全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考 数学(理)试题 Word版含解析
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月大联考数学(理)试卷及解析
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数312112i i i +++-的模为（ ）A. 1 D. 5 【答案】C【解析】对复数进行计算化简,然后根据复数的模长公式,得到答案.【详解】根据题意,31211211212i i i i i i +++++=+-+ (12)(1)122i i i +-+=+ 3122i i ++=+ 2i =+,所以|2|i +==故选：C.2.集合{|3}A x x =≤,(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈,则A B ＝ð（ ） A. {|0}x x ≤B. {|2 3 0}x x x ≤≤≤或C. {|23}x x ≤≤D. {|03}x x ≤≤【答案】B【解析】 对集合B 进行化简,然后根据集合的补集运算,得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ,因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.3.已知向量(3,4)a =r ,则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 先求出a r ,然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ,和由||5a λ=r 能否得到1λ=,从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r ,所以5a ==r因1λ=,所以可得5a a λλ==r r ,所以1λ=是||5a λ=r 的充分条件.因为||5a λ=r ,所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述,实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A. 4.已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩,则不等式()1g x <的解集为（ ） A. (0,2)B. (,2)-∞C. (1,2)-D. (1,2) 【答案】C【解析】按0x ≤和0x >,分别解不等式()1g x <,从而得到答案.。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年上学期12月高三联考理数答案
g 2
x
1
1
的所有根之和
1+5＝6.
13．【答案】(2,3) 【命题意图】本题考查运用命题的真假，构建不等式求解参数的取值范围.
高三理数答案 第 3 页 共 9 页
0 a 3 【解析】由已知 p 和 q 都是真命题，∴ a 2 ∴2＜ a ＜3.
14．【答案】相离 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.直线与圆的位置关系问题常用到的知识点是点到直线的距离公 式，点到直线的距离公式的运用又可以帮助我们建立方程求值，该题就是这样一个解答思路.
8．【答案】B 【命题意图】本题考查数形结合思想解决函数零点问题。涉及到函数与方程相关知识点，二次数函、反比例 函数的图像与性质。数形结合思想是高考要重点考查的数学思想，而函数与方程问题是最容易融入数形结合 思想进行考查的知识内容之一，特别是探究零点问题，解答这类问题往往是把函数与方程相结合，由方程分 解出函数，然后利用函数图像解决问题。
【解析】对于 A,因为Δ= 42 -4×6=-8<0,所以 x2 +4 x +6>0 恒成立,故 A 假;对于 B,正切函数 y tan x 的定义域
为
x
x
k
2
,k
Z ,所以
B
假;对于
C,函数
y
1 x
的单调递减区间为(－∞,0)、(0,＋∞)，所以
C
假;D
显
然正确，综上应选 D. 4．【答案】B
【命题意图】本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性.根据奇偶性的定义，利用排除法进行求解，即可 得到答案．本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出 函数的奇偶性的图像特征，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题(wd无答案)
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二下学期联考理科数学试题一、单选题(★) 1. 已知命题，关于的方程有实根”，则为（）A．，关于的方程有实根B．，关于的方程有实根C．，关于的方程没有实根D．，关于的方程没有实根(★★) 2. 已知为虚数单位，若，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知集合，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．(★★) 5. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，满足，则（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知向量，均为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，且不等式的解集中有且仅有个整数.则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知菱形中, ，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★)10. 已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图象关于直线对称(★★) 11. 我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：① ；② D（ x+1）= D（ x）；③ ，④ ，其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 12. 已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为 ___________ .(★★★) 14. 已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为 ___________ .(★★) 15. 随机变量满足，则 ___________ .(★★★) 16. 已知球内有个半径为的小球，则球的表面积的最小值为 ___________ .三、解答题(★★) 17. 已知数列是公比不为的等比数列，且成等差数列.（1）求；（2）设，求数列的前项的和(★★★) 18. 已知四棱锥中，三角形所在平面与正三角形 ABE所在平面垂直，四边形是菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 19. 受2020年春季疫情的影响，在线教育前所未有的广为人知，也迎来了加速发展的新机遇，下图为2016—2020年中国在线教育市场规模，设2016年—2020年对应的代码分别为，市场规模为(单位：亿元).（1）由图中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数(系数精确到)加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2021年中国在线教育市场规模.附注：参考数据：；，，；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.(★★★) 20. 已知点，分别是直线及抛物线：( )上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.(★★★★) 21. 已知函数（1）讨论的单调性（2）当时，恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程( 为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若射线( ，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.(★★★) 23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.。
山东省顶级名校2020-2021学年高二上学期11月学分认定考试数学答案
所以原点 C 到直线的距离 d 1 CM 5 .
