Lingo的基本用法
LINGO应用教程
第十章 LINGOLingo 软件是求解线性规划、非线性规划的数学软件，也可用于一些线性和非线性方程组的求解等。
Lingo 实际上也是最优化问题的一种建模语言，包括许多常用的数学函数供使用者建立优化模型时调用，并可以接受与其他数据文件交换数据。
第一节 LINGO 软件的基本使用方法1.1 LINGO 使用入门在windows 操作系统下启动LINGO 后，将进入LINGO 集成环境，包括主框架窗口和模型窗口两部分。
主框架窗口集成了菜单和命令按钮，模型窗口用于输入模型。
例1 求解数学模型12121212max 23..4310351200x x s t x x x x x x ++≤+≤≥≥解：在模型窗口输入LINGO 求解模型如下：输入模型后选择菜单LINGO|Solve 或者按工具栏的，LINGO开始编译模型，如有语法错误将返回一个错误的消息并指明错误出现的位置；如果通过编译，LINGO将激活Solver运算器寻求模型的最优解，首先出现Solver Status状态窗口显示模型求解的运算状态信息：状态窗口显示的信息含义如下：“Global optimal solution found”表示得到全局最优解。
“Objective value: 7.454545”表示最优目标值为7.454545。
“Total solver iterations：2” 表示迭代2次得到结果。
“V alue”给出最优解中各变量的值：x1=1.272727，x2=1.636364。
Reduced Cost 值列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目标函数的变化率。
其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量xj，相应的reduced cost值表示当某个变量xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。
本例中此值均为0。
SLACK OR SURPLUS值给出约束条件的松驰变量或剩余变量的值。
Lingo基本用法总结
Lingo基本用法总结（除集函数部分）LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
Lingo免费版可以支持30个未知数，lingo破解版可以支持几万个未知数、几万个约束条件。
当你在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
例1.1 如何在LINGO中求解如下的LP问题：在模型窗口中输入如下代码：min=2*x1+3*x2;x1+x2>=350;x1>=100;2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮即可。
得到如下结果：所以当x1为250，x2为100时目标函数得到最大值。
算术运算符Lingo 中变量不区分大小写，以字母开头不超过32个字符算术运算符是针对数值进行操作的。
LINGO 提供了5种二元运算符： ＾ 乘方 ﹡ 乘 ／ 除 ﹢ 加 ﹣ 减 LINGO 唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。
这些运算符的优先级由高到底为：高 ﹣（取反） ＾ ﹡／ 低 ﹢﹣运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。
运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。
例：在x1+x2>=350，x1>=100，2*x1+x2<=600的条件下求2*x1+3*x2的最小值 在代码窗口中编写 min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;2*x1+x2<=600;然后单击上面菜单lingo 菜单下solve 键即可。
数学函数标准数学函数：@abs(x) 返回x 的绝对值@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制 @cos(x) 返回x 的余弦值 @tan(x) 返回x 的正切值 @exp(x) 返回常数e 的x 次方 @log(x) 返回x 的自然对数@lgm(x) 返回x 的gamma 函数的自然对数 @sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1@floor(x) 返回x 的整数部分。
Lingo的基本用法
例2:基金的优化使用(2001年建模竞赛C题)
假设某校基金会得到了一笔数额为M万元的基金, 打算将其存入银行,校基金会计划在n年用部分本 息奖励优秀师生,要求每年的奖金额相同,且在n 年仍保留原基金数额.银行存款税后年利率表如下:
银行存款税后利率表 存期 税后年利率% 1年 1.8 2年 2.16 3年 2.592 5年 2.88
解:设两种产品的生产量分别为 x1 和 x2 , 则该问题的数学模型为: 目标函数:max z = 200 x1 + 300 x2
x1 ≤ 100 x ≤ 120 2 约束条件: x1 + 2 x2 ≤ 160 xi ≥ 0, i = 1, 2
在Model窗口内输入如下模型: max=200*x1+300*x2; x1<=100; x2<=120; x1+2*x2<=160; 注:Lingo默认所有的决策变量都非负,因 而变量非负条件可以不必输入.
Lingo的主要功能特色:
既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规 划问题的能力; 输入模型简练直观; 运行速度快,计算能力强; 内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较 少语句,较直观的方式描述较大的优化模型; 将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转 化为lingo模型; 能方便的与Excel,数据库等其他软件交换数据.
