无理不等式的解法
不等式的解法举例
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．解题思路：作出相应函数的图象草图。
具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。
然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。
作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
无理不等式的简捷解法
无理不等式的简捷解法
马公正
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1995(000)006
【摘要】无理不等式（g（x））<sup>1/2</sup>>Q（x）或（g（x））
<sup>1/2</sup><Q（x）的解法,一般是转化为有理不等式求解,在这转化中,首先应考虑偶次根号下,x的允许值范围,又要考虑两端为正时,方可施行平方运算,进而需要分类讨论,因而步骤冗长,进程缓慢,学生总难得到完整解答,若能灵活应用函数,方程
【总页数】3页(P29-30,11)
【作者】马公正
【作者单位】重庆市北碚区实验中学 630700
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.一类无理不等式的换元解法 [J], 张建群
2.无理方程的几种简捷解法 [J], 刘寿康;
3.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
4.无理方程DE几种简捷解法 [J], 王守翰
5.几类无理方程的简捷解法 [J], 王耀富
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高一 数学 必修 不等式 第三讲 简单的高次、分式和无理不等式
易错提醒：把未知数前面 的系数变为正值的时候不 等号方向要改变 ．
例 2．已知 a，b，m 都是正数，并且 a < b，求证： a m a bm b
【解析】
证明： a m a b(a m) a(b m) m(b a)
特殊的高次不等式的解法
根轴法（零点分段法，穿针引线法）步骤： ① 不等式化为 ( x x1 )( x x2 )...(x xn ) 0( 0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；（为了统一方便） ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
典题剖析
题型一：分式不等式的解法
A．x|
34≤x≤2
B．x|
34≤x＜2
）
C．x|
x≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
例 4． 3 7
题型三：简单的无理不等式的解法
2 5 （填大于、等于或小于）
思路点拨：简单的无 理不等式的解题关键 是有理化．
技巧传播
陷阱规避
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
A．x|
34≤x≤2
Bx≤34或x＞2
D．{x|x＜2}
【易错典例】不等式32x－－x1≥1 的解集是（
简单的高次、分式和无理不等式
知识要点
分式不等式的解法
解分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）的形式，
g( x)
g( x)
转化为：
f (x)g(x) g(x) 0
0
（或
f (x)g(x) g(x) 0
0
），即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程
无理方程怎么解教师巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程无理方程一般指含有无理数的方程，其中最常见的是双根式方程。
双根式方程是指方程的解可以表示为两个无理数的有理运算。
解决双根式方程的一种有效方法是巧用柯西不等式。
柯西不等式是数学中常用于解决无理不等式的方法之一，也适用于双根式方程的求解。
以下是如何巧用柯西不等式解决高中数学双根式方程的步骤：1.确定方程的形式：双根式方程一般可以写成√a+√b=c，其中a、b、c是已知的实数。
2.假设方程的解为x=√p+√q，其中p和q是要确定的实数。
3. 平方等式：将x = √p + √q 的两边平方，得到x² = (√p +√q)² = p + 2√pq + q。
4. 根据双根式方程的形式，将√a + √b = c 代入x² = p +2√pq + q，得到x² = a + 2√(ab) + b。
5.根据柯西不等式，对于任意两个实数p和q，有(p+q)²≤(1²+1²)(p²+q²)，即p+q≤√(2(p²+q²))。
6. 将x² = a + 2√(ab) + b 的两边应用柯西不等式，得到x² ≤a + 2√(2ab) + b，即x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
