物理中的微积分思想
谈大学物理微积分思想和方法
谈大学物理微积分思想和方法作者：王娜来源：《江西教育C》2015年第05期大学物理是高等学校面向广大理工科生开设的一门公共基础课程，区别于高中物理，它要求学生更多地运用微积分思想和方法处理物理问题，从而体会物理思想以提高解决物理问题的能力。
对于中学阶段主要应用代数运算的大一学生而言，微积分思想和方法是他们在大学物理学习中面对的最困难的问题。
纵观整个教学内容，微积分思想和方法在力学、电磁学和热学部分都有应用，但是总结起来可以分为两类，一类是速度为代表的微分思想，另一类是功为代表的积分思想。
力学部分是学生接触微积分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。
本文通过描述速度、加速度、功和万有引力势场的定义以及计算中微观量的物理意义，给出大学物理中微积分思想和方法应用的特点。
一、速度和加速度1.历史和定义。
17世纪，工业和科技的发展向数学提出了许多问题，促使了微积分学科的诞生。
这些问题被称为“四类问题”，其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。
在变速直线运动中，路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。
若无限短路程用ds表示，对应的无限短时间用dt表示，则速度v=，其中微小量ds和dt被称为微分量，这种方法被称为微积分方法。
这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立，它的第一个应用就是给出速度的概念。
2.微分量的物理意义。
定义中无限短路程近似为无限小直线段，无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。
例如，直线运动（假设沿x轴），速度表示为v=。
推广到具有普遍意义的三维空间，情况又怎样呢？依据运动的叠加原理不难想象，在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds（直线段）可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果，即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。
我们用矢量来表示这个合效果，无线短路程ds对应的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三个正交分量的数值），dt时间内每一维均对应匀速直线运动，即速度的三个正交分量的数值分别为vx=，vy=，vz=.也可以写成矢量式.3.加速度。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分，是数学中的一个分支，是研究极限、导数、积分以及无限级数等概念和运算的一门学科。
微积分在物理学中有着广泛的应用。
物理学家们用微积分理论来解决很多物理问题，比如运动学、动力学、热力学、电磁学、光学、量子力学等等。
一、运动学在运动学中，微积分理论被用来推导出质点的速度和加速度，以及曲线上的切线、法线等。
例如，对于一个质点在直线上运动的问题，可以通过微积分求出质点的速度和加速度，进而得到其运动的规律。
对于曲线运动，则可以用微积分求解曲线上的切线和法线，以及曲率等物理量。
二、动力学在动力学中，微积分可以用来求解物体的运动方程和力学变量等。
例如，通过微积分求解牛顿第二定律的微分形式，可以推得物体的运动方程，并且可以求解出物体在不同时间点的位置、速度、加速度等，并且可以预测其未来的运动状态。
三、热力学在热力学中，微积分可以用来求解热力学变量。
例如，通过微积分求解热力学第一定律的微分形式，可以推得热量、内能等热力学变量的微分方程，并且可以利用这些微分方程进行各种热力学计算。
四、电磁学在电磁学中，微积分可以用来计算电场、磁场、电势等物理量。
通过微积分可以求出电场、磁场等物理量的微分、积分形式，并且可以从中得到电势、电势差等计算需要的物理量。
五、光学在光学中，微积分可以用来分析光的传播和折射、反射等现象。
通过微积分可以推导光线的传播路线、光线的折射和反射等现象，并且可以利用微积分的方法求解光学问题。
六、量子力学在量子力学中，微积分可以用来描述微观物理现象。
例如，通过微积分可以求解量子力学的薛定谔方程，进而得到量子态等物理量，并且可以对量子力学中的各种现象进行各种定量计算。
综上所述，微积分在物理学中扮演着重要的角色。
物理学家们用微积分来解决各种物理问题，并且在物理学的各个方面都发挥着重要的作用。
随着微积分理论的不断发展，将有更多的物理问题可以得到解决。
浅谈微积分的认识在物理教学中的应用
浅谈微积分的认识在物理教学中的应用
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学中不可或缺的工具。
在物理教学中，微积分的认识十分必要，以下是一些例子：
1. 运动学分析：微积分中的导数和积分可以应用到运动学分析中，以求得速度、加速度、位置等关键信息。
通过微积分的分析，可以帮助学生深入理解物体的运动规律，并进行更加精确的运动预测和控制。
2. 力学分析：运用微积分的概念，可以对物理学中的力学问题进行分析，如牛顿定律，重力，弹性力等。
通过微积分的工具和方法，可以更加深入地理解和应用物理学中的法则和理论。
3. 光学问题：微积分中的几何和微积分学概念可以应用到光学问题中，如光的传播原理，反射和折射现象等。
通过微积分的知识和工具，可以帮助学生深入理解光学的基础原理，并进行更加精确的预测和分析。
4. 热力学分析：热力学分析中的微积分概念，如微分和积分可以应用到物理学中的热力学分析中，如热容，温度，热传导等。
通过微积分的分析，可以更加深入地了解热力学的基本规律和特性。
总之，微积分的认识在物理教学中是不可或缺的，它可以帮助学生更好地理解和应用物理学中的基础概念和理论，以便更加轻松地掌握物理学的知识和应用。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用
