江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析
无锡市新吴区2020-2021学年第二学期初三数学期中试卷(含答案)
15 15＝ 2020—2021 学年度第二学期九年级期中测试数学试卷本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上.考试时间为 120 分钟.试卷满分 130 分. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．2. 答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4. 卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答．卷．纸．相．应．的．位．置．处．） 1．－15 的相反数为 …………………………………………………………………………………（ ▲ ） A ．15B ．－15C ．1D ．－ 12．函数 y 1中自变量x 的取值范围是 …………………………………………………………（ ▲ ） x －2 A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≠2D ．x ≤23．下列运算正确的是…………………………………………………………………………………（ ▲ ）A ．a 3 －a 2 ＝aB ．(－x 2)3＝x 6C ．x 2＋x 3＝x 5D ．x 3÷x 2＝x4．某组数据－5、3、－8、9、0、3 的极差和众数分别是 ………………………………………（ ▲ ）A ．－8，9B ．17，3C ．17，9D ．0，35. 一个正多边形的每一个外角都等于 36°，则这个多边形的边数为 …………………………（ ▲ ）A ．4B ．6C ．8D ．106. 下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中是中心对称图形的个数为…………（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知某圆锥的底面半径为 3cm ，母线长 5cm ，则它的侧面展开图的面积为…………………（ ▲ ）A ．15πcm 2B ．15 cm 2C ．30πcm 2D ．30 cm 28. 若双曲线 y k y ＝x ＋1 的一个交点的横坐标为－2，则 k 的值为 ……………………（ ▲ ）＝x 与直线A ．－1B ．1C ．－2D ．29．如图，点 E 、F 、G 、H 分别为□ABCD 四边的中点，连接 AG 、BH 、CE 、DF ,分别相交于点 M 、N 、P 、QEPGMNBQ ，若四边形 MNPQ 的面积为 4，则□ABCD 的面积为……………………………………………（ ▲ ） A ．16B ．20C ．24D ． 2510．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，C 为半圆 AB 的中点，P 为弧 AC 上一动点，连接 PC 并延长，作BQ ⊥PC 于点Q ，若点P 从点A 运动到点C ，则点Q 运动的路径长为……………………………（ ▲ ）AB ．πDH CD ．4APO ·CQ（第 9 题图）（第 10 题图）二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答．卷．纸．的． 相．应．位．置．处．） 11．8 的立方根是 ▲ ．12．分解因式：2x 2－18＝ ▲ ．13．春节假期，无锡市某影院共接待观众约 18000 人次，将数 18000 用科学记数法表示为 ▲ ．14．如图，已知 a ∥b ，∠1＝68°，则∠2＝ ▲ ．15. 已知二次函数 y ＝x 2＋2x －3 与坐标轴交于 A 、B 、C 三点，则△ABC 的面积为 ▲ ．16. 命题“四边都相等的四边形是菱形”的逆命题是 ▲．17. 中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 4 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 3 人共乘一车， 最终剩余 5 个人无车可乘，问共有 ▲ 辆车．18. 如图，在□ABCD 中，∠B ＝135°，AB ＝ 2BC ，将△ABC 沿对角线 AC 翻折至△EAC ，AE 与 CD 相交于点 F ，连接 DE DE ▲ ．，则AC 的值为aEDFb（第 14 题图）AB（第 18 题图）C ． 2πc 12A三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明DE FB(2) 过程或演算步骤）19．（本题满分 8 分，每小题 4 分） （1）计算：2sin45°－ 8＋ 1 －1 ；（2）化简：(a ＋2b ) (a －2b )＋(a －2b )2．20．（本题满分 8 分，每小题 4 分）x ＋3 2 （1 ）解方程： x － ＝1 ；（2）解不等式：3x －5＜2(2＋3x )．x －221．（本题满分 8 分）如图，AD ＝CB ，AB ＝CD ，BE ⊥AC ，垂足为 E ，DF ⊥AC ，垂足为 F ．求证：（1）△ABC ≌△CDA ；C（2）BE ＝DF ．A22．（本题满分 8 分）为推动实施健康中国战略，树立国家健康形象．手机 APP 推出多款健康运动软件，如“微信运动”．王老师随机调查了我校 50 名教师某日“微信运动”中的步数，并进行统计整理，绘制了如下不完整的统计图表．步 数请根据以上信息，解答下列问题：（1）a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ；（2） 补全频数分布直方图；（3） 若某人一天的走路步数不低于 16000 步，将被“微信运动”评为“运动达人”．我市市区约有 4000名初中教师，根据此项调查请估计市区被评为“运动达人”教师有多少名？语文老师要求学生们在寒假期间精读四大名著中的一本．（1）小明选择精读《水浒传》的概率是▲；（2）求小明与小刚选择精读同一本名著的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．（本题满分8 分）如图，在平面直角坐标系中，以线段AB 为直径作⊙C，与x 轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，在第一象限内的圆上存在一点D，使得△ACD 为等边三角形．（2）求由线段AE、DE、劣弧AD 围成的图形面积．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．（1） 问题情境：如图 1，在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝4，则△ABC 的外接圆的半径为 ▲；（2） 操作实践： 如图 2，用无刻度直尺与圆规在矩形 ABCD 的内部作出一点 P ，使得∠BPC ＝∠BEC ，且 PB ＝PC （不写作法，保留作图痕迹）；（3） 迁移应用：已知，在△ABC 中，∠A ＞∠B ，∠C ＝60°，AB ＝6，求 BC 的取值范围．DECAB图 1图 226．（本题满分 8 分）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况， 发现学生到校的累计人数 y （单位：人）随时间 x （单位：分钟）的变化情况如图所示，当 0≤x ≤10 时，y 可看作是 x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（10，500）；当 10＜x ≤12 时，累计人数保持不变．（1） 求 y 与 x 之间的函数表达式；（2） 如果学生一进校就开始测量体温，校门口有 2 个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测 20 人． 校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间 ？（3） 在（2）的条件下，如果要在 8 分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？AO· BC＋如图，已知菱形ABCD 的三个顶点A（－2，0）、B（2，0）、D（0，2 3），连接AC，P 为AC 的中点，点E 为AD 延长线上（异于点D）一动点，连接EP 并延长与CD、AB 分别交于G、F 两点．（1）P 点的坐标为▲；（2）求1 1的值；AE AF（3）连接EC，若∠CEF＝60°，求ED 的长．28．（本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－4a 经过A（－1，0）、C（0，4）两点，与x 轴交于另一点B，点D 为该抛物线的顶点．（1）顶点D 的坐标为▲；（215）将该抛物线向下平移4 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC 内，求m 的取值范围；（3）若点P、点Q（n，n＋1）为该抛物线上两点，连接BQ，且tan∠QBP＝2，求点P 的坐标．2020－2021 学年度第二学期九年级期中测试数学参考答案和评分标准二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）11．212．2(x ＋3)(x －3) 13．1.8×10414．112°15．616．菱形的四边都相等17．1318 1 ．5三、解答题（共 10 大题，共 84 分）19. （1）＝222 2＋2 ……2 分 （2） ＝a 2－4b 2＋a 2－4ab ＋4b 2………2 分2 －＝2－ 2 ................................. 4 分＝2a 2－4ab…… 4 分 20. （1） x 2＋x －6－2x ＝x 2－2x……1 分（2）3x －5＜4＋6x……2 分 x ＝6……3 分经检验，x ＝6 是原方程的解 …… 4 分x ＞－3…… 4 分21. （1）在△ABC 和△CDA 中⎪⎧ AD ＝CB ⎨ AB ＝CD ⎩⎪ AC ＝CA………………………………………………………………………2 分∴ △ABC ≌△CDA （SSS ） .............................................. 4 分 （2）证△ ABE ≌△ CDF (AAS )（或面积法） ................................. 8 分（其他方法酌情给分）22．（1）0.16；12； ....................................................... 2 分（2）条形统计图补到 12，标出数字 12； ................................... 4 分 （3）人数为：（0.06＋0.04）×4000＝400（名） ........................... 7 分答：估计市区被评选为“运动达人”的教师有 400 名 ...................... 8 分23．（1 1 ................................................................2 分）4（2） 画对树状图或表格 ................................................. 5 分列出所有结果..................................................... 7 分P 4 1（精读同一本名著）＝16＝4....................................... 8 分25．（本题满分 8 分）24．解：（1）∵OA ＝2，OB ＝8，∴AB ＝6，∴AC ＝3 ............................. 1 分∵△ACD 是等边三角形 ，∴AC ＝CD ＝3∵CD ⊥DE ，且∠DCA ＝60°，∴EC ＝6，∴EO ＝1∴E (－1，0) ............ 2 分作 DH ⊥OC 于点 H ，在 Rt △DCH 中，CH 3 DH 3 3∴ 7 33) ……3 分＝2， ＝2 D (2，2求出函数关系式：y 4 分3 3 （2）S 93，S 3 分△EDC＝2扇形 ACD＝2π (6)∴S32 －2π ............................................... 8 分25．解：（1）4 ................................................................. 2 分（2） 作 BC 的垂直平分线 l 1 ...................................................................................... 3 分作 CE 的垂直平分线 l 2 与 BE 交于点 O ............................ 4 分 以 BE 为直径作⊙O ，与 l 1 交于点 P 即为所求 ....................... 5 分（3） 作△ABC 的外接圆，∵∠BAC ＞∠ABC ，AB ＝6，当∠BAC ＝90°时，BC 是直径最长，∵∠C ＝60°，∴AC ＝2 3，∴BC ＝4 3； ........................ 6 分 当∠BAC ＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC ＝AC ＝AB ＝6， ........ 7 分 ∵∠BAC ＞∠ABC ，∴BC 长的取值范围是 6＜BC ≤4 3 ............... 8 分 （其他方法酌情给分）26．解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为：y ＝a （x －10）2＋500， ........... 1 分把（0，0）代入上式得：0＝a （0－10）2＋500，解得：a ＝－5，故函数关系式为：y ＝－5（x －10）2＋500（0≤x ≤10） ............. 2 分 即 y ＝﹣5x 2＋100x （0≤x ≤10），y ＝500 （10＜x ≤12） .......... 3 分（2） 设第 x 分钟时的排队等待人数为 w 人，由题意可得：w ＝y －40x①0≤x ≤10 时，w ＝－5x 2＋100x －40x ＝－5x 2＋60x ＝－5（x －6）2＋180， ∴当 x ＝6 时，w 的最大值＝180， .............................. 4 分 ②当 10＜x ≤12 时，w ＝500－40x ，w 随 x 的增大而减小，∴20≤w ＜100， ∴排队人数最多时是 180 人， .........................................................................5 分 要全部学生都完成体温检测，根据题意得：500﹣40x ＝0 解 得 ：x ＝12.5 答：排队人数最多时有 180 人，全部考生都完成体温检测需要 12.5 分钟； ……6 分（3） 设从一开始就应该增加 m 个检测点，由题意得：8×20（m ＋2）≥500， ............................... 7 分 解得 m 9m 的最小整数是 2，≥8 ，∴25．（本题满分8 分）∴一开始就应该至少增加2 个检测点．..............................................8分（其他方法酌情给分）25．（本题满分 8 分）27.（1） P （1，3） ................................................................. 2 分（2） ∵DC ∥ABDG DE …………………………………………………………3 分∴ AF ＝AE∵DG ＝BF BF DE …………………………………………………………4 分 ∴AF ＝AEAB －AF AE －AD AB AD AB AD∴ AF ＝ AE ， AF －1＝1－AE ， AF ＋AE ＝2 ..................... 5 分1 1 2 1 ＋ 分 AF AE ＝4＝2 (6)（3） 以 CP 为底边构造顶角为 120°的等腰△PQC ，点 Q 恰好为 CD 的中点，……7 分以 CD 为半径作⊙Q ，与 AD 的延长线交于点 E ，得∠CEF ＝60° ........... 8 分 此时：DE ＝CD ·cos60°＝2 ............................................ 10 分 （其他方法酌情给分）第 27 题28.（1）顶点 D3 25 …………………………………………………………2 分 的坐标为（2，4 ） （2）由题意得 D '(3-25m , ) 2， l AC : y = 4x+ 4 ∴4( 3 - m ) + 4 = 52 215m =15…3 分8∵新抛物线顶点 D ′在△ABC 内∴0 < m <4 分8（3）由题意得： -n 2+ 3n + 4 = n +1 得n = 3, n = -1 ∴Q (3, 4) 或(-1, 0) …5 分12当 Q 1（－1，0）时, ①点 P 在 x 轴上方时，P 1 (1，6) ................... 6 分②点 P 在 x 轴下方时，P 2(－3，－14) ............... 8 分如图，当 Q （3，4）时，P ( 7 86 分∴2（其他方法酌情给分）－9，81) (10)3。
2020-2021学年无锡市锡山区锡北片九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年无锡市锡山区锡北片九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是()A. 若x2=4，则x=2B. x2+x−k=0的一个根是1，则k=2C. 若3x2=6x，则x=2D. 若分式x(x−2)的值为零，则x=2或x=0x2.关于x的方程x2−x+a−2=0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为A. 2B. 2.5C. 3D. 3.53.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD、CE相交于点F，则EF的值为()CDA. √22B. 32C. √2D. 24.如图，已知在△ABC中，AB=14，BC=12，AC=10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条()A. 2B. 3C. 3或4D. 45.某商场一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为40万元，设每月的平均增长率为，则可列方程为()A. 30(1−x)2=40B. 40(1+x)2=30C. 40(1−x)2=30D. 30(1+x)2=406.在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于()A. 67.5°B. 135°C. 112.5°D. 45°7.如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=1.4m，CA=0.7m，于是得出树的高度为()A. 3.2mB. 4.8mC. 6.4mD. 8m8.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O=130°，则∠BAC的度数是()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°9.如图，▱ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A. 24cmB. 16cmC. 8cmD. 10cm⏜上一点(不与A，B 10.如图，在半径为4的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧ACB重合)，则cosC的值为()A. √73B. 34C. √74D. 45二、填空题（本大题共7小题，共16.0分）11.将一元二次方程3x(x−1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式为______ ．12.若x1、x2是方程x2+x−1=0的两个根，则(x1+2)(x2+2)=______ ．13.如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积为______ .(π取3.14)14.如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC=1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是______ ．15.如图，∠CAB=30°，点D在射线AB上，且AD=4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为______．16.已知半径长为3的扇形的圆心角为150°，则此扇形的面积为______ ．17.