7. 比较 x 和√(a + 2√(2ab) + b) 的形式，可以推断出 x 的取值范围为0 ≤ x ≤ √(a + 2√(2ab) + b)。
8. 根据x = √p + √q 的定义，可以得出√p ≥ 0，√q ≥ 0。
同时结合第7步的结论，可以推断出√(a + 2√(2ab) + b) ≥ 0。
9. 根据第8步的结论，可以得出a + 2√(2ab) + b ≥ 0。
10. 根据第9步的结论，可以将x² = a + 2√(ab) + b 改写为x² - (a + 2√(ab) + b) = 0。
无理方程怎么解？教师：巧用柯西不等式速解高中数学双根式方程
无理方程怎么解？教师：巧用柯西不等式速解高中数学
双根式方程
无理方程是指定义域内解不存在的方程组成的类，没有定义的实数解。
柯西不等式是一种有效解决无理方程的方法，也称为解析不等式。
其基本
思想是将表达式x未知变量分开，将两边分解成多个清晰的子问题，从而
解出无理方程。
要求解高中数学双根式方程，可以使用柯西不等式的技巧。
首先，将
双根式方程写成ax^2+bx+c = 0的形式，其中a、b、c是实数；若b^2-
4ac>0,则有二根，此时可以将双根式方程拆成ax^2+bx+c = 0和
ax^2+bx-c = 0两个不等式，并分别解出它们的根。
若b^2-4ac=0,则有一根，此时可以将双根式方程拆成ax^2+bx+c = 0和ax^2+bx+c≥0两个不
等式，并分别解出它们的根。
最后，由于无理方程没有定义的实数解，要
想得出有理方程的实数解，可以在双根式方程结果中进行限制条件排除，
确定有理解。
总之，运用柯西不等式解高中数学双根式方程，步骤如下：首先将双
根式方程写成ax^2+bx+c = 0的形式；其次，根据b^2-4ac的值，将双根
式方程拆分成不等式，并分别解出它们的根；最后，在双根式方程的解中
进行限制条件排除，得出有理解。
绝对值不等式和无理不等式-高中数学专题
绝对值不等式和无理不等式知识精要：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;一． 基本解法与思想 无理不等式解法：例1. 解无理不等式：(1)1-x >2; (2) 1-x >2x －4; (3) 1+x <2x +1.分析：(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎩⎨⎧>-≥-4101x x .(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.解答： (1)化原不等式为:5514101>⇒⎩⎨⎧>≥⇒⎩⎨⎧>-≥-x x x x x .(2)化原不等式为:⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-04201)42()1(042012x x x x x x 或 817171218171722101717422+≤≤⇒<≤+<≤⇒⎩⎨⎧<≥⎩⎨⎧<+-≥⇒x x x x x x x x 或或. (3)化原不等式为两个不等式组:0034211)12(10120122>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≥-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+≥+x x x x x x x x x . 【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力. 绝对值不等式：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
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新教师汇报课教案
课 题：解无理不等式
教学目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解 答无理不等式。
教学过程： 一、新课引入：
前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次 不等式，它们称
为整式不等式，再加上分式不等式，统称为有理不等式， 今天我们学习一下无理不等式的解法。
二、讲解新课
无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研 究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
首先，我们来看 下面这个例题：
例_ 解不等式J3F^ VT 万 0
4 3 3 1 2
这是我们所
要研究的:
0)
定义域 0
g(x)
通过这个例题（题型）我们可以发现
：在解无理不等式的时
候，关键是找出与其同解的有理不等式组，而解有理不等式组
（如：一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次不等式组 等等）都是我们比较拿手的。
简言之：
...不等式的解集是: ( x|x 3}
题型 I:
