平面及其基本性质 ppt课件
§14.1 平面及其基本性质
一、 平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线 是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点， 则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、 平面的基本性质
3.公理3： 不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质 例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一 直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1： 如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质： 公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用： （1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)
一、平面的基本性质
平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。
1_平面基本性质第三课时
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
平面基本性质.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
a__lP, b__l_P
例题讲解
例２、求证：两两相交且不过同一个点的三条 直线必在同一平面内。
A C
B
已知 :如图 ,直线 AB、BC、CA两两相交 交 变 直线式点 ”：，如分 果命题条A别 还件、成改B为 、 立为C 吗“。 ？交于同一点的三条 求证：A直B、 线 BC、CA共面。
思考探究
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/92020/11/9November 9, 2020
P
l
P
P 且 P l且 P l
作用：用来判定两个平面相交或点在直线上。
例题讲解
B
A
l
a （1）
பைடு நூலகம்
b
lP
a
（2）
例1、如上图，用符号表示图形中点、直线、 平面之间的位置关系。
平面及其基本性质
向量数量积运算规则
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
数量积运算规则
数量积满足交换律、分配律和结合律，且数量积的结果与两向量的夹角有关，当两向量垂直时数量积为零。
平面上标系建立与特点
直角坐标系的建立
在平面上选定两条互相垂直的数轴，分别作为x轴和y轴，两轴的交点O为坐标原点。对于平面上的任 意一点P，其位置可以用从O点到P点的有向线段的数量来表示，该数量即为点P的坐标。
VS
极坐标系的特点
极坐标系在处理某些问题时具有独特的优 势，如描述圆的方程、研究点的轨迹等。 在极坐标系中，点的位置由其到极点的距 离和与极轴的夹角确定，这种表示方式在 某些情况下比直角坐标系更为简便。
坐标变换公式及应用
坐标变换公式
在平面上的不同坐标系之间，可以通过一定 的数学公式进行坐标的转换。例如，在直角 坐标系和极坐标系之间，点的坐标可以通过 以下公式进行转换：x = rcosθ, y = rsinθ, r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)。
向量表示方法
在平面直角坐标系中，向量可以用坐 标形式表示，起点为坐标原点，终点 坐标即为向量坐标。
向量加减法运算规则
向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果向量以两 个加向量为邻边作平行四边形，其对角线即为和向量。
向量减法
向量减法可以转化为向量加法来处理，即减去一个向量相当 于加上这个向量的相反向量。
圆及其性质
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形。
圆的性质
圆的任意一条直径所在的直线都是圆 的对称轴；圆的周长与直径的比值是 一个常数，称为圆周率；圆内接四边 形的对角互补，外角等于它的内对角 。
14.1平面及其基本性质
a b
14.1平面及其基本性质（1）
例1、正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
14.1平面及其基本性质（1）
❖ （二）平面的表示方法：
❖ 1、几何表示：
①
水平放置①：
③
正视垂直放置②： ② 侧视垂直放置③：
❖ 2、符号表示：
（1）直线AB，直线l，直线a
（2）平面ABCD（顶点字母），
平面αβγ（小写的希腊字母），平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系（借用集合符号）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
m
（3） l
P
（4）P l,P ,Q l,Q
Q
14.1平面及其基本性质（1）
例3、如图，正方体 ABCDA1B1C1D 1，E,F分别是
B1C1, BB1的中点，问：直线EF和BC是否相交；
如果相交，交点在哪几个平面内？
D1
C1
A1
B1 E
DF C
A
B
14.1平面及其基本性质（1）
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B
3平面及其基本性质
平面及其基本性质教学目标：掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.重点1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.基础扫描1．分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 2．下列命题中真命题的序号为（1）四边形是平面图形（2）有三个公共点的两个平面重合（3）两两相交的三条直线必在同一平面内（4）三角形必是平面图形3．角α与β的两边分别平行，当α70=︒时， β=4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l.A 平行 .B 相交 .C 垂直 .D 互为异面直线 解题平台例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ：GC =DH ：HC =1：2 （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面。
（2）设EG 与HF 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线。
A CD BEF GH例2若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则下列正确的是.A 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 .B 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 .C 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 .D 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面例3正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是小结A BCD1A1B1C1D PQ R课后练习1．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 个。
2．在正方体ABCD A B C D -''''中，过对角线BD '的一个平面交AA '于E ，交CC '于F ，则① 四边形BFD E '一定是平行四边形; ② 四边形BFD E '有可能是正方形③ 四边形BFD E '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E '有可能垂直于平面BB D '以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号） 3．对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得.A αα⊂⊂b a , .B b a ,α⊂∥α .C αα⊥⊥b a ,.D αα⊥⊂b a ,4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 条件5．空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，E 、F 为AB 、BC 的中点，G 、H 分别在CD 、DA 上，且CG ：GD=AH ：HD=λ（λ>0） (1)求证:点E 、F 、G 、H 共面；（2）若λ=2，求证：直线FG 、EH 、BD 相交于一点6．已知△ABC 在平面α外，三边AB 、BC 、CA 分别与平面α交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线.7．三个平面两两相交，得到三条交线，求证：（1）若其中两条交于一点P ，则P 也在第三条交线上； （2）若其中两条平行，则这三条交线两两平行。
14.1-平面及其基本性质
点--- 组成集合的基本元素; Explanation 线--- 由基本元素点组成的集合. 面---由基本元素点组成的集合. ①点与直线的位置关系：The positional relationship of the points 说明
with straight lines
点A在直线l上--记作 ：
新课讲解
③直线与平面的位置关系：The position *当直线l上的所有点都在平面α 上时,可把直线l看作是平面α的 子集,称直线l在平面α上,或平 面α经过直线l---记作: When all
relationship between straight line and plane
l
.