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，若DE=6，AE=8，则菱形ABCD的周长是．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）18.解下列一元二次方程．(1)x2−6x−4=0(2)x(x−7)=5x−3619.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，已知三角形OAB是正三角形，且AB=5．(1)这个平行四边形是矩形吗？说明理由．(2)求平行四边形的面积．20.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,3)、B(−6,0)、C(−1,0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标为______；(2)将△ABC平移，使点B移动后的坐标为B′(−5,−5)，画出平移后的图形△A′B′C′；(3)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A″B″C″．21.已知一元二次方程x²−(m−3)x−m²=0(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且∣x₁∣=∣x₂∣，求m的值22. 如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB．(1)作点A关于BD的对称点C；(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)所作的图中，连接BC，DC.求证：四边形ABCD是菱形．23. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．24. 如图：△ABC内接于圆，请用尺规作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中作出△ABC外接圆的圆心．(2)在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为∠ACB的两倍．25. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，BC⊥DE，若AC=6cm，DE=4cm，求CD之长．26. 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1)求证：△CDE≌△CBE；(2)若AB=4，填空：①当CD⏜的长度是______时，△OBE是等腰三角形；②当BC=______时，四边形OADC为菱形．参考答案及解析1.答案：B解析：解：A、若x2=4，则x=±2，故本选项错误；B、x2+x−k=0的一个根是1，则k=2，故本选项正确；C、若3x2=6x，则x=0或x=2，故本选项错误；D、分式x(x−2)的值为零，则x=2，故本选项错误；x故选：B．根据一元二次方程--因式分解法、直接开平方法，一元二次方程的解的定义以及分式有意义的条件分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了因式分解法、直接开平方法解一元二次方程以及分式有意义的条件，注意分式的值为零时，分子为零，分母不为零．2.答案：A解析：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．根据判别式的意义得到△=12−4(a−2)>0，然后解不等式即可．解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=12−4(a−2)>0，.解得a<94a的值可以是2，故选A.3.答案：A解析：解：过点F作FG⊥AC，垂足为G，如图1，∵∠ACB=90°，CA=CB，∴AB=√CA2+CB2=√2AC，又∵CE是AB边上的中线，∴AE=12AB=√22AC且CE=AE，∴∠ECA=∠EAC=45°，∴∠ECA=90°，即CE⊥AB，∴FE=FG，∴FGCD =EFCD，在△EFA和△GFA中，{∠BAD=∠DACFE=FG∠CEA=∠FGA=90°，∴△EFA≌△GFA(ASA)，∴AE=AG=√22AC，在△DAC和△FAG中，{∠DAC=∠FAG∠DCA=∠FGA=90∘，∴△DAC∽△FAG，∴FGCD =AGAC=√22ACAC=√22，∴EFCD =√22．故选：A．先过点F作FG⊥AC，垂足为G，由CE是△ABC的中线，根据等腰三角形的性质可得出，CE⊥AB，CE=AE，根据勾股定理可得出AE=12AB=√22AC，根据角平分线的性质可得出FE=FG，即FGCD=EFCD，可证△EFA≌△GFA，可得AG=AE，易证∴△DAC∽△FAG，即FGCD =AGAC，等量代换即可得出答案．本题主要考查了相似三角形和等腰三角形的性质，及角平分线的性质，本题属于综合性题目，合理利用相似三角形的性质是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：如图所示：当DF//BC时，则△AFD∽△ABC，当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC，当DN//AB时，则△CDN∽△CAB，当∠CDM=∠B时，则△CDM∽△CBA．这样的直线可以画4条．故选：D．分别利用当DF//BC时，当∠ADE=∠B时，当DN//AB时，当∠CDM=∠B时求出相似三角形，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，利用分类讨论得出相似三角形是解题关键．5.答案：D解析：解：二月份的营业额为30×(1+x)，三月份的营业额为30×(1+x)×(1+x)=30×(1+x)2，即所列的方程为30×(1+x)2=40，故选：D．三月份的营业额=一月份的营业额×(1+增长率)2，把相关数值代入即可．考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，∵∠A：∠B：∠C=2：3：6，设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，则2a+6a=180°，∴a=22.5°，∴∠B=3a=67.5°，∴∠D=180°−∠B=112.5°．故选C．7.答案：B解析：本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．解：如图，∵BC=1.4m，CA=0.7m，∴AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1(m)，∵小明与大树都与地面垂直，∴∠ACE=∠ABD=90°，∵∠CAE=∠BAD，∴△ACE∽△ABD，∴CEBD =ACAB，即1.6BD =0.72.1，解得BD=4.8．故选：B．8.答案：B解析：解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠O=130°，∴∠OAB=180°−∠O2=25°，∴∠BAC=∠OAC−∠OAB=90°−25°=65°．故选：B．利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.答案：B解析：解：∵▱ABCD的周长为32cm，∴AD+CD=16cm，OA=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△DCE的周长为：CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=16cm．故选：B．由▱ABCD的周长为32cm，可得AD+CD=16cm，OA=OC，又由OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可证得AE=CE，继而求得△DCE的周长=AD+CD．此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意得到△DCE的周长=AD+CD是关键．10.答案：C解析：解：作直径AD，连接BD，∴∠ABD=90°，AD=2OA=2×4=8，∴在Rt△ABD中，BD=√AD2−AB2=√82−62=2√7，∴cosD=BDAD =2√78=√74，∵∠C=∠D，∴cosC=√74．故选：C．首先作直径AD，连接BD，由直径所对的圆周角是直角，即可得∠ABD=90°，然后由勾股定理求得BD的长，继而求得cosD，又由圆周角定理，可得∠C=∠D，则可求得答案．此题考查了圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的性质．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．11.答案：3x2−3x−2=0解析：解：方程3x(x−1)=2，去括号得：3x2−3x=2，移项得：3x2−3x−2=0．故答案为：3x2−3x−2=0．方程整理为一般形式即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．12.答案：1解析：解：∵x1、x2是方程x2+x−1=0的两个根，∴x1+x2=−1，x1⋅x2=−1，∵(x1+2)(x2+2)=x1⋅x2+2(x1+x2)+4，∴(x1+2)(x2+2)=−1+2×(−1)+4=−1−2+4=1，故答案为：1．首先求出x1+x2=−1，x1⋅x2=−1，然后把(x1+2)(x2+2)化简为x1⋅x2+2(x1+x2)+4，最后整体代值计算．此题考查了一元二次方根与系数的关系．此题比较简单，若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+ q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．13.答案：9.42解析：解：这个几何体是圆锥．×2π×2=2π；圆锥的侧面积是：12底面积是：π，则全面积是：2π+π=3π≈9.42．故答案为：9.42．几何体是圆锥，根据扇形面积公式即可求得侧面积，底面是直径是2的圆，两者面积的和就是全面积．本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．14.答案：1：2解析：解：∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，∴△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的周长之比．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.答案：4√33或2解析：解：当∠ADP=90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB=30°，∴AP=2PD，∵AD2+PD2=AP2，∴42+PD2=(2PD)2，∴PD=4√33，当∠APD=90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB=30°，∴PD=12AD=2，综上所述，4√33或2．故答案为：4√33或2．根据勾股定理和30°的角所对的直角边是斜边的一半即可得到结论．本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．16.答案：15π4解析：解：∵半径长为3的扇形的圆心角为150°，∴此扇形的面积=150π×9360=15π4．故答案为：15π4．直接根据扇形的面积公式进行计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．17.答案：40解析：试题分析：根据勾股定理求出AD的长度，然后根据菱形的性质即可求出菱形ABCD的周长．∵DE⊥AB，DE=6，AE=8，∴AD=√DE2+AE2=10，故菱形ABCD的边长为10，则菱形ABCD的周长为：10×4=40．故答案为：40．18.答案：解：(1)x2−6x−4=0，b2−4ac=(−6)2−4×1×(−4)=52，x=6±√52，2x1=3+√13，x2=3−√13；(2)x(x−7)=5x−36，整理得：x2−12x+36=0，(x−6)2=0，开方得：x−6=0，即x1=x2=6．解析：(1)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可；(2)整理后配方，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．19.答案：(1)是矩形，理由是：∵△OAB是正三角形，∴AO=BO，∵四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．(2)∵∠ABC=90°，AB=5，∴由勾股定理得：BC=√102−52=5√3，∴平行四边形的面积为：5×5√3=25√3．解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分和△OAB是正三角形，得到AC=BD，从而判断出四边形ABCD是矩形，(2)再由他是矩形，由面积公式求其面积．本题考查的知识点：矩形的判定，勾股定理，平行四边形的面积计算．20.答案：(1)(2,3)；(2)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；(3)如图所示，△A″B″C″即为△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的图形．解析：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；(2)根据网格结构找出点A、C平移后的对应点A′、C′的位置，然后顺次连接即可；(3)根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A″、B″、C″的位置，然后顺次连接即可．21.答案：解：(1)一元二次方程x2−(m−3)x−m2=0，∵a=1，b=−(m−3)=3−m，c=−m2，∴△=b2−4ac=(3−m)2−4×1×(−m2)=5m2−6m+9∴△>0，则方程有两个不相等的实数根；=−m2≤0，x1+x2=m−3，(2)∵x1⋅x2=ca∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|，∴x1+x2=0，∴m−3=0，即m=3．解析：(1)找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2−4ac，然后判断出b2−4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；(2)利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，再根据两根的绝对值相同，可以知道两根互为相反数，即两根之和为0，从而可以得到m−3=0，即可确定m的值．22.答案：(1)解：如图，点C为所求；(2)证明：∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵点C是点A关于BD的对称点，∴AC⊥BD，OA=OC，∴OB=OD，∵AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．解析：(1)过A点作BD的垂线，垂足为O点，延长AO到C点使OC=OA，则C点与A点关于BD对称；(2)由∠ABD=∠ADB得到AB=AD，再利用对称的性质得到AC⊥BD，OA=OC，根据等腰三角形的性质得到OB=OD，然后利用AC与BD互相垂直平分得到结论．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了菱形的判定．23.答案：解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400−x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；(2)由题意可得：100(1−m%)×30+200×(1+2m%)×20(1−m%)=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000(1−y)+4000(1+2y)(1−y)=7000，整理可得：8y2−y=0，解得：y1=0，y2=0.125，∴m1=0(舍去)，m2=12.5，∴m2=12.5，答：m的值为12.5．解析：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．(1)利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；(2)根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．24.答案：解：(1)如图1，点O为所作；(2)如图2，∠ACD为所作．解析：(1)作AC和AB的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；(2)先截取BD⏜=BA⏜，再连接CD，则∠CAD满足条件．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.答案：解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACD+∠DCE=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠DCE，∵CD⊥AB，BC⊥DE，∴∠ADC=∠CED=90°，∴△ACD∽△CDE，∴ACCD =CDDE，∵AC=6cm，DE=4cm，∴CD=√4×6=2√6cm．故CD的长为2√6cm解析：根据垂直，可以得出∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCE=90°，根据等角或同角的余角相等∠A=∠DCE，所以△ACD和△CDE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出．本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，首先判定两三角形相似是解本题的关键．26.答案：(1)证明：如图1，延长AD交直线l于点F，∵AD垂直于直线l，∴∠AFC=90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF=90°，∴AD//OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠OEB=90°，∴OC⊥DB，∴DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又∵CE=CE，∴△CDE≌△CBE(SAS)；(2)①π；②2．2解析：(1)见答案；(2)①如图2，连接OD，当△OBE是等腰三角形时，由(1)知∠OEB=90°，∴△OEB为等腰直角三角形，∵∠BOE=45°，∵OD=OB，OE⊥BD，∴∠DOC=∠BOE=45°，∵AB=4，∴OD=2，∴CD⏜=45π×2180=π2，故答案为：π2；②当四边形OADC为菱形时，AD=DC=OC=AO=2，由(1)知，△CDE≌△CBE，∴BC=DC，∴BC=2，故答案为：2．(1)先证明OC⊥DB，然后利用垂径定理，得到DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又因为EC=EC，即可证出△CDE≌△CBE；(2)①先证明△OBE为等腰直角三角形，得到∠BOE为45°，连接OD，再用三线合一定理求出∠DOC= 45°，用弧长公式即可求出结果；②由菱形的性质可推出DC=AO=2，由△CDE≌△CBE，可知CB=CD=2．本题考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的性质，弧长公式，菱形的性质等，解答本题的关键是熟练掌握圆的相关性质．。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级四模数学试题及答案解析