2
2
a 即
5 ，解得 a=
10
经验证满足条件．
22
2，
所以存在点 M ，使得四边形 CAMB ．
此时，直线为 2x 2y 10 0 或 2x 2y 10 0
22. 【解析】(1)设圆 O 的半径长为 r ，圆心到直线 x 3y 2 0 的距离为 d
（法一）
设 C 的圆心为 (1,t) ，则有 1 32 t 02 (1 0)2 t 32 , 解得 t 1．
则圆 C 的半径为 1 32 (1 0)2 5
所以圆 C 的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 5.
（法二）
设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，则
x3z 2
令 z 2 3 ，则 x 3 3 ， y 5 ，所以 n (3 3, 5, 2 3) ，
所以 cosm, n m n
23
3，
| m | | n | 1 27 25 12 4
所以平面 AEFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3 . 4
21.【解析】(1)曲线 y x2 2x 3 与 y 轴的交点为 (0, 3) ，与 x 轴的交点为 3, 0 , (1, 0).
因为与圆相切，所以 k 2 k 2 2 ， k2 1
化简得 k2 8k 7 0 ，解方程得 k1 1,或k2 7 所以反射光线方程分别为 x y 1 0，7x y+5 0
解得与
x
轴的交点为
1,
0
,
5 7
,
0
所以反射点横坐标的取值范围为
5 7
，1
18.【解析】（1）由已知设圆 C 的方程为 x a2 y2 a2
2020届全国I卷TOP300尖子生高三上学期11月联考理科数学试题(解析版)
2020届TOP300尖子生联考全国I 卷理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，定在本试卷上效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：必修1，2，4，5，选修2-1，2-2.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}|1,|lg 1M x x N x x =<=<，则M N =I ( ) A. (),1-∞ B. (),10-∞ C. ()0,1 D. ()0,10【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合N 中元素的范围，然后直接求M N ⋂.【详解】{}{}()|lg 1|0100,10N x x x x =<=<<=，故()0,1M N =I . 故选C .【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2.已知a R ∈且0a ≠，复数()21z a a i =-+在复平面内所对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】判断出z 在复平面内对应点的横纵坐标的正负得答案． 【详解】20,10a a >+>， 所以()210a -+<， 故点()2,1a a --在第四象限. 故选D.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.tan ,,00,22x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 的大致图象是( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除一些选项，然后通过估算函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围确定选项. 【详解】tan xy x=是偶函数，排除B 、C ， 由性质：在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，tan x x <， 知tan 1xx>， 故选A.【点睛】本题考查函数图像的识别问题，充分利用函数的性质，估计函数在某范围上的取值来进行快速排除.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2019200076S S -=，则2010a =( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题先得到20192000200120022019S S a a a -=+++L ，然后利用等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质即可得答案.【详解】200120192019200020012002201920101919762a a S S a a a a +-=+++===L g ， 得20104a =. 故选B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质，是基础题. 5.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者. 甲说：乙丙说真话； 乙说：甲丁有一人说假话； 丙说：我说真话； 丁说：我说真话.判定四人中，说谎者是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】先通过丙的话发现矛盾，再通过乙的话发现矛盾，再综合分析丙和乙的话得出结果.【详解】(1)若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话； (2)若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故乙说真话； (3)由(1)(2)知：甲说真话； (4)故丁说谎话.故选D.【点睛】此题主要考查了推理与论证，关键是抓住题干中丙与乙的话的矛盾和“只有一个人说真话”这个条件展开推理，是解决本题的关键．6.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心的圆()2232x y -+=与双曲线C 的两条渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A. 22172x y -=B. 22271x y -=C. 22181x y -=D. 22118x y -=【答案】A 【解析】 【分析】由已知圆的圆心即为焦点，可得c 的值，利用渐近线和圆相切，列方程求出,a b ，即可得双曲线的方程. 