欧式空间中线性变换和正交变换的关系
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。
6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。
[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。
这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。
练习：394P 1（1）。
定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。
α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。
在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。
第六章 线性变换
第六章 线性变换线性变换的理论是19世纪后半期由凯莱和西尔维斯特建立起来的，它们运用线性变换定义了矩阵的乘法，处理了矩阵的相似合同等关系.变换是集合A 到自身的映射,线性变换是特殊的变换,是在变量的线性替换、坐标变换等基础上建立起来的数学工具之一,在向量空间中,线性变换与矩阵(方阵)有着紧密的联系,线性变换的化简直接转化为对矩阵的化简,因此,它是方阵化简的基本理论依据.从这一意义上来说,本章内容可看作对矩阵讨论的延续.本章重点是求特征值与特征向量.*6.1 线性变换及其运算定义 1 设V 是数域F 上的一个向量空间，σ是V 的一个变换.如果,F k ∈∀ V ∈∀βα,，有1）);()()(βσασβασ+=+2）),()(ασασk k =那么称σ是V 的一个线性变换.定义1中的条件1),2)可表示为:,,,,V F l k ∈∀∈∀βα有)()()(βσασβασl k l k +=+.采用数学归纳法容易证明，若σ是V 的线性变换，),,2,1(,s i F k V i i =∈∈α，那么)()()()(22112211s s s s k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .例1.设V 是数域F 上的向量空间,F k ∈为一固定的数. 令αασk =)( V ∈∀α,那么, σ是V 的一个线性变换.事实上,,,F b a ∈∀.,V ∈βα)()()()(βαβαβασk b k a b a k b a +=+=+).()(βσασb a +=例1 中的σ称为V 的位似变换.当0=k 时,称σ为零变换,记为θ.当1=k 时,称σ为V 的恒等变换(单位变换).记为ι例 2.)(F M n 表示数域F 上的所有n 阶矩阵作成的向量空间,)(F M A n ∈为一固定矩阵.).(F M X n ∈∀令,)(XA AX X -=σ那么,σ是)(F M n 的一个线性变换.事实上,).(,F M Y X n ∈∀ ,,F b a ∈A bY aX bY aX A bY aX )()()(+-+=+σ=bYA aXA bAV aAX --+).()()()(Y b X a YA AY b XA AX a σσ+=-+-=故σ是)(F M n 的一个线性变换.设)(V L 表示向量空间V 中所有线性变换作成的集,σ,)(V L ∈τ.规定ϕ ),()()(ξτξσξ+= V ∈∀ξ.称ϕ为σ与τ的和,记为τσ+.即有)()())((ξτξσξτσ+=+.τσ+仍是V 的线性变换(读者自行验证).同时线性变换的加法满足: )(,,V L ∈∀ρτσ, 1) σττσ+=+,2) )()(ρτσρτσ++=++, 3) σσθ=+,令)())((ασασ-=-,称σ-为σ的负变换.容易验证).(V L ∈-σ对于σ-,有 4) θσσ=-+)(.再规定)(V L 的一个“数量乘法”:设)(,V L F k ∈∈σ.令 :ϕ ).(|ασαk → V ∈∀α.称ϕ为k 与σ的数量乘积,记为σk .即)())((ασασk k =.)(V L k ∈σ.事实上,V F b a ∈∈βα,,,,))()(()())((βσασβασβασb a k b a k b a k +=+=+ =)()(βσασbk ak + =))(())((βσασk b k a +.对于数乘运算，容易得到如下算律: 5) τστσk k k +=+)(, 6) σσσl k l k +=+)(, 7) )()(σσl k kl =, 8) σσ=1,其中，)(,,,V L F l k ∈∈τσ.根据向量空间的定义，我们得到：)(V L 对于它的加法和数量乘法作成数域F 上的一个向量空间.现在设V 是数域F 上的一个n 维向量空间,n ααα,,,21 是V 的一个基,)(V L ∈σ.由于,,,2,1,)(n i V i =∈ασ因而它们可由基n ααα,,,21 线性表出.令,12211111)(n n a a a αααασ+++=,22221122)(n n a a a αααασ+++= (1)…………………n nn n n n a a a αααασ+++= 2211)(.(1)也可以表为 ()A n n ),,,()(,),(),(2121αααασασασ =,或A n n ),,,(),,(2121αααααασ = , (2)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A212222111211. 