中考数学模拟试题注意事项：1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11题～第28题，共18题）两部分．本卷满分130分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号填写在答题纸相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好．3．所有的试题都必须在专用的“答题纸”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米黑色水笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．）1．－5的相反数是（▲）A．15B．15C．5 D．－52．下列运算正确的是（▲）A．(－2x2)3＝－6x6B．(y＋x)(－y＋x)＝y2－x2 C．2x＋2y＝4xy D．x4÷x2＝x23．下列各式中，是3a2b的同类项的是（▲）A．2x2y B．―2ab2C．a2b D．3ab4．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：年龄（单位：岁）14 15 16 17 18人数 3 6 4 4 1则这些队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ） A ．15，15 B ．15，15.5 C ．15，16D ．16，155．如图，直线a ∥b ，EF ⊥CD 于点F ，∠2＝25°，则∠1的度数是 （ ▲ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°6．若双曲线y ＝m 2―2m x 过点（2，6），则该双曲线一定过点 （ ▲ ）A ．（―3，―4）B ．（4，―3）C ．（―6，2）D ．（4，4）7．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是 （ ▲ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．无法确定8．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，abC DEF1 2 （第5题）（第8题）（第7题）A BCD B ′（第10题）则任两个螺丝间的距离的最大值为 （ ▲ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．109．若A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是一次函数y ＝ax ＋x ―2图像上的不同的两点，记m ＝(x 1―x 2)( y 1―y 2)，则当m ＜0时，a 的取值范围是 （ ▲ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜―1 D ．a ＞―110．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14，有如下结论：①BC 的边长等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠前的△ABC 的面积可以等于33a 2；④折叠后，以A 、B 为端点的线段与中线CD 一定平行且相等，其中正确的结论是 （ ▲ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．处） 11．16的平方根是 ▲ ．12．国家提倡“低碳减排”，某公司计划建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，将数据213000000用科学记数法表示为 ▲ ． 13．函数23y x =+中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为▲ ．15．已知圆柱体的底面圆周长是6πcm ，母线长为5cm ，则该圆柱体的全面积为 ▲ cm 2．16．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 为¼BDC的中点，∠ABD ＝35º，则∠DBC＝ ▲ º．17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为 ▲ ．18．如图，等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝32，DC ＝2，对角线AC ⊥BD ，平行于线段BD 的直线MN 、RQ 分别以1个单位/秒、2个单位/秒的速度同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时两直线同时停止运动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为S 1，被直线RQ 扫过的面积为S 2，若S 2＝mS 1，则m 的最小值是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （本题满分8分）（1）计算：22cos4523-︒--+；（2）化简：2121a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭.20. （本题满分8分）（1）解方程：111=+-x x x ； （2）解不等式组：12,5 1.2x x x+≤⎧⎪⎨->⎪⎩．21.（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．22．（本题满分8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参与调查的学生及家长共有 ▲人；（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 ▲ 度； （3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生人数是 ▲ 人；（4）若全校有1200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有多少人？ABCDFE（第21题）23．（本题满分6分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练．物理、化学各有4个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况；（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c的号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备较好的实验题目的概率是多少？24．（本题8分）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30º，在A、C之间选择一点B （A、B、得塔顶D的仰角为75º，且AB间距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（第24题）（2）求塔高CD（结果用根号表示）．25．（本题满分10分）某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金m 元；（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：表1分段方式处理办法 不超过150元（含150元）全部由个人承担超过150元，不超过10000元（不含150元，含10000元）的部分个人承担n%，剩余部分由公司承担超过10000元（不含10000元）的部分全部由公司承担 设一职工当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的费用（包括医疗费个人承担的部分和缴纳的医疗公积金m 元）为y 元．（1）由表1可知，当0150x ≤≤时，y x m =+；那么，当15010000x <≤时，y = ▲ ； （用含m 、n 、x 的方式表示）（2）该公司职工小陈和大李2013年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：职工 治病花费的医疗费x （元）个人实际承担的费用y （元）小陈 300 280 大李500320请根据表2中的信息，求m 、n 的值，并求出当15010000x <≤时，y 关于x 函数解析式； （3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？26．（本题满分10分）如图，矩形OABC （4，―2）．抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点．yABCO（1）求抛物线的解析式；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当△APQ的面积恰好被AC平分时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，直接写出点H的纵坐标的取值范围．27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时tan ∠ABC 的值；若不存在，试说明理由．28．（本题满分8分）已知正方形ABCD 的边长AB ＝k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E 在边AB 上，且AE ＝1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过 程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k ＝1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k ＝1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n ＝ ▲ 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置.P （图1）（图2）yxOQPABDC yxOQPAB（2）若k＝2，则n＝▲时，顶点P．第一次回到原来的起始位置；若k＝3，则．．n＝▲时，顶点P．第一次回到原来的起始位置.．．（3）请你猜测：使顶点P．第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代．．数式表示n）.中考模拟考试(二)数 学 参 考 答 案三、解答题：本大题共10小题，共84分.19. （本题满分8分，每题4分）（1）原式＝ 2122329'⨯-+L L （2）221(1)=2a a a a--'÷原式L L ＝149'L L ＝141a a +'-L L 20. （本题满分8分，每题4分）（1）21(1)2x x x x '+-=-L L （2）解①得：x ≥1……1′ 132x '=L L 解②得：x ＜3……2′ 检验……4′ ∴1≤x ＜3……4′21. （本题满分8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝BC ，AB ＝CD ．……………2分 ∵点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE ＝12AD ，FC ＝12B C ．∴AE ＝CF ．……………………3分∴△AE B≌△CFD．4分（2）解：∵四边形EBFD是菱形，∴BE＝DE．……………………………5分∴∠EBD＝∠EDB．……………………6分∵AE＝DE，∴BE＝AE．∴∠A＝∠ABE．……………………7分∵∠EBD＋∠EDB＋∠A＋∠ABE＝180°，∴∠ABD＝∠ABE＋∠EBD＝12×180°＝90°．………………8分22. （本题满分8分）（1）400；………2分（2）135；………4分（3）62；…………6分（4）调查的学生的总人数是：62＋73＋54＋16＝205（人），对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是62＋73＝135（人），则全校有1200名学生中，达到“非常了解”和“基本了解”的学生是：1200×≈790（人）．…………8分23. （本题满分6分）解：（1）画树状图得：∴某个同学抽签的所有等可能情况有16种；………………………………………4分（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是＝．………………6分25．（本题满分10分）解：（1）()150150%y m x n =++- ………………………（2分） （2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：()()150300150%28010020150500150%320,m n m n m n ++-=⎧=⎧⎪⎨⎨=++-=⎩⎪⎩g g 解得： ………………………（6分） ()()1150********%220150100005y x x x ∴=++-=+≤p …………（8分） （3）个人实际承担的费用最多只需2220元． …………………………………（10分）26．（本题满分10分）解：（1）抛物线242y x x =--…………………………3分（2）①当1＜t ≤97时，如图1．若AC 平分△APQ 面积，则M 为PQ 中点， 作PN ⊥AB 交AC 于点N ，则AQ=PN=7（t-1） 由△APN ∽△ABC ，解得t=1413． …………………4分当97＜t ≤137时，如图2． 若AC 平分△APQ 面积，则M 为PQ 中点， ∴AP=CQ=t ，7（t-1）+t=6，解得t=138． …………………5分当137＜t ≤157时，AC 不可能平分△APQ 的面积．…………………6分 ∴当t=1413或138时，△APQ 的面积被AC 平分．②当H 2y <-或H 1423y >时，∠HOQ ＞∠POQ ．……………………10分（各2分）27．（本题满分10分）（图2）解：（1）Q ⎪⎭⎫⎝⎛3,425或()3,4 …………2分（少一解扣1分）（2）点E 为AB 的中点．……3分 理由．………5分（3）①当点C 在线段PQ 上时，延长BQ 与AC 的延长线交于点F ，过点F 作FH ⊥x 轴，垂足为H ； ∵ AC ⊥AB∴HA OB F A ∽△△∴FH AO FA AB = 即345=FA∴415=FA∵ DQ ∥AC ，DQ ＝AC ，且D 为BC 中点∴ F C ＝2DQ ＝2AC ，∴45=AC ，在Rt △BAC 中， tan ∠ABC ＝41………8分②当点C 在PQ 的延长线上时，tan ∠ABC ＝49．……………………………………10分28．（本题满分8分）（1）12次 ………………2分 （2）24次；12次；……………………4分（3）当k 是3的倍数时，n ＝4k ；当k 不是3的倍数时，n ＝12k. …………8分DCyxOQPABF。
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷(苏科版含答案)
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）【九年级】2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟满分：130分后）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．以下方程中，一元二次方程的就是…………………………………………………（）a.3x－2x＝0b.x(x－1)＝1c.x2＝(x－1)2d.ax2＋bx＋c＝02．若△abc∽△def，相近比为1:2．若bc＝1，则ef的短就是…………………（）a.12b.1c.2d.43．原价168元的商品已连续两次降价a%后售价为128元，以下方程恰当的就是…（）a.128(1＋a%)2＝168b.168(1－a2%)＝128c.168(1－2a%)＝128d.168(1－a%)2＝1284．如图，⊙o的直径cd垂直弦ab于点e，且ce＝2，de＝8，则ab的长为（）a.2b.4c.6d.85．如图，在⊙o中，ab是直径，bc是弦，点p是⌒bc上任意一点．若ab＝5，bc＝3，则ap的长不可能为………………………………………………………………（）a.3b.4c.4.5d.56．已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（）a.34πb.2πc.3πd.12π7．如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的切线，连接oc交⊙o于点d，连接bd，∠c＝40，则∠abd的度数就是……………………………………………………（）a.25b.20c.30d.158．例如图，边长为a的也已六边形内有两个三角形（数据例如图），则s阴影s空白的值……（）a.3b.4c.5d.69．例如图，未知△abc和△ade均为等边三角形，d在bc上，de与ac平行于点f，ab＝9，bd＝3，则cf等同于…………………………………………………………（）a.1b.2c.3d.410．例如图，rt△abc中，ac⊥bc，ad平分∠bac交bc于点d，de⊥ad交ab于点e，m为ae的中点，bf⊥bc交cm的延长线于点f，bd＝4，cd＝3．以下结论：①∠aed＝∠adc；②deda＝12；③acbe＝12；④3bf＝4ac．其中恰当结论的个数存有（）a．1个b．2个c．3个d．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分后，共20分后.）11．方程x2＝0的解是.12．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2＝1的一个根为0，则a＝.13．若一元二次方程mx2＝n（mn＞0）的两个根分别是k＋1与2k－4，则nm＝.14．例如图，未知ab就是△abc外接圆的直径，∠a＝35，则∠b的度数就是.15．如图，在△abc中，点d、e分别在ab、ac上，de∥bc．若ad＝4，db＝2，则debc的值.16．如图，ab、ac、bd是⊙o的切线，p、c、d为切点，如果ab＝5，ac＝3，则bd的长为.17．例如图，△abc中，ae交bc于点d，∠c＝∠e，ad:de＝3:5，ae＝8，bd＝4，则dc的长等同于.18．如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝2，以bc为直径的半圆交ab于点d，p是⌒cd上的一个动点，连接ap，则ap的最小值是.19．例如图，a、b、c、d依次为一直线上4个点，bc＝2，△bce为等边三角形，⊙o过a、d、e3点，且∠aod＝120．设ab＝x，cd＝y，则y与x的函数关系式为.20．如图，在矩形abcd中，ad＝8，e是边ab上一点，且ae＝14ab．⊙o经过点e，与边cd所在直线切线于点g（∠geb为锐角），与边ab所在直线处设另一点f，且eg:ef＝5:2．当边ad或bc所在的直线与⊙o相切时，ab的长是.三．答疑题（本大题共8小题，共80分后.答疑须要写下必要的文字说明或编程语言步骤）21．（16分）解方程：（1）x2－5x－6＝0（2）2x2－4x－1＝0（3）(x－7)2＋2(x－7)＝0（4）(3x＋2)2＝4(x－3)222．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.（1）若方程存有实数根，谋实数m的值域范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值.23．（8分后）例如图，ab为⊙o的直径，pd乌⊙o于点c，交ab的延长线于点d，且∠d＝2∠a．（1）求∠d的度数；（2）若cd＝2，求bd的长．24．（10分后）例如图，在□abcd中，过点b作be⊥cd于e，f为ae上一点，且∠bfe＝∠c.（1）求证：△abf∽△ead；（2）若ab＝4，∠bae＝30，谋ae的长；（3）在（1）（2）的条件下，若ad＝3，求bf的长.25．（8分后）某商店准备工作入一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可以卖出180个，定价每减少1元，销售量天量增加10个；定价每增加1元，销售量天量减少10个．因受到库存的影响，每批次发货个数严禁少于180个，商店若将准备工作买进2000元，则应当发货多少个？定价为多少元？26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点a、b、c．（1）图画出高圆弧所在圆的圆心d的边线（不必文学创作法，留存作图痕迹），并相连接ad、cd．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点o为原点、水平方向所在直线为x轴、直角方向所在直线为y轴，创建平面直角坐标系则，写下点的座标：c（6，2）、d；（2，0）②⊙d的半径为25（结果留存根号）；③若用扇形adc围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是5π4；④若e（7，0），试判断直线ec与⊙d的位置关系并说明你的理由．27．（10分后）例如图，在锐角△abc中，ac就是最短边，以ac中点o为圆心，12ac短为半径并作⊙o，交bc于e，过o作od∥bc交⊙o于d，联结ae、ad、dc．（1）求证：d是⌒ae的中点；（2）澄清：∠dao＝∠b＋∠bad；（3）若s△cefs△ocd＝12，且ac＝4，求cf的长.28.（10分后）在□aboc中，ao⊥bo，且ao＝bo．以ao、bo所在直线为坐标轴创建如图所示的平面直角坐标系则，未知b(－6，0)，直线y＝3x＋b过点c且与x轴处设点d．（1）求点d的坐标；（2）点e为y轴正半轴上一点，当∠bed＝45°时，谋直线ec的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线ec与x轴交于点f，ed与ac交于点g．点p从点o出发沿折线of－fe运动，在of上的速度是每秒2个单位，在fe上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线pa交be于h，设运动时间为t．