of the points on the straight line l in the plane alpha, can be regarded as a straight line l is a subset of the plane alpha, said straight line l in the plane l alpha
②数学中的平面概念可与平几中直线的概念相类比.
新课讲解
二.数学中表示平面的一般方法: a general method said
plane
·· ①大写的英文字母—— 平面M;平面N;···Plane M;
Uppercase letters -Plane N; ...
②小写的希腊字母— —Lowercase Greek letter --
α∩β=Ø 或α∥β.
总结说明Summary ①点、线、面之间的位置关系的语言叙述具有多变性;
Point, line, plane positional relationship between the language Designation
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问题2
（1）把书的一角放在桌面上，问书所在平 面与桌面所在平面有几个公共点？
（2）把教室的门及其所在的墙看成两平 面，当门开着时，它们的公共点的分布如 何？
公理2 如果两个平面有一个 公共点，那么它们还有其他 公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点 的直线。
9.1 平面及其基本性质
一、平面的概念和表示法
D
C
A
B
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
B• •A
二、如何理解平面？
平面是一个描述而不是定义的原始概念。
（1）平面是绝对平的； （2）平面没有厚度； （3）平面是无限延展的； （4）平面和点、线一样是今后研究空间图 形的基础，也是空间图形的一个重要组成 部分；
（5）平面可以看作是空间的一些特殊点组 成的集合，它是一个无限集；
区别：（1）平面图形的点都在同一个平面内， 立体图形的点不全在同一个平面内；
（2 ）平面图形由点、线构成，立体图形 由点、线、面构成；
（3）考虑问题要着眼于整个空间而不能 局限与一个平面
（4）立体图形中有些点在同一平面内，对平面 图形的研究是立体图形的基础，立体图形常常转 化为平面图形来研究.
（5）过去所学的平面图形中的结论在立体图形 中是否正确？要经过验证
A
B
C
证法二: 因为A直线BC上， 所以过点A和直线BC确定平面α.(推论1) 因为A∈α，B∈BC，所以B∈α. 故AB α， 同理AC α， 所以AB，AC，BC共面.
A
B
C
证法三: 因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面.(公理3) 因为A∈α，B∈α，所以AB .(公理1) 同理BC ，AC ，
和一个平面，
（1）若尺的两个端点都在桌面上，问尺 所在直线上各点会不会都在桌面所在平面 内？
（2）若尺的一个端点不在桌面上，问尺 所在直线与桌面所在平面的关系如何？
公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在这个平 面内。
确定直线在不在平面内的依 据
注意：直线有两点在平面内，则直线上
所以AB，BC，CA三直线共面.
A
B
C
课堂小结: （1）平面的概念及如何理解？ （2）平面的表示法； （3）平面的基本性质：
3个公理、3个推论；应用； （4）3种语言的相互表示、相互转化；
立体几何
问题1 你能过任意一点引三条互相垂直的
直线吗？
如图
问题2 你能用六根火柴在桌面上搭出四个
三角形吗？
如图
问题3 你能画出一个四边形，使它的两条
对角线所在的直线不相交吗？ 总结
C
O B
A 返回
C
O A
B 返回
空间图形分为：平面图形 立体图形
立体图形与平面图形的区别与联系：
联系：从集合论角度，二者都是点的集合；
（6）无限的平面----将它所在的无限的空 间分成两部分，如果想从平面的一侧到另 一侧，必须穿过这个平面；
（7）有限的图形-----平行四边形，用它表 示平面，只是一种表示法，绝不能认为平 行四边形就是平面；
（8）画线原则-----“看得见的画实线，看 不见的画虚线”；
三、平面的基本性质
问题1 如果把尺和桌面分别看成一条直线
判断两平面相交的依据，也 是证明三点共线的依据。
注意：两个不重合的平面有公共点，则
两平面有一条过公共点的直线。两平面的 公共点一定不可能是孤立的点；
问题3
（1）把门销插上，门便不动，为什么？ （2）测量仪的支架为什么只需三支脚？
公理3 经过不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面
确定平面的依据
A
B
C
推论1: 经过一条直线和这条直 线外一点，有且只有一个平面。
A
B
C
已知:点A，直线a，Aa. 求证:过点A和直线a可以确定一个平面.
A a
推论2: 经过两条相交直线， 有且只有一个平面。
推论3: 经过两条平行直线， 有且只有一个平面
确定平面的依据
例1：两两相交且不过同一点的三条直线 必在同一个平面内。(如图) 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面