【详解】由题意知：3c =，有229a b +=，()3,0到0bx ay -==得()222292182b a bb=+=⇒=，27a =，故双曲线C 的方程为22172x y -=.故选A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和性质，考查渐近线方程的应用，考查学生计算能力，是基础题.7.正三角形ABC 的边长为2，M 为AB 的中点，2BP PC =u u u r u u u r，Q 是AC 上一点，13BQ BP BM λ=+u u u r u u u r u u u u r ，则QBC ∆的面积为( )A.149B.79C.D.【答案】D 【解析】 【分析】将BQ uuu r 用,BC BA u u u r u u u r 表示，由Q 是AC 上一点可得,BC BA u u u r u u u r的系数和为1，可求出λ，进而可得到,CQ CA u u u r u u u r 的大小关系，通过,CQ CA u u u r u u u r的大小关系可得到QBC ∆与ABC ∆以BC 为底边时高的关系，进而可得QBC∆的面积.【详解】12332BQ BC BA λ=+u u u r u u u r u u u r g ，由,,A Q C 三点共线得2141929λλ+=⇒=，即2799BQ BC BA =+u u u r u u u r u u u r ，即()277999BC CQ BC BC CA CQ CA +=++⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 故77733999QBC ABC S S ∆∆===g . 故选D.【点睛】本题考查平面向量基本定理及平面向量的线性运算，当,,A B C 三点共线时，若OA OB OC αβ=+u u u r u u u r u u u r，则必有1αβ+=，本题是中档题.8.《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为( )A. 100B. 90C.2903 D.2803【答案】D 【解析】 【分析】由三视图得该几何体为底面是矩形，边长分别为7，5，高为8的四棱锥，利用体积公式求体积即可. 【详解】该几何体是四棱锥，底面是矩形，边长分别为7，5，三棱锥的高为8， 故所求体积为：128057833V =⨯⨯⨯=.故选D.【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是基础题. 9.已知110,0,122x y x y x y y x++>>+=++，则x y +的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】将等式11122x y x y y x+++=++去分母整理，得xy x y =+，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】原式化为：()()()()()()122122x y x x y y x y y x +++++=++， 整理得：xy x y =+，有242x y x y xy x y +⎛⎫+=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭. 故选D.【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意利用基本不等式构造不等式，是基础题. 10.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的两条对称轴分别为：3,44x x ππ=-=，在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为单调函数，则ω的最大值为( )A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C 【解析】【分析】通过对称轴间的距离和周期的关系可得到k ω=，又由()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，列不等式可得,k ω间的不等关系，利用k ω=，求出k 的范围，进而可得ω的最大值. 【详解】两条对称轴之间的距离是周期T 的()2kk Z ∈倍， ∴32442k k ππππωω+==⇒=g ， 又在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 为单调函数，故存在0k Z ∈使得 ()()0000044311412k k k k ππωωπππω⎧-+≤⎪⎪⇒≤≤+⎨+⎪-+≥⎪⎩， 由()0004313k k k ≤+⇒≤， 故当03k =时，ω最大值为12. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数由部分性质来研究解函数的解析式，三角函数的周期性及单调性的综合应用，是一道综合性较好的试题．11.在直三棱柱111ABC A B C -中，02,90AB BC ABC ==∠=，AC 与平面1C AB 所成角为30°，则三棱锥11B A AC -的体积为( )A.43B.3C.23D.13【答案】A 【解析】 【分析】先证明平面1ABC ⊥平面11B BCC ，作1CM BC ⊥于点M ，这样就可得到CAM ∠为AC 与平面1C AB 所成角，即030CAM ∠=，在1C BC ∆中求出12CC =，进而利用11B AC C C ABC V V --=求解即可. 【详解】1,AB BC AB CC AB ⊥⊥⇒⊥平面11B BCC ⇒平面1ABC ⊥平面11B BCC ，作1CM BC ⊥于点M ，则CM ⊥平面1ABC ， ∴030CAM ∠=，122CM AC ==， 在1C BC ∆中，11BC CC BC CM ⋅=⋅，可求得1111142,33B AC C C ABC ABC CC V V S CC --∆====g g. 故选A.【点睛】本题考查棱锥的体积，其中作出AC 与平面1C AB 所成角是关键，主要是发现平面1ABC ⊥平面11B BCC ，本题难度不大.12.