当以e、h、a为顶点的三角形与△egc相似时，求t的值．初三数学期中考试参考答案与评分标准2021.11一、选择题（每题3分）bcddacacbc二、填空题（每空2分后）11.x1＝x2＝012.113.414.5515.2316.217.15418.5－119.y＝4x20.4或12三、解答题21.①x1＝6，x2＝－1②x1,2＝2±62③x1＝7，x2＝5④x1＝－8，x2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分）22.（1）∵原方程存有实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2－1)≥0…………………………（3分后）解得m≥－1，故m的取值范围是m≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1……（5分后）由(x1－x2)2＝16－x1x2得(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，即4(m＋1)2＝16＋3(m2－1)（6分）化简整理得，m2＋8m－9＝0，Champsaurm＝－9或m＝1………………………（7分后）考虑到m≥－1，故实数m的值为1…………………………………………（8分）23.（1）联结oc…………………………………………………………………………（1分后）∵pd切⊙o于点c，∴oc⊥pd………………………………………………（2分）∵⊙o中，oa＝oc，∴∠cod＝2∠a，而∠d＝2∠a，∴∠cod＝∠d（3分后）∴在rt△cod中，d＝45…………………………………………………（4分）（2）∵在rt△cod中，co＝cd＝2，∴od＝22………………………………（6分后）∴bd＝22－2…………………………………………………………………（8分）24.（1）先证∠abf＝∠ead，…………………………………………………………（2分后）再证∠baf＝∠aed，…………………………………………………………（3分）∴△abf∽△ead………………………………………………………………（4分后）（2）ae＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△abf∽△ead，得bfad＝abae，………………………………………………（8分后）故bf＝abadae＝3×4833＝332．………………………………………………（10分）25.因每批次发货个数严禁少于180个，故原销售定价应当减少……………………（1分后）设在原销售定价基础上增加x元，则销售量减少10x个………………………（2分）根据题意，(52＋x－40)(180－10x)＝2000，……………………………………（4分后）化简整理，得x2－6x－16＝0，解得x＝8或－2…………………………………（6分）而x≥0，∴x＝8……………………………………………………………………（7分后）答：应定销售价每个60元，进货100个…………………………………………（8分）26.（1）画图，略………………………………………………………………………（2分后）（2）c(6，2)、d(2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）…………………………（7分）ec与⊙d切线（推论1分后，用笔2分后）……………………………………（10分后）27.（1）∵ac是⊙o的直径，∴∠aec＝90°，即bc⊥ae…………………………（1分）∵od∥bc，∴od⊥ae…………………………………………………………（2分后）∴⊙o中，d是⌒ae的中点………………………………………………………（3分）（2）缩短ad交bc于g，在⊙o中，oa＝od，又存有od∥bc，∴∠dao＝∠ado＝∠agc＝∠b＋∠bad…………………………………（6分）（3）∵s△ocd＝12s△ac d，s△cefs△ocd＝12，∴s△cefs△acd＝14………………………………（7分后）可证△cef∽△cda…………………………………………………………（8分）∴cfca＝12，cf＝12×4＝2…………………………………………………（10分后）28.（1）c(6，6)……………………………………………………………………………（1分）b＝－12，d(4，0)……………………………………………………………（2分后）（2）e(0，12)…………………………………………………………………………（4分）直线ec的解析式就是y＝－x＋12………………………………………………（5分后）（3）t＝3………………………………………………………………………………（7分）或t＝212…………………………………………………………………………（10分后）。
2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）A．2024B．2023C．2022D．20213．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝574．（3分）下列说法正确的是（ ）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）A．B．C．∠AED＝∠C D．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．47．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）A．8B．4C．3.5D．39．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（ ）A．B．C．D．5二.填空题（共8小题）11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ ．12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 cm2．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ （结果保留π）．15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 ．16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H 为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 ．17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．三.解答题（共10小题）19．解方程：（1）（x﹣1）2＝36；（2）2x2﹣7x+3＝0．20．解方程：（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．27．【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC 于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．（1）求证：∠AED＝∠ABC．（2）若，求CE的长．（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、2x+1＝0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；C、x2+y＝1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）A．2024B．2023C．2022D．2021【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将m代入方程得m2﹣2m﹣3＝0，再整体代入即可得解．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，∴m2﹣2m﹣3＝0．∴m2﹣2m＝3．∴2026﹣m2+2m＝2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣3＝2023．故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键．3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，⇒x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故选：A．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）下列说法正确的是（ ）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）A．B．C．∠AED＝∠C D．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：如图：A、，不能判定DE∥BC，故A符合题意；B、∵，∴DE∥BC，故B不符合题意；C、∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，故C不符合题意；D、∵，∴DE∥BC，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OC，由垂径定理求出EC的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．【解答】解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴EC＝CD＝×6＝3，∵AB＝10，∴OC＝OA＝5，∴OE＝＝4，∴AE＝OA﹣OE＝1．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理求出CE 的长，由勾股定理求出OE的长．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B＝50°，再求出∠CAB即可．【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝130°，∴∠B＝50°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）A．8B．4C．3.5D．3【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到结论．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，∴DE＝，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，∵DE+DF＝6.5，∴EF＝10.5﹣6.5＝4，故选：B．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．9．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和定理得到∠ABE＝＝108°，等量代换得到∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在正五边形ABEFG中，∠ABE＝＝108°，∵将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，∴∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝108°+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BAC＝36°，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAC＝36°，∴∠BCD＝∠BAC，AD＝CD＝BC，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∵AB＝BC+1，∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣BC＝1，∴＝，∴BC＝，∴AB＝BC+1＝，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（ ）A．B．C．D．5【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD＝CD＝4，进而可证ID＝BD＝4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，利用OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．【解答】解：连接BD、CD、BI，∵I为△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∴，∴BD＝CD＝4，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID，∴ID＝BD＝4，∵OI⊥AD，∴AD＝2ID＝8，∴AB＝，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，则OE＝AB﹣x＝2﹣x，∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2，∴（2）2﹣（2﹣x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴BE＝，∴BC＝2BE＝，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD＝2BD是解此题的关键，有一定的难度．二.填空题（共8小题）11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ 4 ．【分析】把x＝1代入原方程得到关于a的方程1﹣a+3＝0，然后解方程即可．【解答】解：把x＝1代入原方程得，1﹣a+3＝0，解得a＝4．故答案为4．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义：使方程左右两边成立的未知数的值叫方程的解．12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 50π cm2．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π（cm），则圆锥的侧面积是：．故答案为：50π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜2且m≠1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．故答案为m＜2且m≠1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ π （结果保留π）．【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．【解答】解：由作图知：OP垂直平分AB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∵扇形的半径是1，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 相离 ．【分析】首先求出方程的根，得到圆心O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【解答】解：∵x2﹣4x﹣5＝0，∴（x+1）（x﹣5）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∵点O到直线l距离是方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，∴x＝5，∴点O到直线l的距离d＝5，∵r＝4，∴d＞r，∴直线l与圆相离，故答案为：相离．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，解决问题的关键是掌握比较圆心到直线的距离d与圆的半径r大小关系判定直线与圆的位置关系．16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H 为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 18 ．【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，可求出EF的长，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出AC的长．【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵HD＝3，AE＝2AD，∴3：EF＝AD：2AD，∴EF＝6，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵EF＝6，AB＝3BE，∴6：AC＝BE：3BE，∴AC＝18，故答案为：18．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．【分析】连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，根据FE//BC得△DOF∽△DBC，然后设圆的半径为r，OE＝OC＝r，求出r＝5﹣x，用含x的式子表示出OF，CF，OC，再在△OCF中，利用勾股定理构建方程求出x，继而可得答案．【解答】解：连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，设半径为r，AE＝x，则BE＝4﹣x，则EF⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，∴EF∥BC，∴△DOF∽△DBC，四边形BCFE是矩形，∴，即＝，CF＝BE＝4﹣x，∴r＝5﹣x，则OF＝x，CF＝4﹣x，在Rt△OCF中，∵CF2+OF2＝OC2，∴（4﹣x）2+（x）2＝（5﹣x）2，解得x＝或x＝﹣6（舍），则r＝5﹣x＝，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．【分析】连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B，先求出点F在以r为半径的⊙O上运动，取得BF最大值为BO1+r，再根据勾股定理求出BO1＝r，最后代入化简即可．【解答】解：连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B．设AO＝OC＝r，则AB＝2r，∴O1F＝OC＝r，∴点F在以r为半径的⊙O上运动，∴当点F运动至BO1的延长线与⊙O1的交点处（B，O1，F三点共线）时，BF取得最大值，最大值为BO1+r．在Rt△AO1B中，BO1＝＝r，∴BF的最大值为（+1）r，∴的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，求圆上一点到圆外一点的最短距离，熟练掌握各知识点是解题的关键．三.解答题（共10小题）19．解方程：（1）（x﹣1）2＝36；（2）2x2﹣7x+3＝0．【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x﹣1＝±6，∴x1＝7，x2＝﹣5；（2）（2x﹣1）（x﹣3）＝0，2x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣直接开平方法，解决本题的关键是掌握因式分解法和直接开平方法．20．解方程：（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）方程整理，得：（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，因式分解，得：（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0．于是，得：x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x1＝5，x2＝7；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．因式分解得：（2x﹣5+1）（2x﹣5﹣2）＝0，即（2x﹣4）（2x﹣7）＝0，∴2x﹣4＝0或2x﹣7＝0，解得：x1＝2，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可求解．（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．