22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质(第1课时)
a>0
a<0
开口
对称性 顶点
增减性
函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， |a|值相同，开口形状相同
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2 ×x×x
y=2x2
y=x2
|a|越大，抛物线开口越小； |a|越小，抛物线开口越大。
2 y= 1 2x
y=- 1 x2 2 2 y=-x y=-2x2
3.连线：
答：把抛物线y=-2x2向上
移平移3个单位，就得到抛 物线y==2x2+3；把抛物线 y=-2x2向下平移3个单位， 就得到抛物线y=-2x2-3。
y=-2x2
Page 9
y=-2x2+3
y=-2x2-3
想一想
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 怎样决定的？k决定什么？它的对称 轴是什么？顶点坐标怎样表示？
4
2 －4 －2 －2 y = 2 x2－ 1 2 4
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪 条抛物线？向下平移3.4个单位呢？
8
6
4 2 －4 －2 －2 －4 2
4
例2.抛物线y=-2x2+3、y=-2x2-3与抛物线y=-2x2有什么关系？ … -2 -1 0 x 1 2 … 顶点坐标 1.列表： … -8 -2 0 -2 -8 … （0,0） y=-2x2 2+3 … -5 -5 … （0,3） y=-2x 1 1 3 2.描点： … -11 -5 -3 -5 y=-2x2-3 -11 … （0,-3）
---y=ax2+k
主讲教师：覃玉林 邮箱：871024847@
复习 二次函数y=ax2的图象是什么形状呢? 有什么性质？
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象吗？
我们来画最简单的二次函数y=2x2的图象。
x y=2x2
… …
-2
-1
0
1
2
…
8
2
0
2
8
…
Page 2
x y=x2
… …
a>0 a<0
y＝ax2+K图象K>0开口
对称性 顶点
K<0
K>0
K<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,K)
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
Page 13
增减性
1、把抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度，得到 2+3 y=-2x 的抛物线是
2、把抛物线y=-x2-2向下平移5个单位，得到的抛 y=-x2-7 物线是 3、一条抛物线向上平移2.5个单位后得到抛物线 2-2.5 2 y=0.5x y=0.5x ，原抛物线是 4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐 标、最大值或最小值各是什么及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
2 一般地抛物线y=ax +k有如
下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向 下;且|a|越大，开口越小，反之开口越大。
2、对称轴y轴（或x=0）。
3、顶点坐标是（0，k）。
思考
2 y=ax
上移k个单位
2 y=ax +k
y=ax2
下移k个单位
y=ax2-k
总结
二次函数y=ax2+K的性质
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
独立 作业
知识的升华
数学课本第33页
祝你成功！
下课啦!
-2
-1
0
1
2
… …
8
2 y
9 8
0
2
8 y=2x2
7
6
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2 -1
2
4
6
8
x
Page 3
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象
开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0）
在对称轴左侧，Y随x的增 在对称轴左侧，Y随x的增 大而减小；在对称轴右侧， 大而增大；在对称轴右侧， y随x的增大而增大。 y随x的增大而减小。
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
Page 14
5.(1)抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 （0，3） ,对称轴 是
y轴
，在 对称轴左侧 侧，y随着x的增大而增
0 大；在 右 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是 3 ,它是由抛物线y=
向上平移3个单位长度 −2x2线怎样平移得到的__________.
y = 2 x2－ 1
如右图所示
(1)开口方向都向上，对称轴为y轴， y = 2x2＋1的顶点 坐标是（0，1）， y = 2x2－1的顶点坐标是（0，－1） 9 5.5 3 1 5.5 3 －1 10 y =82x2＋1 6 (2)把抛物线y=2x2向上移平 移1个单位，就得到抛物线 y=2x2+1；把抛物线y=2x2向下 平移1个单位，就得到抛物线 y=2x2-1。
Page 5
解：先列表：
x y = 2x2＋ 1 y = 2x2－ 1
· · ·
－2 9 7 10
－1.5
－1 3 1
0 1 －1
1 3 0
1.5
2 9 7
· · ·
· · ·
5.5 3.5
5.5 3.5
· · ·
· · ·
· · ·
8 2 y = 2x ＋ 1
6 4 2 －4 －2 －2 2 4
(0,-5)，对称轴是 （ 2）抛物线 y= x² -5 的顶点坐标是____ y轴 在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小 ；在对称 ____, 0 时，函数y 轴的右侧，y随着x的 增大而增大，当x=____ 的值最___ 小 ，最小值是 -5 .
