数学建模之微积分的应用
微积分在生命科学中的应用
微积分在生命科学中的应用微积分是数学中的一个分支，主要应用于研究连续变化的量与其它量之间的关系。
它被广泛地应用于工程、物理学和经济学等领域。
而在生命科学中，微积分也是一个非常重要的工具。
下面就让我们来探讨微积分在生命科学中的应用。
一. 生物动力学生物动力学是研究生物体在运动过程中的力、能、功及其它运动学量之间的关系的学科。
微积分在生物动力学中应用广泛，它可以帮助研究人员对生物体的运动过程进行建模和分析，以便更好地理解生物运动的运动学和动力学特征。
例如，微积分可以帮助研究人员计算生物体的运动速度和加速度。
假设我们想要研究一个蜗牛在移动过程中的行为，我们可以测量它的运动速度，并将其与时间相关联。
使用微积分的关系式，我们可以计算出蜗牛的加速度。
这样，我们就能更好地了解蜗牛运动的特征和运动方式，并为之后的研究提供依据。
二. 生物测量学生物测量学是生物学、医学和工程学交叉领域的一个学科，它研究测量生物体尺寸、形态和力学状况的方法。
微积分在生物测量学中也有非常重要的应用。
例如，在医学领域中，微积分可以应用于对骨骼系统的建模和测量。
使用微积分，我们可以对骨骼系统进行三维建模，以便更好地理解它们的形态和解剖结构。
同时，微积分可以帮助我们计算出骨骼系统的密度和强度，从而更好地评估其健康状况和预测其发展趋势。
三. 生物统计学生物统计学是生物学中广泛应用的一个分支，它研究采集、整理和分析生物学数据的方法。
微积分在生物统计学中也有非常重要的应用。
例如，在研究生物体变化过程中，我们需要对其进行数学建模和数据分析。
使用微积分，我们可以将生物体的变化过程表示为微积分方程，然后进行求解和分析。
同时，微积分可以帮助我们对生物体变化过程中的数据进行拟合和预测，从而更好地理解生物体的变化规律和趋势。
四. 神经科学神经科学是研究神经系统的结构、功能和生理基础的学科。
微积分在神经科学中也有很多应用。
例如，在神经科学中，我们需要研究生物体的神经元和神经元之间的连接。
数学建模重要知识点总结
数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。
微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。
而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。
在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。
例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。
在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。
二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。
在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。
在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。
在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。
例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。
在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。
四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。
在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。
例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。
五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。
我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。
六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。
数学建模融入微积分教学单元
・
问题 提 出
在经 济发展 的 今天 ， 造 与销售 假 冒伪劣 品 等违 法犯 罪 活 动 （ 制 以下 简 称 造假 ） 来 越 引 起 人 们 的广 越
泛关 注 ， 假严 重危 害 了广 大 消费者 的利 益 ， 造 扰乱 社会 经 济 秩序 ， 而 影 响 整个 国 民经 济 正 常 有 序 的 发 从
定 ） ；
Ａ３ 单 位时 间 内维持 正常 的社会 经 济秩序 打掉 的假 品数 为 Ｂ， ： 同样 也假设 Ｂ 为常 数 ；
