大学物理答案-第三章

(3)
r r r r r P = m v = 36(t − 1)i − 72t 2 j + 18k
r r r v v L = r × mv = r × p
r L = 3t 2 − 6 t − 4t 3 36( t − 1) − 72t 2
ˆ i
ˆ j
ˆ k 3t + 2 18
ˆ + [36( t − 1)( 3t + 2) = [18( −4t 3 ) + 72t 2 ( 3t + 2)]i ˆ j + [−72t 2 ( 3t 2 − 6t ) + 4t 3 ( 36t − 36)]k − 18( 3t 2 − 6t )] ˆ ˆ + (54t 2 + 72t − 72) ˆ ˆ j + ( −72t 4 + 288t 3 )k = 144t 2 ( t + 1)i
(2) 在物体运动中，F 不垂直于 dr , 拉力作功。等于动能的增量。
2 R0 1 1 1 2 2 2 W = ΔE k = mv − mv 0 = mv 0 ( − 1) 2 2 2 R2
r
(3) 缓慢地拉绳，物体做近似圆周运动，得：
F ≈m v2 r 2 m ⋅ mv 2 ( rmv ) 2 = = 2 r r mr mr 3
v d v F= P dt
和
v d v M = L dt
分析：本题是关于力矩、动量、角动量等的概念问题。 r r r r 2 − 6t)i − 4t 3 j − ( 3t + 2 )k Q = 3 r ( t 解:
r r r r v dr ∴v = = ( 6t − 6 )i − 12t 2 j − 3k dt
分析：本题是关于质点系的动能、角动量等的概念问题，需要注意的是选择不同 的参考系，角动量和动能的值夜是不同的。有些量是与参考系的选择有关。
解:
(1)
j Q r1 = 3.0 ˆ
v ˆ r2 = 3.0i v v v m1v1 = 4 × 3i = 12 i v v v m 2 v 2 = 6 × 3 j = 18 j
分析： 本题中物体在水平方向上所受的力只有绳 子的拉力。而绳子的拉力是一个有心力，物 体在有心力的作用下，角动量守恒。关于作 功的问题，可以从功能转换的角度去考虑。
解:
(1) 绳拉力为有心力，物体的角动量守恒
R0 mv 0 = Rmv
∴ v= R0 0 .5 v0 = ⋅ 4 = 20 (m/s) 0.1 R
m l m+M
3-5 两个小球用一细杆连结起来， 它们静止于一无摩擦的水平面上， m1=4.0 千克，
v ˆ m2=2.0 千克，第三个小球的质量为 0.5 千克，它以 v 0 = 2 i (米/秒)趋近这系
ˆ 统，并与 2 千克的小球相撞，如果 0.5 千克的小球以 v f j 跳开(vf =1.0 米/
r dP d = dt dt r r r r r r ⎡ 36( t − 1)i − 72 t 2 j + 18 k ⎤ = 36 i − 144 tj = F ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(4)
r r r r r dL = 144 t ( 3t + 2)i + 36( 3t + 2) j + 288 t 2 ( 3 − t )k = M dt
l = 2 l 3 l 2 dx
l
l
x
O
dx
l
X
∫0 xdx
3-4 在光滑的水平冰面上,
静放着质量为 M 的大平板车, 车上站着一个质量为
m 的人，若人在车上走了 l 后而停止，那么平板车相对地走了多远.