Lingo的语法规定:
求目标函数的最大值或最小值分别用"max="或"min= "来 表示; 每个语句必须以分号";"结束,每行可以有多个语句,语 句可以跨行; 每个语句必须以字母开头,由字母,数字和下划线所组成, 长度不超过32个字符,不区分大小写; 可以给语句加上标号,例如[OBJ] max=200*x1+300*x2; 以!开头,以;结束的语句是注释语句; 如果对变量的取值范围没有作特殊说明,则默认所有决策变 量都非负; Lingo模型以语句"Model:"开头,以"End"结束,对于 比较简单的模型,这两个语句可以省略.
第3讲LINGO基本使用方法
新余学院 建模组
目前为止找到的可行 解的最佳目标函数值
有效步数
目标函数值的界
特殊求解程序当前运行步数： 分枝数(对B-and-B程序)； 子问题数(对Global程序)； 初始点数(对Multistart程序)
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Xinyu University MCM
优优优化化化建建建模模模
（2） min z 3x1 2x2 x3
s.t. 2x1 x2 x3 5, 4x1 3x2 x3 3 x1 x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
2020/1/15
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二、在LINGO中使用集合
注意：用“[]”表示该部分内容可选。下同，不再赘述。
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优优优化化化建建建模模模
例语1法可：以定se义tn一a个m名e[为/mstuedmenbts的er原_l始is集t/，][它:a具tt有ri成bu员tJeo_hlni、stJ]i;ll、Rose和Mike
MonthM..MonthN Jill 0 Oc1t4..Ja按n 列赋值 Oct,Nov,Dec,Jan
Rose 0 17 MonthYearM..MonthYeMariNkeOc1t201031.;.Jan2002
Oct2001,Nov2001,Dec2001 ,Jan2002
enddata
③ 集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定义。
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lingo基本用法
lingo基本用法以下是 9 条关于“lingo 基本用法”的内容：1. 嘿，你知道吗，lingo 里的变量定义可简单啦！就像给东西起个名字一样自然。
比如说，咱要算一堆苹果的数量，那就可以设个变量叫apple_num 呀，这不就清楚明白啦！2. 哇塞，lingo 的约束条件就像是给问题加上规矩。
就好比说，规定一个房间最多能进 10 个人，这就是个约束呀。
比如限制某种资源不能超过多少，lingo 就能很好地处理呢！3. 哎呀呀，lingo 的目标函数那可重要了！这就好比是你要去追求的目标。
比如你想让利润最大化，那目标函数就是让利润相关的表达式达到最大呀！像算怎么卖东西能赚最多钱，lingo 就能帮你找到答案哟！4. 嘿，lingo 的表达式书写也不难呢！就像写个数学式子一样。
比如 2x +3y 这么简单明了。
要计算一些关系，用它来写表达式再合适不过了！5. 哇哦，lingo 里的集合定义多有意思啊！像是把一群相关的东西归到一起。
比如把不同类型的商品归成一个集合，然后对它们进行统一的处理呀，是不是很方便呀？6. 哎呀，lingo 的求解命令一敲，就等着答案出来啦！就像你按下按钮，机器就开始工作一样。
你看，多神奇啊，一下子就知道结果了呢！7. 嘿，lingo 还能处理复杂的数据呢！就像一个聪明的小助手，不管多乱的数据它都能理清楚。
比如算一大堆乱七八糟数字的关系，lingo 绝对能应付得来呀！8. 哇，lingo 的模型建立虽然要动点脑筋，但一旦建好了，那可太好用啦！就跟盖房子一样，辛苦一点，盖好了住着就舒服啦。
你想想，自己建的模型能用起来，多有成就感呀！9. 哎呀呀，掌握了 lingo 的基本用法，那真的是能解决好多问题呢！不管是算数量还是优化方案，都不在话下。
所以呀，还不赶紧去学学，让它为你服。
Lingo的基本应用
第十五章Lingo的基本应用1、LINDO和LINGO软件能求解的模型：2、Lingo初级语法：语句分行书写，顺序与数学模型一致；每一条语句都要以“;”结尾；语句不区分大小写，书写方式与代数函数相近；目标函数以“min=”或者“max=”表示；注释语句用“!”开头；“>”和“>=”以及“<”和“<=”没有区别；如果不写明决策变量的取值范围，则默认为非负实数。
3、线性规划案例：生产计划每天：50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1 要求：制订生产计划，使每天获利最大1）奶制品生产的Lingo模型2）Lingo求解2）Lingo求解报告//结果报告(Solution Report)4）开启灵敏度分析(Range)功能5）查看灵敏度分析(Range)必须先求解才能得到灵敏度分析报告//目标函数系数范围分析当目标函数中x1的系数（产品A1的收益）增加不超过8个单位或者减少不超过2.66667个单位时（x2系数维持不变），不需改变生产计划。