Ａ ： ４ 设单 位 时 间内因政 府 部 门开 展 某 种 打 假 运 动 所 打 掉 的假 品数 与 ｔ 刻 的假 品 数 成 正 比， 时 即 Ｃ ・ （） （ 中 Ｃ为打 假强 度系数 ， Ｊ￡ ； 其 由于运 动需 要资 金 ， 而且 范 围越 大 ， 所需 资金 也越 多 ） ； Ａ５ ：对 于地 区经 济系统 而言 ， 品单位 时 间 内应 控 制在一 定数 量 以 内 ， 假 如＜ Ｄ， 称为 临界值 ；打
摘要： 节（ 本 案例 ） 讨论 针 对打 假过 程分 析建 立 了相应 机 理 的微 分 方程 模 型 ， 对 求解 结 果讨 论 和分 再
析的基 础上论 述 了打 假 的种 种办 法 ， 说 明制假 活 动 中确有 一 个 类 似库 兹 涅茨 “ Ｕ 假 说 ” “ 命 周 并 倒 的 生 期 ” 最 后 给 出三 组 习题包 括 基本 练 习 、 ． 平行 研究 、 入研 究 （ 深 即模 型 的三个 改 进方 向） ．
南 １ ０ ０ （ 京 财 经 大 学 应 用 数 学 系 ， 京 ２ ０ ０ ； 江 苏 经 贸职 业 技 术学 院 ， 京 ２ ０ ０ ） 南 南 １ ０ ３
［ 摘 要 ］ 本 文 是 教 育 部 项 目的子 课 题 中 期报 告 中 样 板 单 元 ， 对 打 假 的 机 理 问 题 设 计 了数 学 建 模 融 人 针
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
数学建模思想融入微积分课程教学初探
１ 设 计 思 想
在传 统的微 积分教 学 中 ， 一般 以教师讲 授 、 生被 动接 收为 主． 学 这种 教 学方 式 在传 授 系统 知识 时 具
有 比较好 的效果 ， 忽视 了学 生作为学 习 主体 的地 位 ， 利 于学 生 主动 获取 知 识能 力 的培 养 ， 但 不 使学 生 缺
积分 教学 中应 用数 学建 模 思维训 练 ， 不仅 可 以提 高应 用微 积分 知识 的能 力 ， 而且也 能尽 早 培养 数学建 模
素质 ．
在实 践 中 ， 学建模 的应用 过程 是 复杂 的 ， 往需 要 多方 面 的 知识 ， 是 整 个 建模 过 程 是 有规 律 可 数 往 但
型应用 阶段 ．
显然， 从解 决 问题 的思 路来看 ， 微积 分 的知识 的应用 和数学建 模过 程有不 少相 似之处 ． 微 积分课 程教学 中要求 掌握 的不 少 内容 可 以看 作 是 数 学建 模 的 模 型求 解 阶 段 ， 比如 ， 积 分 的计 定 算、 二重 积分 、 三重积 分 的计 算． 实 际应 用 中 ， 定 积分 、 积分这 样 的数学模 型 的建立 ， 需要 经过 问 在 像 重 则
第 ２ ６卷 第 ２ 期
２１ ０ ０年 ４月
大 学 数 学
（（ ＩＩＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ：） ＣＳ
Ｖ ｏ ． ６， ． Ｉ２ № ２
Ａｐ ． １ ｔ ２０ ０
数 学建 模 思 想融 人 微 积分 课 程 教学 初 探
张 勇 ， 黄 廷 祝 ， 傅 英定
力 培养工 作．
在微积 分教学 中引入数学 建模 的思维训 练 ， 们主 要 出于 以下 考 虑 ： 方 面 ， 积 分 的不 少教 学 内 我 一 微 容本 身就是 涉及一 个数学 建模过 程 ， 比如导数 概念 、 重积分 的定 义与应 用等 等 ； 另外 一方 面 ， 让学 生在大 学本科 早期 阶段接 受数学 建模思 维 的训 练 ， 以较好 开发 学生智 能 ， 可 又能够促 进微 积分课 程本 身的教学
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了.§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）.已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值.一、由题设有 .将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x hy --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米.。
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
数学建模讲座
(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
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微积分的应用
1.跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重161磅（1磅=0.45359273kg ），在降落伞张开以前，空气阻力等于 v 2 ，在开始降落5s 后降落伞张开，这时空气阻力为 v 22 ，试求降落伞张开后跳伞员的速度v(t)，并讨论极限速度。
问题分析：本题题目比较好懂，只要理解阻力的速度的关系，再根据物理关系进行列方程即可求解。
所以问题主要在于模型的建立于求解。
具体解题过程如下。
（1） 分析求解从t=0到t=5s 之间跳伞员的运动状态 由已知可得空气阻力f=v/2，故根据力学知识可以得到如下方程：