称A 为σ关于基n ααα,,,21 的矩阵.A 的第j 列元为)(j ασ在基n ααα,,,21 下的坐标,,,,2,1n j =因而当取定基之后,σ在这一基下的矩阵是唯一的.例 3 σ是n 维向量空间V 的位似变换:σααασ,,)(V k ∈∀=关于V 的任一个基的矩阵为n 阶数量矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k .而零变换θ关于V 的任一个基的矩阵为零矩阵.单位变换ι关于V 的任一个基的矩阵是n E .例4 V 是n 维欧氏空间, n ααα,,,21 是V 的一个标准正交基.)(V L ∈σ,且满足α∀、>>=<<∈βαβσασβ,)(),(,V .设()U n n ),,,()(,),(),(2121αααασασασ =其中)(ij u U = .,,2,1,n j i = 由∑==ni iij j u 1)(αασ ,,2,1n j =那么,>=>=<<)(),(,j i j i ασασαα><∑∑==nl l lj nk k kiu u11,αα=∑∑∑===>=<nk nl nk kj ki l k lj kiu u u u111,αα=⎩⎨⎧≠=.,0,,1j i j i 当当这表明U 为正交矩阵.定义2 V 是n 维欧氏空间, )(V L ∈σ.如果,,V ∈∀βα有.,)(),(>>=<<βαβσασ (3) 那么称σ是一个正交变换.由例4知, 正交变换σ在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.同时,若n ααα,,,21 是标准正交基,那么)(1ασ, )(,),(2n ασασ 也是标淮正交基.正交变换不改变向量的长度.事实上,在(3)中取βα=,便有|||)(|αασ=.反过来可以证明,在欧式空间V 中,若线性变换σ保持向量长度不变,那么σ是正交变换.最后,我们讨论向量空间V 的向量ξ与σ(ξ)关于同一基的坐标之间的关系. 定理6.1.1 设V 是n 维向量空间,)(V L ∈σ ,n ααα,,,21 是V 的一个基,且.),,,(),,,(2121A n n αααααασ =又设n n x x x αααα+++= 2211, n n y y y αααασ+++= 2211)(,那么⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121. (4) 证: 由),,,(212211n n n x x x ααααααα =+++= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21,σ是线性变换,那么)()()()(2211n n x x x αασασασ+++==())(,),(),(21n ασασασ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21=A n ),,,(21ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21.又⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y 2121),,,()(αααασ.由于同一个向量在一个基下的坐标是唯一的,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121.这一结论表明，若知道线性变换σ关于某个基的矩阵,知道向量α关于这个基的坐标,那么由(4)式,便可求得α在σ下的像)(ασ关于这个基的坐标.习 题1.在3R 中,下列哪些变换是线性变换? (1) );,,(),,(132321a a a a a a =σ(2))0,0,(),,(321321x x x x x x ++=σ; (3) )0,0,(),,(321321x x x x x x =σ;(4) ),,(),,(233221321x x x x x x x +=σ.2.σ是向量空间V 的任一线性变换,证明 (1)0)0(=σ.(2) s ααα,,,21 线性相关,则)(,),(),(21s ασασασ 也线性相关. 3.已知3R 是σ的线性变换:),,,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=σ求3R 在σ的自然基321,,εεε下的矩阵.4.σ是欧氏空间V 的线性变换,证明:若对任意的V ∈α有|||)(|αασ=,则σ是正交变换.6.2 特征值与特征向量我们已经看到,在向量空间V 中,取定一个基, V 的一个线性变换对应着唯一的一个n 阶矩阵.我们需要进一步考虑的是,一个线性变换在不同基下的矩阵有什么关系;是否可以找到一个适当的基,使线性变换在这个基下的矩阵最简单——为对角形矩阵.现在设V 是数域F 上的n 维向量空间，n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是V 的两个基.)(V L ∈σ.()A n n ),,,()(,),(),(2121αααασασασ =,()B n n ),,,()(,),(),(2121ββββσβσβσ =, (1)由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是T ,即),,,(21n βββ =T n ),,,(21ααα .