//约束条件右边值灵敏度分析如果牛奶资源的数量增加不超过10桶或者减少不超过6.666667桶（其他模型参数不变），则它将仍然作为紧缺资源；如果A1生产资源减少超过40个单位（其他模型参数不变），则它将转化为紧缺资源。
4、城市垃圾处理问题(最小吨*公里)小区供水问题(最大供水收益)代数式线性规划模型(垃圾运输)代数式线性规划模型(小区供水)5、如何表示具有下标的变量：1）从C语言的类比来理解：2）具有下标的变量可以看作某种数组变量中的元素；3）除去下标后的符号可以看作是数组变量的名称；4）下标可以看作是在数组中的索引值；5）单下标变量对应于一个一维数组，称为“简单集合”；6）多下标变量对应于一个多维数组，而多维数组可以看作是多个一维数组的笛卡尔积，称为“派生集合”。
6、Lingo中如何定义具有下标的变量？1）在Lingo中使用“集合变量”的形式表达规划模型中具有下标的变量2）定义集合变量需要三个基本要素：集合的名称集合的形式（简单集合还是派生集合？集合的元素个数是多少？）集合变量的名称7、定义简单集合的语法：集合名称/下标范围/: 变量列表;（变量之间用“,”分隔）例：brand/1..6/: a, b;（集合的名称是brand，/1..6/表示这种集合包含6个元素，下标的范围是从1到6，并且定义了两个这种集合形式的变量分别用a、b表示，该语句相当于定义了a1~a6以及b1~b6两组变量）例：type/1..4/;（也可以只定义集合形式不定义集合变量）8、定义派生集合的语法：集合名称(分量集合列表): 变量列表;1）分量集合列表分别对应于派生集合的每一个维度，定义了每一个维度分别属于哪一种简单集合2）例：product(brand, type): p, x;（集合的名称是product，该集合的第一个维度与brand集合的类型相同，第二个维度与type 集合的类型相同，并且定义了两个集合变量p和x。
LINGO基本用法与运算函数
例如，目标函数中有求和表达式ΣCijXij(i从1 到10,j从1到20)，若用直接输入的方式，将有 200个系数与200个变量相乘再相加，需要输入 长长一大串，既不便于输入，又不便于修改， 别人看不懂，可读性较差．
LINGO提供了建模语言，能够用较少语 句描述目标函数和约束条件，为建立大规 模数学规划模型提供了方便．我们以一个 运输规划模型为例说明其用法。
办法是用现成软件求解．LINGO是专门
用来求解各种规划问题的软件包，其功
能十分强大，是解决最优化问题的最佳
选择。
LINGO的基本用法和运算 函数
§1.1 LINGO 入门
LINGO的基本用法和运算 函数
一、概况
LINGO 是 美 国 LINDO 系 统 公 司 （ Lindo SystemInc）开发的求解数学规划系列软件中的一 个（其它软件为LINDO，GINO，What’s Best等 等），的主要功能是求解大型线性、非线性和整数 规 划 ， 目 前 的 版 本 是 11.0 ． 可 以 从 Internet 网 址 http://下载该软件的安装文件lingo11.exe，执行该 文件即可在计算机内安装LINGO 软件系统，首次 运行该软件时，要求用户输入密码，如果输入了正 确的密码，则该软件就成了正式版，如果密码不对 或不输入密码，则该软件就成为演示版．
1.目标函数（求某个数学表达式的最大值或最 小值）；
2. 决策变量，即目标函数值取决于哪些变量；
3. 约束条件，即对变量附加一些条件限制（等 式或不等式）．
LINGO的基本用法和运算 函数
例1：某工厂有两条生产线，分别用来生产 M和P两种型号的产品，利润分别为200元/个 和300元/个，生产线的最大生产能力分别为 每日100和120，生产线每生产一个M产品需 要1个劳动日进行调试、检测等工作，而每个 P产品需要2个劳动日，该厂每天只有160个 劳动日可用，假如原材料等其它条件不受限 制，问应如何安排生产计划，使获得的利润 最大？
LINGO简易用法
LINGO 是用来求解线性和非线性运筹学优化问题的简易工具。
LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LING 高效的求解器可快速求解并分析结果。
1、LINGO快速入门当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1 的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
例 1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：在模型窗口中输入如下代码：然后点击工具条上的按钮a134 即可。
例 1.2使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。
产销单位运价如下表。
使用LINGO 软件，编制程序如下：然后点击工具条上的按钮a134 即可。
2、LINGO中的集对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。
LINGO 允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。
一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。
现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。
学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。
2.1 为什么使用集集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。