对任意()0,2x e ∈，ln x a x e -≤恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [],2e e B. 2,2ln 2e e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 2,2ln 2e e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D. 3,22e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】讨论当(]0,1x ∈时，明显成立，当()1,2x e ∈，ln x a x e -≤转化为ln ln e ex a x x x-≤≤+恒成立，然后构造函数()ln e g x x x =+和()ln e h x x x=-，利用导数求其最值即可. 【详解】当(]0,1x ∈时，不等式成立； 当()1,2x e ∈时，ln ln ln e ex a x e x a x x x-≤⇔-≤≤+，令()ln e g x x x =+，()222ln 1ln ln e x x eg x x x x x-'=-=， 令()2ln p x x x e =-，则()()()00p x p e g x ''<=⇒>，故()g x 的最小值为()22g e e a e =⇒≤，令()ln e h x x x =-，则()210ln e h x x x '=+>，故()h x 是增函数，()h x 的最大值为()22ln 2eh e e e =-，故2ln 2e a e e ≥-，综上所述，22ln 2ee a e e-≤≤. 故选 B.【点睛】本题考查恒成立问题，通过参变分离，转化为函数的最值问题，是中档题.第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量,a b r r 的纵坐标相同，(a =-r ，且a b ⊥r r，则a b +=r r ____________________.【答案】5 【解析】 【分析】设(1b x =r ，由a b ⊥r r即0b a ⋅=r r ，列方程求出1x ，进而求出a b +r r ，a b +r r 也就可以求出来了.【详解】设(1b x =r，则((11260b a x x ⋅=⋅-=-+=r r，解得13x =，则(b =r，a b ∴+=r r，所以5a b +==r r.故答案为5.【点睛】本题考查向量的模的坐标运算，将a b ⊥r r转化为0a b ⋅=r r 求出b r 是关键，是基础题.14.命题0:p x R ∃∈，使得220002210x x y y x y -++-+≤，则命题p ⌝可以表述为__________________.【答案】22,2210x R x xy y x y ∀∈-++-+>【解析】 【分析】命题P 是特称命题，直接写出其否定即可.【详解】解：因为命题0:p x R ∃∈，使得220002210x x y y x y -++-+≤，所以命题p ⌝为：22,2210x R x xy y x y ∀∈-++-+>，故答案为22,2210x R x xy y x y ∀∈-++-+>. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.15.0a ≥，若,x y 满足约束条件250250350x y x y x y a +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+--≥⎩，且12y x -+的最大值为1，则a =________________.【答案】0 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的可行区域，由于约束条件中有参数，要可行域存在，先求出a 的范围，将含参不等式对应的方程与另外两不等式对应的方程联立，求出交点，将交点逐一代入112y x -=+，求出符合范围的a 的值.【详解】作出可行域250350350x y x y x y a +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+--≥⎩250250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得交点()1,3，点()1,3在350x y a +--=的上方或线上，则19505a a +--≥⇒≤，250350x y x y a +-=⎧⎨+--=⎩得交点22,155a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，若211205153225aa a +-=⇒=>-+，不合题意； 解250350x y x y a -+=⎧⎨+--=⎩，得21,255a a A ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 则215102125aa a +-=⇒=-++. 故答案为0.【点睛】本题考查含参的线性规划问题，重点是要准确画出可行域，即使其中一个不等式含参，也画一条平行的直线代表一下，本题是中档题.16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点为1F ，右顶点为A ，以1F A 为直径的圆与椭圆有三个公共点，则椭圆离心率的取值范围为________________________. 【答案】112e << 【解析】 【分析】设公共点()()0000,,,M x y N x y -，点M 在以1F A 为直径的圆上，利用圆周角是直角方程，和椭圆方程联立，消去y ，利用韦达定理可求出0x ，利用0x a <列不等式求离心率的范围. 【详解】设公共点()()0000,,,M x y N x y -，则00001y y x c x a =-+-g ，()()20000x c x a y +-+=，()2222220000022210x y b x x c a x ac b a b a +=⇒+--+-=，即()2220020c x c a x ac b a+--+=， 则方程()22220c x c a x ac b a+--+=的两根为0,x a ，故()222200222a b ac b ac ax x a b ac c c c a--=⇒=<⇒-<化为2121012e e e +->⇒<<. 故答案为112e <<. 