(2)因为T 可逆,有=),,,(21n ααα ),,,(21n βββ 1-T .由(2),()T n n ))(,),(),(()(,),(),(2121ασασασβσβσβσ =),,,(21n ααα =AT),,,(21n βββ =1-T AT . (3)比较(1),(3)有.1AT T B -= (4)定义1 设B A ,是数域F 上的两个n 阶矩阵,如果有F 上的可逆矩阵T ,使,1B AT T=-那么称B A 与相似,记为A ∽B .n 阶矩阵的相似关系具有如下性质: 1.自反性: A ∽A (取n E T =则可).2.对称性:由,1B AT T=-有A BT T =---111)(,即若A ∽B ,则B ∽A .3.传递性:若A ∽B ,B ∽C ,那么A ∽C .事实上,由A ∽B ,B ∽C ,则有可逆矩阵S T ,使..,11C BS S B AT T ==--于是.)()()(111C TS A TS S AT T S ==--- 根据定义1及上述推导可得:定理 6.2.1 线性变换σ在不同基下的两个矩阵相似.另一方面,若B AT T =-1,设n ααα,,,21 是V 的基,=))(,),(),((21n ασασασA n ),,,(21ααα .令T n n ),,,(),,,(2121αααβββ =,则n βββ,,,21 也是V 的基.事实上,由 12121),,,(),,,(-=T n n βββααα 知n ααα,,,21 可由n βββ,,,21 线性表示.由替换定理n ααα,,,21 与n βββ,,,21 等价,因而等秩.即秩 (n βββ,,,21 )=n .由(3)式的推导,容易看出B n n ),,,())(,),(),((2121ββββσβσβσ =.这说明,两个相似矩阵可以看成σ在不同基下的矩阵.在(1)中,如果B 是一个对角形矩阵,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B λλλ21, 便有j j j βλβσ=)(,这也就是我们构造基n βββ,,,21 ,使σ在这一基下的矩阵为对角形的基本思路.为了实现这一想法,我们给出如下重要概念.定义2 设V 是数域F 上的向量空间,0,),(≠∈∈αασV V L .如果有F ∈λ,使得λαασ=)(, (5)那么称λ是σ的特征值,称α是σ的属于特征值λ的特征向量.现在设n ααα,,,21 是V 的一个基. ),(),((21ασασ =))(,n ασ A n ),,,(21ααα ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=n n n n x x x x x x 21212211),,,(ααααααα,那么⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121))(,),(),(()(ασασασασ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x A 2121),,,(ααα.而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n x x x 2121),,,(λαααλα.若(5)成立,由定理6.1.1,有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 2121λ.令Tn x x x X ),,,(21 =,上式即为X AX λ=. (6)(6)中的λ称为矩阵A 的特征值,X 称为A 的属于特征值λ的特征向量.(6)是由(5)推出,反过来,由(6)也可推得(5).因此, σ的特征值也称为A 的特征值.同时,我们看出,特征值与基的选取无关,只由σ(或A )确定.这样,对线性变换σ的特征值的讨论就可以转化为对方阵A 的特征值的讨论.下面我们来讨论如何求A 的特征值λ以及属于特征值λ的特征向量. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211,由(6)可得齐次线性方程组0)(=-X A E λ (7)(7)的系数行列式nnn n nn a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211|| 是关于λ的一个n 次多项式,称为A 的特征多项式,记为)(λA f .若0||)(=-=A E f A λλ,那么(7)有非零解. (7)中任意一个非零解X 都满足(6)式,因而都是属于特征值λ的特征向量关于基n ααα,,,21 的坐标.如果未提及基,我们就将(7)的非零解X 作为A 的属于特征值λ的特征向量.设α是A 的属于特征值λ的特征向量,0,≠∈k F k ,那么)()(αλλαααk k kA k A ===,这说明αk 也是属于特征值λ的特征向量.于是,若n ααα,,,21 是属于特征值λ的特征向量,那么,它们的线性组合s s k k k ααα+++ 2211(i k 不全为0)仍是属于特征值λ的特征向量.由此可知,A 的属于特征值λ的所有特征向量可以用(7)的一个基础解系来表示.此时,(7)的解空间称为A 的关于λ的特征子空间,记为λV . λV 中任何非零向量都是属于特征值λ的特征向量.