭代计算来求解函数零点的方法，常用的有二分法、牛顿法、割线法等。
数值法适用于那些难以用方程法求解的函数零点的情况。
通过以上方法，我们可以求解一元函数的最值和零点。
这些概念和方法在数学和应用数学中具有广泛的应用，可以帮助我们了解函数的性质、优化问题以及解方程等。
综上所述，一元函数的最值和零点是数学中重要的概念。
通过合适的方法和步骤，我们可以求解一元函数的最值和零点，进而深入理解函数的性质与变化规律。
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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小结 作业
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5 一元函数的极值与最值
目标 •明确极值点可能是哪些点；掌握极值存在的必要、充 分条件；会求函数的极值。 •弄清极值和最值的区别与联系，掌握最值的两种特殊 情况，会求函数的最值。
重点 •讨论函数的单调性 •求函数的极值和最值
难点 极值的应用
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5 一元函数的极值与最值
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 四、极值的应用
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值