弹性力学平面问题极坐标
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弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答
s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0
弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答
两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件
弹性力学第七章平面问题的极坐标解
第七章 平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量 极坐标下的应变分量 极坐标系的 Laplace 算符 轴对称应力分量 轴对称位移和应力表达式 曲梁纯弯曲 纯弯曲位移与平面假设 带圆孔平板拉伸问题 楔形体问题的应力函数 楔形体应力 楔形体受集中力偶作用、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。
极坐标平衡微分方程 几何方程的极坐标表达 应力函数 轴对称位移 厚壁圆筒作用均匀压力 曲梁弯曲应力 曲梁作用径向集中力 孔口应力 楔形体边界条件 半无限平面作用集中力二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点:1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的LaPIaCe算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD ,其由两个相距茁的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用二表示径向正应力，用二表示环向正应力，「,和•二:分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，.J=.二:。
弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答
两面不平行, d 夹角为 φ; 两
ρ 面面积不等,分别为 ρdφ, ( ρ + d ρ) dφ. ρ从原点出发为正, 从 x 轴向 y 轴方向转动为正.
微分体上的作用力有: 微分体上的作用力有
体力-- f ρ , f φ , 以坐标正向为正. -应力---
作用力
±ρ
面, φ 面分别表示应力及其增量. ±
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
基本方程的区别. 对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物 体,宜用极坐标求解.用极坐标表示边界简单,使边界条 件简化.
在A内任一点(ρ, )取出一个微分体,考虑其平 衡条件. 微分体:由夹 角为d φ的两 径向线和距离 为d ρ的两环 向线围成.
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
注意: 注意:
即 Φ是通过中间变量 ρ,φ ,为 x, y 的复合函数. 有: Φ = Φ ρ + Φ φ, Φ=Φρ +Φφ. 而
ρ x φ x y ρ y φ y sin cos ρ ρ = , = sin; = cos, . = ρ x y ρ y x x
代入,即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinφ Φ=cosφ =(cosφ )Φ x ρ ρ φ ρ ρ φ
u = uρ cos u sin, v = uρ sin + u cos.
(c) (d)
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
x r cos
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学简明教程 第4章 平面问题的极坐标解答
2
u
u
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
所以，几何方程为：
1 2 1 2
1 2
u
u
1
u
u
1
u
u
（4－2）
§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
由于极坐标和直角坐标都是正交坐标系，因此，极坐 标和直角坐标的物理方程应该有相同的形式。 极坐标下的物理方程： 直角坐标下的物理方程：
第四章 平面问题的极坐标解答
4-1 极坐标下的平衡微分方程 4-2 极坐标下的几何方程及物理方程 4-3 极坐标下的应力函数与相容方程 4-4 应力分量的坐标变换式 4-5 轴对称应力和相应的位移 4-6 圆环或圆筒受均布压力 4-7 压力隧洞 4-8 圆孔的孔口应力集中 4-9 半平面体在边界上受集中力 4-10 半平面体在边界上受集中力
第四章 平面问题的极坐标解答
研究对象： 圆形、扇形、楔形体等物体
研究内容： 极坐标下平面问题的基本方程 应力法的基本方程
研究问题： 轴对称问题 圆环或圆筒受均布压力 应力集中 半平面体的受力问题
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
一、极坐标下各分量的表示方法
1.应力分量
f
－ 径向正应力
f
－ 环向正应力
)
1 2
E
(
1
)
1 2
E
(
1
) （4－4）
2(1 E
)
平面应力问题
平面应变问题
E E
1 2
1
总结 极坐标下的基本方程
平衡方程
1
f
0
1
2
f
0
几何方程
u
弹性力学 第4章_平面问题的极坐标解答
0，
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
1 2
f 0。
目录
(b)
14
§4.1 极坐标中的平衡微分方程
式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相 似，而
τ ρυ
τ υρ ρ
--是由于 ρ面的面积大于 ρ 面引起的， --是由于 面上的切应力 τ υρ 在C点
而
cos , x
sin , x
sin ; y
cos 。 y
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinυ Φ cosυ (cosυ )Φ ， x ρ ρ υ ρ ρ υ
Φ cos Φ cosυ Φ sinυ (sinυ )Φ。 y ρ ρ υ ρ ρ υ
(e)
34
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