【解答】解：（1）有两个不相等的实数根，理由如下：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝m2+2m+13＝（m+1）2+12，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+12≥12，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得：x1x2＝m﹣1，x1+x2＝m+3，∴3x1﹣x1x2+3x2＝3（x1+x2）﹣x1x2＝3（m+3）﹣（m﹣1）＝12，解得：m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．【分析】（1）先由角平分线的定义说明∠BAC＝∠EAD，再由已知可得结论；（2）先由（1）三角形相似得∠B＝∠E，再由已知角平分线的定义、公共角可得△BDF∽△BAD，代入计算得结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（2）解：由（1）知△AED∽△ABC，∴∠B＝∠E．又∵∠EFA＝∠BFD，∴∠EAB＝∠EDB．∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EDB＝∠BAD．又∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD．∴＝．∴AB＝＝＝．答：AB的长为．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握角平分线的定义和相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．【分析】（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（2）解：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；（2）不能，理由如下：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．【分析】（1）如图1，连接AD，由于AB为直径，则∠ADB＝90°，由于AB＝AC，所以AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠EAD，于是得到BD＝DE；（2）如图2，延长CA交圆于E，连接BE、DE，与（1）一样得到∠BAD＝∠DAC，而∠DAC＝∠DBE，所以∠DBE＝∠BAD，所以DE＝BD．【解答】解：（1）如图1，DE为所作：（2）如图2，DE为所作：【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后可得OC是△ABC的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；（2）由（1）知，则根据勾股定理可得AD＝8，然后根据等积法可得，进而可得△CDE∽△CAB，则根据相似三角形的性质可进行求解．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴DC＝DB，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，在△ABD中，由勾股定理得，，由得，；∵∠DCE＝∠ACB，∠CED＝∠CBA，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．【分析】（1）过A作AM⊥BC垂足为M，根据面积计算出AM＝8，根据勾股定理计算出，从而得到AM垂直平分BC，再证明△BEF≌△CHG得到BE＝HC，设FE＝x，分别得到，根据BC＝BE+EH+HC建立方程，解方程即可得到答案；（2）根据矩形的性质推到得EF＝AM＝8，得出AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，再根据勾股定理计算出CH＝6，通过AF∥EC证明△AFP∽△CEP，通过三角形的相似比计算出AP：CP；（3）根据∠B＝∠HCG和∠B＝∠HGC两种情况进行讨论，当∠B＝∠HCG可利用（1）得结论得到答案，当∠B＝∠HG C时，EF＝x，得；，EH＝GH＝x，根据HC＝BC﹣BE﹣EH得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，∵AM⊥BC，平行四边形ABCD的面积为96，∴BC•AM＝96，∴AM＝8，∴，∴MC＝6，∴AM垂直平分BC，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB，设FE＝x，∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴AM∥EF，∴△BFE∽△BAM，∴，∴，∴，在△BEF和△CHG中，∴△BEF≌△CHG（AAS），∴，∵EH＝EF＝x，BC＝BE+EH+HC，∴，∴S正方形EFGH＝；（2）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，∴AM∥EF，AM⊥BC，∵平行四边形ABCD，∴AF∥BC，∴四边形AMEF为矩形，∴EF＝AM＝8，∵AD＝BC＝12，FD＝EF，∴AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，∵CD＝10，DH＝8，∴CH＝6，∴EC＝EH﹣CH＝8﹣6＝2，∵AF∥EC，∴∠FAP＝∠PCE，∠AFP＝∠PEC，∴△AFP∽△CEP，∴，∴AP：CP＝2：1；（3）如图所示，∵△BEF∽△CHG，当∠B＝∠HCG时，点G在AC上时，由（1）得△BEF≌△CHG，；当∠B＝∠HGC时，点G不在AC上，如图所示，∵△BEF∽△CHG，∴，设EF＝x，得，EH＝GH＝x，∴，∴，，∴，∴，∴．【点评】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形性质和判定和相似三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用相似三角形的相似比建立方程．27．【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．【分析】（1）证明两三角形全等，证得相关线段与角的关系，进一步证明相似，进而得出位置关系；（2）由矩形相似得出对应边成比例且夹角相等，证得相似得出比例线段，再根据勾股定理求出关键线段，即可求解；（3）根据题意进行分类讨论，画出图形，运用解直角三角形、勾股定理、相似三角形、特殊四边形、角平分线特性，求出关键线段即可求解．【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG．证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AD，AE＝AG，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴∠EBA＝∠GDA，BE＝DG，∵∠BOH＝∠AOD，∴△BHO∽△DAO，∴∠BHO＝∠BAD＝90°，∴BE⊥DG；（2）过点A作AM⊥DE于点M，∵矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，∴，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，∴△EAB∽△GAD，∴，在Rt△AEG中，＝5，，∴AM＝，MG＝，MD＝，∴GD＝MD﹣MG＝4，∵，∴BE＝3；（3）①当点P在线段AG上时，根据题意作图如下：连接BD交AC于点O，作CM⊥AF，交AF的延长线于点M，作CN∥AG交AF 于点N，∵菱形ABCD∽菱形AEFG，∴∠DAB＝∠GAE，∠DAC＝∠BAD，∠GAF＝∠GAE，BD⊥AC，AO＝AC＝3，∴∠DAC＝∠GAF，∴∠DAG＝∠CAF，∵AG平分∠DAC，∴∠DAG＝∠DAC，∴∠GAC＝∠CAF＝∠GAF，∵CN∥AG，∴∠GAC＝∠ACN，∠CNM＝∠GAF，∴∠CAF＝∠ACN，∴AN＝CN，在Rt△ADO中，cos∠DAC＝，∴cos∠CNM＝cos∠PQC＝cos∠PAQ＝，∴tan∠APQ＝＝，∵PQ⊥AF，∴∠PAQ+∠APQ＝∠PQC+∠CQM＝90°，∴∠APQ＝∠CQM，∴tan∠CQM＝tan∠APQ＝＝，即，在Rt△CNM中，可得三边比值为：MN：CM：CN＝3：4：5，∵AN＝CN，∴CM：AM＝1：2，在Rt△CAM中，设CM为3x，则QM＝4x，AM＝6x，根据勾股定理得：AM2+CM2＝AC2，即（6x）2+（3x）2＝62，解得：x＝，∴AQ＝AM﹣QM＝2x＝，∴AP＝AQ＝；②当点P在线段AG的延长线上时，根据题意作图如下：过点C作CM⊥AF于点M，同①可知：此时AQ＝AM+MQ＝10x，∴AQ＝10×＝，∴AP＝AQ＝，所以AP的长为或．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与相似、正方形、矩形、菱形的性质、勾股定理、角平分线性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识和技能，根据图形进行分类讨论是解题的关键．28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC 于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．（1）求证：∠AED＝∠ABC．（2）若，求CE的长．（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．【分析】（1）由DF∥BC可知∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，再由过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D得出∠ADE＝90°，从而利用同角的余角相等即可得证；（2）取DE的中点O，连接EO，GO，则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，证明∠BEC＝∠ABC从而得到△BEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出，从而得解；（3）①分FG∥BD和FG∥DM两种情况讨论，当FG∥BD时，利用垂径定理得到EF＝EG，再利用平行线分线段成比例得到证明AE＝BE，从而设AE＝BE＝x，根据勾股定理列方程得到62+（8﹣x）2＝x2，求出BE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；当FG∥DM时，先利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明，再过点M作MP⊥BE，构造垂直平分线，从而得到PE＝PB，有利用AAS证明△PDE≌△ADE，从得到AD＝PD，DE＝3x可得AD＝PD＝4x，PB＝5x，利用AB的长度列方程可求出x，利用勾股定理得到BE，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；②过点E作EQ∥BC，FM于点Q，延长FM交BC于点R，取CE的中点S，则SM是△CEB的中位线，则有MS⊥AC，，设AF＝4a，则CF＝8﹣4a利用EQ∥DF求出EQ，求出DF和EF 的长，利用SSA证明△EQM≌△BRM，从而得到EQ＝BR＝2a，CR＝BC﹣BR＝6﹣2a，最后利用△EFQ∽△CFR得到，解出a，得到EF的长度，根据三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，∴线段DE是过点D，E，F的外接圆的直径，又∵过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，∴∠ADE＝90°，∠AED+∠A＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠AED＝∠ABC；（2）解：取DE的中点O，连接FO，GO，则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，∵∠DFE＝∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EDF＝∠AED+∠A＝90°，∴∠EDF＝∠A，∠AED＝90°﹣∠A，又∵DO＝FO＝EO＝GO，∴∠DFO＝∠EDF＝∠A，∵＝，∴FD＝FG，∵FD＝FG，DO＝GO，FO＝FO，∴△DFO≌△GFO（SSS），∴∠DFO＝∠GFO＝∠A，∴∠DEG＝∠DFG＝∠DFO+∠GFO＝2∠A，∴∠BEC＝180°﹣∠DEG﹣∠AED＝180°﹣2∠A﹣（90°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝∠AED＝∠ABC，∵∠BEC＝∠ABC，∠BCE＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△ABC，∴，。
2020-2021学年无锡市锡中实验学校九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年无锡市锡中实验学校九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. tan45°sin45°−2sin30°cos45°+tan30°=( ) A. 12 B. √22 C. √32 D. √332. 在2017年的初中数学竞赛中，我校有5位同学获奖，他们的成绩分别是88，86，91，88，92.则由这组数据得到的以下结论，错误的是( )A. 极差为6B. 平均数为89C. 众数为88D. 中位数为91 3. 若⊙O 的直径是10cm ，点P 到圆心的距离是8cm ，则点P 和⊙O 的位置关系是( )A. 点P 在⊙O 内B. 点P 在⊙O 上C. 点P 在⊙O 外D. 不确定 4. 在△ABC 中，∠B =90°，AB 与AC 是二元一次方程组{3x −y =2x +y =18的解，则sinA =( ) A. 512B. 1213C. 513D. 125 5. 如图是百度地图的一部分(比例尺1：4000000)，厦门到泉州的图上距离约为1.825cm.按图可估测厦门在泉州的方位及两地的实际距离约为( )A. 南偏西55°，7.3公里B. 南偏西55°，73公里C. 北偏东55°，7.3公里D. 北偏东35°，73公里6. 如图，一辆小车沿坡度为512的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是( ) A. 5米B. 6米C. 6.5米D. 12米7. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，若∠ABC =40°，则∠BDC 的度数是( )A. 60°B. 55°C. 50°D. 48°8.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为()A. 10+√7或5+2√7B. 15C. 10+√7D. 15+3√79.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至，使△ABP绕点A旋转后，与重合.若AP=，则的长为A. 2B.C.D.10.如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是()A. (4,−2)B. (4,2)C. (−2,√3)D. (2√3,−2)二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）11.已知扇形的半径是30cm，圆心角是108°，则该扇形的弧长为______cm(结果保留π)．12.若样本x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为10，方差为2，则另一样本x1+2，x2+2，…，x n+2，的平均数为______ ，方差为______ ．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=120°，则∠C=______ °.14.已知圆锥的底面圆的半径是8cm，母线长是10cm，则圆锥的侧面积是______cm2．15.点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于______cm．16.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是______ cm2．17. 等腰△ABC 中，AB =AC =4√5，BC =8，则它的外接圆半径为______ ；如图，△ABC 中，∠ACB =120°，AB =6，则它的外切圆⊙O 的半径为______ ．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =12m ，cosA =1213，则tan∠BCD = ．19. 在直线上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，则S 1+S 2+S 3+S 4的值等于______．三、计算题（本大题共1小题，共14.0分）20. (1)计算(−12)2+(3−π)0+|√3−2|+2sin60°−√8；(2)解不等式组{x −1+3x 2>−35x −12≤2(4x −3)．四、解答题（本大题共8小题，共68.0分）21. 某校在“校艺术节”期间，举办了A 演讲、B 唱歌、C 书法、D 绘画共四个项目的比赛．要求每位同学必须参加且限报一项．以九年级(一)班为样本进行统计，并将结果绘制尚不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题：(1)在扇形统计图中，D 项的百分率是______；(2)在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是______；(3)请补充完整条形统计图；(4)若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？22.如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE=______，∴四边形EACD是平行四边形(______)(填推理的依据)．∴AM=MD(______)(填推理的依据)．∴点M为所求作的边AD的中点．23.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA−AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC−CD运动，P、Q两点同时出发，当点Q 到达D时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)求AC的长；(2)若S△BPQ=S，求S关于t的解析式．24.如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，CT为⊙O的切线，且AC与CT垂直，AC交⊙O于点D.求证：AT平分∠BAD．25.如图，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°且距离A点20海里的C处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，求救生船到达B处行驶的距离？(参考数据：sin68°≈0.90，cos68°≈0.36，tan68°≈2.50，√3≈1.7)26.已知矩形ABCD中，AD=√5+√3，AB=√5−√3，求这个矩形的对角线AC的长及其面积．27.(1)如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD；(2)如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的长．28.如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD=∠DAB.过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．(1)求证：BP是⊙O的切线；(2)如果OA=5，AM=4，求PN的值；(3)如果PD=PH，求证：AH⋅OP=HP⋅AP．参考答案及解析1.答案：D解析：解：原式=1×√22−2×12×√22+√33=√33 故选：D ．分别把tan45°=1，sin45°=cos45°=√22，sin30°=12，tan30°=√33代入原式计算即可． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2.答案：D解析：解：A 、这组数据的极差是92−86=6，正确；B 、这组数据的平均数是88+86+91+88+925=89，正确；C 、这组数据的众数是88，正确；D 、这组数据的中位数是88，错误；故选：D ．根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案．本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键．3.答案：C解析：解：∵点P 到圆心的距离为8cm ，大于⊙O 的半径10÷2=5cm ，∴点P 在⊙O 外．故选：C ．