分析：人和平板车组成一质点组系统，该系统在水平方向不受外力，即可认为是 一个在 x 方向上的不受外力的孤立系统。对此系统运用质心运动定理，首 先分别讨论人和车的运动，然后求质心的运动。即可求解。
v v v v L 0 = L外 + L内 = 48 k ( kg ⋅ m 2 ⋅ s −1 )
(2)
Ek 0 = v v 1 1 m1v1 + m 2 v 2 = 35( J ) 2 2
1 v2 1 4v 9v Mvc = (6 + 4)( i + j )2 = 19.4( J ) 2 2 5 5
r r r v dv = 6i − 24tj a= dt
(1) (2)
r r r r r r F = ma = 6( 6i − 24 tj ) = 36i − 144tj
r r r M =r×F
ˆ i = 3t 2 − 6t 36 ˆ j − 4t 3 − 144t ˆ k 3t + 2 0
ˆ + 36( 3t + 2) ˆ ˆ j + [−144t ( 3t 2 − 6t ) − 36 × ( −4t 3 )]k = 144t ( 3t + 2)i ˆ + (108t + 72) ˆ ˆ = (432t 2 + 288t )i j + ( −288t 3 + 864t 2 )k
v 1 m1m 2 v 1 2 μv12 = (v1 − v 2 ) 2 = 15.6( J ) 2 m1 + m 2 2
E k平 =
E k内 =
∴
E k 0 = E k平 + E k内 = 35 （ J）
3-10 在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着一个用绳子联结的质量为 4.0 千克的物体，绳的另一端穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半 径为 0.5 米，速率为 4.0 米/秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，将手极其 缓慢地向下移动，直至运动半径变为 0.1 米 (1) 求这时物体的速度， (2) 在这一过程中，手的拉力作功多少？ (3) 写出拉力 F 与角动量 L，质量 m 以及 半径 r 的关系。
r r L内 = 14 . 4 k ( kg ⋅ m 2 ⋅ s − 1 )
v v 4 × 3 j + 6 × 4i 6 v 12 v = j+ rc = i 4+6 5 5
v v v 8i + 18 j 4 v 9 v vc = = i + j 4+6 5 5
v v v v L 外 = rc × M v c = 33 . 6 k ( kg ⋅ m 2 ⋅ s − 1 )
秒)，问这二小球系统的质心速度如何？ 分析：m1 和 m2 组成一个质点组系统，将此系统视为一个整体，考虑它与第三个
小球之间的碰撞过程。利用碰撞过程动量守恒，即可求出 m1 和 m2 组成的 系统的质心的速度。
解: m1 和 m2 为子系统，杆中张力为内力， m1 与 m2 碰撞前后动量守恒，有：
L2 ∴F = mr 3
3-11 一个人从 10 米深的井中提水,起始桶内装有 25 千克的水.由于水桶漏水,没 升高 1.0 米要漏区 0.5 千克的水,求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的 功.
分析：本题中物体的质量一直在变化，那么它所受到的重 力也是一个变化的力，对于变力作功，不能直接用力 乘以作用距离，我们可以从功能转化的角度去考虑。
3-3 一长为 l 的细杆， 若其密度按 ρ = ρ 0
x 变化， 其中 x 是从杆的一端算起的距 l
离，ρ0 为一常量。求它的质心位置。
分析：本题为求变质量系统的质心，取质量微元来求解。
解: 如右图所示建立坐标系 根据质心定义有：
∫ xdm = ∫0 xρdx = ∫0 xρ 0 l dx xc = l l x M ∫0 ρdx ∫0 ρ 0 l dx ∫x = 0
解: 设火箭在地面发射时只受引力 M0g， 其它各量如图所示 （竖直向上为 x 轴 正向） ，由动量定理：
r v
Mr v t M
t
v u
dmu
dm
r r v + dv
v
r r v + d v M + dM t + dt x
M + dM
t + Байду номын сангаасt
x
dm (v − u) + ( M 0 + dM )(v + dv ) − M 0v = − M 0 g ⋅ dt
略去二阶无穷小量 dMdv， Qdm = −dM
− udm + M 0dv = − M 0 g ⋅ dt
∴u dv dm = M0 g + M0 dt dt
Q
dv ≥0 dt
∴ qm =
