含参数不等式的解法
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。
常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。
如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。
2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。
对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。
对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。
3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。
对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。
对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。
步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。
根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。
1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。
-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。
2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。
-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。
3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。
步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。
含参数的绝对值不等式的解法
含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。
对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。
绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。
含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。
1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。
2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。
3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。
例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。
含参数的不等式的解法
初高中数学衔接知识选讲含参数的不等式的解法一、复习引入：1．函数、方程、不等式的关系2．一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项二、讲解新课：例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题.小结：讨论∆，即讨论方程根的情况例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.小结：讨论方程根之间的大小情况 若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分 例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么？）练习：已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.三、布置作业1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围。
3.含参数不等式的解法-人教A版高中数学必修五课件
课外作业： 3.含参数不等式的解法-人教A版高中数学必修五课件（公开课课件）
1、已知关 x的于 不等axБайду номын сангаас式 x5a0的解集M， 为 (1)当a4时，求集 M；合 (2)若3M且5M，求实a的 数取值.范围
2、已知f函 (x)数 x2 (a,b为常)， 数且方 f(x程 )x120 axb
(a,b为常)， 数且方 f(x程 )x120
axb
有两个x实 1 3根 ,x2 4.
(1)求函f数 (x)的解析式；
(2)设k1，解关 x的于不等 f(x式 )(k1)xk. 2x
解(： 1)将x1
3,x2
4分别代入方 x2 程x120得 axb
3a196b89 4ab
解得 ab21
所以 f(x) x2 (x2) 2x
3.含参数不等式的解法-人教A版高中 数学必 修五课 件（公 开课课 件）
3.含参数不等式的解法-人教A版高中 数学必 修五课 件（公 开课课 件）
(2)不等式即为
x2
(k 1)x k ，
2 x
2 x
移项通分得 x 2 (k 1)x k 0 2 x
不等式可转化为( x 2)( x 1)( x k) 0
解：原不等式可转化为：(x1)a ( x1)0
当a<0时，则不等式可化为：(x1)(x 1) 0 a
1 1 a
∴原不等式的解集为： {x| x1或x1}
a
3.含参数不等式的解法-人教A版高中 数学必 修五课 件（公 开课课 件）
3.含参数不等式的解法-人教A版高中 数学必 修五课 件（公 开课课 件）
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
高一数学含参数不等式的解法
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0， 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时， 解集为{x | x b}
a 当a 0时， 解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时， 解集为
当a 0且b 0时， 解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
|
a 7
x
a 8
(2) ax2 (2a 1)x 2 0
当a
0时，
解集为x
|
1 a
x
2
当a 0时， 解集为x | x | x 2
当0
a
1 2
时，
解集为x
|
x
1 a
或x
2
当a 1 时， 解集为x | x 2
log
a
(1
1 x
)
1
分析： 因为a作为对数的底数，故a的取值为 a 1或0 a 1
所以要分成 a 1或0 a 1
两种情况进行讨论．
解：
原不等式可化为：
log
a
(1
1 x
含参数不等式的解法
含参数不等式的解法含参数的不等式是指在不等式中存在一个或多个参数，通过改变参数的取值，使不等式成立或不成立。
解这类不等式通常需要用到代数方法。
一、一元不等式的参数解法对于只含有一个未知数的一元不等式，可以使用参数解法。
首先，我们假设未知数为一个参数，然后求解这个参数的取值范围，使得不等式成立。
举例说明：解不等式，x+2，<1，其中x是实数。
我们将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为，t+2，<1、要使不等式成立，必须有-1<t+2<1，即-3<t<-1所以，参数t的取值范围为-3<t<-1二、含有二元或多元不等式的参数解法对于含有二元或多元的不等式，也可以采用参数解法来求解。
举例说明：解不等式(ax+b)/(cx+d)>0，其中a，b，c，d为实数，且ac≠0。
可以将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为(at+b)/(ct+d)>0。