6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
【教育资料】22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学习精品
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质基础闯关全练拓展训练1.(2019黑龙江鸡西虎林期中)对于二次函数y=3(x+1)2,下列结论正确的是()A.当x取任何实数时,y的值总是正的B.其图象的顶点坐标为(0,1)C.当x>1时,y随x的增大而增大D.其图象关于x轴对称2.已知a,h,k为常数,且二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象通过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h的值可以为()A.1B.3C.5D.73.二次函数y=a(x-1)2+k(a>0)中x、y的几组对应值如下表:表中m、n、p的大小关系为(用“<”连接).4.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考)已知点A(-1,y1)、B(-2,y2)、C(3,y3)分别是抛物线y=5(x-2)2+k 上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系为(用“<”连接).能力提升全练拓展训练1.若二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是()A.m=3B.m>3C.m≥3D.m≤32.(2019吉林长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,过抛物线y=a(x+1)2-2(x≤0,a为常数)的顶点A作AB⊥x轴于点B,过抛物线y=-a(x-1)2+2(x≥0,a为常数)的顶点C作CD⊥x轴于点D,连接AD、BC,则四边形ABCD的面积为.3.(2019广西贵港平南月考)抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点,当点P的坐标是时,|PA-PB|取得最小值.三年模拟全练拓展训练1.(2019湖北武汉武昌期末,9,★★☆)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,且h满足h2-2h-3=0,则当x=0时,y的值为()A.-1B.1C.-9D.92.(2019河南安阳期末,6,★★☆)从y=2x2-3的图象上可以看出,当-1≤x≤2时,y的取值范围是()A.-1≤y≤5B.-5≤y≤5C.-3≤y≤5D.-2≤y≤13.(2019江苏无锡江阴实验中学月考,16,★★☆)若A(x1,y1)、B(x2,y2)是二次函数y=-(x+1)2-2图象上不同的两点,且x1>x2>-1,记m=(x1-x2)(y1-y2),则m0.(填“>”或“<”)五年中考全练拓展训练1.(2019四川泸州中考,12,★★☆)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是()A.3B.4C.5D.62.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()3.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是()A.若y1=y2,则x1=x2B.若x1=-x2,则y1=-y2C.若0<x1<x2,则y1>y2D.若x1<x2<0,则y1>y2核心素养全练1.如图,点E是抛物线y=a(x-2)2+k的顶点,抛物线与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,与抛物线交于点B,与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点,连接AC、AB.若△ABC是等边三角形,则图中阴影部分的面积是.2.如图,抛物线y1=a(x+2)2+m过原点,与抛物线y2=(x-3)2+n交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:①两条抛物线的对称轴距离为5;②x=0时,y2=5;③当x>3时,y1-y2>0;④y轴是线段BC的中垂线.其中正确结论是(填写正确结论的序号).22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质基础闯关全练拓展训练1.答案C∵二次函数的解析式为y=3(x+1)2,∴无论x为何值,y≥0;二次函数图象的顶点坐标为(-1,0);当x>-1时,y随x的增大而增大;二次函数的图象关于直线x=-1对称.故选C.2.答案D∵抛物线的对称轴为直线x=h,且(0,5),(10,8)两点在抛物线上,∴h-0>10-h,解得h>5.故选D.3.答案n<m<p解析∵a>0,∴抛物线开口向上,∵对称轴为x=1,∴x<1时,y随x的增大而减小,x>1时,y随x的增大而增大,∵-2<1,1<5,∴m>n,p>n,∵x=-2与x=4时的函数值相等,∴p>m,∴n<m<p.4.答案y3<y1<y2解析∵抛物线y=5(x-2)2+k,∴该抛物线开口向上,对称轴是直线x=2,当x<2时,y随x的增大而减小.∵C(3,y3)关于对称轴x=2的对称点的坐标为(1,y3),又∵-2<-1<1,∴y3<y1<y2.能力提升全练1.答案C∵二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,∴该二次函数的图象开口向上.又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,-1),∴当x<m时,y随x的增大而减小,而已知中当x≤3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C.2.答案 4解析抛物线y=a(x+1)2-2(x≤0,a为常数)的顶点坐标为(-1,-2),抛物线y=-a(x-1)2+2(x≥0,a为常数)的顶点坐标为(1,2),又∵AB⊥x轴于点B,CD⊥x轴于点D,∴四边形ABCD是平行四边形,且BD=2,AB=CD=2,∴S四边形ABCD=BD·CD=2×2=4.3.答案解析∵抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,∴A(0,2),∵y=-x2+x+2=-(x-3)2+6,∴顶点B(3,6).设P(x,0),当PA=PB时,线段PA与PB的差最小,PA-PB=0.∵A(0,2),B(3,6),∴PA2=x2+22=x2+4,PB2=(x-3)2+62,∴x2+4=(x-3)2+62,解得x=,∴当P点坐标为时,|PA-PB|取得最小值.三年模拟全练拓展训练1.答案C∵h2-2h-3=0,∴h=3或-1,∵当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,∴h=3符合题意,∴y=-(x+3)2.当x=0时,y=-9.故选C.2.答案C如图,根据y=2x2-3的图象分析可得,当x=0时,y取得最小值,且最小值为-3,当x=2时,y取得最大值,且最大值为2×22-3=5,故选C.3.答案<解析∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是二次函数y=-(x+1)2-2图象上不同的两点,且x1>x2>-1,又∵对称轴为x=-1,∴y1<y2,∴x1-x2>0,y1-y2<0,∴m=(x1-x2)(y1-y2)<0.五年中考全练拓展训练1.答案C过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF的周长取得最小值,∵F(0,2)、M(,3),∴ME=3,FM=--=2,∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.故选C.2.