借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。
2.2 什么是集集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。
一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。
每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。
属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。
LINGO 有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。
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LINGO的基本用法一．集合的基本用法集合(set)及其属性(attribute)的概念基本集合与派生集合集合名[/元素列表/][：属性列表]；集合名（父集合列表）[/元素列表/][：属性列表]；稠密集合与稀疏集合元素过滤法基本集合的隐式列举法：数字型 1..n字符数字型Car101..Car208日期型MON..FRI月份型OCT..JAN年月型OCT2007..JAN2008二．模型结构（1）集合段从“sets:”到“endsets”（2）数据输入段从“data:”到“enddata”属性＝常数列表（3）目标和约束段MIN＝表达式（4）计算段从“calc:”到“endcalc”，对原始数据的计算处理（5）初始段从“init:”到“endinit”，定义迭代初值用属性＝常数列表（6）注释从感叹号到分号三．函数基本数学函数@ABS(X) @COS(X) @EXP(X) @FLOOR(X)@LGM(X) @LOG(X) @MOD(X,Y) @POW(X,Y)@SIGN(X) @SIN(X) @SMAX(list) @SMIN(list)@SQR(X) @SQRT(X) @TAN(X)其中@LGM(X) ＝ln(X-1)!集合循环函数@FOR @MIX @MIN @PROD@SUM用法：集合函数名(集合名(集合索引列表)|条件：表达式组）集合操作函数@IN @IN(集合名，集合元素名，…集合元素名)@INDEX @INDEX(集合名，集合元素名)@WRAP @WRAP(i，N)，循环计数@SIZE @SIZE(集合名)变量定界函数@BND(L,X,U) @BIN(X) @FREE(X) @GIN(X) 分别对变量取值限制：上下界，0-1值，取消非负限制，整数概率分布函数@PNS(X) 标准正态分布@PSL(X) 正态线性损失@PBN(P,N,X) 二项分布@PHG 超几何分布@PTD(N,X) t分布@PFD(N,D,X) F分布@PPS(A,X) 泊松分布@PPL(A,X) 泊松线性损失@PCX(N,X) X平方分布@RAND(seed) 随机数服务系统函数@PEL(A,X) @PFS(A,X,C) @PEB(A,X)文件输入输出函数@FILE(fn) @TEXT(…fn‟) @OLE结果报告函数@ITERS() 返回迭代次数@NEWLINE(n) 输出n个新行@STRLEN(string) 返回字符串的长度@NAME(reference) 返回变量名或行名@WRITE 用于数据段，输出变量，字符串或换行@WRITEFOR 是@WRITE在循环情况下的推广@FORMAT 以格式描述符方式输出数值@DUAL(varname) 返回解答中变量的判别数或结束行的影子价格@STATUS() 返回求解后的最后状态其他函数@IF @IF(条件，true结果，false结果)@WARN @WARN(‘text’，条件)@USER @USER(用户编写的函数dll或obj文件)四．文件传输通过文本文件传输数据@FILE和@TEXT通过Excel文件传输数据@OLE例题! 背包问题 Knapsack Problem! max z=sum(i=1~n)ci xi! st. sum ai xi <=b, xi=0/1;model:title背包问题;sets:wp/w1..w8/:a,c,x;endsetsdata:a=1 3 4 3 3 1 5 10; c=2 9 3 8 10 6 4 10; enddatamax=@sum(wp:c*x);@for(wp:@bin(x));@sum(wp:a*x)<=15;end!装箱问题！=======;model:title装箱问题;sets:wp/w1..w30/:w; xz/v1..v30/:y; links(wp,xz):x; endsetsdata:w=0.51,0.51,0.51,0.51,0.51,0.51,0.27,0.27,0.27,0.27,0.27,0.27,0.26,0.26,0.26,0.26,0.26,0.26,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23,0.23;enddatamin=@sum(xz(i):y(i));C=1;@for(links:@bin(x));@for(xz:@bin(y));@for(wp(i):@sum(xz(j):x(i,j))=1);@for(xz(j):@sum(wp(i):w(i)*x(i,j))<=C*y(j)); end@for(o(j):cun(2,j)= cun(1,j)+x(2,j)-he(2,j) ;z2= @sum(o(j): cun(2,j));@for(o(j):cun(3,j)= cun(2,j)+x(3,j)-he(3,j) ;z3= @sum(o(j): cun(3,j));@for(o(j):cun(4,j)= cun(3,j)+x(4,j)-he(4,j) ;z4= @sum(o(j): cun(4,j));@for(o(j):cun(5,j)= cun(4,j)+x(5,j)-he(5,j) ;z5= @sum(o(j): cun(5,j));@for(o(j):cun(6,j)= cun(5,j)+x(6,j)-he(6,j) ;z6= @sum(o(j): cun(6,j));食品加工一项食品加工业，对几种粗油精炼，然后加以混合成为成品食用油。