2 Φ ( Φ ) x x x 2 sinυ )(cos Φ sinυ Φ ). (cosυ υ ρ ρ υ ρ ρ υ
展开即得：
35
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
Φ ( x, y ) 可看成是 Φ Φ(ρ,υ) ，而 ρ,υ 又
是 x, y的函数，即 Φ 是通过中间变量 ρ,υ， 为 x, y 的复合函数。 有:
Φ Φ ρ Φ υ , x ρ x υ x
Φ Φ ρ Φ υ. y ρ y υ y
33
§4.3 极坐标中的应力函数及相容方程
(3) 应用应力变换公式（下节）
σ ρ σ x cos 2 υ σ y sin 2 υ 2τ xy cosυsin υ Φ cos υ Φ sin υ 2 Φ cosυsin υ. 2 2 xy y x
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r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
2 r
1
Fbr r
Fbr r
1 r
Fb
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 r、 方向的方向余弦分别为 l1、
l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为 pr、p 。则其应
力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。
即
( r )s l1 (r )s l2 pr
( r )s l1 ( )s l2 p
（3）体力分量的坐标转换
O
设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。 将其分别向 x、y 方向投影得
y
r P
Fb
x
Fbr r
2. 极坐标系下的平衡微分方程
x
x
yx
y
fx
0
x
x
由直角坐标系下的平衡微分方程推导
xy
x
y
y
fy
0
cos
r
sin
r
r
cos2
sin2
2 r
sin cos
上的应力 r、、r r ， 作为在极坐
标系下的应力分量。 r称为径向应力，
称为环向向应力。
y
（2）应力分量的坐标转换
x
r
P
r
r r
r
视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、、r r ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
五. 极坐标系下的基本方程总结
平衡微分方程
r
r
1 r r
r
r
Fbr
0
r
r
1 r
2 r
r
Fb
0
几何方程
物理方程
相容方程
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
r,
0
（无体力）
或
2 r
1
Fbr r
Fbr r
1 r
Fb
（计体力）
应力分量 （不计体力）
应力边界条件 位移边界条件
可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。
同前分析，当 0 时，
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因r、 方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。
即
当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零
或关于 (r ， ) 有势。
sin
2 2
2 x2
cos2
2 r 2
2sin cos
r
2
r
sin2
r
r
2sin cos
r2
sin2
r2
2
2
2 y2
sin2
2 r 2
2sin cos
r
2
r
cos2
r
r
2sin cos
r2
cos2
r2
2
2
2 sin cos 2 cos2 sin2 2
xy
r 2
( r )s l1 (r )s l2 pr ( r )s l1 ( )s l2 p
(ur )s ur (u )s u
§6-6 平面问题在极坐标系下求解
一. 轴对称问题的应力与相应的位移
1.轴对称问题的特征
（1）截面的几何形状对称于中心轴，如圆环、圆盘、圆筒。
（2）荷载与约束对称于中心轴。 因此环向体力 Fb 0 ； 在边界上 ，环向的面力和位移为零；即 p 0 (u )s 0
cos3 r sin2 cos 2sin cos2 r
r
r
r
sin
r
r
cos2
2 r
sin
cos
当
x r
y
时
0
sin sin
cos
2 sin
r
r
sin
cos
r
cos 2
y
x
r
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x
x
0
r
r
y
y
0
1 r
2 r
r
xy
x
0
r
r
xy
y
0
1 r r
r
r
x
x
yx
y
Fbx
0
0
xy
x
y
y
Fb y
0
0
Fbx 0 Fbr Fby 0 Fb
代入即得
r
r
1 r r
r
r
Fbr
( r )rb 0 (r )rb 0
q0
O
r
x
r
l
y
P
M
O
x
r a
b
y
上端： 0，l1 0 ，l2 1
面力向形心简化
或向O简化
P
M
O
rx
r
a
b
y
（3） 半无限平面 当 r 0 时，上边
(r ) 0 0 ( ) 0 0
(r ) 0 ( ) 0
当 r 0 时，O点受集中力偶， 但无法使 用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立 外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
r,
0
（展开共8项）
将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时
所以
x
r
y
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
2 x y
(1
)
Fbx x
Fby y
0
同理可得各阶微分关系，如
2 x2
cos
r
sin
r
cos
r
sin
r
cos
r
cos
r
cos
r
sin r
sin r
cos
r
sin r
sin r
cos2
2 r 2
sin
cos
1 r2
1 r
2 r
sin r
sin
r
cos
2 r
sin r2
cos
例6-6 写出图示问题的应力边界条件
（1） 上边： 0，l1 0，l2 1
( )0 0
(
) 0
r l
q0
斜边： ，l1 0，l2 +1
( p ) 0 ( ) 0
（2） 内侧：r a，l1 1 ，l2 0
( r )ra 0 (r )r0 0
外侧：r b，l1 +1 ，l2 0