答案D二次函数y=x2+m的二次项系数a>0,开口向上,故B选项错误;一次函数y=-mx+n2中,n2≥0,一次函数一定不过y轴负半轴,故A选项错误;由C、D选项看出二次函数图象的顶点在y轴的负半轴上,因此m<0,故-m>0,一次函数图象一定过第一、三象限,故D选项正确.3.答案D如图所示,若y1=y2,则x1=x2或x1=-x2,所以选项A是错误的;若x1=-x2,则y1=y2,所以选项B是错误的;若0<x1<x2,则y1<y2,所以选项C是错误的;若x1<x2<0,则y1>y2,所以选项D是正确的.核心素养全练拓展训练1.答案2解析∵直线AD是抛物线y=a(x-2)2+k的对称轴,△ABC是等边三角形,∴题图中阴影部分图形的面积之和为S△ACD=S△ABC.∵CD=2,∴BC=2CD=4,∴S△ABC=×42=4,∴题图中阴影部分的面积是2.2.答案①③④解析∵抛物线y1=a(x+2)2+m与抛物线y2=(x-3)2+n的对称轴分别为x=-2,x=3,∴两条抛物线的对称轴距离为5,故①正确;∵抛物线y1=a(x+2)2+m经过点A(1,3)与原点,∴解∴y1=(x+2)2-,∵抛物线y2=(x-3)2+n经过点A(1,3),∴×(1-3)2+n=3,解得得-n=1,∴y2=(x-3)2+1,当x=0时,y2=×(0-3)2+1=5.5,故②错误;由图象得,当x>1时,y1>y2,故③正确;∵过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C,∴令y=3,则(x+2)2-=3,整理得(x+2)2=9,解得x1=-5,x2=1,∴A(1,3),B(-5,3),∴AB=1-(-5)=6;令y=3,则(x-3)2+1=3,整理得(x-3)2=4,解得x1=5,x2=1,∴C(5,3),∴AC=5-1=4,∴BC=10,∴y轴是线段BC的中垂线,故④正确.故填①③④.。
22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)
22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是(C )A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B )3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋34．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？ 解：如图所示：(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 28．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D )A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为(－1，2)C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由． 解：设平移后的函数解析式为y ＝13x 2＋k ，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k ，解得k ＝－6.∴把y ＝13x 2的图象向下平移6个单位长度，得到的新的函数图象经过点(3，－3)．02 中档题11．(山西农业大学附中月考)在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A (－3，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )A ．a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤013．(山西农业大学附中月考)已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等．当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c14．(泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是(C )A ．3B ．4C ．5D ．615．已知y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4－3是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．16．将抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移3个单位长度，得到抛物线y ＝－2x 2－1，则a ＝－2，c ＝2．17．若抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4．18．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．解：(1)新图象的函数解析式为y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)当x ＝0时，y 有最大值，为2.03 综合题19．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝O A. (1)填空：点B 的坐标是(0，12)；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b (其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．解：∵B 点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12.令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－12k .∴OC ＝－12k.∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12，∴PD ＝PC －CD ＝m －12.在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k )2，解得m ＝14＋14k 2.∴PB ＝14＋14k2.∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k2)．当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2，∴点P 在抛物线上．第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝12(x －2)2的图象可能是(D )2．抛物线y ＝－4(x ＋3)2与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，－36)． 3．将抛物线y ＝ax 2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a ＝－1．4．(教材P 35练习变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2的性质5．下列对二次函数y ＝2(x ＋4)2的增减性描述正确的是(D )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＜－4时，y 随x 的增大而减小6．描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y ＝(x －2)2，下列说法：①图象经过点(1，1)；②当x ＝2时，y 有最小值0；③y 随x 的增大而增大；④该函数图象关于直线x ＝2对称．其中正确的是(B )A．①②B．①②④C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0. 8．完成表格：9.(衡阳中考)已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1＞y2(填“＜”“＞”或“＝”)．10．