例1 求A 的特征值和相应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011211211A .解84211211211)(23+--=------=λλλλλλλA f .由综合除法，求得)(λA f 的根为：22,1=λ,23-=λ,即为A 的特征值.对于特征值,22,1=λ相应的齐次方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--,020202321321321x x x x x x x x x 求得基础解系,0111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=η ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022η.属于特征值2的特征向量为212211,(k k k k ηη+不全为零). 对于23-=λ,相应的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=---,02023023321321321x x x x x x x x x求得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113η.属于特征值-2的特征向量为)0(3,33≠k k η.下面我们来看看两个相似矩阵的特征值之间的关系. 设A ∽B ,即有可逆矩阵T ,使,1B AT T =-那么,||||1AT T E B E --=-λλ=|)(|T A E T --λ =||||||T A E T --λ =||A E -λ.于是,有定理6.2.2 相似矩阵有相同特征多项式,因而有相同的特征值.该定理的逆不成立,即A 、B 有相同的特征值,但A 、B 不一定相似.例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010B . A 、B 的特征值都是021==λλ,但A 、B 不相似.前面曾经提到,矩阵A 的特征多项式)(λA f 是一个关于λ的n 次多项式,设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 那么nnn n nn A a a a a a a a a a f ---------=λλλλ212222111211)(, 其中)())((2211nn a a a ---λλλ 是)(λA f 的项. 该项含且仅含)(λA f 的n λ和1-n λ的项,)(λA f 的常数项, 即不含λ的项(取0=λ)为||)1(A n -.因此,||)1()()(12211A a a a f n n nn n A -+++++-=- λλλ,其中nn a a a +++ 2211为A 的主对角线上元素的和,称为A 的迹,记为)(A T r .根据多项式根与系数的关系,有)(21A T r n =+++λλλ .||21A n =λλλ .以上两式,可以在我们计算A 的特征值后,作为检验计算是否正确的必要条件.只是注意,重根有几个算几个.n 阶矩阵A 的特征值,随给定的数域F 而定.在复数域C 上,由代数基本定理, )(λA f 有n 个复根,因而总有)())(()(21n A f λλλλλλλ---= .习 题1.求下列矩阵在实数域R 内的特征值和相应的特征向量:(Ⅰ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2543A , (Ⅱ). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=175131023A . 2.证明, n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值.3.若λ是n 阶矩阵A 的特征值,则kλ是k A 的特征值.4.证明,若n 阶矩阵A 的n 个特证值0≠i λ,n i ,,2,1 =,则A 可逆,且1-i λ是1-A 的特征值.*5.证明,对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b21 相似,当且仅当n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列.6.3 可对角化的矩阵在这一节里,我们讨论在什么情况下,n 阶矩阵A 可以相似于一个对角形矩阵,或者说,在什么情况下,向量空间V 中存在一个基,使V 的线性变换σ这个基下的矩阵为对角形矩阵.定义 1 V 是数域F 上的一个n 维向量空间,)(V L ∈σ.如果V 中有一个基,使σ在这个基下的矩阵为对角形矩阵,那么称σ是可对角化的.将定义1用矩阵的语言来表述,即为:对n 阶矩阵A ,如果存在n 阶可逆矩阵T ,使AT T 1-为对角形矩阵,那么,称A 是可对角化的.σ对角化或A 对角化，其对角形矩阵中，对角线上的元素是σ或A 的全部特征值.σ对角化在于构造一个相应的基，而A 对角化却在于构造可逆矩阵T .若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ211, 即有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AT λλλ21. 令),,,(21n T βββ =，则可得j j j A βλβ=.