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d ，则d >r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d >r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d <r 时，点在圆内．4.答案：B解析：解：{3x −y =2①x +y =18②， ①+②得，4x =20，解得，x =5，把x =5代入②得，y =13，则AC=13，AB=5，由勾股定理得，BC=√AC2−AB2=12，则sinA=BCAC =1213，故选：B．利用加减消元法求出x、y，得到AB、AC，根据勾股定理求出BC，根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是锐角三角函数的定义、二元一次方程组的解法，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．5.答案：B解析：解：由题意可得，1.825×4000000=7300000cm=73000m=73km=73公里，由图可知，厦门在泉州的方位是南偏西55°，故选：B．根据题意和图形，利用比例的知识可以解答本题．本题考查解直角三角形的应用−方位角问题、比例线段，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．6.答案：A解析：解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB=13m，BC：AC=5：12，∴可以假设：BC=5k，AC=12k，∵AB2=BC2+AC2，∴132=(5k)2+(12k)2，∴k=1，∴BC=5m，故选：A．在Rt△ABC中，设BC=5k，AC=12k，利用勾股定理求出k即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.答案：C解析：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=40°，∴∠BAC=90°−∠ABC=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°．故选：C．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．8.答案：A解析：解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：√82−62=2√7，故m+n=5+2√7；当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：√42−32=√7，故m+n=10+√7；故选：A．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．9.答案：A解析：∵△ABP绕点A旋转后能与△ACP′重合，∴AP=AP′=，∠PAP′=90°，∴PP′=2．10.答案：D解析：本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过C作CD⊥OB于D，根据等边三角形的性质即可得到结论．解：过C作CD⊥OB于D，∵等边三角形ABC的边长为4，∴OD=2，CD=2√3，∴C(2√3,−2)，故选：D．11.答案：18π解析：解：∵扇形的半径是30cm，圆心角是108°，=18π(cm)．∴该扇形的弧长是：108×π×30180故答案为：18π．，代入就可以求出弧长．根据弧长公式是l=nπr180本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．12.答案：11；2解析：解：根据题意，新数据都加了1，所以平均数也加1，即新数据的平均数为11；又因为数据的波动大小没变，所以方差不变，仍然是2．故填11；2．利用平均数和方差的定义解答．本题考查方差、平均数的意义．13.答案：60解析：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=120°，∴∠C=60°．故答案为：60．根据圆内接四边形的对角互补可得答案．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．14.答案：80π解析：解：∵圆锥的底面圆的半径是8cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm，∴圆锥的侧面积=12×10cm×16πcm=80πcm2．故答案为80π．先计算出圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm，而圆锥的侧面展开图为扇形，然后根据扇形的面积公式进行计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了扇形的面积公式．15.答案：3解析：解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CP=12CD=4cm．根据勾股定理，得OP=√OC2−CP2=√52−42=3(cm)．故答案为：3．根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．16.答案：5π解析：解：∵∠ABC=∠A′BC′=30°，∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180°−30°=150°，∴按反方向旋转相同的角度即可得到阴影部分为两个扇形面积的差，∵AB=4cm，BC=2cm∴S阴影部分=150π(42−22)360=5π．故答案为：5π．根据题意可知该阴影部分的面积为两个扇形面积的差，分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影部分的面积．本题考查了扇形的面积的计算，解决此题的关键是根据题目中旋转的角度判断阴影部分的组成．17.答案：5；3√3解析：解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，BC=4，∴BD=CD=12∴△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4√5，BD=4，∴AD=√AB2−BD2=8，在Rt△OBD中，OD=AD−OA=8−r，OB=r，BD=4，∴42+(8−r)2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圆的半径为5；如图2，作直径BD，连结AD，∵∠D+∠ACB=180°，∴∠D=180°−120°=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ADB中，∠ABD=30°，AB=6，∴AD=√3AB=2√3，3∴BD=2AD=4√3，∴△ABC的外接圆半径为2√3．故答案为5，2√3．BC=4，再利用三角形外心的定义如图1，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=12得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+(8−r)2=r2，再解关于r的方程即可；如图2，作直径BD，连结AD，先根据圆内接四边形的性质得∠D=180°−∠ACB=60°，再根据圆周角定理由BD为直径得∠BAD=90°，然后在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BD.从而得到三角形外接圆半径．本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查来哦三角形外接圆与外心．18.答案：1536解析：试题分析：利用“同角的余角相等”推知∠BCD=∠A，所以将所求的角的正切函数值转化为求∠A的正切函数值．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12m，，∴=，即=，∴AD=m.又∵CD⊥AB，∴CD===m.∵∠BCD=∠A，∴tan∠BCD=tan∠A===．故答案是：．19.答案：4解析：解：∵在Rt△CDE和Rt△ABC中，易知∠EDC=∠CBA，∠ECD=∠CAB，EC=CA，∴△CDE≌△ABC(AAS)，∴AB =CD ，BC =DE ，∴AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2=3，同理可证FG 2+LK 2=HL 2=1，∴S 1+S 2+S 3+S 4=CE 2+HL 2=1+3=4．故答案为：4．如图，易证△CDE≌△ABC ，得AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2，同理FG 2+LK 2=HL 2，S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2是解题的关键．20.答案：解：(1)原式=4+1+2−√3+2×√32−2√2 =4+1+2−√3+√3−2√2=7−2√2；(2){x −1+3x 2>−3①5x −12≤2(4x −3)②， 由①得，x <2，由②得，x ≥−2，所以，不等式组的解集是−2≤x <2．解析：(1)本题涉及指数幂、零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)；也考查了实数的运算． 21.答案：4% 72°解析：解：(1)∵参加比赛的总人数为13÷26%=50(人)，∴参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比是250×100%=4%；故答案为：4%；(2)根据题意得：360°×(1−26%−50%−4%)=72°．则参加书法比赛的C 项所在的扇形圆心角的度数是72°．故答案为：72°；(3)参加书法的人数为50−(13+25+2)=10(人)，补全图象如下：(4)500×(50%+26%)=380，答：九年级参加演讲和唱歌比赛的学生约有380人．(1)根据A的人数及其百分比得出总人数，绘画人数除50即可．(2)两图结合，按频数和频率的关系知c=20%，由此即可求出相应圆心角的度数；(3)总人数减去其余各组人数得出C组人数，即可补全图形；(3)利用样本估计总体即可．本题主要考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.答案：CD一组对边平行且相等的四边形是平行四边形全等三角形的对应边相等解析：解：(1)点M如图所示．(2)连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE=CD，∴四边形EACD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)(填推理的依据)．∴AM=MD(全等三角形的对应边相等)(填推理的依据)．∴点M为所求作的边AD的中点．故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等，(1)根据要求作出点M即可．(2)利用全等三角形的性质解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∴AC的长为5；(2)当0<t≤1.5时，如图，S=12×BP×BQ=12×2t×t=t2；当1.5<t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP=8−2t，∵sin∠BCA=ABAC =PHPC，∴35=PH 8−2t ， ∴PH =245−6t 5， ∴S =12×BQ ×PH =12×t ×(245−6t 5)=−3t 25+12t5；当4<t ≤7时，如图，点P 与点C 重合，S =12×4×(t −4)=2t −8．综上所述：S ={t 2(0<t ≤1.5)−3t 25+12t 5(1.5<t ≤4)2t −8(4<t ≤7)． 解析：(1)根据勾股定理直接计算AC 的长；(2)根据点P 、Q 的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ 的面积即可．本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，以及三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键． 24.答案：证明：连结OT ，∵CT 为⊙O 的切线，∴OT ⊥CT ．∵AC ⊥CT ，∴OT//AC ，∴∠CAT =∠ATO ．∵OA =OT ，∴∠ATO =∠TAO ，∴∠CAT =∠TAO ，∴AT 平分∠BAD ．解析：连接OC，根据切线的性质判断出AD//OT，得到∠DAT=∠OTA，再根据OA=OT得到∠OAT=∠OTA，可得AT平分∠BAD．本题考查了切线的性质、角平分线的性质，作出相应辅助线是解题的关键．25.答案：解：如图，延长BC交AN于点D，则BC⊥AN于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，∴CD=12AC=10，AD=√3CD=10√3．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠DAB=68°，∴∠B=22°，∴AB=ADsin∠B≈46.81，BD=AB⋅cos∠B≈46.81×0.93=43.53，∴BC=BD−CD=43.53−10=33.53，答：救生船到达B处行驶的距离是33.53km．解析：延长BC交AN于点D，则BC⊥AN于D.先解Rt△ACD，求出CD=12AC=10，AD=√3CD=10√3，再解Rt△ABD，得到∠B=22°，AB=ADsin∠B≈46.81，于是得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形，进而求出BC的长度是解题的关键．26.答案：解：∵AD=√5+√3，AB=√5−√3，∴AC=√AB2+BC2=√AB2+AD2=4，∴矩形的面积=AD⋅AB=(√5−√3)×(√5+√3)=2．解析：根据勾股定理得出AC，进而利用矩形的面积解答即可．本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，勾股定理在直角三角形中的运用是解题的关键．27.答案：(1)证明：如图1所示：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵{AD=AB∠CAD=∠EAB AC=AE，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE=CD；(2)解：BE=CD，理由同(1)，∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，∵{AD=AB∠CAD=∠EAB AC=AE，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴BE=CD；(3)解：如图3，由(1)、(2)的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=60米，∠ABD=45°，∴BD=60√2米，连接CD，BD，则由(2)可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=60米，BD=60√2米，根据勾股定理得：CD=√BD2+BC2=60√3(米)，则BE=CD=60√3米．解析：(1)由△ABD与△ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；(2)利用SAS得到△CAD与△EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；(3)根据(1)、(2)的经验，过A作等腰直角△ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD 的长，由题意得到△DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．28.答案：(1)证明：如图，连接BC，OB．∵CD是直径，∴∠CBD=90°，∵OC=OB，∴∠C=∠CBO，∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，∴∠CBO=∠PBD，∴∠OBP=∠CBD=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．(2)解：∵CD⊥AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠AMO=90°，∴OM=√OA2−AM2=√52−42=3，∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，∴△AOM∽△POA，∴OAOP =OMOA，∴5OP =35，∴OP=253，∵PN⊥PC，∴∠NPC=∠AMO=90°，∴AMPN =OMOP，∴4PN =3253，∴PN=1009．(3)证明：∵PD=PH，∴∠PDH=∠PHD，∵∠PDH=∠POA+∠OND，∠PHD=∠APN+∠PND，又∠POA+∠APO=90°，∠APN+∠APO=90°，∴∠POA=∠APN，∴∠ANH=∠PND，∵∠PDN=∠PHD=∠AHN，∴△NAH∽△NPD，∴AHPD =NANP，∵∠APN=∠POA，∠PAN=∠PAO=90°，∴△PAN∽△OAP，∴PNOP =ANAP，∴NANP =APOP，∴AHPD =AHPH=APOP，∴AH⋅OP=HP⋅AP．解析：本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．(2)解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN 即可．(3)证明△NAH∽△NPD，推出AHPD =NANP，证明△PAN∽△OAP，推出PNOP=ANAP，推出NANP=APOP可得结论．。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2019-2020学年第一学期11月江苏省无锡市滨湖区初三数学期中试卷(含答案)