已知抛物线y＝a(x－h)2，当x＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过点(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a＝－3.∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．易错点1 混淆二次函数图象的平移方向与h 的加减关系11．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是(C )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)2 易错点2 二次函数增减性相关的易错12．已知二次函数y ＝2(x －h )2的图象上，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则h 的值满足h ≤3． 02 中档题13．(玉林中考)对于函数y ＝－2(x －m )2的图象，下列说法不正确的是(D )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝mC ．最大值为0D ．与y 轴不相交14．在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝a ＋ax 的图象可能是(D )15．已知A (－4，y 1)，B (－3，y 2)，C (3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．17．已知某抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)．根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求抛物线与y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线解析式的二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.18．二次函数y ＝a (x －h )2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C (h ，0)， y ＝12(x －h )2. ∵OA ＝OC ，∴A (0，h )．将点A (0，h )代入抛物线的解析式，得12h 2＝h .∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．已知点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点，且点P 在第一象限内． (1)求m 的值；(2)过P 点作PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q .若a 的值为3，试求P 点，Q 点及原点O 围成的三角形的面积．解：(1)∵点P (m ，a )是抛物线y ＝a (x －1)2上的点， ∴a ＝a (m －1)2，解得m ＝2或m ＝0. 又∵点P 在第一象限内，∴m ＝2. (2)∵a 的值为3，∴抛物线的解析式为y ＝3(x －1)2. ∵m ＝2，a ＝3，∴点P 的坐标为(2，3)． ∵PQ ∥x 轴交抛物线y ＝a (x －1)2于点Q ，∴Q 点纵坐标也为3.令y ＝3，即3＝3(x －1)2，解得x ＝2或x ＝0. ∴点Q 的坐标为(0，3)．∴PQ ＝2. ∴S △OPQ ＝12·PQ ·y P ＝12×2×3＝3.第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(大同市期中)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是(D )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)2．(呼伦贝尔中考)二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为(D )3．将抛物线y ＝12x 2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为(D )A ．y ＝12(x －2)2＋4B ．y ＝12(x －2)2－2C ．y ＝12(x ＋2)2＋4D ．y ＝12(x ＋2)2－24．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是(1，0)．5．(教材P 37练习变式)说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：6.画出函数y ＝(x －1)2－1的图象． 解：列表：描点并连线：知识点2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质7．(台州中考)设二次函数y ＝(x －3)2－4图象的对称轴为直线l .若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是(B )A ．(1，0)B ．(3，0)C ．(－3，0)D ．(0，－4)8．(吕梁市文水县期中)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A ．1B ．2C ．3D ．49．二次函数y ＝(x ＋4)2＋m 2，当x ＞m ＋1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜m ＋1时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是－5．10．(河南中考)已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3． 易错点1 对抛物线的顶点理解不清11．抛物线y ＝(2x ＋1)2＋1的顶点坐标是(－12，1)．易错点2 将图象平移与坐标轴平移混淆12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为y ＝3(x ＋1)2－1． 02 中档题13．与抛物线y ＝4(x －1)2－7的形状相同的抛物线是(B )A ．y ＝(4x －1)2－7B ．y ＝(2x －3)2C ．y ＝14x 2＋7D ．y ＝14(x －1)2＋914．若二次函数y ＝(x －m )2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－116．如果二次函数y ＝(x －h )2＋k 的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为1． 17．将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y ＝－2(x ＋3)2＋1的图象． (1)确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大(小)值．解：(1)∵将抛物线y ＝a (x －h )2＋k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到平移后的二次函数解析式为y＝－2(x－h＋2)2＋k＋3，∴a＝－2，－h＋2＝3，k＋3＝1.∴a＝－2，h＝－1，k＝－2.(2)∵二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k＝－2(x＋1)2－2，∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－2)．(3)∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小．且当x＝－1时，y有最大值，y的最大值是－2.18．(教材P36例4变式)如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度；(2)求喷嘴离地面的高度；(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流离地面的最大高度为2.25 m.(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25.∴喷嘴离地面的高度为1.25 m.(3)令y＝0，即0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出的水流不落在水池外．03综合题19．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点坐标为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4.令y＝0，即(x－1)2－4＝0.解得x1＝3，x2＝－1.∴A(－1，0)，B(3，0)．(2)∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝54S△MAB，∴|y P|＝54|y M|＝54×4＝5，即y P＝±5.又∵点P在二次函数y＝(x－1)2－4的图象上，∴y P≥－4.∴y P＝5.∴(x－1)2－4＝5，解得x1＝4，x2＝－2.∴存在这样的点P，其坐标为(4，5)或(－2，5)．。