我们设函数f(t)=(at+b)/(ct+d)，其中t为参数。
要使不等式(at+b)/(ct+d)>0成立，需要满足两个条件：1.f(t)不等于0；2.f(t)为正数。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)令为0，得到(at+b)/(ct+d)=0，解得t=-b/a。
由于ac≠0，所以c≠0。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)分成两种情况讨论：情况1：若c>0，则当t<-d/c或t>-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。
情况2：若c<0，则当t>-d/c且t<-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。
综合情况1和情况2，可以得到解不等式(ax+b)/(cx+d)>0的参数t的取值范围。
三、举一反三除了以上例子，还有许多不等式可以采用参数解法来求解。
例如解不等式(sin x-1)/(sin x+1)<0，其中x为实数。
含参不等式的解法
不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。
(一)几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1 解关于的x不等式(m • 1)x? _4x • 1乞0(m・R)分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1 = 1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m< —1时，"=4 (3- m) >0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当一1<m<3时，"=4 (3—m) >0,图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，"=4 (3—m) =0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x? -4x=0的根。
⑷当口>3时，"=4 ( 3—m) <0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为..。
解：八・1当m - -1时,原不等式的解集为x|x丄-;1 4J当m时,(m 1)x^4x 0的判别式-=4(3— m);贝V当mc—1时，原不等式的解集为』x| x/ _、3_m或x兰2+、3_m卜m+1 m+1当-1 wm £3时,原不等式的解集为収l2^3—m☆兰2+"一m'>m+1 m+1当m=3时，原不等式的解集为| x =丄?；当m>3时，原不等式的解集为.一。
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。
一元一次含参不等式的解法
一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。
其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。
例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。
因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。
2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。
例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。
当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。
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1 原不等式的解集为：x x 1或x a
当 a 0 时，则不等式可转化为：(1)(x 1) 0 原不等式的解集为 x x 1
1 1 a
1 当 a 0 时，则原不等式可化为： ( x 1)( x ) 0 a
1 若0 a 1, 则不等式的解集为 : {x | 1 x } a
当0 a 1 时, 则a 2 a, 原不等式的解集为 {x | x a 2或x a}
当a 1时, 则a 2 a 1, 原不等式的解集为 {x | x 1}
当a 1时, 则a 2 a, 原不等式的解集为 {x | x a或x a 2}
例3. 解关于x的不等式
含参数不等式的解法
红兴隆一中高一数学组
例1．解关于x的不等式
分析：
ax b 0
参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ， 分别解出当 a 0, a 0和a 0 时的解集即可。 原不等式可化为：ax b
解：
b 当 a 0 时,则 x a
b 当 a Βιβλιοθήκη 时,则 x a1 x | 1 x 1 a
课堂练习：
解下列关于x的不等式: (1) 56x 2 ax a 2 0
a a 1.当a 0时, 解集为 x | x 7 8 当a 0时, 解集为 a 当a 0时, 解集为 x | x 7 a 8
当a 0且b 0时， 解集为R
例2．解关于x的不等式
x (a a ) x a 0(a R)
2 2 3
分析：
2 ( x a )( x a )0 原不等式可化为: 则原不等式的解集应a, a 2 之外,但是a, a 2 谁大? 需要讨论.而a 2 a a(a 1) , 2 当a 0 、 1 时, 有a a
小结: 1、解含参数的不等式,往往要对参数的取值进 行分类讨论,分类讨论要做到不重、不漏。 2、不等式的解集按参数的分类写出，千万不 可合并
作业：
满足3 x x 1的x的集合为A, 满足x 2 (a 1) x a 0 的x的集合为B. (1)若A B, 求a的取值范围 (2)若A B, 求a的取值范围 (3)若A B为仅含一个元素的集合 , 求a的值
(2) ax (2a 1) x 2 0
2
1 当a 0时， 解集为 x | x 2 a 当a 0时， 解集为x | x | x 2 1 1 当0 a 时， 解集为 x | x 或x 2 2 a 1 当a 时， 解集为x | x 2 2 1 1 当a 时， 解集为 x | x 2或x 2 a
若a 1, 则不等式的解集为 :
1 若a 1, 则不等式的解集为 : {x | x 1} a
例4.解关于x的不等式
1 log a (1 ) 1 x
分析： 因为a作为对数的底数，故a的取值为 a 1或0 a 1 所以要分成 a 1或0 a 1
两种情况进行讨论．
解： 原不等式可化为： log
1 a (1 ) log a a x
当 a 1 时，原不等式等到价于不等式组：
1 1 0 1 1 x ,因为 1 a 0, 所以x 0, 故有 x0 x 1 a 1 1 a x
当 0 a 1 时，原不等式等价于不等式组：
当 a 0 时,则原不等式变为: 0 b
若b 0, 则原不等式的解集为 若b 0， 则原不等式的解集为 R
综上所述原不等式的解 集为：
b 当a 0时， 解集为{x | x } a
b 当a 0时， 解集为{x | x } a 当a 0且b 0时， 解集为
ax (a 1) x 1 0
2
(a R)
分析：原不等式可转化为：( x 1)(ax 1) 0 先分 a 0 或 a 0 或 a 0 三种情况再具体分析 解：原不等式可转化为： ( x 1)(ax 1) 0
1 当 a 0 时，则不等式可化为： ( x 1)( x ) 0 a
当0 a 1时， 有a 2 a 2 当a 0、a 1时， 有a a
解: 原不等式可化为:
( x a)(x a ) 0
2
当a 0时, 则a a 2 , 原不等式的解集为 {x | x a或x a 2 }
当a 0时, 则a a 2 0, 原不等式的解集为 {x | x 0}
1 1 0 1 1 x ,因为 1 a 0, 所以x 1, 故有1 x x 1 a 1 1 a x
综上所述，当a 1时，不等式的解集为：
1 x 0 x | 1 a
当 0 a 1 时，不等式的解为：