秋学期期中考试试题初三数学注意：（1）本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．（2）考试时间为120分钟，试卷满分130分．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．） 1．已知x ＝1是一元二次方程x 2－2mx ＋1＝0的一个解，则m 的值是--------------------（ ▲ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或－12．若43=x y ，则xyx +的值为---------------------------------------------------------------------（ ▲ ） A ．1 B ．74 C ．45 D ．473．若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是-----------------------（ ▲ ） A ．m ＜1B ．m ＞1C ．m ≤1D ．m ≥14．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为-------------------------------------------------------------------（ ▲ ） A ．12.36 cm B ．13. 6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若12=AD DB ，则DEBC的值为 --------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ▲ ） A ．12B ．2C ．13D ．36．如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 的延长线上一点，BP ＝2cm ，则OP 等于------------------------------------------------------------------------------------------（ ▲ ）A．cm B． cm C．cm D．cm第5题 第6题 第7题7．如图，在⊙O中，∠A＝10°，∠B＝30°，则∠ACB等于---------------------------------（▲ ）A．15°B．20°C．25°D．40°8．给出下列4个命题：①圆的对称轴是直径所在的直线．②等弧所对的圆周角相等．③相等的圆周角所对的弧相等．④经过三个点一定可以作圆．其中真命题有------------（▲ ）A．1个 B. 2个C. 3个 D．4个9．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是--------------------------------------------------------------------------------------------（▲ ）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，正方形OABC的边长为8，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q(m，n)，若S△BPQ＝19S△OQC，则mn值为--------------------------------------------------------------（▲ ）A．12 B．16 C．18 D．36二、填空题（每空2分，共16分）11．在比例尺是1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm，则福州到北京的实际距离约为▲km．12．一元二次方程x2＋3x＋2＝0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2 + x1 x22＝▲．13．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，设平均每次降价的百分率是x，则可列出方程▲．14．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（0，4）、（6，4）、（0，－1），则这个三角形的外接圆的圆心坐标为▲．15．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是⌒CB中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝▲．16．如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝▲．17．若⊙O的半径为1，弦=AB=AC BAC第15题第16题第18题18．如图，把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数0)=<y x 的图像上的点C 处，另两个顶点分别落在原点O 和x 轴的负半轴上的点A 处，且∠CAO =30º，则AC 边与该函数图像的另一交点D 的坐标坐标为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．解方程（本题共2小题，每小题4分，满分8分）（1）(x －1)2＝9； （2）22340+-x x ＝．20．（本题满分6分）阅读下面的材料：解方程x 4－5x 2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1； 当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝2，x 4＝－2． 请解方程：222()4()120+-+-=x x x x ．21．（本题满分10分）如图，已知：△ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 并求出点C 1的坐标，则C 1： ▲ ；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2 : 1，并求 出点C 2的坐标，则C 2： ▲ ； （3）△A 2B 2C 2的面积是 ▲ 平方单位． 第21题B22．（本题满分8分） 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 且AD 2＝BD·CD ． （1）求证：∠BAC =90º；（2）若BD ＝2，AC ＝CD 的长．第22题23．（本题满分8分）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB 为16米，拱高CD为4米．（1）求桥拱的半径R ．（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF 的位置，且EF 的宽度为12米，求拱顶C 到 水面EF 的高度．第23题24．（本题满分8分）在长为32m ，宽为20m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影）， 余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽为多少米．第24题25．（本题满分8分）请用尺规．．作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图①中的△ABC 的内部作出一点D ，使得∠ADB ＝2∠ACB ； （2）在图②中的△ABC 的外部作出一点E ，使得∠AEB ＝12∠ACB ．图① 图②（第25题）26．（本题满分8分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 在边AD 上以每秒2个单位的速度从A 出发，沿AD 向D 运动，同时动点Q 在边BD 上以每秒5个单位的速度从D 出发，沿DB 向B 运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：当某一时刻t ，使得t ＝1时，P 、Q 两点间的距离PQ ＝ ▲ ； （2）是否存在以P 、D 、Q 中一点为圆心的圆恰好过另外两个点，若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．第26题 备用图AA27．（本题满分10分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，以边AB 为直径作⊙O ，交斜边BC 于D ，E 在弧 ⌒BD上，连接AE 、ED 、DA ，连接AE 、ED 、DA ． （1）求证：∠DAC ＝∠AED ；（2）若点E 是 ⌒BD的中点，AE 与BC 交于点F ， 当BD ＝5，CD ＝4时，求DF 的长．第27题28．（本题满分10分）如图，已知点 A （1，0），B （0，3），将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，设E 为AD 的中点．（1）若F 为CD 上一动点，求出当△DEF 与△COD 相似时点F 的坐标；（2）过E 作x 轴的垂线l ，在直线l 上是否存在一点Q ，使∠CQO ＝∠CDO ？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．第28题 备用图初三数学期中考试参考答案与评分标准 2018.11一、选择题（每题3分）1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．A 10．D 二、填空题（每空2分）11. 1500 12. －6 13.60(1－x ) 2＝48.6 14.( 3，23) 15. 20º 16.5110 17.75º或15º 18. (－3，33) 三、解答题 19. (本题8分)（1） x 1＝4，x 2＝－2 ；------------------------------------4分 （2）x 1， x 2． ----------8分 20. (本题6分).解：设y=x 2＋x , 于是原方程可变为y 2－4y －12＝0， 解得y 1＝6，y 2＝－2；-----------------------------------3分当y ＝6时，x 2＋x ＝6，∴x 1＝－3， x 2＝2 当y ＝－2时，x 2＋x ＝－2，此方程无解∴原方程的解： x 1＝－3，x 2＝2．--------------------6分 21. (本题10分)（1）如图即为所求，点C 1的坐标是(2，－2)；---------4分 （2）如图即为所求，点C 2的坐标是(－1，0 )；---------8分（画图正确得2分，坐标对得2分．）（3）△A 2B 2C 2的面积是10平方单位．-------------------10分 22.(本题8分)（1）证明：∵AD 2＝BD ·CD ， ∴AD BDCD AD=，∵∠BDA ＝∠ADC ＝90º，∴△ABD ∽△CAD ．∴∠BAD ＝∠C ，∵∠DAC ＋∠C ＝90º， ∴∠DAC +∠BAD ＝90º， ∴∠BAC ＝90º；----------4分 （2）易得AC 2＝BC ·CD ， ∴(2＋DC )·DC ＝24，∴DC ＝4．----------------------------------------------------------8分 （其它解法酌情给分．）23. (本题8分)解：（1）如图，设圆心为O ．在Rt △AOD 中，∵AO 2＝OD 2＋AD 2，∴R 2＝64＋（R －4）2,解得R ＝10；---------------------------4分（2）在Rt △OEM 中,∵OE 2＝EM 2＋OM 2, ∴100＝36＋OM 2,解得OM ＝8， ∴CM ＝8－6＝2，即拱顶C 到水面EF 的高度是2米．----8分 24. (本题8分)解：设道路的宽为x 米．根据题意得 (20－x ) (32－x )＝540------------------------------------------3分解之得 x 1＝2，x 2＝50（不合题意舍去） -----------------------7分 答：道路的宽是2米． -------------------------------------------8分 25. (本题8分)如图即为所求，每小题4分，答案不唯一，只要符合题意即可，其它画法酌情给分．图① 图②26 . (本题8分)（1）PQ ---------------------------2分 （2）当D 是圆心时，t ＝87；--------------------------4分 当P 是圆心时，t ＝6441；--------------------------6分当Q 是圆心时，t ＝45．------------------8分A27．(本题10分)（1）易证∠DAC ＝∠ABC ，弧AD ＝弧AD ， 又∵∠AED ＝∠ABC ，∴∠DAC ＝∠AED ． ----------------------------------------4分（2）略解∵点E 是 ⌒BD的中点， ∴∠BAE ＝∠EAD ， ∵ ∠CFA ＝∠ABC +∠BAE , ∠CAE ＝∠CDA +∠EAD ， ∴∠CFA ＝∠CAE ，∴CA ＝CF ． ------------------------------------------------------------------------6分 设DF ＝x ，由△ACD ∽△BCA 得AC 2＝CD ·BC ， ∴（x ＋4）2＝4×9,解得x ＝2，∴DF ＝2．--------------------------------------------------10分 （其它解法酌情给分）28. (本题10分) （1）F （－1，32） 或 F （－56，53）；----------------------4分（2）Q 1（－1，2）或Q 2（－1，－1）．---------------------------------------10分。
江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年九年级上学期期中化学模拟试题(含答案)
A．张青莲B．道尔顿C．拉瓦锡D．门捷列夫A．A B．B C．C D．．下列不属于缓慢氧化的是．滴加．量取．称量．下列化学用语表示正确的是．铁离子：Fe+3．正二价的镁元素：2 Mg．碳酸钠：NaCO3．氢分子：2H．氮化镓是实现5G技术的关键材料之一，图是镓元素在元素周期表中的信息，下列有不正确的是A．中子数为C．元素符号为10．下列物质由离子构成的是A．过氧化氢A13．下列现象的微观解释正确的是A ．夏天车胎容易爆炸——温度升高，分子体积变大B ．1L 水和1L 酒精混合后总体积小于2L ——分子之间有间隔C ．水结成冰不再流动——分子停止运动D ．蔗糖溶解在水中——蔗糖分子发生了分解14．在给定条件下，下列物质的转化能实现的是A ．H 2O →O 2B ．Fe Fe 2O 32 O 点燃C ．S SO 3D ．KClO 3O 22 O 点燃2MnO Δ15．青少年过多摄入蛋糕里的人造奶油会产生一种影响身体发育的反式脂肪酸，其化学式为C 18H 34O 2。
下列对反式脂肪酸的说法中正确的是A ．反式脂肪酸由碳元素、氢元素和氧元素组成B ．反式脂肪酸中氢元素的质量分数最大C ．反式脂肪酸由18个碳原子、34个氢原子、2个氧原子构成D ．反式脂肪酸是氧化物16．下列微观粒子结构示意图的相关叙述正确的是A ．②是阴离子B ．③④的元素化学性质相似C ．③在化学反应中易得电子D ．①②④都具有相对稳定结构17．二氧化碳在一定条件下能转化为甲醇（CH 3OH ），反应的微观示意图如图。
下列有关说法错误的是A ．反应物乙是单质B ．甲醇分子由碳原子、氢原子、氧原子构成C ．反应前后原子和分子种类不变D ．保持丙化学性质的最小粒子是水分子18．某同学设计了如图所示的装置测定空气中氧气的含量。
下列关于该实验的说法错误的是A．该实验利用了铜丝的导热性B．红磷燃烧结束后，应立即读数，以免影响实验结果C．实验前需要检查装置的气密性D．左侧玻璃导管中的水可以吸收红磷燃烧生成的五氧化二磷19．某同学归纳了以下化学知识：条进行实验；②空气质量指数越高，环境质量越好；是单质；④等质量金属镁、铁、铜，所含原子个数铜子；⑥催化剂一定能加快化学反应速率。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列等式中，一定是一元二次方程的是()+1=0A. x2=1B. x2+1xC. x2+y=0D. ax2+c=0(a、c为常数)2.已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A()A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 与⊙O的位置关系无法确定3.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=()A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则BC的长是()A. 4B. 4.5C. 2.5D. 25.下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°7.某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A. 100(1+x)2=1000B. 100+100×2x=1000C. 100+100×3x=1000D. 100[1+(1+x)+(1+x)2]=10008.图O的直径AB=2点D在AB的延长线，DC与⊙O相于点C，连AC.若∠A=3°CD为()A. 13B. √33C. 2√33D. √39.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为()A. 4B. 6C. 8D. 1010.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(3,0)，若在直线y=−x+m上存在点P满足∠APB=60°，则m的取值范围是()A. √6−5√3≤m≤√6+5√3B. −√6−5√3≤m≤√6+5√3C. √3−2√6≤m≤√3+2√6D. −√3−2√6≤m≤√3+2√6二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.一元二次方程x2=2x的根是______．12.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的面积比是______．13.根据疫情需要，某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元，为提高的生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是______．14.在比例尺为1：10000的地图上，相距7.5cm的两地A、B的实际距离为______m.15.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD⏜上，则∠BEC=______度．16.关于x的一元二次方程(2m−4)x2+3mx+m2−4=0有一根为0，则m=______．17.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC(点C为切点)，则线段PC长的最小值为______．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF的面积为S2，△FHB的面积为S3，则1S1+1 S2+1S3的值是______．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）19.用适当的方法解一元二次方程：(1)2x2−3x=2；(2)x2+6x−111=0．20.如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为(−5,1)、(−1,4)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；(3)点C1的坐标是______ ；点C2的坐标是______ ；过C、C1、C2三点的圆的圆弧ĈC1C2的长是______ (保留π)．21.已知关于x的一元二次方程x2+x+m−1=0．(I)当m=0时，求方程的实数根．(Ⅱ)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．22.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．23.已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．24.元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元．当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元．(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？(2)在(1)的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，为了尽快售出且使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值．x−3，并且与x轴、y轴分别交于点A、B．25.已知：如图，直线l的解析式为y=34(1)求A、B两点的坐标；(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻与直线l相切？(3)在题(2)中，在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿射线BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心的距离为s．①求s与t的关系式；②问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面(圆上和圆内部)上，一共运动了多长时间？(直接写出答案)26.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O半径为5，CD=6，求DE的长；(3)求证：BC2=4CE⋅AB．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB//x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→⋯匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：(1)当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为______；(直接写出结果)(2)当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；(3)当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、正确；B、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项错误；C、含有两个未知数，则不是一元二次方程，选项错误；D、当a=0时，不是一元二次方程，选项错误；故选A．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：∵OA=3cm<5cm，∴点A在⊙O内．故选：A．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系．本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．3.【答案】B【解析】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，{OA=OBOP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=4，AB=6，BE=3，∴4：6=3：BC，∴BC=4.5，故选：B．