f(x) ,g(x)型
(f(x)
g(x ) f(x)
无理不等式<=> 有理不等式
即：通常所说的无理不等式的有理化解法。
练习一：解不等式⑴ J i—x 应一2 0 ⑵<5 2x 旅—1
（本练习由两位同学板演，其他同学练习后讲解）
解：⑴移项：，1 x,3x 2
1 x 0x 1 3 d
• •• 3 - - — x 1
3x 2 1 x x 4 4
..•原/、等式的解集为x| - x 1
4
/c、x 1 0x 1 』 c
⑵..1 x 2
5 2x x 1x 2
原不等式的解集为{x|1 x 2}
对两位同学的板演进行讲评，并让同学注意这种题型的结构特征, 在解题过程中不要忘记结合数轴来求几个不等式的解集的交集。
变题：将上例中的⑵变形为：
例二解不等式X 1
让学生回答解这道题的方法或需要注意的有关问题，有同学提到：首先要考虑根式有意义，即 5 2x 0 ,接下来去根号；（如何去？）平方！直接平方后得到的不等式是否与原不等式等价？提醒同学注意：解不等式所进行的变换一定要保证是等价变换。
引导学生思考：
a b a2 b2是否一定成立？
不一定！因为：只有在 a b 0的情况之下，aba2 b2才会成立
而例二中的x 1的符号并不能确定！由此可见：我们需要对x 1的
符号进行讨论。
OK,下面就来做此工作（解题）。
解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集:
5 2x 0
I : x 1 0
5 2x (x 1)2
或口： 5 2x 0 x 1 0
5
x —
25
解I : x 1解□: x2
2x2x 1
即：1 x 2 或x 1
. 原不等式的解集为｛x|x 2｝
这道题可以作为我们所研究的：
f(x)°f(x)
题型□: Jf(x) g(x)型g(x) °或
f(x) [g(x)]2 g(x)
练习二：解不等式.,2x2 3x 1 1 2x
(学生回答，老师板演)
解：原不等式的解集等价于下面物个不等式组解集的并集：
2x23x 1 0
或n : 2x2 3x 1 0
I : 1 2x 0
1 2x 0
2x23x 1 (1 2x)2
x 1 或x —
2解I ：x 1
2
7
-x 0
4T 1
x 1 或x —解□：2
1
x —
2
2
即：1x 0或x1• ■- x 0
22
•••原不等式的解集为｛x|x。
｝
请问学们注意这种题型的解法，正要注总g (x)的正负的讨论，并且原不等式的解集应当是与其等价的两个不等式组解集的并集，尤其要
注意结合数轴找出它们的并集，切记! 但是，如果将上述练习二中的
“>”改为“ <”的话，那么又是另一种戒型. 我们就来倡倡：
例三：解不等式、2x2 3x 1 1 2x
我们可以将其视为： f (x) g(x)型
让学生总结其解法，首先考虑一下是否要讨论g (x)的正负？不需
要！为什么？因为g (x)只能有一种情况，那就是必须为正，即：g (x)>°
f(x) 0 题型m ： . f (x) g(x)型
g(x) 0 f(x) [g(x)]
下面我们详细地写出例三的解答过程。
解：原不等式等价于下列不等式组：
x 1或x -
2x 2 3x 1
2
1 1 2x 0
x — _
2
_
_
2
2
2x 3x 1 (1 2x)
x
-或x 0
2
一一 1
.
..0 x —或x 1
2
1 .
.，•原不等式的解集为{ x |0 x —或x 1 }
三、综合练习：解下列不等式：
1 . 2x 1 x 1 1
解：要使不等式有意义必须:
•■- (J2x 1 1)2 (Jx 1)2 即 2j2x 1 (x 1)
1 -x+1 A 0 .. 2x+1 A 0 即 x —
2
. 原不等式的解集为{x|x 1}
2
本题是一道综合题，在解题的过程中我们可以发现，其实它包括了 题型I 和题型H,只不过较之又稍微复杂了一些，但仔细看看，其实 又简单了一些，如： 2j2x 1 (x 1)中
x+1 > 0,从而(x 1) < 0,解
题时应当注意这些条件。
2. 瞻 x 2 J6x x 2 3
2x 1 0 x 1 0
1 x —
2 x 1
原不等式可变形为
J 2x 1 1 J x 1因为两边均为非负
解：要使不等式有意义必须:
在 0V xV 3 内 0V J 9 x 2 < 3 0< J 6x x 2 < 3
•■- <9 x 2 >3 屈一x
因为不等式两边均为非负
两边平方得：9 x 2 9 6x x 2 6J 6x x 2 即 76x ~丁 >x 因为两边非负，再次平方：6x x 2 x 2解之0<x<3 综合得：原不等式的解集为 { x| 0<x<3}
四、 小结
1 .解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转 化过程中
一定要注意等价变换；
2. 三种题型的等价变形请务必分清，关键是考虑我们以前常常讲 道的无
理根式（函数）的定义域问题；
3. 注意题型II 中原不等式的解集应当是两个不等式组解集的并 集；同时
在解决多个不等式解集的交集问题时，应当结合数轴。
五、 作业：P24练习1、2、3 P25习题6.4 5
9 x 2 0 6x x 2 0
3x3 0x6
0x3。