dm M 0 ≥ g dt u
3-8 有一个 6.0 千克的质点，位矢为 r =(3t2-6t)i-4t3j+(3t+2)k（米） 试求 （1）作用在这质点上的力； （2）作用在质点上的力矩（对原点） ； （3）这质点的动量和角动； （4）验证
v ˆ 3-9 两质点的质量分别为 m1=4.0 千克, m2=6.0 千克，位矢分别为 r1 = 3.0 j 米， v v v ˆ ˆ ˆ r2 = 3.0i 米。它们的速度分别为 v1 = 2.0i 米/秒， v 2 = 3.0 j 米/秒。 (1) 试求这系统相对于 O 和相对于质心的总角动量，并验证它们之间的关系； (2) 求这系统相对于 O 和相对于质心的动能并验证它们之间的关系。
0= 1 m 1 mv 2 + x g(− x ) 2 l 2
l-x o
x
零势能面
x
得,
v=
g x l
3-7 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量 M0，喷气相对于火箭主 体的速度为 u，不计空气阻力，求使火箭刚能离开地面的最低喷气流量 qm 应为多大？
分析：这里火箭是一个变质量系统，不能 应用牛顿第二定律来处理，需要用动 量定理来解题。
第三章 质点系统的运动规律
习 题
3-1 一条均匀的,深长量忽略不记的绳子,质量为 m,长度为 是多少？ ,一端栓在转动轴 上，并以匀角速率 ω 在一光滑水平面内旋转，问转动轴为 r 处的绳子中张力
分析：取绳上一质量微元作受力分析，考察该微元左右两方对该微元施加的力， 即可求得。
解: 整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上 的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。
v0 300
vf j m2 x
m
3-6 一条质量为 m，长为 l 的细绳，拉直后平放在光滑的桌面上，让其一端略沿 桌面垂下，则细绳会顺其滑下，求细绳在滑下过程中的速率 v 与垂下部分绳 长的关系。
分析：绳只受重力作用，重力为保守力， 所以对绳与地面组成的系统，机械能 守恒。
解: 取桌面所在的平面为零势能面, 单位长度绳的质量为 m/l, 当绳 的下垂部分长为 x 时, 其质量为 xm/l, 于是由机械能守恒, 可得:
v
m1
v y v 1
3
v v2
v v v v v ∴ L0 = r1 × m v1 + r2 × m v 2 v v v v v = 3 j × 8i + 4i × 18 j = 48k ( kg ⋅ m 2 ⋅ s −1 )
4
m2
x
v v v v v v m1m 2 v L内 = r12 × μ v12 = ( r1 − r2 ) × (v1 − v 2 ) m1 + m 2
解: 水平方向合外力为零, 质心位置：
xc初始 = Mx1 + mx 2 M+m
M ( x1 + Δx1 ) + m ( x 2 + Δx 2 ) M+m
根据质心运动定理, 有: ac=0
初始时刻: Vc=0 ，所以 △xc=0
m
M
xc终了 =
由相对运动可知 由△xc=0，得：
∴ Δx1 =
△x1+ l =△x2 xc 初始=xc 终了
T − (T + dT ) = (dm )rω 2 ∴ − dT = m 2 ω rdr l
o T
r dT T+dT
积分得：
T
∫
− dT =
0
∫
l
r
m 2 ω rdr l
∴ T=
1 mω 2 ( l 2 − r 2 ) 2l
3-2 一个水分子(H2O)由一个氧原子 （mo=30.2 × 10-24 千克） 和两个氢原子(mH=1.68 × 10-24 千克 )组成，氧原子与氢原子的中心距 离均为 2.76 埃(1 埃= 10 -10 米)，氧原子中心与 两个氢原子中心的连线夹角为 105 ，试求水分 子的质心位置（如图所示） 。
y m
v v v m v0 = m v f + ( m1 + m 2 )vc '
v v v vc ' = ( m v0 − m v f ) /( m1 + m 2 ) v v 1v 1 v = m ( 2i − 1 j ) /(4 + 2) = i − j ( m .s −1 ) 6 12
( Vc/ 是子系统质心速度）
o
H
x 105o o
H y
分析：已知分立的质点组系统，求质心。适当选择 坐标系，运用质心的定义式即可求出。
解: 以 O 为坐标原点，如图: yc=0
2 × 1 .68 × 10 − 24 × 2 .76 × 10 − 10 cos 105 ° 2
xc=
( 30 .2 + 1 .68 × 2 ) × 10 − 24 = 1 .77 X 10 − 10 ( m )