人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
九年级上册数学 二次函数y=ax2+k的图象和性质(1) 教案
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．一、情境导入在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别若二次函数y＝ax＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )已知点(xA．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x 的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【类型三】识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.【类型四】确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系抛物线y＝ax＋c与y＝－5x的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________．解析：二次函数y ＝ax 2＋c 与y 轴的交点为(0，c )，因此OA ＝c ，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B (－c 2，c 2)、C (c 2，c 2)，因为C (c 2，c2)在函数y ＝ax 2＋c 的图象上，将点C 坐标代入关系式即可求出ac 的值．解：∵y ＝ax 2＋c 与y 轴的交点为(0，c )，四边形ABOC 为正方形，∴C 点坐标为(c 2，c2)．∵二次函数y ＝ax 2＋c 经过点C ，∴c 2＝a (c2)2＋c ，即ac ＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【类型二】二次函数y ＝ax 2＋k 的实际应用如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为 2.25m ，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解：(1)∵y ＝－15x 2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y ＝－15x 2＋72中，当y ＝3.05时，3.05＝－15x 2＋72，解得x ＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x ＝1.5.又当y ＝2.25时，2.25＝－15x 2＋72，解得x ＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x ＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.。
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系．2．掌握y＝ax2上、下平移规律．3．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．教学重难点重点：抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．难点：理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．教学过程与方法知识点一：y＝ax2＋k的图象1．回顾与思考(5分钟)(1)回顾：抛物线y＝x2和y＝－x2的图象和性质及它们之间的关系．(2)思考：y＝x2＋1，y＝x2－1的图象怎样？它们与y＝x2之间又有怎样的关系呢？2．自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点．(2)讨论①抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么位置关系？(3)归纳与交流①把抛物线y＝x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2＋1，把抛物线y＝x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2－1.②一般情况：当k>0，把抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位，可得y＝ax2＋k；当k<0时，把抛物线y＝ax2向__下__平移__|k|或－k__个单位，可得y＝ax2＋k.③y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么？解：a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最小值为k.a＜0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最大值为k.知识点二：y＝ax2＋k的性质3．合作与探究(5分钟)(1)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象的异同点是什么？(2)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的增减性又是怎样？4．课堂小结(5分钟)1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标)．2．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等)．处理方法：可以让学生围绕这两个问题先小结，然后教师进行补充或强调．5．独立作业(15分钟)(1)必做题：P33练习．(2)选做题：习题22.1第5题(1)．(3)备用题：①二次函数y ＝ax 2＋k 的图象经过点A (1，－3)，B (－2，－6)，求这个二次函数的解析式． 解：该二次函数的解析式为：y ＝－x 2－2.②已知二次函数y ＝－2x 2＋3，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：当x <0时，y 随x 的增大而增大；当x >0时，y 随x 的增大而减小．③二次函数y ＝ax 2＋k (a ，k 为常数)，当x 取值x 1、x 2时(x 1≠x 2)，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为__0__．④函数y ＝ax 2－a 与y ＝a x(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质教学目标1．会用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2的图象．2．