2019年高考物理第十五章机械振动机械波第1讲机械振动学案

第1讲 机械振动板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 简谐运动 Ⅰ 1．简谐运动的概念质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x ­t 图象)是一条正弦曲线。

2．平衡位置物体在振动过程中回复力为零的位置。

3．回复力(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。

(2)方向：总是指向平衡位置。

(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

4．描述简谐运动的物理量【知识点2】 简谐运动的公式和图象 Ⅱ 1．表达式(1)动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ0)，其中A 代表振幅，ω＝2πT＝2πf 表示简谐运动的快慢，ωt ＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。

2．简谐运动的图象(1)如图所示：(2)物理意义：表示振动质点的位移随时间的变化规律。

【知识点3】弹簧振子、单摆及其周期公式Ⅰ简谐运动的两种模型【知识点4】受迫振动和共振Ⅰ1．自由振动、受迫振动和共振的比较2．共振曲线如图所示的共振曲线，曲线表示受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f(横坐标)的变化而变化。

驱动力的频率f 跟振动系统的固有频率f 0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f 等于振动系统的固有频率f 0时，振幅最大。

【知识点5】 实验：用单摆测定重力加速度1.实验原理 由单摆的周期公式T ＝2πl g ，可得出g ＝4π2T2l ，测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可求出当地的重力加速度g 。

2．实验器材带中心孔的小钢球、约1 m 长的细线、带有铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。

3．实验步骤 (1)做单摆取约1 m 长的细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示。

(2)测摆长用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ＝L ＋D2。

(3)测周期将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次全振动的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。

(4)改变摆长，重做几次实验。

(5)数据处理①公式法：g ＝4π2lT 2。

②图象法：画l­T 2图象。

g ＝4π2k ，k ＝l T 2＝Δl ΔT 2。

4．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。

(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于10°。

(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。

(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L ，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝L ＋r 。

(5)选用1 m 左右难以伸缩的细线。

板块二 考点细研·悟法培优考点1简谐运动的五个特征[深化理解]1．动力学特征F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征相隔T 或nT 的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征 (1)时间对称性：相隔T2或2n ＋1T2(n 为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

如图所示：O 为平衡位置，A 、B 为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t 时刻在C 点，t ＋2n ＋1T2时刻运动到D 点，则位移x D ＝－x C ，速度v D ＝－v C ，a D ＝－a C 。

(2)空间对称性：如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

此外，振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′。

振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。

5．能量特征振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

例1 (多选)如图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做机械振动。

若从O 点开始计时，经过3 s 质点第一次经过M 点，继续运动，又经过2 s 它第二次经过M 点，则该质点第三次经过M 点还需要的时间是( )A ．8 sB ．4 sC ．14 s D.103s(1)连续经过相同位置时的两个不同时刻，相同的量是什么？不同的量是什么？提示：相同的量：位移、回复力、加速度、动能、弹性势能； 不同的量：速度(大小相等，方向相反)。

(2)从第一次经过M 点到第三次经过M 点是多长时间？ 提示：一个周期。

尝试解答 选CD 。

如图所示，设a 、b 两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O 点向右运动，O →M 过程历时3 s ，M →b →M 运动过程历时2 s ，显然，T4＝4 s ，T ＝16 s 。

质点第三次经过M 点还需要的时间Δt 3＝T －2s ＝14 s ，C 正确。

若开始计时时刻，质点从O 点向左运动，O →a →O →M 运动过程历时3 s ，M →b →M 运动过程历时2 s ，显然，T ′2＋T ′4＝4 s ，T ′＝163 s 。

质点第三次经过M 点还需要的时间Δt 3′＝T －2 s ＝103s ，D 正确。

总结升华分析简谐运动的技巧(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。

另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。

(3)如上例，若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。

[跟踪训练] 如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是 ( )A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1 s，振幅是10 cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm答案 D解析振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm，C错误；3 s的时间为1.5T，振子通过的路程为30 cm，D正确。

考点2简谐运动的图象[拓展延伸]1．图象特征(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。

(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

(3)任一时刻在图线上对应点的切线的斜率，大小表示该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，为正时，表示振子的速度沿x轴正方向；为负时，表示振子的速度沿x轴负方向。

2.图象信息(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图象上总是指向t轴。

②速度的方向：某时刻速度的方向既可以通过该时刻在图象上对应点的切线的斜率来判断，还可以通过下一时刻位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴。

(4)可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。

例2 一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。

(1)求t ＝0.25×10－2s 时质点偏离平衡位置的位移；(2)在t ＝1.5×10－2s 到t ＝2×10－2s 这段时间，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？ (3)在t ＝0到t ＝8.5×10－2s 这段时间，质点运动的路程、位移各是多少？(1)如何确定图象上某一时刻质点的速度、加速度？提示：下一时刻位移增加，速度方向远离时间轴，质点向背离平衡位置方向运动；反之，向朝向平衡位置方向运动。

加速度方向永远指向时间轴，指向平衡位置。

(2)从t ＝0到t ＝1×10－2s 时间内，质点速度大小如何变化？图象上斜率表示什么？ 提示：速度先增大后减小；图象上斜率表示速度。

尝试解答 (1)x ＝－ 2 cm (2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大 (3)s路程＝34 cmx 位移＝2 cm ，方向沿正方向。

(1)由题图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2s ，振动方程为x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωt －π2＝－A cos ωt ＝－2cos 2π2×10－2t cm ＝－2cos100πt cm ，当t ＝0.25×10－2s 时，x ＝－ 2 cm 。

(2)由题图可知在1.5×10－2s 到2×10－2s 这段时间，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。

(3)从t ＝0到t ＝8.5×10－2 s 这段时间等于质点做简谐运动的174个周期，质点运动的路程为s 路程＝17A ＝34 cm ，位移为x 位移＝2 cm ，方向沿正方向。

总结升华对振动图象的理解(1)可确定振动质点在任一时刻的位移。

如图所示，t 1、t 2时刻质点偏离平衡位置的位移分别为x 1＝7 cm ，x 2＝－5 cm 。

(2)可确定质点振动的振幅，图象中最大位移的绝对值就是质点振动的振幅。

如图所示，质点振动的振幅是10 cm 。

(3)可确定质点振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，频率的大小等于周期的倒数。

如图所示，OD 、AE 、BF 的间隔都等于质点振动的周期，T ＝0.2 s ，频率f＝1T＝5 Hz 。

(4)可确定质点的振动方向。

如图所示，在t 1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t 3时刻，质点正朝向平衡位置运动。

(5)可比较各时刻质点加速度的大小和方向。

例如在图中t 1时刻，质点偏离平衡位置的位移x 1为正，则加速度a 1为负；在t 2时刻，质点偏离平衡位置的位移x 2为负，则加速度a 2为正，因为|x 1|>|x 2|，所以|a 1|>|a 2|。