这表明T 的第j 列是A 的属于特征值j λ的特征向量,即0)(=-X A E j λ的基础解系的解向量.另一方面,如果n ααα,,,21 是基,且A n n ),,,(),,,(2121αααααασ =,那么满足T n n ),,,(),,,(2121αααβββ =的n βββ,,,21 就是σ对角化需要构造的基.由上所述，σ或A 对角化是有条件的.其一,n 阶矩阵A 是否有构成n 阶对角矩阵的n 个特征值；其二,这些特征值所确定的特征向量是否可以构成可逆矩阵T .第一个条件可通过求A 的特征值来确定.对第二个条件,首先需要考察n 阶矩阵A 的属于不同特征的特征向量之间有什么关系.我们有定理6.3.1 n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.证 设m ααα,,,21 是A 的分别属于m 个不同特征值m λλλ,,,21 的特征向量.对m 采用归纳法.当1=m 时，特征向量01≠α,1α线性无关.设对于1-m 个不同特征值,定理成立.当不同特征值的个数是m 时,令02211=+++m m k k k ααα , (1) 将A 左乘(1)两边,且由i i i A αλα=, m i ,,2,1 =,有0222111=+++m m m k k k αλαλαλ . (2)将m λ⨯-)1()2(,得.0)()()(111222111=-++-+----m m m m m m k k k αλλαλλαλλ由归纳假设121,,,-m ααα 线性无关，所以只有0)(=-m i i k λλ,1,,2,1-=m i .而0≠-m i λλ,得0=i k .将0=i k 代入(1)式,(1)化为.0=m m k α但0≠m α,于是0=m k .故m ααα,,,21 线性无关.由此定理,我们立即得到推论 若n 阶矩阵A 在给定数域F 中有n 个不同特征值,则A 可对角化.事实上,设n λλλ,,,21 是A 的n 个不同特征值,对于每一个j λ,都可求得齐次线性方程组0)(=-X A E j λ的一个非零解,分别以它们作为T 的第j 个列向量,构成T .由定理6.3.1, T 的这些列向量线性无关,因而T 可逆,且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ211.但是,一般来说,A 的特征值不一定都是)(λA f 的一重根（单根）.现在假设在数域F 内t s t s s A f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,其中i S ≥1为i λ的重数),,2,1(t i =,而n S S S t =+++ 21.即是说, )(λA f 的重根按重数计,A 有n 个特征值.如果i λ相应的齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的基础解系含i S 个解向量,即是说此时i S V i =λdim .那么以这t 组解向量为列构成可逆矩阵T ,则有个个个t t t S S S AT T 2122111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-λλλλλλ (3) 反过来,如果(3)成立,那么A 有t 个不同的特征值t λλλ,,,21 ,其重数分别为t s s s ,,,21)(21n s s s t =+++ .而T 的第i 组列向量都是属于特征值i λ的特征向量,也就是齐次线性方程组0)(=-A E i λ的i S 个线性无关的解向量,说明i V λ的维数至少是i S ,即i V λdim ≥i S .但由n S S S t =+++ 21,不可能有i V λdim ＞i S ,因而i S V i =λdim .由以上论述,我们得到定理6.3.2 数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是: (Ⅰ) A 在F 内有n 个特征值,(Ⅱ) 每一特征值i λ的重数等于相应特征子空间i V λ的维数.现在,我们已经知道,当σ可对角化时，如何来构造这相应的基.事实上,任取V 的一个基,由(3),以T 的列向量为坐标,便可构成n 个线性无关的向量:t ts t s ββββ,,,,,,11111 ,它是V 的一个基,而σ在这个基下的矩阵为对角形矩阵:.121个个t t t S S ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ 若A 可对角化,我们再看V 与它的特征子空间的关系,根据6.2定义2,一个特征向量,只由一个特征值确定.事实上,若αλααλα21,==A A ,那么(),021=-αλλ而0≠α,因此21λλ=.这说明{}0=j i V V λλ ,,j i ≠而此时s V V V V λλλ+++= 21. (4) 上述σ可对角化所选择的基,即由s V V λλ,,1 的基拼凑而成.显然V 的每一个向量在这个基下的表示法是唯一的.(4)中的这个和称为直和,记为s V V V V λλλ⊕⊕⊕= 21.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=163222123A ,求可逆矩阵T ,使AT T1-为对角形矩阵.解)4()2(1612163222123)(23+-=+-=+---+--=λλλλλλλλA f .A 的特征值为4,2,2-.