原料油有两大类，共5种。
两种植物油，V1和V2，三种非植物油，O1、O2和O3。
各种原料油均从市场采购，未来半年中原料油的市场价格（元/吨）如下成品油售价1500元/吨。
植物油和非植物油要在不同的生产线精炼，每个月最多可炼植物油200吨，非植物油250吨。
精练过程中没有重量损失，精炼费用可以忽略。
每种原料油最多可存储1000吨备用。
存储费为每吨每月50元。
成品油和经过精炼的原料油不能存储。
对成品油限定其硬度在3至6单位之间。
各种原料油的硬度如下假设硬度是线性地混合的。
为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案。
现存有5种原料油每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货。
@for(month(i) : @sum(o(j): y(j)*he(i,j))/@sum(o(j):he(i,j)) >3 ) ;z2= z1+@sum(o(i):x(2)(i) - @sum(o(i):he(2)(i) ;z3= z2+@sum(o(i):x(3)(i) - @sum(o(i):he(3)(i) ;z4= z3+@sum(o(i):x(4)(i) - @sum(o(i):he(4)(i) ;z5= z4+@sum(o(i):x(5)(i) - @sum(o(i):he(5)(i) ;研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。
考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。
对不同的值x（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。
@for(o(j):cun(1,j)= 500+x(1,i)-he(1,j) ;@for(o(j):cun(2,j)= cun(1,j)+x(2,j)-he(2,j) ;@for(o(j):cun(3,j)= cun(2,j)+x(3,j)-he(3,j) ;@for(o(j):cun(4,j)= cun(3,j)+x(4,j)-he(4,j) ;@for(o(j):cun(5,j)= cun(4,j)+x(5,j)-he(5,j) ;@for(o(j):cun(6,j)= cun(5,j)+x(6,j)-he(6,j) ;@for(month(i):he(i,1) +he(i,2)<200);@for(month(i):he(i,3) +he(i,4)+he(i,5)<250);@for(links(i,j): cun(i,j) <1000 ) ;@for(o(j):cun(6,j)=500 );@for(month(i) : @sum(o(j): y(j)*he(i,j)) <6 *@sum(o(j):he(i,j)) ) ;@for(month(i) : @sum(o(j): y(j)*he(i,j)) >3*@sum(o(j):he(i,j)) );飞行管理问题在约一万米高空边长160公里的长方形区域内有若干架飞机（最多6架）在水平飞行。
当一架飞机新进入该区域，地面调度中心根据记录的数据（各架飞机的位置和速度向量），要立即计算并判断是否会发生飞机相撞。
如果会相撞，则应计算如何调整各架飞机飞行的方向角，以避免相撞。
不相撞的标准为飞机间的距离大于8公里，所有飞机的航速均为800公里/小时，新进入的飞机与其它飞机的距离都在60公里以上。
试建立一个避免碰撞的数学模型，要求方向调整角的幅度尽量小，且不超过30度，计算误差不超过0.01度。
设飞行区域的四个顶点的坐标为（0, 0）、（160, 0）、（160, 160）和（0, 160）。
当前飞行记录为（6号为新进入的飞机）! 飞行管理;model:sets:feiji/p3 .. p6/:zt,zt0,dzt,zt1,xi0,yi0;juli/l1 .. l3001/:L;endsetsdata:xi0=150,145,130,0;yi0=155,50,150,0;zt=220.5,159,230,52;enddata@for(juli(i):L(i)=90+(i-1)/100);@for(feiji:@bnd(-0.08,dzt,0.08));@for(feiji:zt0=zt*3.14159265359/180);@for(feiji:zt1=zt0+dzt);@for(juli(i):@for(feiji(j)|j#lt#4:@for(feiji(k)|k#gt#j:(xi0(j)-xi0(k) +L(i)*(@cos(zt1(j))-@cos(zt1(k))))^2+(yi0(j)-yi0(k)+L(i)*(@cos(zt1(j) )-@cos(zt1(k))))^2>=64)));min=@sum(feiji:@abs(dzt));end。