1.3.1函数的单调性与导数.
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新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.1函数的单调性与导数
1．3.1 函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递_增___
f′(x)<0❷
单调递__减__
批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲 线呈上升趋势．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解析： 由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系 例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的 图象可能是( ) 答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时， f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时， f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负 后正，最后为负．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 都 有 f′(x)<0 ， 则 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 单 调 递 减．( × ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值 越大．( √ )
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递_增___
f′(x)<0❷
单调递__减__
批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲 线呈上升趋势．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解析： 由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系 例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的 图象可能是( ) 答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时， f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时， f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负 后正，最后为负．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 都 有 f′(x)<0 ， 则 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 单 调 递 减．( × ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值 越大．( √ )
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
栏 目 链 接
答案：B
栏 目 链 接
题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
栏 目 链 接
题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
栏 目 链 接
分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
栏 目 链 接
解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
栏 目 链 接
∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件
令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减
函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数旳单调区间。
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数123456
键要素，对原函数，我们重点考查其图象
在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递增；而对于导函数，
则应考查其函数值在哪个区间上不大于零，哪个区间上小于零，
并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致。
题型二 求函数的单调区间 【例2】、求下列函数的单调区间：
反思：求函数单调区间时需注意：
①步骤：求 的定义域→求
当1<x<4时，f '(x) >0;当x>4,或x<1时，f '(x) <0; 当x=4,或x=1时，f '(x) =0.则函数f(x)图象的大致
形状是( D ）。
y
y
y
y
y f (x)
y f (x)
y f (x)
y f (x)
o1 4
A
x o1 4
B
x o1 4
C
xo 1 4 x
D
方法应用
v
(1)
(2)
t
Oa
b
即h(t)是增函数.相应
t
地,v(t) h(t) 0.
Oa b
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的
增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t) h(t) 0.
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x
y y = x2
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减 f '( x) 0恒成立 f ( x)是常值函数
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是 定义域内的某个区间。
1.3.1函数的单调性与导数
已知函数f(x)=ax³ +3x² -x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。 解：f(x)=ax³ +3x² -x+1在R上是减函数，
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
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1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的 过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定 义区间内的不连续点或不可导点． 3．注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充 分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0 时，f′(x)＝0.
27
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28
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[例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析]
设 f(x)＝x－ln(1＋x)， 只需证得 f(x)在(1， ＋∞)
1 x 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－ ＝ 1＋x 1＋x >0(x>1)， f(x)在(1， 得 ＋∞)上是增函数， 故当 x>1 时， f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
11
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12
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1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系 如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 单调递增 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x) 在这个区间内 单调递减 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ． 常数函数 2．求函数单调区间的步骤 (1)确定f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
b b 1 2 f′(x)＝x＋x ′＝1－ 2＝ 2(x －b) x x
21
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1 令 f′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0 ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞， － b)和( b， ＋∞)． 1 令 f′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0 ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
[点评] 此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证 明．利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法．
30
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已知：x>0，求证：x>sinx. [证明] 设f(x)＝x－sinx(x>0) f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立 ∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数 又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立 即：x>sinx(x>0)．
19
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[例 2]
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1 b (2)f(x)＝x＋ (b＞0) x
20
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[解析] (1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
26
金太阳新课标资源网 老师都说好! ∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立 ∴函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上是单调递减函数．
b(x2－1)－bx(2x) －b(x2＋1) (3)f′(x)＝ ＝ 2 (x2－1)2 (x －1)2 x2＋1 因为－1<x<1，所以－ 2 2<0， (x －1) 故当 b>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 b<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
当 a<0 时，若
f′(x)<0，
18
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所以 若
2 f(x)在区间－∞，a上是减函数．
2 x∈a，0，则
f′(x)>0，
所以
2 f(x)在区间a，0上是增函数．
若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.
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若
2 x∈0，a，则
f′(x)<0，
所以 若
2 f(x)在区间0，a上是减函数．
2 x∈a，＋∞，则
f′(x)>0，
所以
2 f(x)在区间a，＋∞上是增函数． 2 x∈－∞，a，则
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因此当区间(x1，x2)很小时，平均变化率可近似表示函数y＝f(x)在这个区间内的 单调性． 6．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x)＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0， f(x0))我们称作临界点，通过画图你能观察出f(x0)与临近点函数值的大小关系 吗？同样当x＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，再画图观察f(x0)的值与 邻近点的函数值之间有何关系？
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7．我们注意到f(x)＝2x、g(x)＝3x、f′(x)＝2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，画图可见， g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快得多．自己再观察几个函数导数 值的大小关系，你会发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某 点附近变化的快慢程度，导数绝对值越大，函数增长(f′(x)＞0)或减少(f′(x)＜0) 的越快．
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金太阳新课标资源网 老师都说好! [点评] 求函数单调区间时需注意： 1．步骤：
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2．含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想． 3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能 用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
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4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0)) 的切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a， b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在 区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
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3 已知函数 f(x)＝ax －3x ＋1－a，讨论函数 f(x)的单
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调性．
[解析] 由题设知 a≠0，
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f′(x)＝3ax
2 －6x＝3axx－a.
2 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝a. 当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；
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[证明]
1 设 f(x)＝x－ln(1＋x)． 因为 f′(x)＝1－ ＝ x＋1
x ，x>1，所以 f′(x)>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上是增函 x＋1 数． 又 f(1) ＝ 1 － ln2>1 － lne ＝ 0 ， 即 f(1)>0 ， 所 以 f(x)>0(x>1)，即 x>ln(1＋x)(x>1)．
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求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3 (2)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π) bx (3)f(x)＝ 2 (－1<x<1，b≠0) x －1
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[解析] (1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1) 令f′(x)＞0，则4x(x－1)(x＋1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)， 令f′(x)＜0，则4x(x－1)(x＋1)＜0，解得x＜－1或0＜x＜1， ∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)． (2)函数f(x)的定义域为(0，π) ∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1,1)
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f(x2)－f(x1) 5． 在区间(x1，2)内， x 函数 f(x)的平均变化率即 x2－x1 是经过 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两点直线的斜率，故在曲 线上一定存在一点 P(x0，f(x0))，使在点 P 处的切线斜率 k f(x2)－f(x1) ＝f′(x0)＝ ，如图． x2－x1
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1．3 导数在研究函数中的应用 1．3.1 函数的单调性与导数
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借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调 性，会用导数法求函数的单调区间．
增函数
减函数
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[例1] 判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
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