【点睛】本题考查圆和椭圆的位置关系和椭圆离心率的范围求解，灵活利用韦达定理来解题，求离心率的范围要会发现题中变量之间的不等关系，考查了学生的计算能力，是中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足1133,24n na a a +==-. (1)证明：数列31n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；(2)若33log 1n n n a b a -=-，求12231111n n b b b b b b ++++L 的值.【答案】(1)证明见解析(2)1nn + 【解析】 【分析】(1)利用条件中的递推式，计算113311n n n n a a a a ++--÷--为常数，即可证明数列31n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；(2)由(1)可得n b n =，用裂项相消法求和.【详解】(1)11113333314193133111331314n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a ++++---------÷=⋅=⋅=⋅=---------， 11333233112a a --==--故数列31n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)知：331n nn a a -=-，故n b n =，()1223111111112231n n b b b b b b n n ++++=+++⨯⨯+L L 1111111111122334111n n n n n =-+-+-++-=-=+++L . 【点睛】本题考查等比数列的证明，以及裂项相消法求和，是中档题.18.已知函数()()()21ln 2x f x ax a x a R =--+∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 最小值为()g a ，求证：()32g a <. 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)对函数()f x 求导，分1a ≤-和1a >-讨论，研究函数()f x 的单调性；(2)由(1)知若函数()f x 有最小值，则必有1a >-，且为()1f a +，求出()()1g a f a =+， 通过求导研究其最大值，进而证明()32g a <. 【详解】(1)()()()111x x a a f x x a x x+-+⎡⎤+⎣⎦'=--=，当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '>，则()f x 是()0,∞+上的增函数；当10a +>，即1a >-时，由()0f x '>，得()0,1x a ∈+，()0f x '<得()1,x a ∈++∞， 则()f x 在()0,1a +上是减函数，在()1,a ++∞上是增函数. (2)由题意知：1a >-，()()()()()()()()()2211111ln 11ln 1122a a g a f a a a a a a a a +-=+=-+-++=-++>-，()()1ln 1g a a a '=---+，由()1101g a a ''=--<+，得：()g a '是()1,-+∞上的单调减函数， ()100,02g g ⎛⎫''<-> ⎪⎝⎭，可得：()0g a '=在()1,-+∞仅有一解，设为0a ，则01,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()000001ln 10ln 11g a a a a a '=---+=⇒-+=+，在()01,a -上，()0g a '>， 则()g a 在()01,a -上为增函数， 在()0,a +∞上，()0g a '<， 则()g a 在()0,a +∞上为减函数，所以()()()()()2222000000001131ln 1122222a a a g a g a a a a a --≤=-++=++=++，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g a 为增函数， ()()0302g a g ∴<=. 【点睛】本题考查含参函数单调性的判断，以及利用导数证明不等式，当用导数研究函数性质的时候，一次求导不行，可再求导一次，考查了学生计算能力和分类讨论的思想，是一道难度较大的题目. 19.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为BC 中点. (1)若222224b c a +=+，求AD ；(2)若2c b ==，求cos BAC ∠.【答案】(1)1AD =(2)34【解析】 【分析】(1)设ADB θ∠=，则ADC πθ∠=-，在ADB ∆中，针对ADB ∠用余弦定理，在ADC ∆中，针对ADC ∠用余弦定理，两式综合即可求出AD ；(2)延长AD 到M ，使AD DM =，则四边形ABMC 是平行四边形，在在ACM ∆中，利用余弦定理求出cos ACM ∠，BAC ∠与ACM ∠互补，进而可求cos BAC ∠.【详解】(1)如图：在ADB ∆中，设ADB θ∠=，则2222cos 22a aAD AD c θ⎛⎫+-⋅⋅= ⎪⎝⎭① 在ADC ∆中则()2222cos 22a a AD AD b πθ⎛⎫+-⋅⋅-= ⎪⎝⎭②， ①+②得：222222a ADbc +=+，故()222212214AD b c a =+-=， ∴1AD =；(2)如图，延长AD 到M ，使AD DM =，则四边形ABMC 是平行四边形，在ACM ∆中，()()()22222222223cos 2224b b bb c AD ACM bcb b+-+-∠===-g ，即()33cos cos 44BAC BAC π-∠=-⇒∠=.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，利用ABC ∆被中线AD 一分为二，在两个三角形中同时使用余弦定理，可方便求解，本题是一道基础题.20.在三棱锥P ABC -中，02,1,90,5,2AB BC ABC PC PA ==∠===，三棱锥P ABC -的体积为13，P 在平面ABC 内射影为点O . (1)证明：四边形OABC 是矩形； (2)求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】 【分析】(1)先通过三棱锥P ABC -的体积求出PO 的长度，进而可得四边形OABC 是平行四边形，然后090ABC ∠=，可得结果；(2)以O 为原点，,,OA OC OP u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PAC 和平面PBC 的法向量，利用向量夹角公式求出两法向量的夹角的余弦值，进一步可得二面角A PCB --的正弦值.