苏教版高一数学必修一 函数模型及其应用

3.4.2函数模型及其应用
一、基础过关
1．已知某食品5 kg价格为40元，则该食品价格与重量之间的函数关系为________，8 kg 食品的价格为________元．
2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函
数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人
员没有销售量时的收入是________元．
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四
年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．
4．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2.
5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．
6．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
7．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份123
产量(千件)505253.9
y＝ax＋b或y＝
a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：
用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
8．假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)．计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式．
(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的范围．
二、能力提升
9．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的
生产成本为C (x )＝12
x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
10．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则
x ，y 的函数关系是________________．
11．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年
我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)
12．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍
伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
三、探究与拓展
13．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、
化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)
(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；
(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)
答案
1．y ＝8x 64
2．300
3．减少7.84%
4．23
5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0.5x (0<x ≤100)0.4x ＋10 (x >100) 6．5
7．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩
⎪⎨⎪⎧
50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)． ∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.
当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；
当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y ＝ax ＋b 较好．
8．解 (1)在收购价格没有改变的前提下，收购量由m 万担增加到m (1＋2x %)万担；税率由
8%降低到(8－x )%.
因此，y ＝120m (1＋2x %)(8－x )%
＝－3m 125
(x 2＋42x －400)(0≤x ≤8)． (2)原计划税收为120m ×8%，
因此－3m 125
(x 2＋42x －400)≥120m ×8%×78%， 解上式，得{x |－44≤x ≤2}，
故x 的范围为{x |0≤x ≤2}．
9．18
10．y ＝(0.957 6)x 100
11．2037
12．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则
a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12
，
解得x ＝1－(12)110
. (2)设经过m 年剩余面积为原来的
22，则 a (1－x )m ＝22a ，即(12)m 10＝(12)12，m 10＝12
，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n 年，
则n 年后剩余面积为
22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24
， (12)n 10≥(12)32，n 10≤32
，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．
13．解 (1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12
f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12
f (2)×6.24%＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －
1(x ∈N *)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12
f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．。