理解抛物线y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的位置关系．3．在图象的平移过程中，渗透变与不变的辩证思想．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质．难点：把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a (x －h )2时平移的方向和距离．教学过程与方法1．师生互动，提出问题(3分钟)(1)抛物线y ＝－12x 2＋3与y ＝－12x 2的位置有什么关系？ (2)抛物线y ＝－12x 2＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2．探究新知(10分钟)知识点一：y ＝a (x －h )2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y ＝－12x 2、y ＝－12(x ＋1)2、y ＝－12(x －1)2的图象． ①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性？②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？③这三条抛物线能否经过相互的平移得到？怎样平移？3．交流探究：教材P 34～P 35(5分钟)4．归纳总结(5分钟)抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同，它可以由抛物线y ＝ax 2平移得到：当h >0时，向右平移h 个单位，当h <0时，向左平移|h |个单位，它的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)．知识点二：y ＝a (x －h )2的性质5．讨论(5分钟)(1)a >0，开口__向上__，当x ＝__h __时，函数y 有最__小__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__．(2)a <0，开口__向下__，当x ＝__h __时，函数y 有最__大__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__减小__．6．课堂练习(3分钟)(1)抛物线y ＝2(x ＋1)2可以由抛物线__y ＝2x 2__向__左__平移1个单位得到．(2)抛物线y ＝－23(x －4)2可以由抛物线__y ＝－23x 2__向右平移__4__个单位得到． (3)已知二次函数y ＝－13(x －2)2，说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性． 解：二次函数y ＝－13(x －2)2的对称轴为x ＝2，顶点为(2，0)，有最大值0.当x <0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．7．课堂小结(3分钟)(1)抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系．(2)抛物线y＝a(x－h)2的对称轴、顶点．(3)平移规律：“左加右减”．(4)你还有哪些困惑和收获？8．独立作业(11分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(2)．(2)备用题：①已知抛物线y＝a(x＋h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y＝－4x2平移得到的，则a ＝__－4__，h＝__3__．②把抛物线y＝(x＋1)2向__右__平移__4__个单位后得到抛物线y＝(x－3)2.③把抛物线y＝x2＋mx＋n向左平移4个单位，得到抛物线y＝(x－1)2，则m＝__－10__，n＝__25__．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象，掌握抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a (x －h )2＋k 的图象及性质的过程，体验y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x －h )2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．3．通过观察函数的图象，归纳函数的性质等活动，感受学习数学的价值．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的性质．难点：教材P 36例4的解答需要选取合适的坐标系，有一定的难度，是本节教学的难点． 教学过程与方法1．回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2的函数，知道了它们可以经过互相平移得到．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 又是一条怎样的抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？知识点一：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质2．合作与探究：教材P 35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象． 处理方法：师生一起完成列表，再由学生画出图象，如图．(2)指出y ＝－12(x ＋1)2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． (3)y ＝－12(x ＋1)2－1可以由y ＝－12x 2怎样平移而得到？ (4)归纳：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质及由y ＝ax 2平移得到函数图象的规律．知识点二：y ＝a (x －h )2＋k 的实际运用3．解决问题，交流思想(16分钟)(1)读懂教材P 36例4题意．(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)怎样才能与二次函数联系起来？4．课堂练习：教材P 37练习(3分钟)5．课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容？引导学生从以下几个方面去回顾：①二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；②抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的平移关系；③选取坐标系的方法．(2)谈一谈你的收获或困惑．6．独立作业(10分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(3)，第7题(1)．(2)备用题：已知y ＝a (x －h )2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．①求出a 、h 、k 的值；②在同一坐标系中，画出y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝－12x 2的图象； ③观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；④观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：①a ＝－12，h ＝1，k ＝2 ②图略 ③当x <1时，y 随x 的增大而增大；当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数有最大值2 ④对于一切x 的值y ≤2.。
2022-2022九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课件
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。