【详解】(1)11113233P ABC PO V AB BC PO PO -=⨯⨯⨯⨯==⇒=， ∴2,1CO AB AO BC ====，∴四边形OABC 是平行四边形，又090ABC ∠=， ∴四边形OABC 是矩形； (2)以O 为原点，,,OA OC OP u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,1A B C P ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =u r，则 0·020·0x m BC y z m CP ⎧-=⎧=⇒⎨⎨-==⎩⎩u u u v v u u uv v ， 令1y =，可得()0,1,2m =u r，设平面PAC 的法向量为(),,n a b c =r， 则0·020·0a c n AP a b n AC ⎧-+=⎧=⇒⎨⎨-+==⎩⎩u u u v v u u u v v ，令1b =，可得()2,1,2n =r，cos ,m n m n m n ===u r r u r r g u r r g，2sin 3θ==. 故二面角A PC B --的正弦值为23.【点睛】本题考查棱锥体积公式的应用以及向量法求二面角，考查学生的计算能力与空间想象能力，是一道中档题.21.抛物线()220y px p =>上有两点A B 、，直线AB 的斜率为1，AB 中点的纵坐标为2.(1)求p ；(2)直线AB 交x 轴于(),0λ，()3,8λ∈，A '与A 关于x 轴对称，求直线A B '斜率的取值范围(点A 的纵坐标小于0).【答案】(1)2p =(2)11,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)设出()(),,,A A B B A x y B x y ，利用两点斜率公式和中点坐标公式可得结果；(2)设(),A A A x y '-，将直线AB 的方程和抛物线22y px =联立，消去x ，利用求根公式求出B A y y -的范围，求出直线A B '的斜率，其正好可以用B A y y -表示，进而可以求出直线A B '斜率的取值范围. 【详解】(1)设()(),,,A A B B A x y B x y ，则22122A B A BA B A B y y y y y y x y p p--==--， 化为2A B y y p +=， 而4A B y y +=， ∴2p =； (2)如图：(),A A A x y '-，22444B A B A A B B A B A B A y y y y k y y x x y y '++===---，直线:AB y x x y λλ=-⇒=+，代入24y x =，得()224440y y y y λλ=+⇒--=，由求根公式得()1616418,12B A y y λλ-=+=+， 故411,32A B B A k y y '⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，则直线A B '斜率的取值范围为11,32⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线和抛物线相交，充分利用圆锥曲线的设而不求的运算特点，大胆设点，大胆计算，考查学生的计算能力，是一道中档题.22.已知函数()11x e f x ax x-=--.(1)若()f x 在()0,∞+上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)证明：当0x >时，()2ln 132xe x x ++≥+.【答案】(1)12a ≤(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)若()f x 在()0,∞+上是增函数，则()()22110x e x ax f x x-+-'=≥在()0,∞+上恒成立，令()()211x g x e x ax =-+-，利用导数研究其最小值即可；(2)由(1)可得当12a =时，令()2222x p x e x x =---， 求导研究其单调性可得()()00p x p >=，即2222x e x x >++；另外构造函数()()2ln 1h x x x x =+-+，证明其()0h x >，可得()2ln 1x x x +>-，综合可得结果.【详解】(1)()()()22110110x x e x f x a e x ax x-+'=-≥⇔-+-≥， 令()()211xg x ex ax =-+-，则()()2xg x x e a '=-，当12a ≤时，()0g x '>，()g x 为增函数， ()()()000g x g f x '>=⇒≥符合条件，当12a >时，在()()0,ln 2a 上，()0g x '<， ()()()000g x g f x '⇒<=⇒<不合题意，故得12a ≤； (2)由(1)知：当12a =时， ()211222122x x e e x x f x x x x----=--=为增函数， 令()2222xp x e x x =---，则()()222,220xxp x e x p x e '''=--=->，故()p x '是增函数，()()00p x p ''>=，故()p x 是增函数，()()200222xp x p e x x >=⇒>++①令()()2ln 1h x x x x =+-+，则()()()()2111200011x x h x x h x h x x +'=-+=>⇒>=++ 即()2ln 1x x x +>-②①②两式相加得：()2ln 132xe x x ++>+，故原式得证.【点睛】本题考查导数研究函数的最值，对于一次求导解决不了的问题，可以再求导一次，考查分类讨论的思想和转化的思想，考查学生综合分析能力，是一道难度较大的题目.。
2020_2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理
