无理不等式的解法训练
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ） 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
不等式的解法(一)
ax2+bx+c＞0 （ a＞ 0）
{x｜x＜x1或x＞x2 } {x｜x∈R且
R
x≠x1} {X｜X1＜X＜X2}
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
； 配资杠杆 https:/// 配资杠杆
你做鸟,你小子壹个初阶圣人,还不值得本神去忽悠..."金娃娃得瑟道.根汉咧嘴道："敢不敢接本少壹掌?""小子,玩笑都不会开嘛,真没劲..."金娃娃有些忌惮,赶紧脸不改色の改口.他也奇怪,根汉这小子怎么就练成了现在这样の道法,这家伙尽管只是初阶圣人,但是自己这个中阶圣人,也不敢惹他. 这家伙の招术,竟然有夺の腐朽之义,这壹掌过来,没准就让你变成壹具干尸,太恐怖了."哼!有事说事哈,本少没空和你胡扯!"根汉冷哼道.金娃娃骂道："臭小子,你眼里还有没有无心峰了!还有没有本神这个师兄!""呼呼,你是二师兄好吧..."根汉撇了死胖子壹眼,还真和猪八戒二师兄差不多德形. 金娃娃哼道："反正你小子信不信是你の事情,若是这风之珠拿不到手,到时本神便向老疯子说,是你小子不给力,故意不取此珠の...""呼?"根汉哼道,"若真是事关大师兄唤灵之事,咱自然会去取,若是你丫の忽悠咱,看咱怎么收拾你...""嘿嘿,这就对了嘛,这才是咱の小师弟呀..."金娃娃马上变脸 笑了.根汉有些无奈,这家伙就是如此无耻.（正文贰1玖叁风魅尔）贰1玖肆仙体秘密金娃娃又解释道："这风家乃是上古世家,传到今日已经不知道有多少年头了,甚至有可能是源自上古万族,或者是王族の后代...""风家の实力颇为强大,之前你师兄咱在这里还吃了一些暗亏,没抢到风之珠,想必是 引起了他们の警惕了,所
方程与不等式之无理方程技巧及练习题含答案
解得：x1=-2，x2=1，
检验得x2=1不是方程的根，
故 ，
故答案为
【点睛】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．
9．方程 的根为．
【答案】x=3
【解析】
两边平方得x+6=x2,解一元二次方程得x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为
【详解】
解：∵ ，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为：x=2.
【点睛】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
12．方程 的解为_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
【详解】
解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】
此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
14．方程 的解是_____．
【答案】x＝﹣1．
【解析】
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
常见不等式的解法
常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
无理不等式的解法
⊙ 1 2
4 3
⊙
●
3
所以，原不等式的解集为
x | x 3
根式不等式的解法-------类型（1）
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) g ( x)
g(x) 0 f ( x) 0 或 2 f(x) [g(x)] g ( x) 0
根式不等式的解法------例3 解不等式 x 27 2x 3 0 解：原不等式可化为 x 27 2x 3
根据根式的意义及不等式的性质，得 x 27 0 2x 3 0 x 2 7 ( x 3) 2 解这个不等式组，得
小结：
1. 2. 3. 4.
f ( x) g ( x)
f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0 (1) f ( x) g( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 (2) f ( x) g( x) 0 或f ( x) 0 f ( x) 0
解这个不等式组（1），得
3 3 ● ● x | x 27 x | x x | 2 x 9 x | x 9 3 27 2 9 2 2 2
解这个不等式组（2），得
3 3 x | x 27 x | x x | 27 x 2 ●
无理不等式的解法
无理不等式的解法课件
答案解析
要点一
解析2
首先移项，然后两边平方，化简后求解。
要点二
解法
将原不等式变形为$\sqrt{3}x + \sqrt{2} - 2x - 1 > 0$， 即$(\sqrt{3} - 2)x > - \sqrt{2} + 1$，两边平方得 $(\sqrt{3} - 2)^{2}x^{2} > (- \sqrt{2} + 1)^{2}$，化简 得$(5 - 2\sqrt{6})x > - (5 - 2\sqrt{6})$，解得$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，即$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$，所以原不等式的解集为$x < \frac{- (5 - 2\sqrt{6})}{5 - 2\sqrt{6}}$。
易错点分析
忽略根式非负性的限制
在解无理不等式时，学生容易忽略根式非负 性的限制，导致解题错误。
忽视不等式的解集
在解无理不等式时，学生容易忽视不等式的 解集，导致解题错误。
对绝对值的理解不准确
在将根式转化为绝对值时，学生容易对绝对 值的意义理解不准确，导致解题错误。
对负数开平方的错误认识
学生容易认为负数不能开平方，从而在解无 理不等式时出现错误。
中等难度无理不等式例题
总结词
掌握中等难度的无理不等式解题技巧，提高解题能力。
详细描述
通过几个中等难度的无理不等式例题，讲解如何利用平方差公式、不等式的基本性质等技巧解题，并注重解题思 路和方法的讲解。
高难度无理不等式例题
总结词
深入探究高难度无理不等式的解法，拓展解题思路。