微积分在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 速度和加速度的计算：微积分可以用于计算物体的速度和加
速度。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
2. 曲线及面积的计算：微积分可以用于计算曲线和面积。
通过
对曲线进行积分，可以得到曲线下的面积；再通过对面积进行微分，可以得到曲线的长度。
同样地，对于曲面，可以通过对曲面进行积分，得到曲面下的体积。
3. 力学问题的求解：微积分可以用于求解力学问题，例如弹性
势能、动能和势能等。
通过对力学方程进行微分和积分，可以得到物体的运动状态和能量变化情况。
4. 电磁学问题的求解：微积分也可以用于求解电磁学问题。
例如，通过对带电粒子在电场中的运动轨迹进行微分和积分，可以得到带电粒子的加速度和速度等信息。
总之，微积分是物理学中非常重要的工具，可以帮助我们理解物理学中的许多现象和问题，同时也为我们提供了解决这些问题的方法。
- 1 -。
高中物理中微积分思想的应用
首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。
以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。
同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。
其次，导数等于零时，则函数则有极值。
这个在物理中应用明显。
物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，“平衡”，“距离最大”或者“距离最小”，“能量最大”，“能量最小”，“速度最大”，“速度最小”等等情况。
这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。
例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。
能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。
再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的了解。
用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。
除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。
通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。
毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。
高中物理中的微积分思想
高中物理中的微积分思想作者：李党飞来源：《新课程学习·下》2013年第08期在现阶段的高中物理教学中，虽然很少有涉及利用微积分直接进行运算的问题，但许多地方用到了“微分”与“积分”的思想，即我们常说的“微元法”。
这就是高等数学中的微积分，只不过在高中阶段我们巧妙利用微元思想避开微积分。
但只要仔细讲解，以高中学生的理解能力是完全可以掌握的，同时也可以使学生对其他物理知识的理解更加透彻。
使用微元法处理问题时，需将其分解为若干微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化曲为直、化整为零，积零为整”解题法。
例1.如图所示，力F作用于半径为R的转盘边缘上一点，力F大小保持不变，方向始终沿作用点的切线方向，求转盘转动一周的过程中力F所做的功。
解析：力F为变力，不能直接用W=FS来求解，可采用微元法来求解。
将圆周分成无限个小段，可认为每小段为直线、力F为恒力，且力F方向与位移方向相同。
设每小段长度为Δs，则力F在每小段中做功为：ΔW=FΔs对一周中所有小元段内做功求和，可得转动一周过程中力F做功为：W=ΣΔW=FΣΔs=F2πR例2.电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。
■解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。
选电荷元：它在P点产生的电场的场强的x分量为：由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例3.如图1所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？■解析：水平地从a向b看，金属杆在运动过程中受力如图2所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，可采用微元法来求解。
高中物理微积分应用(完美)
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
浅析大学物理微积分思想与矢量思想
浅析大学物理微积分思想与矢量思想大学物理中的微积分思想和矢量思想是非常重要的概念。
微积分思想是一种数学工具，用于处理变量的变化，而矢量思想则是一种数学工具，用于描述物理量在空间中的运动。
在物理学中，这两种思想通常是紧密结合在一起的，因此在研究物理现象时需要同时运用这两种思想。
本文将从微积分思想和矢量思想两个方面对大学物理的研究进行浅析。
微积分思想微积分思想是大学物理研究中最重要的数学思想之一，它是一种处理变量变化的工具。
在物理学中，物体的位置、速度、加速度等重要物理量都是随时间而变化的，微积分思想能够帮助我们描述这些变化。
以物体的运动为例，如果我们知道物体的速度随时间的变化率，就能够用微积分来计算物体在某个时间点的位置。
微积分思想可以用于研究大量的物理问题，如运动方程、牛顿定律、万有引力定律等。
这些问题的求解都需要用到微积分思想，因此掌握微积分思想是大学物理学习中非常重要的一步。
矢量思想矢量思想也是大学物理学习中必备的数学思想之一。
在大学物理中，我们经常需要描述物理量在空间中的运动，如力、速度、加速度等。
这些物理量都具有方向性，因此不能仅仅通过数值来描述。
这时，矢量思想就能够发挥非常重要的作用。