mg-f=ma
即 mg-v/2=m dv dt
此为一元微分方程。
由高数知识，先解该方程对应的齐次微分方程
-v/2=m dv dt
dv v =−dt 2m 两边同时积分 ∫ dv v v t v 0=∫−
dt 2m t 0 得 v t =v 0∗e −t
2m
由常数变异法令 v t =h(t)∗e −t 2m
则 v t ’=h(t)’∗e −t
2m + h(t)*(-
12m ) ∗e −t
2m 带回原方程得：h(t)’=g ∗e −t 2m
h(t)=2mg ∗e
−t
2m +C (C 为常数)
所以
v t =h (t )∗e −t 2m = (2mg ∗e −t 2m +C) ∗e −t 2m
又 v 0= 0，所以C= -2mg
所以 v t = = 2mg (1−e −t 2m )
带入数值，t=5s ，则可得到v 5=48.17m/s 。
且由方程的解的表达形式，利用MATLAB 可以得到如下v-t 曲线。
由于该曲线是在5s 内的，则e −t 2m 随t 的变花近似为线性的，所
以看起来近似直线，实际则不是的。
（2） 分析求解从t=5s 到t=t 之间跳伞员的运动状态
同以上的分析过程，可以列出在该时间段内的方程：
mg- v 22 =m dv dt
即 dv
dt =2mg−v 22m dv 2mg−v 2=12m dt
令√2mg =a ，对上式两边同时积分得：
∫
dv
a2−v2
=∫
1
2m
dt
t
5
v t
v5
查的积分表公式，上式继续得到：
∫
dv
a2−v2
=
1
2a
∫(
1
a−v
+
1
a+v
)
v t
v5
dv=
v t v5
1
2a
ln|
a+v t
a−v t
∗
a−v5
a+v5
| =
t−5
2m
直接对该式进行定性分析：
如果不考虑跳伞员的高度问题，当
t ∞时，上式右边∞,
所以可以得到绝对值部分为无穷大；
所以有v t=a=√2mg=37.826 m/s。
此即为该跳伞员的极限速度。
同样，利用MATLAB程序作v t- t图如下所示。
由图像同样可以得出结论：跳伞员最后的速度将达到以定值，约
为37.826 m/s ，即为其极限速度。
2.测定考古发掘物年龄最精确的方法之一，是大约在1949年W .Libby 发明的碳-14(C)14年龄测定法，其主要原理是利用考古物木炭样品中的放射性碳的原子衰变速度与现在木炭样品中的C 14的衰变速度的差异，来测定考古物的年代，设R(0)是样品形成时C 14的衰变速度，通常用活树中的木炭样品的衰变速度代替，其C 14的衰变率平均为R(0)=6.68个/(g*min)。
设R(t)是考古物木炭样品现在的C 14的衰变率，则由
dN(t)dt =-λN(t)，N(0)=N 0
可得到考古物年代的计算公式
t=1λln R(0)R(t)
其中λ是衰变常数，C 14的半衰期是T=5568年，而λ=
ln2T ，利用上
述方法解决下列问题： （1）1956年，发现的考古物中，测得每克木炭没分钟C 14的平均衰变数位3.06，试估计遗址的年代。
（2）70年代中期发现考古物中C 14是初始值的78%，试估计古墓的年代。
问题分析：本题比较简单，只要读懂题意，直接利用所给数学模型即可进行求解，集体过程如下。
（1） 由已知直接带入数值：
t 1=1λln R(0)R(T)=5568ln2ln 6.683.06
=6271（年） 1956−6271=−4315
即该古墓的年代约为公元前4315年。
（2）由已知得：
dN(t)
dt
=−λN(t)
dN(t)=−λN(t)dt
两边同时积分：
∫dN(t) N(t)
0.78N0
N0=∫−λdt
t2
则ln0.78=−λt2t2=1996
1975−1996=−21
即该古墓的年代约为公元前21年。
3.17世纪末到18世纪初，牛顿发现在较小的温度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境的温差，因而得到下面的冷却模型
dT
dt
=−k(T−C)
T(0)=T0
式中：T(t)为物体t时刻的温度，C是环境温度，k为正的常数，T0为物体在t=0时刻的温度，其解为
T(t)=( T0−C)e−kt+C
司法部门常用该模型估计作案时间。
例如，某天晚上23：00时，发现一受害者尸体，法医与23:35赶到现场，立即测得温度为30.8度，一小时后再测得为29.1度，当时室温为28度。
试利用该模型估计受害者死亡时间。
问题分析：从已知可以得到两个时间下的两个温度，所以可以直接带入方程中进行求解，但是此时需要将正常人的体温视为已知。
在本题中，我将该体温T0取为37度进行求解。
具体求解过程如下。
由T(t)=(T0−C)e−kt+C
带入数据得T(t)=(T0−28)e−kt+28=30.8
T(t+1)=(T0−28)e−（k+1）t+28=29.1将T0=37带入上式，化简可以得到：
(T0−28)e−kt=2.8
(T0−28)e−（k+1）t=1.1
k=0.93439
即e−k=11
将k的值带回原式解得：
t=1.25(h)=75(min)
即受害者的死亡时间大约在22：20分左右。