对于特征值2,求得相应齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--0363024202321321321x x x x x x x x x 的基础解系:T)0,1,2(1-=η,T)1,0,1(2=η;对于特征值4-,求得相应齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=+--03630222027321321321x x x x x x x x x的基础解系:T )1,32,31(3-=η. 由于基础解系所含解向量的个数都等于相应特征值的重数,A 可对角化.取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11032013112T ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4000200021AT T .习 题1. 在实数域R 内,下列哪些矩阵可对角化.(Ⅰ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----175131023; (Ⅱ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---504941754; (Ⅲ) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6123020663. 2. 已知三阶矩阵A 的特征值1,2,1321-===λλλ.属于1λ的特征向量T )1,0,1(1=α,属于2λ的特征向量T)1,1,0(2-=α,属于3λ的特征向量T )1,1,1(3-=α.求A .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=163053064A ,求10A .*4. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，－1，2，设矩阵235A A B -=,试求B 的特征值.。
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
《高等代数》欧氏空间
a1, a2 ,L n , b , b2 ,L bn 有不等式 a 1 ,
(a1b +L+ anbn )2 ≤ (a1 +L+ an )2 (b +L+ bn )2 1 1
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
定义3 定义 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： <ξ,η > cosθ = ξ ⋅η 例5 令
R ξ = (x1, x2 ,..., xn )
n
是例1 中的欧氏空间
R 中向量
n
的长度是
2 2 2 ξ = <ξ,ξ > = x1 + x2 +... + xn
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有
f (x), g(x),
b
有不等式
b 2
∫a f (x)g(x)dx ≤ ∫a f
(x)dx∫
g (x)dx. a
b
2
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8 设 (1)
ξ,η
为欧氏空间V 中任意两个
α , 由于 { 1,α2 ,L αn} 是规范正交基，我们有
（3）
ξ,αi =
∑x α ,α
j= 1 j j
n
i
= xi
这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的 第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；
高等代数9-2
有
( , ) ( X )T Y X T AT Y X T ( AY ) ( , )
σ是一个对称变换.
在标准正交基下,对称变换与对称矩阵对应.
定理 对于任意一个n阶实对称矩阵A , 都存在一个n阶正交 矩阵T ,使T T AT T 1 AT为对角矩阵.
定理12 如果σ是n维欧氏空间V的一个对称变换,那么可找
sin x cos y
1 (1,0), 2 (0,1)是一组标准正交基
T 1 (cos , sin ) cos 1 sin 2 T 2 ( sin , cos ) sin 1 cos 2
则称 σ为一个对称变换.
二、 对称变换与对称矩阵的关系
设是n维欧氏空间V的一个对称变换, 1 , 2 , , n 是V的一组 标准正交基. 并设在基 1 , 2 , , n 下的矩阵是
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V1 都有唯一的正交补.
下证唯一性
设W1 ,W2都是W的正交补,则 V W W1 任取 1 W1 , 则 1 V . 由( 2 )得,1 2
( , ) 0
(1 ) (2)
V W W2
W , 2 W2
证 先证存在性
若W 0, 则正交补就是V . 若W V , 则正交补就是0. 设W V ,0 :
在W中取一组正交基 1 , 2 , , m (1 m n )
把它扩充成V的一组正交基
1 , 2 ,, m , m 1 , , n
那么子空间L( m 1 , , m )就是W的正交补.