2020-2021学年高二数学上学期11月领军考试试题理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2x12+”的否定为A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2x12+B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<()2x12+C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2x12+D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0()2x12+2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是A.a n＝2n0n⎧⎨⎩，为奇数，为偶数B.a n＝1＋(－1)n＋1C.a n＝2|sin2nπ| D.a n＝1(1)22n--3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则A.a<b<cB.ac＋bc<0C.c－b>c－aD.11 a c >4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.2525.已知实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，则3x－2y的取值范围是A.[－3，4]B.[－3，1]C.[1，4]D.[－4，3]6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是A.a>b⇔sinA>sinBB.a>b⇔cosA<cosBC.a>b⇔sin2A>sin2BD.a>b⇔cos2A<cos2B7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是A.m<1B.0<m<1C.m>0D.0<m<1 a8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则A.S5＝S6，S13＝0B.S5＝S6，S11＝0C.S6＝S7，S13＝0D.S6＝S7，S11＝09.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(⌝q)C.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q)10.若对∀y∈(1，＋∞)，2231x yx y<+-，则x的取值范围是A.(－2，6)B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)C.(－3，－2)∪(6，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－2，6)11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为A.211B.232C.247D.256，则A的最大值是12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosBc cosC=-，则A的最大值是A.56πB.23πC.6πD.3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【试卷】领军11月联考高三考试
注意事项：2020-2021学年上学期全国百强名校“领军专试”高三政治1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
2020.11一、选择题：本大题共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.2020年10月9日，A省市场监督管理局通报，近期该局组织完成了食品安全监督抽检任务148批次，根据食品安全国家标准检验和判定，不合格样品6批次。
发现的主要问题是兽药残留超标、微生物污染、质量指标与标签标示值不符、食品添加剂超限量使用、质量指标超标。
这些不合格食品①因不具有应有使用价值而无价值②仍是使用价值和价值的有机统一③可以表现和衡量其他商品的价值④是不能成为用于交换的劳动产品A.①②B.①④c.②③D.③④2.2020年5月底以来，人民币兑美元汇率持续升值，其中二季度涨幅累计达到3刀%，成为自2008年一季度以来最大季度涨幅。
在其他条件不变的情况下，该汇率变化给我国带来的不利影响是①不利于吸引美商对我国投资②减弱人民币在美国的购买力③不利于我国商品对美国出口④不利于我国从美国进口商品A.①②B.①③c.②④D.③④3.近期，地摊经济在国内各城市流行，成为经济复苏的新动力。
地摊经济发挥作用的路径是①带动城市消费复苏②方便周边市民消费③提高城市经济活力④丰富市场商品供给A.①→④→③→②c.②→④→①→③B.②→①→④→③D.④→②→①→③高三政治第1页共8页。
全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高二上学期11月联考试题数学(文)Word版含解析
2021－2021学年上学期全国百强名校“领军考试〞高二数学(文科)2021.11考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.答复选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.数列：2，－5，8，－11，…，(－1)n －1(3n －1)，(－1)n (3n ＋2)，…的第2n 项为A.6n －1B.－6n ＋1C.6n ＋2D.－6n －22.命题“对∀x ∈(1，＋∞)，lnx>x －1，的否认为A.对∀x ∈(1，＋∞)，lnx ≤1x x- B.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0>001x x - C.∃x 0∈(1，＋∞)，lnx 0≤001x x - D.∃x 0∈(0，1]，lnx 0≤001x x - 3.实数a ，b ，c 满足a ＋b<b<0<a ＋c ，那么A.a<b<cB.ac ＋bc<0C.c －b>c －aD.11a c> 4.?算法统宗?是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
〞大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96B.126C.192D.252y≤x＋15.实数x，y满足约束条件y x1y2x2y2x2≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥--⎩，那么3x－2y＋1的最大值是A.5B.4C.2D.－16.给出以下命题：①2021≤2021；②a>b⇔a2>b2；③a＋1a≥2。