在矢量思想中，我们用带箭头的直线来表示一个矢量，箭头的方向表示该矢量的方向，线段的长度表示该矢量的大小。
矢量可以进行加、减、乘等运算，这些运算结果还是矢量。
在研究物理问题时，我们通常需要用到矢量的加法、减法、点乘、叉乘等运算。
矢量思想也是非常重要的一种工具，我们可以用它来研究大量的物理问题，如质点受力、牛顿第三定律、动量守恒定律等。
这些问题的求解都需要用到矢量思想，因此熟练掌握矢量思想对于学好大学物理非常重要。
微积分思想与矢量思想的结合微积分思想和矢量思想在物理学中通常是紧密结合在一起的。
我们常常需要用微积分思想来描述物体的运动状态，再用矢量思想来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当我们研究物体的运动状态时，通常需要用微积分思想来求解物体的速度、加速度等物理量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
物理中的微积分思想
你们不要老提我，我算什么超人，是大家同心协力的结果。
我身边有300员虎将，其中100人是外国人，200人是年富力强的香港人。
高中物理中微积分思想
浙江省湖州中学物理组潘建峰
伟大的科学家牛顿
有很多伟大的成就
建立了经典物理理论
比如：牛顿三大定律
万有引力定律等；另外
在数学上也有伟大的成就
创立了微积分
微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"
好像一个事物始终在变化你很难研究
但通过微元分割成一小块一小块
那就可以认为是常量处理
最终加起来就行
微积分学是微分学和积分学的总称
它是一种数学思想
'无限细分'就是微分
'无限求和'就是积分
无限就是极限
极限的思想是微积分的基础
它是用一种运动的思想看待问题
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一
在高中物理中
微积分思想多次发挥了作用
1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动
位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动那么物体的位移如何求解呢？
例1、汽车以10m/s的速度行驶
到某处需要减速停车
设汽车以等减速2m/s2刹车
问从开始刹车到停车
汽车走了多少公里？
【解析】现在我们知道
根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里
但是
高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的
其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分
在每一份时间微元内
速度的变化量很小
可以忽略这种微小变化
认为物体在做匀速直线运动
因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加
即"无限求和"
则总的位移就可以知道
现在我们明白
物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的"面积"
即
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系从开始刹车到停车的时间t=5s
所以汽车由刹车到停车行驶的位移
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题
对一般的变速直线运动
只要结合物理知识求速度关于时间的函数
画出v－t图像
找"面积"就可以
或者
利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
恒力做功
我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功
我们如何求解呢？
例2：如图所示
质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动
已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为
求物体从轨道最低点运动到最高
点的过程中
摩擦力做了多少功
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中在不同位置与圆环间的正压力不同
故而摩擦力为一変力
本题不能简单的用来求
可由圆轨道的对称性
在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B
设OA、OB与水平直径的夹角为θ
在的足够短圆弧上
△S可看作直线
且摩擦力可视为恒力
则在A、B两点附近的△S内
摩擦力所做的功之和可表示为：
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动
所以：
综合以上各式得：
故摩擦力对车所做的功：
【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力
从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为
小结：这题是一个复杂的变力做功问题
利用公式直接求功是难以办到的
利用微积分思想
把物体的运动无限细分
在每一份位移微元内
力的变化量很小
可以忽略这种微小变化
认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加即"无限求和"
则总的功就可以知道
在高中物理中还有很多例子
比如我们讲过的瞬时速度
瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想所有这些例子都有它的共性
作为大学知识在高中的应用
虽然微积分高中不要求
但他的思想无不贯穿整个高中物理
"微积分思想"丰富了我们处理问题的手段拓展了我们的思维
我们在学习的时候
要学会这种研究问题的思想方法
只有这样
在紧张的学习中
我们才能做到事半功倍。