关于欧氏空间正交变换的存在性问题
（ 江 苏师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ，江 苏 徐 州 ２ ２ １ １ １ ６ ）
摘 要 给 出 无 限维 欧 氏 空 间上 正 交 变换 存 在性 问题 的 两个 结 论 ： 设Ｖ ， 、 ， ２是 欧 氏空 间 Ｖ 的 两个 有 限 维子 空 间， 且ｄ ｉ ｍ Ｖ１ ＝ｄ ｉ ｍ Ｖ ２ ， 则 存 在 的正 交变 换 ， 使 得 （ ）一 Ｖ ２ ； 设 ｍ， ａ ｚ ， … 儡 和 ， 屉， …， 为 欧 氏空 间 Ｖ 中两 个 向 量组 ， 则 存 在 的正 交 变换 ， 使得 ａ （ ａ Ｄ ： 届（ ： １ ， ２ ， …， ｒ ） 的充 要条 件 是 （ ∞） 一（ 届， ）（ ， 一 １ ， ２ ， …， ｒ ） ． 关 键 词 欧 氏空 间 ； 子空间 ； 正交补 ； 正 交 变 换 文献 标 识 码 Ａ ’ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ １ ６ — ０ ３
收稿 日期 ： ２ ０ １ １ － ０ ３ — ０ ８ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ － ２ ９
进 而存 在 『 Ｉ 到Ｖ 的 同构 映射 。 ． 于是 ， 对于Ｖ 中 任 一 向量 ， 存在 唯一分 解式
一
＋ （ ∈ ｖＦ， ｚ∈
） ．
若 令
中 图分 类 号 Ｏ１ ５ １
用 Ｒ表 示实 数域 ， Ｖ表 示 欧 氏 空 间 ， ｄ ｉ ｍＶ 表示
ｗ 的正 交补 的存在 性可 由文 ［ １ ］定理 ８ ． ２ ． ４给
欧 氏空 间 或 欧 氏子 空 间 Ｖ 的 维 数 ， Ｌ（ ｅ ， ￡ ， …， ￡ ）
表 示 由 向量 组 （ ￡ ， ￡ ， …， ￡ ｒ ） 生成 的子 空 间．
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章
线
性
变
换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
第六章 线性变换 线性变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 5 页 欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词：欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设V不是空集，P为一个数域，在V中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对PlkV,,,,，满足： （1）V，（关于加法封闭） （2），（交换律） （3））（）（，（结合律） （4）VV，使0,0，（零元） （5）0）（，使）（，VV，（负元） （6）Vk（关于数乘封闭） （7）1 （8））（）（kllk （9）lklk）（ （10）kkk）（ 则称V为数域P上的线性空间。 定义2 设V是R上的一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(，它具有以下性质（RkV,,,）： （1）),(),( （2）),(),(kk （3）),(),(),( （4）0),(，当且仅当0时，0),(。 定义3 定义2中的线性空间V就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 定义4 设V是一个线性空间，P为一个数域，对于PkV,,，有 （1）()()()AAA （2）()()AkkA 则称A为V上的线性变换。 定义5 设A是欧氏空间V的一个变换，如果对于任意的,,V即保持内积不变， 第 2 页 共 5 页
都有： ((),())(,)AA。 则称A是正交变换。
由上述定义可以得到如下命题： 命题1 正交变换A保持向量的长度不变。 因为欧氏空间V的向量的长度是(,)， 所以就有 ()((),())(,)AAA。 但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。 例如，在欧氏空间R2中，令向量在直角坐标系下的表示为12(,)xx，有
1212()(,)(||,||)AAxxxx。
显然A是R2的一个变换。且因为 22121212|(,)||(||,||)|||||Axxxxxx，
221212|(,)|xxxx。
可知A保持向量的长度不变。但A不是正交变换，因为对于任意的
1212(,),(,)xxyy 则有：
12121122((),())((,),(,))AAxxyyxyxy，
12121122(,)((,),(,))xxyyxyxy。
二者未必相等。 命题2 正交变换A保持任意两个向量的夹角不变。 因为欧氏空间V的向量、的夹角0,的余弦可以表示为：
(,)cos
，
那么()A、()A的夹角'的余弦是： ((),())(,)cos'cos()()AAAA，
