各类不等式的解法

一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：(1) 对称性或反身性： a>b b<a ；(2) 传递性：若 a>b ， b>c ，则 a>c ； (3)可加性： a>b a+c>b+c ， 此法则又称为移项法则；(4)可乘性：a>b ， 当 c>0 时， ac>bc ；当 c<0 时， ac<bc 。

不等式运算性质(1)同向相加： 若 a>b ， c>d ， 则 a+c>b+d ； (2)正数同向相乘：若 a>b>0， c>d>0，则 ac>bd 。

特例： (3)乘方法则：若 a>b>0，n ∈N +，则 a n b n ；11(4)开方法则：若 a>b>0，n∈N +，则 a n b n11(5)倒数法则：若 ab>0，a>b ，则 。

ab例 1： 1)、 8 6 与 7 5 的大小关系为.2)、设 n1,且 n 1,则n 3 1与 n 2 n 的大小关系是1≤≤13)已知 , 满足 , 试求 3 的取值范围1≤ 2 ≤ 3例 2. 比较 a12与2aa 1的大小。

例 3.解关于 x 的不等式 m(x 2) x m二、一元二次不等式的解法过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集各类不等式的解法元二次不等式 ax 2bx c 0(a 0) 或 ax 2bx c 0(a. 0) 的求解原理： 利用二次函数的图象通41)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例 1 解下列不等式 x － 3 2（1）x ＋7 <0（2）3＋ x <03）x －32－x > 3－x －3 34) x > 1【例题讲解】1.解下列不等式：（1）2x 23x 20 (2)9x 26x 1 0 (3)4x2x5(4)2x 2x 1 02.解不等式组3x 27x 10 0 2x 2x 30（1） 2（2）22x 25x 20 5 x 4x3.若不等式ax 2bx c 0的解集为 （-2,3）,求不等式2 cx ax b 0的解集.234.当 k 为何值时，不等式 2kx 2kx 380对于一切实数 x 都成立？(3) x(x-1) 2(x+1) 3(x+2) ≤0 4)( x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0不等式 x a(a 0) 的解集是 xx a,或x a例 4 解不等式 2x 1 x 1 1 例 5 解不等式 9 x 26x x 23五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值 ,而去掉绝对值 ,则需要对绝对值中的零点进行讨论一个零点分两个范围 ,两个零点分三个零点 ,依次类推 . (1)含有一个绝对值：不等式 x a(a 0) 的解集是 x a x a ;5)322x x 15x 0 (6) (x 4)(x 5)2(2 x)3322x 4x 17)1(8)21x2 x23x2 7x 2四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要题型Ⅰ： f (x) g(x)型( f (x) g(x) f(x)0) 0 g(x) 定义域例1解不等式⑴ 1x 3x 2 0⑵52x x 1题型Ⅱ ： f (x) g(x)型f(x)g(x) f(x) 00或 2[g(x)]2f (x) g(x) 0 0题型Ⅲ：f (x) g(x)型f(x) 0g(x) 0 f(x) [g(x)]例 3 解不等式 2x 23x1 2x般来说 例 2 解不等式 2x 23x 11 2x例 2 解不等式：（ 1）|x-3|-|x+1|<1. （2） |x|－|2x ＋1||>1．例 3 已知函数 f （x ）=|x-2|-|x-5|．（I ）证明： -3≤f （x ） ≤3； （ II ）求不等式 f （x ） ≥2x-8x+15 的解集． 六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式 例 1.解不等式 0.22x x x x 1例 4． a 1时解关于 x 的不等式 log a[a 2 (a 2 ) 1] 0七、基本不等式（也叫均值不等式）1．基本不等式2.常用的几个重要不等式(1)a 2＋ b 2≥2ab(a ， b ∈ R) (2)ab ≤(a ＋2 b )2(a ， b ∈ R) a 2＋ b 2 a ＋bb a(3)a 2 ≥(a ＋2b )2(a ， b ∈ R) (4)b a ＋ ab ≥2(a ， b 同号且不为零 )上述四个不等式等号成立的条件都是 a ＝ b. 3．算术平均数与几何平均数不等式 axbc(c 0） 的解集为x|ax b c, 或ax b c (c 0)（2）含有多个绝对值：零点分段法例 1 解不等式（ 1）x 500 5.（2） 2x 5 7 （3）2x3（4）1 | 2x-1 |< 5.（5） |4x-3|>2x+1不等式c(c 0)的解集为 x| c ax b c (c 0);ax b 例 2. 解不等式 log x 45例 3. 解不等式：log a x 1 3 log a x (0 a 1)a＋b设 a>0， b>0，则 a， b 的算术平均数为＋2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与 1 的关系——结论例 1 求证：x2 + 3 > 3xab例 2 a ,b R+，且 a b ，求证：a a b b（ab）2a b b a（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是： A B1 B2 L B n B3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例 3 已知a，b， c 是不全相等的正数，求证：例4 已知a，b∈R，证明：log2（2a＋2b）≥a b 2.2（三）分析法1.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：B B1 B2 L B n A3．分析法的思维特点是：执果索因。

4．分析法的书写格式：要证明命题 B 为真，只需要证明命题B1 为真，从而有⋯⋯这只需要证明命题B2 为真，从而又有⋯⋯这只需要证明命题 A 为真 .1．比较法之一(作差法)步骤：作差变形——判断与0 的关系——结论而已知 A 为真，故命题 B 必为真。

例 5 求证 3 7 2 5例 6 若a,b,c 是不全等的正数，求证lg a b lg b c lg c a lga lg b lgc.222（四）反证法1. 定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法。

2. 反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. （结论）例7 求证：2, 3, 5 不可能成等差数列．例8、已知x,y 0,且x y 2。

求证： 1 x,1 y中至少有一个小于 2.yx4．利用基本不等式求最值设 x ， y 都是正数．(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x ＝ y 时和 x＋ y 有最小值 2 P.12(2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝ y 时积 xy 有最大值4S2.练习1．已知两个正数 a，b 的等差中项为 4，则 a， b 的等比中项的最大值为 ( )A ． 2 B． 4 C． 8 D． 162．若 a， b∈R，且 ab>0 ，则下列不等式中，恒成立的是 ( )2 2 1 1 2 b aA ． a2＋ b2>2abB ．a＋ b≥2ab C.a＋b≥ ab D.a＋b≥23．若 x＋ 2y＝ 4，则 2x＋ 4y的最小值是 ( )A ． 4 B． 8 C． 2 2 D ． 4 214.当 x>1 时，求函数 f(x) ＝ x＋* 1 * 111的最小值．x－15．已知 x， y>0 ，且满足x3＋y4＝ 1，则 xy 的最大值为．6．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______ x＝ .7. 已知 a、b、 c 为正实数，且 a＋b＋ c＝ 1，111求证： ( －1)( － 1)( －1) ≥8.abc八、不等式的证明(一)比较法：。