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全国百强名校2020－2021学年高二上学期“领军考试”
数学(理科)
2020.11 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“对∀x∈(0，＋∞)，sin2x<()2
x1
2
+
”的否定为
A.对∀x∈(0，＋∞)，sin2x≥()2
x1
2
+
B.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0<
()2
x1
2
+
C.∃x0∈(0，＋∞)，sin2x0≥()2
x1
2
+
D.∃x0∈(－∞，0]，sin2x0
()2
x1
2
+
2.已知数列{a n}的前4项依次为2，0，2，0，则数列{a n}的通项不可能是
A.a n＝
2n
0n
⎧
⎨
⎩
，为奇数
，为偶数
B.a n＝1＋(－1)n＋1
C.a n＝2|sin
2
nπ
| D.a n＝
1(1)
2
2
n
--
3.已知实数a，b，c满足a＋b<b<0<a＋c，则
A.a<b<c
B.ac＋bc<0
C.c－b>c－a
D.11 a c >
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为
A.96
B.126
C.192
D.252
5.已知实数x，y满足约束条件
y x1
y2x2
y2x2
≤+
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≥--
⎩
，则3x－2y的取值范围是
A.[－3，4]
B.[－3，1]
C.[1，4]
D.[－4，3]
6.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是
A.a>b⇔sinA>sinB
B.a>b⇔cosA<cosB
C.a>b⇔sin2A>sin2B
D.a>b⇔cos2A<cos2B
7.若a∈(0，1)，则指数函数f(x)＝(am)x在(－∞，＋∞)上为减函数的一个充分不必要条件是
A.m<1
B.0<m<1
C.m>0
D.0<m<1 a
8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＋2a7＝0，则
A.S5＝S6，S13＝0
B.S5＝S6，S11＝0
C.S6＝S7，S13＝0
D.S6＝S7，S11＝0
9.已知命题p：2020≤2021，命题q：若a2＋b2>50，则|a|＋|b|>7，则下列命题为真命题的是
A.p∧q
B.p∧(⌝q)
C.(⌝p)∧q
D.(⌝p)∧(⌝q)
10.若对∀y∈(1，＋∞)，
22
31
x y
x y
<
+-
，则x的取值范围是
A.(－2，6)
B.(－∞，－3)∪(－2，＋∞)
C.(－3，－2)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(－2，6)
11.已知数列{a n}满足a n＝2n－1，在a n，a n＋1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{b n}的前100项的和为
A.211
B.232
C.247
D.256
，则A的最大值是
12.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cosB
c cosC
=-，则A的最大值是
A.5
6
π
B.
2
3
π
C.
6
π
D.
3
π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若－1<1
x
<2，则x的取值范围是。
14.△ABC中AB＝1，BC＝3，CA
ABC的面积为。
15.已知f(x)＝x2－1
x
＋a，g(x)＝log3(2x＋1)，若对∀x1∈[，3]，∃x2∈[1，3]，使得g(x1)＝f(x2)，
则实数a的取值范围为。
16.已知公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，给出下列命题：
①若a n ＋1>a n ，则a 1>0，q>1；②若a 1>0，则a 3＋a 9>2a 6；③若S n ＝2n ＋
2＋m ，则m ＝－1；④2n n
S S ＝1＋q n 。
其中真命题的序号为 。
三、解答题：本题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知命题p ：方程x 2－2x ＋a ＝0有实根，命题q ：a ∈{x|x 2＋y 2－2y －3＝0}。
(1)若p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若m －2<a<m ＋2是p ∧q 为真命题的必要条件，求实数m 的取值范围。
18.(12分)
已知等差数列{a n }满足公差d>0，前n 项的和为S n ，S 3＝2a 4，a 1，a 3＋2，2a 4成等比数列。
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n
＝
()()n
n n 1
12n 5a a +-+，求数列{b n
}的前100项的和T
100。
19.(12分)
解关于x 的不等式：x 2－(a ＋4
a
)|x|＋4<0(a>0)。
20.(12分)
△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝ccosB ＋13
b 。
(1)求cosC ；
(2)若c ＝3，求a ＋b 的最大值。
21.(12分)
某中学高二甲乙两名学生在学习了解三角形知识后决定利用所学知识去测量学校附近的一个高灯的高度，已知高灯在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立测得眼睛观察立柱底端B 与灯的顶端A 的俯角与仰角分别为θ，θ＋4
π
，且tan θ＝15，已知甲的眼睛到地面距离为
1.6m 。
(1)求灯的顶端A 到地面的距离AB ；
(2)若乙(身高忽略不计)在地面上选两点P ，Q ，∠PBQ ＝60°，且在点P 处观察A 的仰角为α，在点Q 处观察A 的仰角为β，且sinα
，tanβ＝4，求P ，Q 两点之间的距离(精确到0.1m)。