故'。 但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。
例如，设A是欧氏空间的一个变换，对于任意的V,有()Ak，其中kR。 第 3 页 共 5 页
因为对于任意的,,V()A、()A的夹角的余弦为： 22(,)(,)(,)kkk
kkk，
所以变换A保持了向量夹角。但是A不是正交变换，因为对于任意的,,V有： 2(,)(,)(,)Akkk，
这未必与(,)相等。 这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题： 命题3 欧氏空间V的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换A是一个正交变换。 下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。 命题4 欧氏空间V的正交变换A一定是一个线性变换。 证明 任取，V，由于 (()()(),()()())AAAAAA =((),())2((),())AAAA 2((),())((),())AAAA 2((),())((),())AAAA (,)2(,)2(,) (,)2(,)(,)0 故 ()()()0AAA 即 ()()()AAA 同理可证 ()()0,AaaAaR 即 ()()AaaA 故A是线性变换。 命题5 欧氏空间V的保持向量长度不变的线性变换A一定是一个正交变换。 证明 任取，V，由于A是保持向量长度不变的变换，即有 ((),())(,)AA, ((),())(,)AA, ((),())(,)AA。 又因为A是一个线性变换，故有： ((),())((),())2((),())((),())AAAAAAAA, ((),())(,)2(,)(,), 第 4 页 共 5 页
故 ((),())(,)AA。 所以A一定是一个正交变换。 例如，在欧氏空间R2中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示为12(,)xx，A为关于横轴的对称变换，这样就有：
1212()((,))((,))AAxxxx 下面证明这是一个线性变换。因为：
121211221122()((,)(,))((,))(,)AAxxyyAxyxyxyxy，
121212121122()()((,))((,))(,)(,)(,)AAAxxAyyxxyyxyxy， 所以 ()()()AAA。 又因为：
121212()((,))(,)(,)AkAkxxAkxkxkxkx，
121212()((,))(,)(,)kAkAxxkxxkxkx，
其中kR。 所以 ()()AkkA。 故A为线性变换。 显然对称变换A又是保持长度的，因此根据命题5，它是一个正交变换。 同样，我们常见的欧氏空间R2的旋转变换也是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示为12(,)xx，A为逆时针方向旋转的变换，这样就有：
121221()((,))(cossin,cossin)AAxxxxxx。
显然这是一个线性变换。因为：
12121122()((,)(,))((,))AAxxyyAxyxy 11222211(()cos()sin,()cos()sin)xyxyxyxy
1212()()((,))((,))AAAxxAyy
1221(cossin,cossin)xxxx
1221(cossin,cossin)yyyy 11222211(()cos()sin,()cos()sin)xyxyxyxy 所以 ()()()AAA 又因为：
12121221()((,))(,)(cossin,cossin)AkAkxxAkxkxkxkxkxkx
1221(cossin,cossin)()kxxxxkA 下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。因为：
121221()((,))(cossin,cossin)AAxxxxxx =221221(cossin)(cossin)xxxx 第 5 页 共 5 页
221212(,)xxxx
所以，欧氏空间R2的旋转变换是一个正交变换。 命题6 欧氏空间V的保持任意两个向量夹角不变的线性变换A不一定是一个正交变换。 前面我们举的例子：A是欧氏空间的一个变换，对于任意的V,有()Ak，其中kR。说明了尽管A保持了任意两个向量夹角不变，但并不是一个正交变换。事实上，这个变换A还是一个线性变换。因为： ()()Akkk，
()()()()()AlklkllklA，lR
参 考 文 献 [1] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1983. 321-328. [2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数（第二版）[M] . 北京：高等教育出版社，1988. 372-393.