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理解答即可．此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．5.【答案】C【解析】解：①优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故①错误．②三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故②错误．③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误．④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故④正确．故选：C．根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：连接OA，如图，∵OA=OC，∠ACO=30°，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴∠AOC=120°，∴∠B=60°．故选：C．连接OA，要求∠B，可求与它同弧所对的圆心角∠AOC；而∠AOC是等腰三角形AOC的顶角，在已知底角的前提下可求出顶角．本题考查了圆周角定理及三角形内角和定理的知识，解题的关键是正确地构造圆心角．7.【答案】D【解析】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为100×(1+x)，∴三月份的营业额为100×(1+x)×(1+x)=100×(1+x)2，∴可列方程为100+100×(1+x)+100×(1+x)2=1000，即100[1+(1+x)+(1+x)2]=1000．故选：D．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：右图所示，连C，OC，∴∠BC=9°，∵AB=，∵AB是径，∴D=√OD2−OC2=√22−12=√3，∴OD2，∴∠D=∠CBA−D=60−30°=3°，∴OC1，∴BCD=∠A=30°，C=90°，选D．先B，OC由AB是直径，可知∠BCA=9°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC线，用弦切角定理可知∠CB=∠A=30°，再利用角形角质可D切线质得∠=∠A=30°，∠OCD= 9°，易得OD，由勾股定理可CD．本题考查了直径所对的周角等0、切性质、弦角定理、三角形外角性质，解题的关键连BCC，构造直角三角形AC，利勾股定解此题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE=√OC2−OE2=√52−42=3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选：C．过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6(1条)，7、8、9(都有2条)，10(1条)，即可得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．10.【答案】C【解析】解：如图，作等边三角形ABE，∵A(−3,0)，B(3,0)，∴OA=OB=3，∴E在y轴上，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y=−x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P2重合时m的值最小，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y=−x+m，∵OA=3，∴OE=3√3，设⊙Q的半径为x，则x2=32+(3√3−x)2，解得x=2√3，∴EQ=AQ=PQ=2√3，∴OQ=√3，由直线y=−x+m可知OD=OC=m，∴DQ=m−√3，CD=√2m，∵∠ODC=∠P1DQ，∠COD=∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴PQOC =QDCD，即2√3m=√3√2m，解得m=√3+2√6，当P与P2重合时，同理证得m=√3−2√6，∴m的取值范围是√3−2√6≤m≤√3+2√6，故选：C．作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y=−x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．本题考查了一次函数图象与系数的关系，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，求得直线与外接圆相切时的m的值是解题的关键．11.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：移项，得x2−2x=0，提公因式得，x(x−2)=0，x=0或x−2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12.【答案】25：4【解析】解：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，∴这两个多边形的面积比是52：22，即这两个多边形的面积比是25：4，故答案为：25：4．根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果．本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键．13.【答案】10%【解析】解：设平均每次降低成本的百分率是x，依题意，得：100(1−x)2=81，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．故答案为：10%．设平均每次降低成本的百分率是x，根据生产该产品原来的成本价及经过连续两次降低成本后的成本价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】750【解析】解：设AB的实际距离为x cm，∵比例尺为1：10000，∴7.5：x=1：10000，解得x=75000，75000cm=750m．故答案为：750．设AB的实际距离为x cm，根据比例尺的定义得到7.5：x=1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．此题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一．15.【答案】45∠BOC，【解析】解：连接OB、OC，则∠E=12∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC=90°，∠BOC=45°．∴∠BEC=12连接OB、OC，根据正方形的性质，易得出∠BOC=90°，根据圆周角定理，可求出∠BEC= 45°．正确理解圆心角与圆周角的关系是解决本题的关键．16.【答案】−2【解析】解：∵关于x的一元二次方程(2m−4)x2+3mx+m2−4=0有一根为0，∴m2−4=0且2m−4≠0，∴(m+2)(m−2)=0且m≠2，解得：m=−2．故答案是：−2．把x=0代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是根据一元二次方程的解的定义列出关于系数的方程，通过解方程来求系数的值．17.【答案】2√115 【解析】解：连接OP 、OC ，如图所示， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ， 根据勾股定理知：PC 2=OP 2−OC 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PC 最短，∵在Rt △AOB 中，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴∴S △AOB =12OA ⋅OB =12AB ⋅OP ，即OP =3×45=125，∵OC =2，∴PC =√OP 2−OC 2=√(125)2−22=2√115， 故答案为：2√115． 连接OP ，OC ，由PC 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 与PC 垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP 最小时，PC 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PC 的最短值．此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．18.【答案】52【解析】解：BF =EF =CE =2，△BFH 是等腰直角三角形，因而BH =2×√22=√2， S 3=1，根据CD//EG//FH ，BF =EF =CE ，则△CME 与△ENF 中，EN 、CM 边上的高都等于BH =√2，△BCD 是等腰直角三角形，因而CD =6×√22=3√2， 根据EG CD =BG BD =23，因而EG =23CD =2√2，DM EG =34，则MD =34EG =3√22，则CM=3√22，△CME的面积S1=12×CM×√2=32，同理S2=65，因而1S1+1S2+1S3的值是52．根据题意可以求出CD、EG、FH的长，△FHB是等腰直角三角形，面积容易得到，△CME 与△ENF中EN，CM边上的高都等于BH的长．根据相似三角形的性质就可以求出EN、CM的长．就可以求出两个三角形的面积．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．善于发现题目中的相似三角形是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)2x2−3x=2，2x2−3x−2=0，(2x+1)(x−2)=0，∴2x+1=0或x−2=0，∴x1=−12，x2=2；(2)x2+6x−111=0，x2+6x+9=111+9，即(x+3)2=120，∴x+3=±2√30，∴x1=−3+2√30，x2=−3−2√30．【解析】(1)利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．20.【答案】(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示；(3)(1,4)；(1,−4)；√17π.【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)C1(1,4)，C2(1,−4)，根据勾股定理，OC=√12+42=√17，过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，π×2OC=√17π.ĈC1C2的长=12故答案为：(1,4)；(1,−4)；√17π.【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)根据平面直角坐标系写出点C1、C2的坐标，利用勾股定理求出OC的长，再根据过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21.【答案】解：(Ⅰ)当m=0时，方程为x2+x−1=0．△=12−4×1×(−1)=5>0．∴x=−1±√5，2×1∴x 1=−1+√52，x 2=−1−√52．(Ⅱ)∵方程有两个不相等的实数根，∴△>0即(−1)2−4×1×(m −1)=1−4m +4=5−4m >0∵5−4m >0∴m <54．【解析】(Ⅰ)令m =0，用公式法求出一元二次方程的根即可；(Ⅱ)根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m 的不等式，求解不等式即可．本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b 2−4ac ． 22.【答案】解：设小正方形的边长为xcm ，由题意得10×8−4x 2=80%×10×8，80−4x 2=64，4x 2=16，x 2=4．解得：x 1=2，x 2=−2，经检验x 1=2符合题意，x 2=−2不符合题意，舍去；所以x =2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【解析】等量关系为：矩形面积−四个全等的小正方形面积=矩形面积×80%，列方程即可求解．读懂题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键，实际问题中需注意负值应舍去． 23.【答案】解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵BC =6cm ，AC =8cm ，∴AB =10cm ，∴OB =5cm ．连OD ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠ABD =45°，∴∠BOD =90°，∴BD =√OB 2+OD 2=5√2cm ．(2)S 阴影=S 扇形−S △OBD =90360π⋅52−12×5×5=25π−504cm 2．【解析】(1)由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB =90°，由勾股定理求得AB ，OB ，连OD ，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；(2)根据S 阴影=S 扇形−S △OBD 即可得到结论．本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD 构造直角三角形是解题的关键． 24.【答案】解：(1)设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克，依题意，得：{a +b =183(a +4)+4(b +2)=82， 解得：{a =10b =8． 答：甲种苹果的进价为10元/千克，乙种苹果的进价为8元/千克．(2)依题意，得：(4+x)(100−10x)+(2+x)(140−10x)=960，化简，得：x 2−9x +14=0，解得：x 1=2，x 2=7，∵要尽快售出，∴x =2．答：x 的值为2．【解析】(1)设甲种苹果的进价为a 元/千克，乙种苹果的进价为b 元/千克，根据“1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元，当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时，陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)解：如图所示：在y=34x−3中，令x=0，得y=−3；令y=0，得x=4，故A，B两点的坐标分别为A(4,0)，B(0,−3)．(2)设t秒时圆与直线l相切，设切点为H，圆心为C．如图所示，连接CH，则CH⊥AB.由∠CAH=∠BAO，∠CHA=∠BOA=90°，则△ACH∽△ABO，故CHOB =ACAB．①当点C在点A的左侧时，13=4−0.4t5解得t=356当点C在点A的右侧时，13=0.4t−45解得t=856综上，t=356或t=856；(3)①先证点P与动圆圆心C的连线平行于y轴．当时，s=3−0.3t当t>10时，s=0.3t−3；②203秒．(3)①设在t秒，动圆的圆心在C点处，动点在P处，此时OC=0.4t，BP=0.5t，C点的坐标为(0.4t,0)，连接PC．∵OCBP =0.4t0.5t=45，又OABA=45，∴OCBP=OABA，∴CP//OB，∴PC⊥OA，第21页，共23页∴P 点的横坐标为0.4t ，又∵P 点在直线AB 上，∴P 点的纵坐标为|0.3t −3|，即s ={3−0.3t(0≤t ≤10)0.3t −3(t >10)； ②由①知，当PC =1时，P 点在动圆上，当0≤PC <1时，P 点在动圆内． 当PC =1时，由对称性可知，有两种情况：①当P 点在x 轴下方时，PF =−(0.3t −3)=1，解之得t =203； ②当P 点在x 轴上方时，PF =0.3t −3=1，解之得：t =403． ∴当203≤t ≤403时，0≤PC ≤1，此时点P 在动圆的圆面上，所经过的时间为403−203=203． 答：动点在动圆的圆面上共经过了203秒．【解析】(1)根据题意可将A ，B 代入解析式中求出两点坐标；(2)当圆与直线相切时，根据直线l 与x 轴的角度可求出圆心坐标，然后再求出时间t ；(3)①先证点P 与动圆圆心C 的连线平行于y 轴．当0≤t ≤10时，s =3−0.3t ；当t >10时，s =0.3t −3；②可设在t 秒时，动圆的圆心在F 点处，动点在P 处，此时OF =0.4t ，BP =0.5t ，F 点的坐标为(0.4t,0)，连接PF ．因为OC BP =0.4t 0.5t =45，又OA BA =45，所以可得到OC BP =OABA ，进而可得到CP//OB ，PC ⊥OA ，所以P 点的横坐标为0.4t ，又结合P 点在直线AB 上，可得P 点的纵坐标为0.3t −3，因此可见：当PC =1时，P 点在动圆上，当0≤PC <1时，P 点在动圆内，而当PC =1时，由对称性可知，有两种情况：①当P 点在x 轴下方时，PC =−(0.3t −3)=1，解之可得t 的值，②当P 点在x 轴上方时，PC =0.3t −3=1，解之得t 的另一个值，进而可得到当203时，0≤PC ≤1，并且此时点P 在动圆的圆面上，所经过的时间为403．本题主要考查对于一次函数的应用以及对于圆和直线相切的性质的认识．解题时，对于动点问题，一定要分类讨论． 26.【答案】解：(1)EF 与⊙O 相切，理由如下：连接AD ，OD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∴AD ⊥BC ．∵AB=AC，∴CD=BD=12BC．∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．(2)解：由(1)知∠ADC=90°，AC=AB=10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√102−62=8．∵S ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE，∴12×8×6=12×10×DE．∴DE=245．(3)证明：由(1)得：CD=12BC，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ADC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CDAC =CECD，∴CD2=CE⋅AB，∵AB=AC，∴14BC2=CE⋅AB，∴BC2=4CE⋅AB．【解析】(1)连接AD，OD，证明OD是△ABC的中位线，得出OD//AC.由已知条件证得EF⊥OD，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AD，再由三角形面积计算即可；(3)由(1)得CD=12BC，AD⊥BC，证明△CDE∽△CAD，得出CDAC=CECD，则CD2=CE⋅AB，第22页，共23页即可得出结论．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．27.【答案】(−2,0)【解析】解：(1)当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x 轴的距离为1，∴圆心P的坐标为(−2,1)，故答案为：(−2,1)；(2)⊙P与y轴相切，理由：∵正方形ABCD的边长为4，∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4=16，∵2019÷16=1263，16∴⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP=3，∴圆心P的坐标为(−1,2)，∴圆心P到y轴的距离d=1，∵⊙P的半径r=1，∴d=r，∴⊙P与y轴相切；×4=32−4+π=28+π，(3)S=4×2×4−1×1×4+90π×12360∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为28+π．(1)根据切线的性质即可得到结论；(2)由题意得到⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4=16，由于2019÷16= 1263，于是得到⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP=3，得到圆心P的坐16标为(−1,2)，根据切线的判定定理即可得到结论；(3)根据正方形和扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的性质，扇形的面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．第23页，共23页。